Liste des mathematischen Jargons – Wikipedia

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Wikipedia-Listenartikel

Die Sprache der Mathematik verfügt über einen großen Wortschatz an Fach- und Fachbegriffen. Es hat auch eine gewisse Menge an Fachjargon: häufig verwendete Phrasen, die eher zur Kultur der Mathematik als zum Fach gehören. Jargon erscheint oft in Vorlesungen und manchmal in gedruckter Form als informelle Abkürzung für rigorose Argumente oder präzise Ideen. Vieles davon ist allgemeines Englisch, aber mit einer bestimmten nicht offensichtlichen Bedeutung, wenn es im mathematischen Sinne verwendet wird.

Einige Ausdrücke, wie “im Allgemeinen”, erscheinen unten in mehr als einem Abschnitt.

Philosophie der Mathematik[edit]

abstrakter Unsinn
Ein augenzwinkernder Verweis auf die Kategorientheorie, mit dem Argumente verwendet werden können, die ein (möglicherweise konkretes) Ergebnis begründen, ohne auf die Besonderheiten des vorliegenden Problems Bezug zu nehmen. Aus diesem Grund ist es auch bekannt als allgemeiner abstrakter Unsinn oder verallgemeinerter abstrakter Unsinn.

[The paper of Eilenberg and Mac Lane (1942)] führte die sehr abstrakte Idee einer „Kategorie“ ein – ein Thema, das damals „allgemeiner abstrakter Unsinn“ genannt wurde!

Saunders Mac Lane (1997)

[ Grothendieck ] hob die algebraische Geometrie auf eine neue Abstraktionsebene…wenn sich gewisse Mathematiker eine Zeitlang mit der Hoffnung trösten könnten, dass all diese komplizierten Strukturen “abstrakter Unsinn” seien…die späteren Arbeiten von Grothendieck und anderen zeigten, dass klassische Probleme.. .die den Bemühungen mehrerer Generationen talentierter Mathematiker widerstanden hatten, ließen sich in Form von…komplizierten Konzepten lösen.

Michael Monastyrsky (2001)
kanonisch
Ein Verweis auf eine standardmäßige oder wahlfreie Darstellung eines mathematischen Objekts (z. B. kanonische Karte, kanonische Form oder kanonische Ordnung). Derselbe Begriff kann auch informeller verwendet werden, um sich auf etwas “Standard” oder “Klassiker” zu beziehen. Zum Beispiel könnte man sagen, dass Euklids Beweis der “kanonische Beweis” der Unendlichkeit der Primzahlen ist.

Es gibt zwei kanonische Beweise, die immer verwendet werden, um Nichtmathematikern zu zeigen, wie ein mathematischer Beweis aussieht:

Freek Wiedijk (2006, S.2)
tief
Ein Ergebnis wird als “tief” bezeichnet, wenn sein Beweis Konzepte und Methoden erfordert, die über die Konzepte hinausgehen, die zur Formulierung des Ergebnisses benötigt werden. Zum Beispiel wurde der Primzahlensatz – ursprünglich mit Techniken der komplexen Analysis bewiesen – einst als tiefgreifendes Ergebnis angesehen, bis elementare Beweise gefunden wurden.[1] Andererseits ist die Tatsache, dass π irrational ist, normalerweise als tiefgreifendes Ergebnis bekannt, da es eine beträchtliche Entwicklung der reellen Analysis erfordert, bevor der Beweis erbracht werden kann – obwohl die Behauptung selbst mit einfachen Zahlentheorien formuliert werden kann und Geometrie.
elegant
Ein ästhetischer Begriff, der sich auf die Fähigkeit einer Idee bezieht, Einblick in die Mathematik zu geben, sei es durch die Vereinigung unterschiedlicher Gebiete, die Einführung einer neuen Perspektive auf ein einzelnes Gebiet oder durch die Bereitstellung einer Beweistechnik, die entweder besonders einfach ist oder die Intuition einfängt oder Phantasie, warum das Ergebnis, das es beweist, wahr ist. In einigen Fällen kann auch der Begriff “schön” verwendet werden, obwohl Gian-Carlo Rota zwischen Eleganz der Präsentation und Schönheit des Konzepts, sagen, dass zum Beispiel einige Themen elegant geschrieben werden könnten, obwohl der mathematische Inhalt nicht schön ist, und einige Theoreme oder Beweise sind schön, aber möglicherweise unelegant.

