Dynkin-Diagramm – Wikipedia

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Bildliche Darstellung der Symmetrie

Im mathematischen Gebiet der Lügentheorie, a Dynkin-Diagramm, benannt nach Eugene Dynkin, ist eine Art von Graph, bei dem einige Kanten verdoppelt oder verdreifacht sind (als Doppel- oder Dreifachlinie gezeichnet). Dynkin-Diagramme entstehen bei der Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern, bei der Klassifikation von Weyl-Gruppen und anderen endlichen Reflexionsgruppen und in anderen Zusammenhängen. Verschiedene Eigenschaften des Dynkin-Diagramms (z. B. ob es mehrere Kanten enthält oder seine Symmetrien) entsprechen wichtigen Merkmalen der zugehörigen Lie-Algebra.

Affine (erweiterte) Dynkin-Diagramme

Der Begriff “Dynkin-Diagramm” kann mehrdeutig sein. In einigen Fällen wird angenommen, dass Dynkin-Diagramme gerichtet sind, in welchem ​​Fall sie Wurzelsystemen und halbeinfachen Lie-Algebren entsprechen, während sie in anderen Fällen als ungerichtet angenommen werden, in welchem ​​Fall sie Weyl-Gruppen entsprechen. In diesem Artikel, “Dynkin-Diagramm” meint gerichtet Dynkin-Diagramm und ungerichtet Dynkin-Diagramme werden explizit so benannt.

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren[edit]

Das grundlegende Interesse an Dynkin-Diagrammen besteht darin, dass sie halbeinfache Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern klassifizieren. Man klassifiziert solche Lie-Algebren über ihr Wurzelsystem, das durch ein Dynkin-Diagramm dargestellt werden kann. Dann klassifiziert man Dynkin-Diagramme gemäß den Bedingungen, die sie erfüllen müssen, wie unten beschrieben.

Das Fallenlassen der Richtung an den Graphenkanten entspricht dem Ersetzen eines Wurzelsystems durch die endliche Reflexionsgruppe, die es erzeugt, die sogenannte Weyl-Gruppe, und somit klassifizieren ungerichtete Dynkin-Diagramme Weyl-Gruppen.

Sie haben die folgende Entsprechung für die Lie-Algebren, die klassischen Gruppen über den komplexen Zahlen zugeordnet sind:

Bei den Ausnahmegruppen stimmen die Namen für die Lie-Algebra und das zugehörige Dynkin-Diagramm überein.

Verwandte Klassifikationen[edit]

Dynkin-Diagramme können so interpretiert werden, dass sie viele verschiedene, verwandte Objekte klassifizieren, und die Notation “EINn, Bn, …” wird verwendet, um sich auf zu beziehen alle solche Interpretationen, je nach Kontext; diese Mehrdeutigkeit kann verwirrend sein.

Die zentrale Klassifikation ist, dass eine einfache Lie-Algebra ein Wurzelsystem besitzt, dem ein (orientiertes) Dynkin-Diagramm zugeordnet ist; alle drei können als B bezeichnet werdenn, zum Beispiel.

Die unDas orientierte Dynkin-Diagramm ist eine Form des Coxeter-Diagramms und entspricht der Weyl-Gruppe, der endlichen Reflexionsgruppe, die dem Wurzelsystem zugeordnet ist. Also Bn kann sich auf das unorientierte Diagramm (eine spezielle Art des Coxeter-Diagramms), die Weyl-Gruppe (eine konkrete Reflexionsgruppe) oder die abstrakte Coxeter-Gruppe beziehen.

Obwohl die Weyl-Gruppe abstrakt isomorph zur Coxeter-Gruppe ist, hängt ein spezifischer Isomorphismus von einer geordneten Wahl einfacher Wurzeln ab. Ebenso ist die Dynkin-Diagrammnotation standardisiert, die Coxeter-Diagramm- und Gruppennotation variiert und stimmt manchmal mit der Dynkin-Diagrammnotation überein und manchmal nicht.[citation needed]

Zuletzt, manchmal auf verknüpfte Objekte wird mit derselben Notation Bezug genommen, obwohl dies nicht immer regelmäßig möglich ist. Beispiele beinhalten:

  • Das vom Wurzelsystem erzeugte Wurzelgitter, wie im E8 Gitter. Dies ist natürlich definiert, aber nicht eins zu eins – zum Beispiel A2 und G2 beide erzeugen das hexagonale Gitter.
  • Ein assoziiertes Polytop – zum Beispiel Gosset 421 Polytop kann bezeichnet werden als “die E8 polytop”, da seine Eckpunkte aus dem E8 Wurzelsystem und es hat das E8 Coxeter-Gruppe als Symmetriegruppe.
  • Eine zugehörige quadratische Form oder Mannigfaltigkeit – zum Beispiel die E8 Mannigfaltigkeit hat Schnittform gegeben durch die E8 Gitter.

