[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/26\/genaues-differential-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/26\/genaues-differential-wikipedia\/","headline":"Genaues Differential \u2013 Wikipedia","name":"Genaues Differential \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 In der multivariaten Analysis hei\u00dft ein Differential genau oder perfekt, im Gegensatz zu einem ungenauen Differential, wenn es von","datePublished":"2021-11-26","dateModified":"2021-11-26","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0d3e6bbd5a6a40d5a10e8d829e120f01afb390b9","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0d3e6bbd5a6a40d5a10e8d829e120f01afb390b9","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/26\/genaues-differential-wikipedia\/","wordCount":14439,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der multivariaten Analysis hei\u00dft ein Differential genau oder perfekt, im Gegensatz zu einem ungenauen Differential, wenn es von der Form dQ, f\u00fcr eine differenzierbare Funktion Q.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of Contents\u00dcberblick[edit]Definition[edit]Eine Dimension[edit]Zwei und drei Dimensionen[edit]Partielle Differentialbeziehungen[edit]Reziprozit\u00e4tsbeziehung[edit]Zyklische Beziehung[edit]Einige n\u00fctzliche Gleichungen, die aus exakten Differentialen in zwei Dimensionen abgeleitet sind[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]\u00dcberblick[edit]Definition[edit]Wir arbeiten in drei Dimensionen, wobei \u00e4hnliche Definitionen in jeder anderen Anzahl von Dimensionen gelten.  In drei Dimensionen eine Form des Typs       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4EIN(x,ja,z)Dx+B(x,ja,z)Dja+C(x,ja,z)Dz{displaystyle A(x,y,z),dx+B(x,y,z),dy+C(x,y,z),dz}hei\u00dft Differentialform.  Dieses Formular hei\u00dft genau auf einer Domain D\u2282R3{displaystyle Dsubset mathbb{R} ^{3}}  im Raum, wenn es eine Skalarfunktion gibt Q=Q(x,ja,z){displaystyle Q=Q(x,y,z)}  definiert auf D{displaystyle D}  so dass       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4DQ\u2261(\u2202Q\u2202x)ja,zDx+(\u2202Q\u2202ja)x,zDja+(\u2202Q\u2202z)x,jaDz,{displaystyle dQequiv left({frac {partial Q}{partial x}}right)_{y,z},dx+left({frac {partial Q}{partial y }}right)_{x,z},dy+left({frac {partial Q}{partial z}}right)_{x,y},dz,}   DQ=EINDx+BDja+CDz{displaystyle dQ=A,dx+B,dy+C,dz}durch D. Dies ist \u00e4quivalent zu der Aussage, dass das Vektorfeld (EIN,B,C){displaystyle (A,B,C)}  ist ein konservatives Vektorfeld mit entsprechendem Potential Q{displaystyle Q}.Hinweis: Die Indizes au\u00dferhalb der Klammer geben an, welche Variablen w\u00e4hrend der Differenzierung konstant gehalten werden.  Aufgrund der Definition der partiellen Ableitung sind diese Indizes nicht erforderlich, werden aber zur Erinnerung eingef\u00fcgt.Eine Dimension[edit]In einer Dimension eine DifferentialformEIN(x)Dx{displaystyle A(x),dx}ist genau solange EIN{displaystyle A}  hat eine Stammfunktion (aber nicht unbedingt eine in Bezug auf elementare Funktionen).  Wenn EIN{displaystyle A}  hat eine Stammfunktion, sei Q{displaystyle Q}  sei eine Stammfunktion von EIN{displaystyle A}  und das Q{displaystyle Q}  die Bedingung f\u00fcr Genauigkeit erf\u00fcllt.  