[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki28\/2021\/08\/31\/gelee-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki28\/2021\/08\/31\/gelee-wikipedia\/","headline":"Gelee \u2013 Wikipedia","name":"Gelee \u2013 Wikipedia","description":"Physikalisches Modell fester Metalle als Elektronengase Gelee, auch bekannt als die einheitliches Elektronengas (UEG) oder homogenes Elektronengas (HEG), ist ein","datePublished":"2021-08-31","dateModified":"2021-08-31","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki28\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki28\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3f25ae1a5744d8788ffe66466876e04134503642","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3f25ae1a5744d8788ffe66466876e04134503642","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki28\/2021\/08\/31\/gelee-wikipedia\/","wordCount":11698,"articleBody":"Physikalisches Modell fester Metalle als ElektronengaseGelee, auch bekannt als die einheitliches Elektronengas (UEG) oder homogenes Elektronengas (HEG), ist ein quantenmechanisches Modell wechselwirkender Elektronen in einem Festk\u00f6rper, bei dem angenommen wird, dass die positiven Ladungen (dh Atomkerne) gleichm\u00e4\u00dfig im Raum verteilt sind;  die Elektronendichte ist auch im Raum eine einheitliche Gr\u00f6\u00dfe.  Dieses Modell erm\u00f6glicht es, sich auf die Effekte in Festk\u00f6rpern zu konzentrieren, die aufgrund der Quantennatur von Elektronen und ihrer gegenseitigen absto\u00dfenden Wechselwirkungen (aufgrund gleicher Ladung) auftreten, ohne explizit das Atomgitter und die Struktur eines realen Materials einzuf\u00fchren.  Jellium wird in der Festk\u00f6rperphysik h\u00e4ufig als einfaches Modell delokalisierter Elektronen in einem Metall verwendet, wo es Eigenschaften realer Metalle wie Abschirmung, Plasmonen, Wigner-Kristallisation und Friedel-Oszillationen qualitativ reproduzieren kann.Bei Nulltemperatur h\u00e4ngen die Eigenschaften von Jellium ausschlie\u00dflich von der konstanten Elektronendichte ab.  Dies verleiht ihm eine Behandlung innerhalb der Dichtefunktionaltheorie;  der Formalismus selbst liefert die Grundlage f\u00fcr die N\u00e4herung der lokalen Dichte an das Austauschkorrelations-Energiedichtefunktional.Der Begriff Gelee wurde von Conyers Herring gepr\u00e4gt und spielt auf den “positiven Jelly”-Hintergrund und das typische metallische Verhalten an, das es zeigt.[1]Hamiltonian[edit]Das Jellium-Modell behandelt die Elektron-Elektron-Kopplung rigoros.  Die k\u00fcnstliche und strukturlose Hintergrundladung wechselwirkt elektrostatisch mit sich selbst und den Elektronen.  Der Jellium-Hamiltonian f\u00fcr n Elektronen, die in einem Raumvolumen eingeschlossen sind \u03a9, und mit elektronischer Dichte \u03c1(R) und (konstante) Hintergrundladungsdichte n(R) = n\/\u03a9 ist[2][3]h^=h^el+h^BeinCk+h^el\u2212BeinCk,{displaystyle {hat{H}}={hat{H}}_{mathrm {el}}+{hat{H}}_{mathrm {zur\u00fcck} }+{hat{H}} _{textrm{el-back}},,}wohel ist der elektronische Hamilton-Operator, der aus den kinetischen und den Elektron-Elektronen-Absto\u00dfungstermen besteht:h^el=\u03a3ich=1nPich22m+\u03a3ichBeinCk=e22\u222b\u03a9DR\u222b\u03a9DRIch n(R)n(RIch)|R\u2212RIch|=e22(n\u03a9)2\u222b\u03a9DR\u222b\u03a9DRIch 