Die Schönheit einer mathematischen Theorie ist unabhängig von den ästhetischen Qualitäten … der strengen Darlegungen der Theorie. Einige schöne Theorien werden vielleicht nie eine ihrer Schönheit entsprechende Präsentation erhalten.[Category theory] ist reich an schönen und aufschlussreichen Definitionen und arm an eleganten Beweisen….[The theorems] bleib ungeschickt und langweilig….[Expositions of projective geometry] wetteiferten in der Eleganz der Präsentation und in der Klugheit der Beweise …. Im Nachhinein fragt man sich, was der ganze Wirbel soll.

Mathematiker mögen sagen, dass ein Theorem schön ist, wenn sie wirklich sagen wollen, dass es aufschlussreich ist. Wir erkennen die Schönheit eines Satzes an, wenn wir sehen, wie der Satz an seine Stelle ‘passt’….Wir sagen, dass ein Beweis schön ist, wenn ein solcher Beweis endlich das Geheimnis des Satzes preisgibt….

Gian-Carlo Rota (1977, S.173–174, S.181–182)
elementar
Ein Beweis oder ein Ergebnis wird als “elementar” bezeichnet, wenn es sich nur um grundlegende Konzepte und Methoden auf dem Gebiet handelt und tiefgreifende Ergebnisse gegenübergestellt werden sollen, die mehr Entwicklung innerhalb oder außerhalb des Gebiets erfordern. Der Begriff des „elementaren Beweises“ wird speziell in der Zahlentheorie verwendet, wo er sich in der Regel auf einen Beweis bezieht, der nicht auf Methoden der komplexen Analysis zurückgreift.
Folklore
Ein Ergebnis wird als “Folklore” bezeichnet, wenn es nicht offensichtlich, nicht veröffentlicht, aber den Fachleuten auf einem Gebiet irgendwie allgemein bekannt ist. In vielen Szenarien ist unklar, wer zuerst das Ergebnis erzielt hat, aber wenn das Ergebnis signifikant ist, kann es schließlich in die Lehrbücher gelangen, woraufhin es aufhört, Folklore zu sein.

Viele der in diesem Papier erwähnten Ergebnisse sollten insofern als “Folklore” betrachtet werden, als sie lediglich formal Ideen darlegen, die den Forschern auf diesem Gebiet gut bekannt sind, aber für Anfänger möglicherweise nicht offensichtlich sind und nach meinem besten Wissen nirgendwo anders erscheinen im Druck.

Russell Impagliazzo (1995)
natürlich
Ähnlich wie “kanonisch”, aber spezifischer, und bezieht sich auf eine Beschreibung (fast ausschließlich im Kontext von Transformationen), die unabhängig von jeder Auswahl gilt. Obwohl dieser Begriff lange Zeit informell verwendet wurde, hat er in der Kategorientheorie eine formale Definition gefunden.
pathologisch
Ein Objekt verhält sich pathologisch (oder, etwas breiter verwendet, in a degeneriert Weise), wenn es entweder nicht dem generischen Verhalten solcher Objekte entspricht, bestimmte kontextabhängige Regularitätseigenschaften nicht erfüllt oder einfach der mathematischen Intuition nicht gehorcht. In vielen Fällen können und sind dies widersprüchliche Anforderungen, in anderen Fällen wird der Begriff bewusster verwendet, um sich auf ein künstlich konstruiertes Objekt als Gegenbeispiel zu diesen Eigenschaften zu beziehen. Ein einfaches Beispiel ist, dass aus der Definition eines Dreiecks mit Winkeln, die sich zu π Radianten summieren, eine einzelne Gerade dieser Definition pathologisch entspricht.

Seit einem halben Jahrhundert haben wir eine Menge bizarrer Funktionen auftauchen sehen, die zu versuchen scheinen, so wenig wie möglich den ehrlichen Funktionen zu ähneln, die einem bestimmten Zweck dienen …. Nein, vom logischen Standpunkt aus sind es diese seltsamen Funktionen, die sind die allgemeinsten …. heute werden sie ausdrücklich erfunden, um die Überlegungen unserer Väter zu beanstanden ….

