[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/07\/19\/ball-mathematik-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/07\/19\/ball-mathematik-wikipedia\/","headline":"Ball (Mathematik) \u2013 Wikipedia","name":"Ball (Mathematik) \u2013 Wikipedia","description":"In der Mathematik, a Ball ist der von einer Kugel begrenzte Volumenraum; es hei\u00dft auch a feste Kugel.[1] Es kann","datePublished":"2021-07-19","dateModified":"2021-07-19","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/c\/cf\/Blue_ball.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/c\/cf\/Blue_ball.png","height":"94","width":"95"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/07\/19\/ball-mathematik-wikipedia\/","wordCount":5453,"articleBody":"  In der Mathematik, a Ball ist der von einer Kugel begrenzte Volumenraum;  es hei\u00dft auch a feste Kugel.[1]  Es kann ein geschlossene Kugel (einschlie\u00dflich der Grenzpunkte, die die Kugel bilden) oder ein offener Ball (ohne sie).  Diese Konzepte sind nicht nur im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert, sondern auch f\u00fcr niedrigere und h\u00f6here Dimensionen und f\u00fcr metrische R\u00e4ume im Allgemeinen.  EIN Ball oder hyperball im nein Dimensionen hei\u00dft an nein-Ball und ist begrenzt durch an (nein \u2212 1)-Kugel.  So ist zum Beispiel eine Kugel in der euklidischen Ebene dasselbe wie eine Scheibe, die von einem Kreis begrenzte Fl\u00e4che.  Im euklidischen 3-Raum wird eine Kugel als das von einer 2-dimensionalen Kugel begrenzte Volumen angenommen.  In einem eindimensionalen Raum ist eine Kugel ein Liniensegment.In anderen Kontexten, wie in der euklidischen Geometrie und im informellen Gebrauch, Kugel wird manchmal verwendet, um zu bedeuten Ball.Table of Contents  Im euklidischen Raum[edit]Volumen[edit]In allgemeinen metrischen R\u00e4umen[edit]In normierten Vektorr\u00e4umen[edit]p-Norm[edit]Allgemeine konvexe Norm[edit]In topologischen R\u00e4umen[edit]Regionen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Im euklidischen Raum[edit]Im euklidischen nein-Raum, ein (offener) nein-Kugel mit Radius r und Zentrum x ist die Menge aller Entfernungspunkte kleiner als r von x.  Ein geschlossenes nein-Kugel mit Radius r ist die Menge aller Entfernungspunkte kleiner oder gleich r Weg von x.Im euklidischen nein-Raum, jede Kugel ist von einer Hypersph\u00e4re begrenzt.  Der Ball ist ein begrenztes Intervall, wenn nein = 1, ist ein Scheibe von einem Kreis begrenzt, wenn nein = 2, und ist von einer Kugel begrenzt, wenn nein = 3.Volumen[edit]Das nein-dimensionales Volumen einer euklidischen Kugel mit Radius R im nein-dimensionaler euklidischer Raum ist:[2]  Vnein(R)=\u03c0nein2\u0393(nein2+1)Rnein,{displaystyle V_{n}(R)={frac {pi^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac{n}{2}}+1right) }}R^{n},}wo \u0393 ist die Gammafunktion von Leonhard Euler (die man sich als Erweiterung der Fakult\u00e4tsfunktion auf Bruchargumente vorstellen kann).  Die Verwendung expliziter Formeln f\u00fcr bestimmte Werte der Gammafunktion bei ganzen und halben Zahlen ergibt Formeln f\u00fcr das Volumen einer euklidischen Kugel, die keine Auswertung der Gammafunktion erfordern.  Diese sind:V2k(R)=\u03c0kk!R2k,V2k+1(R)=2k+1\u03c0k(2k+1)!!R2k+1=2(k!)(4\u03c0)k(2k+1)!R2k+1.{displaystyle {begin{ausgerichtet}V_{2k}(R)&={frac {pi^{k}}{k!}}R^{2k},,\\[2pt]V_{2k+1}(R)&={frac {2^{k+1}pi^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={frac {2(k!)(4pi)^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1},.end{ausgerichtet}}}In der Formel f\u00fcr ungeraddimensionale Volumina ist die doppelte Fakult\u00e4t (2k + 1)!! ist f\u00fcr ungerade ganze Zahlen definiert 2k + 1 wie (2k + 1)!!  = 1 \u22c5 3 \u22c5 5 \u22c5 \u22ef \u22c5 (2k \u2212 1) \u22c5 (2k + 1).In allgemeinen metrischen R\u00e4umen[edit]Lassen (M, d) sei ein metrischer Raum, n\u00e4mlich eine Menge M mit einer Metrik (Abstandsfunktion) d.  Die offene (metrisch) Kugel mit Radius r > 0 zentriert an einem Punkt p im M, normalerweise bezeichnet mit Br(p) oder B(p; r), ist definiert durchBr(p)={x\u2208M|d(x,p)d(x,p)\u2264r}.{displaystyle B_{r}[p]={xin Mmid d(x,p)leq r}.}Beachten Sie insbesondere, dass eine Kugel (offen oder geschlossen) immer p selbst, da die Definition erfordert r > 0.Der Verschluss der offenen Kugel Br(p) wird normalerweise bezeichnet Br(p).  Es ist zwar immer so, dass Br(p) \u2286 Br(p) \u2286 Br[p], es ist nicht immer so Br(p) = Br[p].  