Diese letzteren Notationen werden hauptsächlich für Objekte verwendet, die mit außergewöhnlichen Diagrammen verbunden sind – Objekte, die den regulären Diagrammen (A, B, C, D) zugeordnet sind, haben stattdessen traditionelle Namen.

Der Index (der n) entspricht der Anzahl der Knoten im Diagramm, der Anzahl der einfachen Wurzeln in einer Basis, der Dimension des Wurzelgitters und der Spanne des Wurzelsystems, der Anzahl der Generatoren der Coxeter-Gruppe und dem Rang der Lie-Algebra. Jedoch, n nicht der Dimension des definierenden Moduls (einer fundamentalen Darstellung) der Lie-Algebra entspricht – der Index des Dynkin-Diagramms sollte nicht mit dem Index der Lie-Algebra verwechselt werden. Zum Beispiel,

B4{displaystyle B_{4}}

entspricht

SÖ24+1=SÖ9,{displaystyle {mathfrak {so}}_{2cdot 4+1}={mathfrak {so}}_{9},}

die natürlich im 9-dimensionalen Raum wirkt, aber als Lie-Algebra Rang 4 hat.

Die einfach geschnürten Dynkin-Diagramme, also die ohne Mehrfachkanten (A, D, E), klassifizieren viele weitere mathematische Objekte; siehe Diskussion bei ADE-Klassifizierung.

Beispiel:

Die

Zum Beispiel das Symbol

EIN2{displaystyle A_{2}}

kann sich beziehen auf:

Aufbau aus Wurzelsystemen[edit]

Betrachten Sie ein Wurzelsystem, von dem angenommen wird, dass es reduziert und ganzzahlig ist (oder “kristallographisch”). In vielen Anwendungen entsteht dieses Wurzelsystem aus einer halbeinfachen Lie-Algebra. Lassen

Δ{displaystyle Delta}

eine Menge positiver einfacher Wurzeln sein. Wir konstruieren dann ein Diagramm aus

Δ{displaystyle Delta}

wie folgt.[1] Bilde einen Graphen mit einer Ecke für jedes Element von

Δ{displaystyle Delta}

. Fügen Sie dann Kanten zwischen jedem Scheitelpunktpaar gemäß dem folgenden Rezept ein. Wenn die den beiden Scheitelpunkten entsprechenden Wurzeln orthogonal sind, gibt es keine Kante zwischen den Scheitelpunkten. Wenn der Winkel zwischen den beiden Wurzeln 120 Grad beträgt, legen wir eine Kante zwischen die Scheitelpunkte. Wenn der Winkel 135 Grad beträgt, setzen wir zwei Kanten, und wenn der Winkel 150 Grad beträgt, setzen wir drei Kanten. (Diese vier Fälle schöpfen alle möglichen Winkel zwischen Paaren positiver einfacher Nullstellen aus.[2]) Schließlich, wenn es irgendwelche Kanten zwischen einem gegebenen Knotenpaar gibt, dekorieren wir sie mit einem Pfeil, der von der Ecke, die der längeren Wurzel entspricht, zu der Ecke zeigt, die der kürzeren entspricht. (Der Pfeil wird weggelassen, wenn die Wurzeln die gleiche Länge haben.) Betrachten Sie den Pfeil als a “größer als” Zeichen macht deutlich, in welche Richtung der Pfeil gehen soll. Dynkin-Diagramme führen zu einer Klassifizierung von Wurzelsystemen. Die Winkel und Längenverhältnisse zwischen den Wurzeln hängen zusammen.[3] Somit können die Kanten für nicht orthogonale Wurzeln alternativ als eine Kante für ein Längenverhältnis von 1 beschrieben werden, zwei Kanten für ein Längenverhältnis von

2{displaystyle {sqrt {2}}}

, und drei Kanten für ein Längenverhältnis von

3{displaystyle {sqrt {3}}}

. (Es gibt keine Kanten, wenn die Wurzeln orthogonal sind, unabhängig vom Längenverhältnis.)