Henri Poincaré (1913)

[The Dirichlet function] eine enorme Bedeutung… als Ansporn für die Schaffung neuer Funktionstypen, deren Eigenschaften völlig von dem, was intuitiv zulässig schien, abwichen. Ein berühmtes Beispiel für eine solche sogenannte ‘pathologische’ Funktion … ist die von Weierstrass …. Diese Funktion ist stetig, aber nicht differenzierbar.

J. Sousa Pinto (2004)
Beachten Sie für dieses letztere Zitat, dass, da die differenzierbaren Funktionen im Raum stetiger Funktionen dürftig sind, wie Banach 1931 herausfand, differenzierbare Funktionen umgangssprachlich eine seltene Ausnahme unter den stetigen Funktionen sind. Daher ist es kaum noch zu verteidigen, nicht differenzierbare stetige Funktionen als pathologisch zu bezeichnen.
Strenge (Strenge)
Der Akt der Feststellung eines mathematischen Ergebnisses unter Verwendung unbestreitbarer Logik anstelle von informellen beschreibenden Argumenten. Rigorosität ist ein Grundpfeiler der Mathematik und kann eine wichtige Rolle dabei spielen, zu verhindern, dass die Mathematik zu Irrtümern ausartet.
brav
Ein Objekt verhält sich gut (im Gegensatz zu Sein pathologisch), wenn es bestimmte vorherrschende Regularitätseigenschaften erfüllt oder wenn es der mathematischen Intuition entspricht (obwohl Intuition oft auch gegensätzliche Verhaltensweisen suggerieren kann). In einigen Fällen (z. B. Analyse) wird der Begriff “glatt kann auch mit dem gleichen Effekt verwendet werden.

Beschreibende Informalitäten[edit]

Obwohl letztlich jedes mathematische Argument einen hohen Genauigkeitsstandard erfüllen muss, verwenden Mathematiker deskriptive, aber informelle Aussagen, um wiederkehrende Themen oder Konzepte mit sperrigen formalen Aussagen zu diskutieren. Beachten Sie, dass viele der Begriffe im Kontext völlig streng sind.