Wenn EIN{displaystyle A}  tut nicht eine Stammfunktion haben, k\u00f6nnen wir nicht schreiben DQ=EIN(x)Dx{displaystyle dQ=A(x),dx}  Die Differentialform ist also ungenau.Zwei und drei Dimensionen[edit]Durch Symmetrie der zweiten Ableitungen f\u00fcr jede “wohlerzogene” (nicht pathologische) Funktion Q{displaystyle Q}, wir haben\u22022Q\u2202x\u2202ja=\u22022Q\u2202ja\u2202x{displaystyle {frac {partial^{2}Q}{partial x,partial y}}={frac {partial^{2}Q}{partial y,partial x}} }Daraus folgt, dass in einer einfach zusammenh\u00e4ngenden Region R des xy-Ebene, ein DifferentialEIN(x,ja)Dx+B(x,ja)Dja{displaystyle A(x,y),dx+B(x,y),dy}ist genau dann ein exaktes Differential, wenn gilt:(\u2202EIN\u2202ja)x=(\u2202B\u2202x)ja{displaystyle left({frac {partial A}{partial y}}right)_{x}=left({frac {partial B}{partial x}}right)_{ j}}F\u00fcr drei Dimensionen ist ein DifferentialDQ=EIN(x,ja,z)Dx+B(x,ja,z)Dja+C(x,ja,z)Dz{displaystyle dQ=A(x,y,z),dx+B(x,y,z),dy+C(x,y,z),dz}ist ein exaktes Differential in einer einfach zusammenh\u00e4ngenden Region R des xyz-Koordinatensystem wenn zwischen den Funktionen EIN, B und C es bestehen die beziehungen:(\u2202EIN\u2202ja)x,z=(\u2202B\u2202x)ja,z{displaystyle left({frac {partial A}{partial y}}right)_{x,z}!!!=left({frac {partial B}{partial x}}right)_{y,z}}    ;    (\u2202EIN\u2202z)x,ja=(\u2202C\u2202x)ja,z{displaystyle left({frac {partial A}{partial z}}right)_{x,y}!!!=left({frac {partial C}{partial x}}right)_{y,z}}    ;    (\u2202B\u2202z)x,ja=(\u2202C\u2202ja)x,z{displaystyle left({frac {partial B}{partial z}}right)_{x,y}!!!=left({frac {partial C}{partial y}}right)_{x,z}}Diese Bedingungen entsprechen den folgenden: Wenn g ist der Graph dieser vektorwertigen Funktion dann f\u00fcr alle Tangentenvektoren x,Y der Oberfl\u00e4che g dann S(x, Ja) = 0 mit S die symplektische Form.Diese leicht zu verallgemeinernden Bedingungen ergeben sich aus der Unabh\u00e4ngigkeit der Ableitungsreihenfolge bei der Berechnung der zweiten Ableitungen.  Damit ein Differential dQ, also eine Funktion von vier Variablen, um ein exaktes Differential zu sein, m\u00fcssen sechs Bedingungen erf\u00fcllt werden.Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, wenn ein Differential dQ ist genau:die Funktion Q existiert;\u222bichFDQ=Q(F)\u2212Q(ich),{displaystyle int _{i}^{f}dQ=Q(f)-Q(i),}  unabh\u00e4ngig vom eingeschlagenen Weg.In der Thermodynamik, wenn dQ ist genau, die Funktion Q ist eine Zustandsfunktion des Systems.  Die thermodynamischen Funktionen U, S, h, EIN und g sind staatliche Funktionen.  Im Allgemeinen sind weder Arbeit noch W\u00e4rme eine Zustandsfunktion.  Ein genaues Differential wird manchmal auch als \u201etotales Differential\u201c oder \u201evolles Differential\u201c bezeichnet oder in der Differentialgeometrie als exakte Form bezeichnet.Partielle Differentialbeziehungen[edit]Wenn drei Variablen, x{displaystyle x}, ja{displaystyle y}  und z{displaystyle z}  sind an die Bedingung gebunden F(x,ja,z)=Konstante{displaystyle F(x,y,z)={text{Konstante}}}  f\u00fcr eine differenzierbare Funktion F(x,ja,z){displaystyle F(x,y,z)}, dann existieren die folgenden totalen Differentiale[1]: 667&669Dx=(\u2202x\u2202ja)zDja+(\u2202x\u2202z)jaDz{displaystyle dx={left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z},dy+{left({frac {partial x}{partial z }}right)}_{y},dz}Dz=(\u2202z\u2202x)jaDx+(\u2202z\u2202ja)xDja.{displaystyle dz={left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y},dx+{left({frac {partial z}{partial y }}right)}_{x},dy.}Setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein und ordnen Sie sie um, erhalten wir[1]: 669Dz=(\u2202z\u2202x)ja[(\u2202x\u2202y)zdy+(\u2202x\u2202z)ydz]+(\u2202z\u2202ja)xDja,{displaystyle dz={left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}left[{left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}dy+{left({frac {partial x}{partial z}}right)}_{y}dzright]+{left({frac{partial z}{partial y}}right)}_{x}dy,}Dz=[(\u2202z\u2202x)y(\u2202x\u2202y)z+(\u2202z\u2202y)x]Dja+(\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202z)jaDz,{displaystyle dz=left[{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}+{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}right]dy+{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial z}}right)}_ {y}dz,}[1\u2212(\u2202z\u2202x)y(\u2202x\u2202z)y]Dz=[(\u2202z\u2202x)y(\u2202x\u2202y)z+(\u2202z\u2202y)x]Dja.{displaystyle left[1-{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial z}}right)}_{y}right]dz=links[{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}+{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}right]dy.}Schon seit ja{displaystyle y}  und z{displaystyle z}  sind unabh\u00e4ngige Variablen, Dja{displaystyle dy}  und Dz{displaystyle dz}  kann ohne Einschr\u00e4nkung gew\u00e4hlt werden.  Damit diese letzte Gleichung im Allgemeinen gilt, m\u00fcssen die Terme in Klammern gleich Null sein.[1]: 669Reziprozit\u00e4tsbeziehung[edit]Setzen des ersten Termes in Klammern gleich Null ergibt[1](\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202z)ja=1.{displaystyle {left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial z}}right) }_{y}=1.}Eine leichte Umordnung ergibt eine Reziprozit\u00e4tsbeziehung,[1]: 670(\u2202z\u2202x)ja=1(\u2202x\u2202z)ja.{displaystyle {left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}={frac {1}{{left({frac {partial x}{ partial z}}right)}_{y}}}.}Es gibt zwei weitere Permutationen der vorstehenden Ableitung, die insgesamt drei Reziprozit\u00e4tsbeziehungen zwischen ergeben x{displaystyle x}, ja{displaystyle y}  und z{displaystyle z}.  Reziprozit\u00e4tsrelationen zeigen, dass die Inverse einer partiellen Ableitung gleich ihrem Kehrwert ist.Zyklische Beziehung[edit]Die zyklische Beziehung wird auch als zyklische Regel oder Tripelproduktregel bezeichnet.  Den zweiten Term in Klammern gleich Null zu setzen ergibt[1]: 670(\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202ja)z=\u2212(\u2202z\u2202ja)x.{displaystyle {left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial y}}right) }_{z}=-{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}.}Verwenden einer Reziprozit\u00e4tsbeziehung f\u00fcr \u2202z\u2202ja{displaystyle {tfrac {partial z}{partial y}}}  auf dieser Gleichung und Umordnung ergibt sich eine zyklische Beziehung (die Tripelproduktregel),[1]: 670(\u2202x\u2202ja)z(\u2202ja\u2202z)x(\u2202z\u2202x)ja=\u22121.{displaystyle {left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}{left({frac {partial y}{partial z}}right) }_{x}{left({frac{partial z}{partial x}}right)}_{y}=-1.}Wenn, stattdessen, eine Reziprozit\u00e4tsbeziehung f\u00fcr \u2202x\u2202ja{displaystyle {tfrac {partial x}{partial y}}}  mit anschlie\u00dfender Umordnung verwendet wird, erh\u00e4lt man eine Standardform zur impliziten Differenzierung:(\u2202ja\u2202x)z=\u2212(\u2202z\u2202x)ja(\u2202z\u2202ja)x.{displaystyle {left({frac {partial y}{partial x}}right)}_{z}=-{frac {{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}}{{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}}}.}Einige n\u00fctzliche Gleichungen, die aus exakten Differentialen in zwei Dimensionen abgeleitet sind[edit](Siehe auch Bridgmans thermodynamische Gleichungen zur Verwendung exakter Differentiale in der Theorie thermodynamischer Gleichungen)Angenommen, wir haben f\u00fcnf Zustandsfunktionen z,x,ja,du{displaystyle z,x,y,u}, und v{displaystyle v}.  