Zum Beispiel in einem metrischen Raum X mit der diskreten Metrik hat man B1(p) = {p} und B1[p]  = X, f\u00fcr alle p \u2208 X.EIN Einheitskugel (offen oder geschlossen) ist eine Kugel mit Radius 1.Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist beschr\u00e4nkt, wenn sie in einer Kugel enthalten ist.  Eine Menge ist total beschr\u00e4nkt, wenn sie bei einem gegebenen positiven Radius von endlich vielen Kugeln dieses Radius bedeckt ist.Die offenen Kugeln eines metrischen Raums k\u00f6nnen als Basis dienen, was diesem Raum eine Topologie verleiht, deren offene Mengen alle m\u00f6glichen Vereinigungen offener Kugeln sind.  Diese Topologie auf einem metrischen Raum hei\u00dft Topologie induziert durch die Metrik d.In normierten Vektorr\u00e4umen[edit]Beliebiger normierter Vektorraum V mit Norm \u2016\u22c5\u2016{displaystyle |cdot |}  ist auch ein metrischer Raum mit der Metrik d(x,ja)=\u2016x\u2212ja\u2016.{displaystyle d(x,y)=|xy|.}    In solchen R\u00e4umen ist eine beliebige Kugel Br(ja){displaystyle B_{r}(y)}  von Punkten x{displaystyle x}  um einen Punkt ja{displaystyle y}  mit einem Abstand von weniger als r{displaystyle r}  kann als skalierte (von r{displaystyle r}) und \u00fcbersetzt (von ja{displaystyle y}) Kopie von a Einheitskugel B1(0).{displaystyle B_{1}(0).}  Solche “zentrierten” Kugeln mit ja=0{displaystyle y=0}  sind mit . bezeichnet B(r).{displaystyle B(r).}Die zuvor besprochenen euklidischen Kugeln sind ein Beispiel f\u00fcr Kugeln in einem normierten Vektorraum.p-Norm[edit]In einem kartesischen Raum rnein  mit dem p-Norm Lp, das ist\u2016x\u2016p=(|x1|p+|x2|p+\u22ef+|xnein|p)1\/p,{displaystyle left|xright|_{p}=left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+dotsb +|x_{n} |^{p}right)^{1\/p},}eine offene Kugel um den Ursprung mit Radius r{displaystyle r}  ist gegeben durch die MengeB(r)={x\u2208Rnein:\u2016x\u2016p=(|x1|p+|x2|p+\u22ef+|xnein|p)1\/p 2 sind Superellipsoide.  Offensichtlich, p = 2 erzeugt das Innere der \u00fcblichen Sph\u00e4ren.Allgemeine konvexe Norm[edit]Allgemeiner gesagt, bei einer gegebenen zentralsymmetrischen, beschr\u00e4nkten, offenen und konvexen Teilmenge X von rnein, kann man eine Norm definieren auf rnein  wo die Kugeln alle \u00fcbersetzt und einheitlich skalierte Kopien von . sind X.  Beachten Sie, dass dieser Satz nicht gilt, wenn die “offene” Teilmenge durch eine “geschlossene” Teilmenge ersetzt wird, da der Ursprungspunkt qualifiziert, aber keine Norm definiert auf rnein.In topologischen R\u00e4umen[edit]Man kann in jedem topologischen Raum von Kugeln sprechen X, nicht unbedingt durch eine Metrik induziert.  An (offen oder geschlossen) nein-dimensional topologische Kugel von X ist eine Teilmenge von X die zu einem (offenen oder geschlossenen) Euklidischen hom\u00f6omorph ist nein-Ball.  Topologische nein-Kugeln sind in der kombinatorischen Topologie als Bausteine \u200b\u200bvon Zellkomplexen wichtig.Beliebig offene topologische nein-ball ist hom\u00f6omorph zum kartesischen Raum rnein  und zur offenen Einheit nein-W\u00fcrfel (Hyperw\u00fcrfel) (0, 1)nein  \u2286 \u211dnein.  Beliebige geschlossene topologische nein-Ball ist hom\u00f6omorph zum Geschlossenen nein-W\u00fcrfel [0, 1]nein.Ein nein-ball ist hom\u00f6omorph zu an ich-ball wenn und nur wenn nein = ich.  Die Hom\u00f6omorphismen zwischen einem offenen nein-Ball B und rnein  lassen sich in zwei Klassen einteilen, die mit den beiden m\u00f6glichen topologischen Orientierungen von identifiziert werden k\u00f6nnen B.Eine topologische nein-Kugel muss nicht glatt sein;  wenn es glatt ist, braucht es nicht diffeomorph zu einem Euklidischen zu sein nein-Ball.Regionen[edit]F\u00fcr einen Ball k\u00f6nnen mehrere spezielle Regionen definiert werden:Kappe, begrenzt durch eine EbeneSektor, begrenzt durch eine konische Grenze mit Scheitelpunkt in der Mitte der KugelSegment, begrenzt durch ein Paar paralleler EbenenSchale, begrenzt durch zwei konzentrische Kugeln mit unterschiedlichen RadienKeil, begrenzt durch zwei Ebenen, die durch einen Kugelmittelpunkt und die Oberfl\u00e4che der Kugel verlaufenSiehe auch[edit]Verweise[edit]Diese Abteilung braucht Erweiterung.  Sie k\u00f6nnen helfen, indem Sie es erg\u00e4nzen.  (Dezember 2009)"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/07\/19\/ball-mathematik-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Ball (Mathematik) \u2013 Wikipedia"}}]}]