fast alles
Eine Abkürzung für “alle außer einer Menge von Maß Null”, wenn es ein Maß gibt, von dem man sprechen kann. Zum Beispiel “fast alle reellen Zahlen sind transzendent”, weil die algebraischen reellen Zahlen eine abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen mit Maß Null bilden. Man kann auch von “fast allen” ganzen Zahlen sprechen, die die Eigenschaft haben, “alle außer endlich vielen” zu bedeuten, obwohl die ganzen Zahlen kein Maß zulassen, für das dies mit der bisherigen Verwendung übereinstimmt. Zum Beispiel “fast alle Primzahlen sind ungerade”. Es gibt auch eine kompliziertere Bedeutung für ganze Zahlen, die im Hauptartikel erörtert wird. Schließlich wird dieser Begriff manchmal synonym verwendet mit generisch, unter.
beliebig groß
Begriffe, die meist im Zusammenhang mit Grenzen entstehen und sich auf das Wiederauftreten eines Phänomens bei Annäherung an die Grenze beziehen. Eine Aussage wie dieses Prädikat P von beliebig großen Werten erfüllt wird, kann in formalerer Notation ausgedrückt werden durch x : ∃jax:P( ja). Siehe auch häufig. Die Aussage, dass die MengeF ( x) es hängt davon abx“kann gemacht werden” beliebig groß, entspricht ja: ∃x: F ( x) ≥ja.
willkürlich
Eine Abkürzung für den universellen Quantor. Eine willkürliche Wahl ist eine, die uneingeschränkt getroffen wird, oder alternativ gilt eine Aussage für ein beliebiges Element einer Menge, wenn sie für ein beliebiges Element dieser Menge gilt. Auch viel im allgemeinsprachlichen Gebrauch unter Mathematikern: „Diese Problematik kann natürlich beliebig kompliziert sein“.
letztlich
Im Zusammenhang mit Grenzen ist dies eine Abkürzung für die Bedeutung für ausreichend große Argumente; das/die relevante(n) Argument(e) ist/sind im Kontext enthalten. Als Beispiel ist die Funktion log(log( x)) letztlich größer als 100 wird“; „eventuell“ bedeutet in diesem Zusammenhang „für ausreichend große x .”
Faktor durch
Ein Begriff in der Kategorientheorie, der sich auf die Zusammensetzung von Morphismen bezieht. Wenn wir drei Objekte haben EIN , B , und Cund eine Karte
endlich
“Nicht unendlich”. Wenn beispielsweise die Varianz einer Zufallsvariable als endlich bezeichnet wird, bedeutet dies, dass es sich um eine nicht negative reelle Zahl handelt.
häufig
Im Kontext von Limits ist dies eine Abkürzung für beliebig große Argumente und seine Verwandten; wie mit letztlich , ist die beabsichtigte Variante implizit. Als Beispiel ist die Sequenz
generisch
Dieser Begriff hat ähnliche Konnotationen wie fast alles wird aber insbesondere für Konzepte außerhalb des Geltungsbereichs der Maßtheorie verwendet. Eine Eigenschaft gilt “generell” für eine Menge, wenn die Menge eine (kontextabhängige) Dichtevorstellung erfüllt, oder wenn ihr Komplement eine (kontextabhängige) Kleinheitsvorstellung erfüllt. Zum Beispiel eine Eigenschaft, die auf einem dichten gδ (Schnittpunkt abzählbar vieler offener Mengen) gilt generisch. In der algebraischen Geometrie sagt man, dass eine Eigenschaft von Punkten auf einer algebraischen Varietät, die auf einer dichten offenen Zariski-Menge gilt, generisch wahr ist; jedoch wird normalerweise nicht gesagt, dass eine Eigenschaft, die nur auf einer dichten Menge (die nicht Zariski-offen ist) gilt, in dieser Situation generisch ist.
im Allgemeinen
In einem beschreibenden Kontext führt dieser Satz eine einfache Charakterisierung einer breiten Klasse von Objekten ein, mit dem Ziel, ein vereinheitlichendes Prinzip zu identifizieren. Dieser Begriff führt eine “elegante” Beschreibung ein, die für “beliebige” Objekte gilt. Ausnahmen von dieser Beschreibung können ausdrücklich als “pathologische” Fälle erwähnt werden.

Norbert A’Campo von der Universität Basel hat Grothendieck einmal nach etwas gefragt, das mit den platonischen Körpern zu tun hat. Grothendieck riet zur Vorsicht. Die platonischen Körper sind so schön und außergewöhnlich, sagte er, dass man nicht davon ausgehen kann, dass eine solche außergewöhnliche Schönheit in allgemeineren Situationen Bestand hat.