Angenommen, der Zustandsraum ist zweidimensional und jede der f\u00fcnf Gr\u00f6\u00dfen sind exakte Differentiale.  Dann nach der KettenregelDz=(\u2202z\u2202x)jaDx+(\u2202z\u2202ja)xDja=(\u2202z\u2202du)vDdu+(\u2202z\u2202v)duDv{displaystyle dz=left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}dx+left({frac {partial z}{partial y}}right) _{x}dy=left({frac {partial z}{partial u}}right)_{v}du+left({frac {partial z}{partial v}}right )_{u}dv}(1)aber auch nach der Kettenregel:Dx=(\u2202x\u2202du)vDdu+(\u2202x\u2202v)duDv{displaystyle dx=left({frac {partial x}{partial u}}right)_{v}du+left({frac {partial x}{partial v}}right) _{u}dv}(2)undDja=(\u2202ja\u2202du)vDdu+(\u2202ja\u2202v)duDv{displaystyle dy=left({frac {partial y}{partial u}}right)_{v}du+left({frac {partial y}{partial v}}right) _{u}dv}(3)so dass:Dz=[(\u2202z\u2202x)y(\u2202x\u2202u)v+(\u2202z\u2202y)x(\u2202y\u2202u)v]Ddu+[(\u2202z\u2202x)y(\u2202x\u2202v)u+(\u2202z\u2202y)x(\u2202y\u2202v)u]Dv{displaystyle {begin{aligned}dz=&left[left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial u}}right)_{v}+left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x}left({frac {partial y}{partial u}}right)_{v}right]du\\+&links[left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial v}}right)_{u}+left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x}left({frac {partial y}{partial v}}right)_{u}right]dvend{ausgerichtet}}}(4)was impliziert, dass:(\u2202z\u2202du)v=(\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202du)v+(\u2202z\u2202ja)x(\u2202ja\u2202du)v{displaystyle left({frac {partial z}{partial u}}right)_{v}=left({frac {partial z}{partial x}}right)_{ y}left({frac {partial x}{partial u}}right)_{v}+left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x }left({frac{partial y}{partial u}}right)_{v}}(5)Vermietung v=ja{displaystyle v=y}  gibt:(\u2202z\u2202du)ja=(\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202du)ja{displaystyle left({frac {partial z}{partial u}}right)_{y}=left({frac {partial z}{partial x}}right)_{ y}left({frac{partial x}{partial u}}right)_{y}}(6)Vermietung du=ja{displaystyle u=y}  gibt:(\u2202z\u2202ja)v=(\u2202z\u2202ja)x+(\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202ja)v{displaystyle left({frac {partial z}{partial y}}right)_{v}=left({frac {partial z}{partial y}}right)_{ x}+left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial y}}right)_{v }}(7)Vermietung du=ja{displaystyle u=y}, v=z{displaystyle v=z}  gibt:(\u2202z\u2202ja)x=\u2212(\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202ja)z{displaystyle left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x}=-left({frac {partial z}{partial x}}right)_ {y}left({frac {partial x}{partial y}}right)_{z}}(8)mit (\u2202ein\/\u2202B)C=1\/(\u2202B\/\u2202ein)C{displaystyle partial a\/partial b)_{c}=1\/(partial b\/partial a)_{c}}  gibt die Dreifachproduktregel:(\u2202z\u2202x)ja(\u2202x\u2202ja)z(\u2202ja\u2202z)x=\u22121{displaystyle left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial y}}right)_{z }left({frac{partial y}{partial z}}right)_{x}=-1}(9)Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ ein B C D e F g engel, Yunus A.;  Boles, Michael A. (1998) [1989].  “Thermodynamik Eigenschaftsbeziehungen”. Thermodynamik – ein technischer Ansatz.  McGraw-Hill-Reihe im Maschinenbau (3. Aufl.).  Boston, MA.: McGraw-Hill.  ISBN 0-07-011927-9.Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/26\/genaues-differential-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Genaues Differential \u2013 Wikipedia"}}]}]