In dem

EIN2{displaystyle A_{2}}

Wurzelsystem, rechts dargestellt, die Wurzeln beschriftet

α{displaystylealpha}

und

β{displaystyle beta}

eine Basis bilden. Da diese beiden Wurzeln einen Winkel von 120 Grad haben (mit einem Längenverhältnis von 1), besteht das Dynkin-Diagramm aus zwei Knoten, die durch eine einzelne Kante verbunden sind: Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png.

Einschränkungen[edit]

Dynkin-Diagramme müssen bestimmte Bedingungen erfüllen; diese sind im Wesentlichen diejenigen, die von endlichen Coxeter-Dynkin-Diagrammen erfüllt werden, zusammen mit einer zusätzlichen kristallographischen Einschränkung.

Verbindung mit Coxeter-Diagrammen[edit]

Dynkin-Diagramme sind eng mit Coxeter-Diagrammen endlicher Coxeter-Gruppen verwandt, und die Terminologie wird oft verschmolzen.[note 1]

Dynkin-Diagramme unterscheiden sich von Coxeter-Diagrammen endlicher Gruppen in zwei wichtigen Punkten:

Teilweise Regie
Dynkin-Diagramme sind teilweise gerichtet – beliebige Mehrfachkante (in Coxeter-Begriffen bezeichnet mit “4” oder darüber) hat eine Richtung (einen Pfeil, der von einem Knoten zum anderen zeigt); somit haben Dynkin-Diagramme mehr Daten als das zugrunde liegende Coxeter-Diagramm (ungerichteter Graph).
Auf der Ebene der Wurzelsysteme entspricht die Richtung dem Zeigen auf den kürzeren Vektor; Kanten beschriftet “3” haben keine Richtung, da die entsprechenden Vektoren gleich lang sein müssen. (Achtung: Einige Autoren kehren diese Konvention um, wobei der Pfeil auf den längeren Vektor zeigt.)
Kristallographische Einschränkung
Dynkin-Diagramme müssen eine zusätzliche Einschränkung erfüllen, nämlich dass die einzigen zulässigen Kantenbeschriftungen 2, 3, 4 und 6 sind, eine Einschränkung, die Coxeter-Diagramme nicht teilen, sodass nicht jedes Coxeter-Diagramm einer endlichen Gruppe aus einem Dynkin-Diagramm stammt.
Auf der Ebene der Wurzelsysteme entspricht dies dem kristallographischen Restriktionssatz, da die Wurzeln ein Gitter bilden.

Ein weiterer, nur stilistischer Unterschied besteht darin, dass Dynkin-Diagramme konventionell mit Doppel- oder Dreifachkanten zwischen den Knoten gezeichnet werden (für P = 4, 6), anstatt einer mit beschrifteten Kante “P“.

Der Begriff “Dynkin-Diagramm” bezieht sich manchmal auf die gerichtet Grafik, manchmal zum ungerichtet Graph. Für Präzision, in diesem Artikel “Dynkin-Diagramm” bedeutet gerichtet, und der zugrundeliegende ungerichtete Graph heißt an “ungerichtetes Dynkin-Diagramm”. Dann können Dynkin-Diagramme und Coxeter-Diagramme wie folgt zusammenhängen:

kristallographisch Punktgruppe
gerichtet Dynkin-Diagramme
ungerichtet ungerichtete Dynkin-Diagramme Coxeter-Diagramme endlicher Gruppen

Damit ist gemeint, dass Coxeter-Diagramme endlicher Gruppen durch Reflexionen erzeugten Punktgruppen entsprechen, während Dynkin-Diagramme eine zusätzliche Einschränkung entsprechend dem kristallographischen Restriktionssatz erfüllen müssen und dass Coxeter-Diagramme ungerichtet sind, während Dynkin-Diagramme (teilweise) gerichtet sind.

Die entsprechenden mathematischen Objekte, die durch die Diagramme klassifiziert werden, sind:

Die Leerstelle oben rechts, die gerichteten Graphen mit zugrundeliegendem ungerichteten Graphen jedem Coxeter-Diagramm (einer endlichen Gruppe) entspricht, kann formal definiert werden, wird aber wenig diskutiert und scheint keine einfache Interpretation in Bezug auf mathematische Objekte zuzulassen von Interesse.