Allyn Jackson (2004, S.1197)
linke Seite, rechte Seite (LHS, RHS)
Meistens beziehen sich diese einfach auf die linke oder rechte Seite einer Gleichung; zum Beispiel,
nett
Ein mathematisches Objekt heißt umgangssprachlich nettoder ausreichend schön wenn es Hypothesen oder Eigenschaften erfüllt, die manchmal unspezifiziert oder sogar unbekannt sind und die in einem bestimmten Kontext besonders wünschenswert sind. Es ist ein informelles Antonym für pathologisch. Zum Beispiel könnte man vermuten, dass ein Differentialoperator eine bestimmte Beschränktheitsbedingung „für schöne Testfunktionen“ erfüllen sollte, oder man könnte sagen, dass eine interessante topologische Invariante berechenbar sein sollte „für schöne Räume x.”
auf zu
Eine Funktion (die in der Mathematik allgemein als Abbildung der Elemente einer Menge definiert istEIN zu Elementen eines anderen B) wird genannt “EIN auf zu B” (Anstatt von “EIN zu B ” oder “EIN hinein B “) nur wenn es surjektiv ist; man kann sogar sagen, dass ” F is on” (dh surjektiv). Nicht (ohne Umschreibungen) in andere Sprachen als Englisch übersetzbar.
richtig
Wenn für einen Begriff von Unterstruktur Objekte Unterstrukturen ihrer selbst sind (d. h. die Beziehung ist reflexiv), dann ist die Qualifikation richtigerfordert, dass die Objekte unterschiedlich sind. Zum Beispiel a richtig Teilmenge einer Menge S ist eine Teilmenge von S das ist anders als S, und ein richtig Teiler einer Zahl n ist ein Teiler von n das ist anders als n. Dieses überladene Wort ist auch kein Jargon für einen richtigen Morphismus.
regulär
Eine Funktion heißt regulär wenn es befriedigende Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften erfüllt, die oft kontextabhängig sind. Zu diesen Eigenschaften kann gehören, dass sie eine bestimmte Anzahl von Ableitungen besitzen, wobei die Funktion und ihre Ableitungen einige nett Eigentum (siehe nettoben), wie die Hölder-Stetigkeit. Informell wird dieser Begriff manchmal synonym verwendet mitglatt , unter. Diese ungenauen Verwendungen des Wortes regulärsind nicht zu verwechseln mit dem Begriff eines regulären topologischen Raums, der streng definiert ist.
bzw.
(bzw.) Eine Konvention zur Verkürzung von Parallelausstellungen. ” EIN (bzw. B) [has some relationship to] x (bzw. Ja)” bedeutet, dass EIN [has some relationship to] xund auch das B [has (the same) relationship to] Ja . Zum Beispiel haben Quadrate (bzw. Dreiecke) 4 Seiten (bzw. 3 Seiten); oder kompakte (bzw. Lindelöf-)Räume sind solche, bei denen jede offene Hülle eine endliche (bzw. abzählbare) offene Teilhülle besitzt.
Scharf
Oft wird ein mathematisches Theorem das Verhalten eines Objekts einschränken; zum Beispiel wird angezeigt, dass eine Funktion eine obere oder untere Grenze hat. Die Einschränkung ist Scharf (manchmal optimal ), wenn sie in einigen Fällen nicht fehlerfrei restriktiver gestaltet werden kann. Zum Beispiel für beliebige nicht negative reelle Zahlen x , die Exponentialfunktion ex, wo e = 2.7182818…, gibt eine obere Schranke für die Werte der quadratischen Funktion anx2. Dies ist nicht scharf; die Lücke zwischen den Funktionen ist überall mindestens 1. Unter den Exponentialfunktionen der Form αx, Einstellung von α = e2/ e = 2,0870652… ergibt eine scharfe Obergrenze; die etwas kleinere Wahl α = 2 liefert keine obere Schranke, da dann α3 = 8 < 32. In angewandten Bereichen wird das Wort “tight” oft mit der gleichen Bedeutung verwendet.[2]
glatt