1|R\u2212RIch|{displaystyle {hat{H}}_{mathrm {zur\u00fcck} }={frac {e^{2}}{2}}int _{Omega}mathrm {d} mathbf {R} int_{Omega}mathrm{d}mathbf{R} ‘{frac{n(mathbf{R})n(mathbf{R}’)}{|mathbf{R} – mathbf {R} ‘|}}={frac {e^{2}}{2}}left({frac {N}{Omega}}right)^{2}int _{Omega }mathrm{d}mathbf{R}int_{Omega}mathrm{d}mathbf{R} ‘{frac{1}{|mathbf{R} -mathbf{R}’ |}}}hel-zur\u00fcck ist der Hamilton-Operator der Elektron-Hintergrund-Wechselwirkung, wiederum eine elektrostatische Wechselwirkung:h^el\u2212BeinCk=\u222b\u03a9DR\u222b\u03a9DR \u03c1(R)n(R)|R\u2212R|=\u2212e2n\u03a9\u03a3ich=1n\u222b\u03a9DR 1|Rich\u2212R|{displaystyle {hat{H}}_{mathrm {el-back} }=int _{Omega}mathrm {d} mathbf {r} int _{Omega}mathrm {d} mathbf{R}{frac{rho(mathbf{r})n(mathbf{R})}{|mathbf{r} -mathbf{R} |}}=-e^{2 }{frac{N}{Omega}}sum_{i=1}^{N}int_{Omega}mathrm{d}mathbf{R}{frac{1}{| mathbf{r}_{i}-mathbf{R} |}}}hzur\u00fcck ist eine Konstante und im Grenzfall eines unendlichen Volumens divergent zusammen mit hel-zur\u00fcck.  Die Divergenz wird durch einen Term aus der Elektron-Elektron-Kopplung aufgehoben: Die Hintergrundwechselwirkungen heben sich auf und das System wird von der kinetischen Energie und der Kopplung der Elektronen dominiert.  Eine solche Analyse wird im Fourier-Raum durchgef\u00fchrt;  die verbleibenden Wechselwirkungsterme des Hamilton-Operators entsprechen der Fourier-Entwicklung der Elektronenkopplung, f\u00fcr die Q \u2260 0.Beitr\u00e4ge zur Gesamtenergie[edit]Der traditionelle Weg, das Elektronengas zu untersuchen, besteht darin, mit nicht wechselwirkenden Elektronen zu beginnen, die nur durch den kinetischen Energieteil des Hamilton-Operators bestimmt werden, auch Fermi-Gas genannt.  Die kinetische Energie pro Elektron ist gegeben durchKE=35EF=35\u210f2kF22me=35(9\u03c04)231(RS\/ein0)2Ry\u22482.21(RS\/ein0)2Ry{displaystyle KE={frac {3}{5}}E_{F}={frac {3}{5}}{frac {hbar^{2}k_{F}^{2}}{ 2m_{e}}}={frac {3}{5}}{biggl (}{frac {9pi }{4}}{biggr )}^{frac {2}{3}} {frac {1}{(r_{s}\/a_{0})^{2}}}{textrm {Ry}}approx {frac {2.21}{(r_{s}\/a_{0}) )^{2}}}{textrm {Ry}}}wo EF{displaystyle E_{F}}  ist die Fermi-Energie, kF{displaystyle k_{F}}  ist der Fermi-Wellenvektor, und der letzte Ausdruck zeigt die Abh\u00e4ngigkeit vom Wigner-Seitz-Radius RS{displaystyle r_{s}}  wo Energie in Rydbergs gemessen wird.Ohne viel Arbeit zu leisten, kann man vermuten, dass die Elektron-Elektron-Wechselwirkungen wie die Umkehrung des durchschnittlichen Elektron-Elektron-Abstands skalieren und somit als 1\/R12{displaystyle 1\/r_{12}}  (da die Coulomb-Wechselwirkung wie eine \u00fcber den Abstand zwischen Ladungen verl\u00e4uft), wenn wir die Wechselwirkungen also als kleine Korrektur der kinetischen Energie betrachten, beschreiben wir den Grenzwert von small RS{displaystyle r_{s}}  (dh 1\/RS2{displaystyle 1\/r_{s}^{2}}  gr\u00f6\u00dfer sein als 1\/RS{displaystyle 1\/r_{s}}) und damit eine hohe Elektronendichte.  Leider haben echte Metalle typischerweise RS{displaystyle r_{s}}  zwischen 2-5, was bedeutet, dass dieses Bild ernsthaft \u00fcberarbeitet werden muss.Die erste Korrektur des Freie-Elektronen-Modells f\u00fcr Jellium stammt vom Fock-Austausch-Beitrag zu Elektron-Elektron-Wechselwirkungen.  