Es gibt natürliche Karten nach unten – von Dynkin-Diagrammen bis hin zu ungerichteten Dynkin-Diagrammen; jeweils von Wurzelsystemen zu den zugehörigen Weyl-Gruppen – und rechts – von ungerichteten Dynkin-Diagrammen zu Coxeter-Diagrammen; jeweils von Weyl-Gruppen zu endlichen Coxeter-Gruppen.

Die Down-Map ist auf (per Definition), aber nicht eins-zu-eins, da die Bn und Cn Diagramme bilden dasselbe ungerichtete Diagramm ab, wobei das resultierende Coxeter-Diagramm und die Weyl-Gruppe daher manchmal bezeichnet werden BCn.

Die rechte Abbildung ist einfach eine Inklusion – ungerichtete Dynkin-Diagramme sind Sonderfälle von Coxeter-Diagrammen und Weyl-Gruppen sind Sonderfälle von endlichen Coxeter-Gruppen – und ist nicht auf, da nicht jedes Coxeter-Diagramm ein ungerichtetes Dynkin-Diagramm ist (die verpassten Diagramme sind h3, h4 und ich2(P) zum P = 5 P ≥ 7) und dementsprechend ist nicht jede endliche Coxeter-Gruppe eine Weyl-Gruppe.

Isomorphismen[edit]

Dynkin-Diagramme sind konventionell nummeriert, damit die Liste nicht redundant ist:

n1{displaystyle ngeq 1}

zum

EINn,{displaystyle A_{n},}

n2{displaystyle ngeq 2}

zum

Bn,{displaystyle B_{n},}

n3{displaystyle ngeq 3}

zum

Cn,{displaystyle C_{n},}

n4{displaystyle ngeq 4}

zum

Dn,{displaystyle D_{n},}

und

En{displaystyle E_{n}}

beginnt um

n=6.{displaystyle n=6.}

Die Familien können jedoch für niedrigere . definiert werden n, Dies ergibt außergewöhnliche Isomorphismen von Diagrammen und entsprechende außergewöhnliche Isomorphismen von Lie-Algebren und zugehörigen Lie-Gruppen.

Trivialerweise kann man die Familien um

n=0{displaystyle n=0}

oder

n=1,{displaystyle n=1,}

die dann alle isomorph sind, da es ein eindeutiges leeres Diagramm und ein eindeutiges 1-Knoten-Diagramm gibt. Die anderen Isomorphismen zusammenhängender Dynkin-Diagramme sind:

Diese Isomorphismen entsprechen Isomorphismen einfacher und semieinfacher Lie-Algebren, die auch bestimmten Isomorphismen von Lie-Gruppenformen dieser entsprechen. Sie fügen dem E . auch Kontext hinzun Familie.[4]

Automorphismen[edit]

Das symmetrischste Dynkin-Diagramm ist D4, was zur Trialität führt.

Neben Isomorphismen zwischen verschiedenen Diagrammen haben einige Diagramme auch Selbstisomorphismen oder “Automorphismen”. Diagrammautomorphismen entsprechen äußeren Automorphismen der Lie-Algebra, dh die äußere Automorphismusgruppe Out = Aut/Inn entspricht der Gruppe der Diagrammautomorphismen.[5][6][7]

Die Diagramme mit nichttrivialen Automorphismen sind An (

n>1{displaystyle n>1}

n>1{displaystyle n>1}

Für einn, der Diagramm-Automorphismus kehrt das Diagramm um, das eine Linie ist. Die Knoten des Diagramms indizieren die Fundamentalgewichte, die (für An-1) sind

ichCn{displaystyle bigwedge^{i}C^{n}}

zum

ich=1,,n{displaystyle i=1,dots,n}

, und der Diagrammautomorphismus entspricht der Dualität

ichCnnichCn.{displaystyle bigwedge^{i}C^{n}mapsto bigwedge^{ni}C^{n}.}

Realisiert als die Lügenalgebra

Sln+1,{displaystyle {mathfrak{sl}}_{n+1},}

der äußere Automorphismus kann als negative Transponierung ausgedrückt werden,

TTT{displaystyle Tmapsto -T^{mathrm {T}}}

, so wirkt die duale Repräsentation.[6]

Für Dn, wechselt der Diagramm-Automorphismus die beiden Knoten am Ende des Y und entspricht dem Wechsel der beiden chiralen Spindarstellungen. Realisiert als die Lügenalgebra

SÖ2n,{displaystyle {mathfrak {so}}_{2n},}

der äußere Automorphismus kann als Konjugation durch eine Matrix in O(2n) mit Determinante −1. Wann n = 3, man hat

D3EIN3,{displaystyle mathrm{D}_{3}congmathrm{A}_{3},}

also stimmen ihre Automorphismen überein, während

D2EIN1×EIN1{displaystyle mathrm {D} _{2}cong mathrm {A} _{1}times mathrm {A} _{1}}

ist getrennt, und der Automorphismus entspricht dem Umschalten der beiden Knoten.