Glätte ist ein Konzept, das die Mathematik mit vielen Bedeutungen ausgestattet hat, von einfacher Differenzierbarkeit über unendliche Differenzierbarkeit bis hin zu Analytik und noch anderen, die komplizierter sind. Jede solche Verwendung versucht, den physikalisch intuitiven Begriff der Glätte hervorzurufen.
stark, stärker
Ein Satz heißt stark wenn es restriktive Ergebnisse aus allgemeinen Hypothesen ableitet. Ein berühmtes Beispiel ist der Satz von Donaldson, der einer ansonsten großen Klasse von Mannigfaltigkeiten enge Grenzen setzt. Diese (informelle) Verwendung spiegelt die Meinung der mathematischen Gemeinschaft wider: Ein solches Theorem sollte nicht nur im deskriptiven Sinne (unten) stark sein, sondern auch in seinem Bereich definitiv sein. Ein Satz, Ergebnis oder eine Bedingung heißt weiter stärker als ein anderer, wenn ein Beweis des zweiten leicht aus dem ersten zu erhalten ist, aber nicht umgekehrt. Ein Beispiel ist die Folge von Sätzen: der kleine Satz von Fermat, der Satz von Euler, der Satz von Lagrange, von denen jeder stärker ist als der letzte; eine andere ist, dass eine scharfe obere Schranke (siehe Scharf oben) ist ein stärkeres Ergebnis als ein unscharfes. Zum Schluss das Adjektiv starkoder das Adverbstarkkann zu einem mathematischen Begriff hinzugefügt werden, um einen verwandten, stärkeren Begriff anzuzeigen; zum Beispiel ist eine starke Antikette eine Antikette, die bestimmte zusätzliche Bedingungen erfüllt, und ebenso ist ein stark regulärer Graph ein regulärer Graph, der stärkere Bedingungen erfüllt. Bei dieser Verwendung ist der stärkere Begriff (wie “starke Antikette”) ein technischer Begriff mit einer genau definierten Bedeutung; die Art der zusätzlichen Bedingungen kann nicht aus der Definition des schwächeren Begriffs (wie “Antikette”) abgeleitet werden.
ausreichend groß, passend klein, ausreichend nah
Im Zusammenhang mit Grenzwerten beziehen sich diese Begriffe auf einen (unspezifizierten, sogar unbekannten) Punkt, an dem ein Phänomen bei Annäherung an den Grenzwert vorherrscht. Eine Aussage wie dieses PrädikatPgilt für ausreichend große Werte, kann in formalerer Notation durch ∃ . ausgedrückt werden x : ∀jax: P( ja ). Siehe auch letztlich.
oben, unten
Ein beschreibender Begriff, der sich auf eine Notation bezieht, in der zwei Objekte übereinander geschrieben werden; der obere ist nach oben und das untere, unten. In einem Faserbündel wird der Gesamtraum beispielsweise oft als nach oben , mit dem Grundraum unten . In einem Bruch wird der Zähler gelegentlich als bezeichnetnach oben und der Nenner unten, wie in “einen Begriff nach oben bringen”.
bis zu, modulo, mod out by
Eine Erweiterung des mathematischen Diskurses der Begriffe der modularen Arithmetik. Eine Aussage ist wahrbis zueine Bedingung, wenn die Feststellung dieser Bedingung das einzige Hindernis für die Wahrheit der Aussage ist. Wird auch verwendet, wenn mit Mitgliedern von Äquivalenzklassen gearbeitet wird, insbesondere in der Kategorientheorie, wo die Äquivalenzrelation (kategorialer) Isomorphismus ist; zum Beispiel: “Das Tensorprodukt in einer schwachen monoidalen Kategorie ist bis zu einem natürlichen Isomorphismus assoziativ und unital.”
verschwinden
Den Wert 0 annehmen. Beispiel: “Die Funktion sin( x ) verschwindet für die Werte vonxdas sind ganzzahlige Vielfache von π.” Dies kann auch für Grenzen gelten: siehe Verschwinden im Unendlichen.
schwach, schwächer
Das Gegenteil von stark.
gut definiert
Genau und genau beschrieben oder spezifiziert. Zum Beispiel beruht eine Definition manchmal auf der Auswahl eines Objekts; das Ergebnis der Definition muss dann unabhängig von dieser Wahl sein.