Addiert man dies hinzu, hat man eine Gesamtenergie vonE=2.21RS2\u22120,916RS{displaystyle E={frac {2.21}{r_{s}^{2}}}-{frac {0.916}{r_{s}}}}wobei der negative Term auf Austausch zur\u00fcckzuf\u00fchren ist: Austauschwechselwirkungen senken die Gesamtenergie.  Korrekturen h\u00f6herer Ordnung der Gesamtenergie sind auf die Elektronenkorrelation zur\u00fcckzuf\u00fchren, und wenn man sich entscheidet, in einer Reihe f\u00fcr kleine . zu arbeiten RS{displaystyle r_{s}}, findet manE=2.21RS2\u22120,916RS+0,0622ln\u2061(RS)\u22120,096+\u00d6(RS){displaystyle E={frac {2,21}{r_{s}^{2}}}-{frac {0,916}{r_{s}}}}+0,0622ln(r_{s})-0,096+O (r_{s})}Die Serie ist ziemlich genau f\u00fcr kleine RS{displaystyle r_{s}}  aber von zweifelhaftem Wert f\u00fcr RS{displaystyle r_{s}}  Werte in tats\u00e4chlichen Metallen gefunden.F\u00fcr die gesamte Palette von RS{displaystyle r_{s}}, kann die Korrelationsenergiedichte von Chachiyo als Korrektur h\u00f6herer Ordnung verwendet werden.  In diesem Fall,E=2.21RS2\u22120,916RS+einln\u2061(1+BRS+BRS2){displaystyle E={frac {2,21}{r_{s}^{2}}}-{frac {0,916}{r_{s}}}+aln left(1+{frac {b }{r_{s}}}+{frac {b}{r_{s}^{2}}}right)}, [4]  was ziemlich gut (in der Gr\u00f6\u00dfenordnung von Milli-Hartree) mit der Quanten-Monte-Carlo-Simulation \u00fcbereinstimmt.Null-Temperatur-Phasendiagramm von Jellium in drei und zwei Dimensionen[edit]Die Physik des Null-Temperatur-Phasenverhaltens von Jellium wird durch die Konkurrenz zwischen der kinetischen Energie der Elektronen und der Elektron-Elektron-Wechselwirkungsenergie angetrieben.  Der kinetische Energieoperator in den Hamiltonschen Skalen als 1\/RS2{displaystyle 1\/r_{s}^{2}}, wo RS{displaystyle r_{s}}  ist der Wigner-Seitz-Radius, w\u00e4hrend der Wechselwirkungsenergieoperator skaliert als 1\/RS{displaystyle 1\/r_{s}}.  Daher dominiert die kinetische Energie bei hoher Dichte (klein RS{displaystyle r_{s}}), w\u00e4hrend bei geringer Dichte die Wechselwirkungsenergie dominiert (gro\u00df RS{displaystyle r_{s}}).Die Grenze der hohen Dichte ist dort, wo Jellium einem nicht wechselwirkenden freien Elektronengas am \u00e4hnlichsten ist.  Um die kinetische Energie zu minimieren, werden die Einzelelektronenzust\u00e4nde delokalisiert, in einem Zustand, der sehr nahe an der Slater-Determinante (nicht wechselwirkender Zustand) aus ebenen Wellen liegt.  Hier werden die Zust\u00e4nde der ebenen Welle mit dem niedrigsten Impuls doppelt von Spin-up- und Spin-down-Elektronen besetzt, was eine paramagnetische Fermi-Fl\u00fcssigkeit ergibt.Bei niedrigeren Dichten, wo die Wechselwirkungsenergie wichtiger ist, ist es energetisch vorteilhaft, dass das Elektronengas spinpolarisiert (dh ein Ungleichgewicht in der Anzahl der Spin-up- und Spin-down-Elektronen aufweist), was zu einem ferromagnetischen Fermi . f\u00fchrt Fl\u00fcssigkeit.  Dieses Ph\u00e4nomen ist bekannt als wandernder Ferromagnetismus.  Bei ausreichend niedriger Dichte wird der kinetische Energieverlust, der sich aus der Notwendigkeit ergibt, ebene Wellenzust\u00e4nde mit h\u00f6herem Impuls zu besetzen, durch die Verringerung der Wechselwirkungsenergie aufgrund der Tatsache, dass Austauscheffekte nicht unterscheidbare Elektronen voneinander fernhalten, mehr als ausgeglichen.Eine weitere Reduzierung der Wechselwirkungsenergie (auf Kosten der kinetischen Energie) kann durch die Lokalisierung der Elektronenorbitale erreicht werden.  