Terminologie belegen[edit]

Die formale Sprache des Beweises schöpft immer wieder aus einem kleinen Fundus von Ideen, von denen viele in der Praxis durch verschiedene lexikalische Kürzel aufgerufen werden.

ein Liter
Ein veralteter Begriff, der verwendet wird, um dem Leser eine alternative Methode oder den Nachweis eines Ergebnisses anzukündigen. In einem Beweis markiert es daher eine Argumentation, die aus logischer Sicht überflüssig ist, aber ein anderes Interesse hat.
im Widerspruchsverfahren (BWOC) oder “für, wenn nicht, …”
Der rhetorische Auftakt zu einem Widerspruchsbeweis, der der Negation der zu beweisenden Aussage vorausgeht.
wenn und nur wenn (iff)
Abkürzung für logische Äquivalenz von Aussagen.
im Allgemeinen
Im Kontext von Beweisen wird dieser Ausdruck oft in Induktionsargumenten beim Übergang vom Basisfall zum Induktionsschritt gesehen, und ähnlich in der Definition von Folgen, deren erste Terme als Beispiele für die Formel gezeigt werden, die jeden Term der Folge angibt .
notwendig und ausreichend
Eine kleine Variante von “wenn und nur wenn”; ” EIN istnotwendig ( ausreichend ) zum B” meint “EINwenn (nur wenn) B “. Beispiel: “Für ein FeldK um algebraisch abgeschlossen zu sein, ist es notwendig und ausreichend, dass es keine endlichen Körpererweiterungen hat” bedeutet ” Kist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn es keine endlichen Erweiterungen hat”.
zeigen müssen (NTS), beweisen müssen (RTP), zeigen wollen, zeigen wollen (WTS)
Beweise gehen manchmal so vor, dass sie mehrere Bedingungen aufzählen, deren Erfüllung zusammen den gewünschten Satz impliziert; also eins muss zeigennur diese Aussagen.
der eine und einzige
Eine Aussage über die Existenz und Einzigartigkeit eines Objekts; das Objekt existiert, und außerdem existiert kein anderes solches Objekt.
QED
( Quod erat demonstrandum): Eine lateinische Abkürzung, die “zu beweisen war” bedeutet, historisch am Ende von Beweisen platziert, aber derzeit weniger verbreitet, da sie durch das Halmos-Beweisendezeichen, ein quadratisches Zeichen, ersetzt wurde ∎.
ausreichend schön
Eine Bedingung für Objekte im Umfang der Diskussion, die später spezifiziert wird, die garantiert, dass eine bestimmte Eigenschaft für sie gilt. Bei der Ausarbeitung eines Theorems deutet die Verwendung dieses Ausdrucks in der Aussage des Theorems darauf hin, dass die betreffenden Bedingungen dem Sprecher möglicherweise noch nicht bekannt sind und dass die Absicht darin besteht, die Bedingungen zu sammeln, die erforderlich sind, um den Beweis des Theorems zu durchlaufen.
die folgenden sind gleichwertig (TFAE)
In der Praxis sind oft mehrere gleichwertige Bedingungen (insbesondere für eine Definition, wie z. B. normale Untergruppe) gleichermaßen nützlich; man führt einen Satz ein, der eine Äquivalenz von mehr als zwei Aussagen mit TFAE angibt.
Transport der Struktur
Oftmals wird gezeigt, dass zwei Objekte in irgendeiner Weise äquivalent sind und eines von ihnen mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet ist. Mit Hilfe der Äquivalenz können wir eine solche Struktur auch auf dem zweiten Objekt definieren, über Transport der Struktur . Zum Beispiel sind zwei beliebige Vektorräume derselben Dimension isomorph; wenn einem von ihnen ein inneres Produkt gegeben ist und wir einen bestimmten Isomorphismus festlegen, dann können wir ein inneres Produkt auf dem anderen Raum definieren durchFactoring durch der Isomorphismus.

Lassen V sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über k….Lassen (eich)1 ichn eine Grundlage sein fürV….Es gibt einen Isomorphismus der polynomialen Algebra k[Tij]1 ich ,Jn auf die Algebra Symk( VV*)….Es erstreckt sich auf einen Isomorphismus von k[GLn] zur lokalisierten Algebra Symk( VV*)D, wo D= det( eicheJ*)….Wir schreiben k[GL(V)] für diese letzte Algebra. Durch Strukturtransport erhalten wir eine lineare algebraische Gruppe GL( V) isomorph zu GLn.

Igor Schafarevich (1991, S.12)
ohne (irgendeinen) Verlust der Allgemeingültigkeit (WLOG, WOLOG, WALOG) dürfen wir annehmen (WMA)
Manchmal lässt sich eine Aussage mit zusätzlichen Annahmen über die betreffenden Objekte leichter beweisen. Folgt der Satz wie gesagt aus diesem modifizierten Satz mit einer einfachen und minimalen Erklärung (z. B. wenn die restlichen Spezialfälle bis auf die Notation identisch sind), dann werden die modifizierten Annahmen mit diesem Satz eingeführt und der geänderte Satz bewiesen.

Beweistechniken[edit]

Mathematiker haben mehrere Ausdrücke, um Beweise oder Beweistechniken zu beschreiben. Diese werden oft als Hinweise zum Ausfüllen mühsamer Details verwendet.

Winkeljagd
Wird verwendet, um einen geometrischen Beweis zu beschreiben, der das Auffinden von Beziehungen zwischen den verschiedenen Winkeln in einem Diagramm beinhaltet.[3]
Back-of-the-Envelope-Berechnung
Eine informelle Berechnung, bei der viel Strenge ausgelassen wird, ohne auf Korrektheit zu verzichten. Oft ist diese Berechnung “Proof of Concept” und behandelt nur einen zugänglichen Spezialfall.
rohe Gewalt
Anstatt zugrundeliegende Prinzipien oder Muster zu finden, ist dies eine Methode, bei der man so viele Fälle wie nötig auswerten würde, um ausreichend zu beweisen oder überzeugende Beweise dafür zu liefern, dass die fragliche Sache wahr ist. Manchmal beinhaltet dies die Bewertung aller möglichen Fälle (wo es auch als Beweis durch Erschöpfung bezeichnet wird).
zum Beispiel
EIN Beweis durch Beispielist ein Argument, bei dem eine Aussage nicht bewiesen, sondern durch ein Beispiel illustriert wird. Wenn es gut gemacht ist, würde das spezifische Beispiel leicht zu einem allgemeinen Beweis verallgemeinern.
Durch Inspektion
Eine rhetorische Abkürzung von Autoren, die den Leser auffordern, die Richtigkeit eines vorgeschlagenen Ausdrucks oder einer Schlussfolgerung auf einen Blick zu überprüfen. Wenn ein Ausdruck durch einfache Anwendung einfacher Techniken und ohne Rückgriff auf erweiterte Berechnungen oder allgemeine Theorie ausgewertet werden kann, dann kann er ausgewertet werden Durch Inspektion. Es wird auch zum Lösen von Gleichungen angewendet; zum Beispiel, Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Inspektion zu finden, bedeutet, sie zu „bemerken“ oder sie mental zu überprüfen. ‘Durch Inspektion’ kann eine Art spielen Gestalt Rolle: Die Antwort oder Lösung rastet einfach ein.
durch Einschüchterung
Beweisstil, bei dem Behauptungen, die der Autor für leicht überprüfbar hält, als „offensichtlich“ oder „trivial“ gekennzeichnet werden, was oft zu einer Verwirrung des Lesers führt.
klar, kann leicht gezeigt werden
Ein Begriff, der Berechnungen abkürzt, die der Mathematiker als mühsam oder routinemäßig empfindet und für jeden Zuhörer mit dem erforderlichen Fachwissen auf diesem Gebiet zugänglich ist; Laplace gebraucht offensichtlich(Französisch: offensichtlich).
vollständige Intuition
allgemein für Witze reserviert (Wortspiele auf vollständiger Induktion).
Diagrammverfolgung
[4] Wenn man bei einem kommutativen Diagramm von Objekten und Morphismen zwischen ihnen eine Eigenschaft der Morphismen (z das Diagramm als sukzessive Morphismen darauf angewendet werden. Das heißt, eins VerfolgungsjagdenElemente um das Diagramm herum, oder macht a Diagrammverfolgung.
winken
Eine Nicht-Beweistechnik, die hauptsächlich in Vorlesungen verwendet wird, wo formale Argumente nicht unbedingt erforderlich sind. Es geht durch das Weglassen von Details oder gar wesentlichen Bestandteilen und ist lediglich ein Plausibilitätsargument.
im Allgemeinen
In einem Kontext, der keine Strenge erfordert, erscheint dieser Ausdruck oft als arbeitssparendes Mittel, wenn die technischen Details einer vollständigen Argumentation die konzeptionellen Vorteile überwiegen würden. Der Autor führt in einem hinreichend einfachen Fall einen Beweis an, dass die Berechnungen vernünftig sind, und weist dann darauf hin, dass der Beweis “im Allgemeinen” ähnlich ist.
Indexkampf
für Beweise mit Objekten mit mehreren Indizes, die durch nach unten gehen gelöst werden können (wenn sich jemand die Mühe machen möchte). Ähnlich wie bei der Diagrammverfolgung.
trivial
Ähnlich zu deutlich. Ein Konzept ist trivial, wenn es per Definition gilt, eine unmittelbare Folge einer bekannten Aussage ist oder ein einfacher Spezialfall eines allgemeineren Konzepts ist.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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