Als Ergebnis bildet Jellium bei einer Temperatur von Null und einer ausreichend niedrigen Dichte einen sogenannten Wigner-Kristall, in dem die Einteilchenorbitale eine ungef\u00e4hr Gau\u00dfsche Form haben, die auf Kristallgitterpl\u00e4tzen zentriert ist.  Sobald sich ein Wigner-Kristall gebildet hat, kann es bei den Wigner-Kristallen mit abnehmender Dichte grunds\u00e4tzlich zu weiteren Phasen\u00fcberg\u00e4ngen zwischen verschiedenen Kristallstrukturen und zwischen verschiedenen magnetischen Zust\u00e4nden (zB antiferromagnetische zu ferromagnetische Spinkonfigurationen) kommen.  Wenn eine Wigner-Kristallisation auftritt, erh\u00e4lt Jellium eine Bandl\u00fccke.Nach der Hartree-Fock-Theorie wird das ferromagnetische Fluid bei einem Dichteparameter von . schlagartig stabiler als das paramagnetische Fluid RS=5.45{displaystyle r_{s}=5.45}  in drei Dimensionen (3D) und 2.01{displaystyle 2.01}  in zwei Dimensionen (2D).[5]  Nach der Hartree-Fock-Theorie tritt die Wigner-Kristallisation jedoch bei RS=4.5{displaystyle r_{s}=4,5}  in 3D und 1.44{displaystyle 1.44}  in 2D, so dass Jellium kristallisieren w\u00fcrde, bevor wandernder Ferromagnetismus auftritt.[6]  Dar\u00fcber hinaus sagt die Hartree-Fock-Theorie ein exotisches magnetisches Verhalten voraus, wobei die paramagnetische Fl\u00fcssigkeit gegen\u00fcber der Bildung einer spiralf\u00f6rmigen Spindichtewelle instabil ist.[7][8]  Leider enth\u00e4lt die Hartree-Fock-Theorie keine Beschreibung von Korrelationseffekten, die energetisch \u00fcberhaupt wichtig sind, au\u00dfer den allerh\u00f6chsten Dichten, und so ist eine genauere Theorieebene erforderlich, um quantitative Aussagen \u00fcber das Phasendiagramm von Jellium zu treffen.Quantum Monte Carlo (QMC)-Methoden, die eine explizite Behandlung von Elektronenkorrelationseffekten erm\u00f6glichen, gelten allgemein als der genaueste quantitative Ansatz zur Bestimmung des Null-Temperatur-Phasendiagramms von Jellium.  Die erste Anwendung der Diffusions-Monte-Carlo-Methode war die ber\u00fchmte Berechnung des Null-Temperatur-Phasendiagramms von 3D-Jellium von Ceperley und Alder aus dem Jahr 1980.[9]  Sie berechneten, dass der \u00dcbergang von paramagnetisch-ferromagnetischer Fl\u00fcssigkeit bei auftritt RS=75(5){displaystyle r_{s}=75(5)}  und Wigner-Kristallisation (zu einem kubisch raumzentrierten Kristall) bei RS=100(20){displaystyle r_{s}=100(20)}.  Nachfolgende QMC-Berechnungen[10][11]  haben ihr Phasendiagramm verfeinert: Es gibt einen \u00dcbergang zweiter Ordnung von einem paramagnetischen Fluidzustand zu einem partiell spinpolarisierten Fluid von RS=50(2){displaystyle r_{s}=50(2)}  bis etwa 100{displaystyle 100};  und Wigner-Kristallisation erfolgt bei RS=106(1){displaystyle r_{s}=106(1)}.In 2D zeigen QMC-Rechnungen, dass der \u00dcbergang von paramagnetischer Fl\u00fcssigkeit zu ferromagnetischer Fl\u00fcssigkeit und die Wigner-Kristallisation bei \u00e4hnlichen Dichteparametern im Bereich 30"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki28\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki28\/2021\/08\/31\/gelee-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Gelee \u2013 Wikipedia"}}]}]