Für D4, ist die Fundamentaldarstellung isomorph zu den beiden Spindarstellungen, und die resultierende symmetrische Gruppe auf drei Buchstaben (S3, oder alternativ die Diedergruppe der Ordnung 6, Dih3) entspricht sowohl Automorphismen der Lie-Algebra als auch Automorphismen des Diagramms.

Die Automorphismusgruppe von E6 entspricht der Umkehrung des Diagramms und kann mit Jordan-Algebren ausgedrückt werden.[6][8]

Getrennte Diagramme, die entsprechen halbeinfache Lie-Algebren, können Automorphismen durch den Austausch von Komponenten des Diagramms haben.

Im Merkmal 2 ist der Pfeil auf F4 kann ignoriert werden, was einen zusätzlichen Diagrammautomorphismus und entsprechende Suzuki-Ree-Gruppen ergibt.

In positiver Eigenschaft gibt es zusätzliche “Diagramm-Automorphismen” – grob gesprochen in charakteristischer Form P man darf manchmal den Pfeil auf Anleihen der Vielheit ignorieren P im Dynkin-Diagramm bei Diagramm-Automorphismen. Somit gibt es in Merkmal 2 einen Automorphismus 2. Ordnung von

B2C2{displaystyle mathrm {B} _{2}cong mathrm {C} _{2}}

und aus4, während in Merkmal 3 ein Automorphismus der Ordnung 2 von G2. Gilt aber nicht unter allen Umständen: Zum Beispiel müssen solche Automorphismen nicht als Automorphismen der entsprechenden algebraischen Gruppe auftreten, sondern auf der Ebene der in einem endlichen Körper bewerteten Punkte.

Konstruktion von Lie-Gruppen über Diagramm-Automorphismen[edit]

Diagrammautomorphismen wiederum ergeben weitere Lie-Gruppen und Gruppen vom Lie-Typ, die bei der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen von zentraler Bedeutung sind.

Die Chevalley-Gruppenkonstruktion von Lie-Gruppen in Bezug auf ihr Dynkin-Diagramm liefert einige der klassischen Gruppen nicht, nämlich die unitären Gruppen und die nicht geteilten orthogonalen Gruppen. Die Steinberg-Gruppen bilden die unitären Gruppen 2EINn, während die anderen orthogonalen Gruppen konstruiert sind als 2Dn, wobei sich dies in beiden Fällen auf die Kombination eines Diagramm-Automorphismus mit einem Feld-Automorphismus bezieht. Dadurch entstehen auch zusätzliche exotische Lie-Gruppen 2E6 und 3D4, letztere nur über Felder mit einem Automorphismus der Ordnung 3 definiert.

Die zusätzlichen Diagrammautomorphismen in positiver Charakteristik ergeben die Suzuki-Ree-Gruppen, 2B2, 2F4, und 2g2.

Falten[edit]

Finite Coxeter-Gruppenfaltungen.

Ein (einfach geschnürtes) Dynkin-Diagramm (endlich oder affin), das eine Symmetrie hat (die eine Bedingung unten erfüllt) kann durch die Symmetrie quotiert werden, was ein neues, im Allgemeinen mehrfach geschnürtes Diagramm ergibt, mit dem Prozess namens falten (da die meisten Symmetrien 2-fach sind). Auf der Ebene der Lie-Algebren entspricht dies der Aufnahme der invarianten Subalgebra unter die äußere Automorphismusgruppe, und der Prozess kann rein wurzelsystembezogen ohne Diagramme definiert werden.[9] Außerdem kann jedes mehrfach geschnürte Diagramm (endlich oder unendlich) durch Falten eines einfach geschnürten Diagramms erhalten werden.[10]

Die eine Bedingung dafür, dass der Automorphismus für die Faltung möglich ist, ist, dass verschiedene Knoten des Graphen in derselben Bahn (unter dem Automorphismus) nicht durch eine Kante verbunden sein dürfen; auf der Ebene der Wurzelsysteme müssen die Wurzeln in derselben Umlaufbahn orthogonal sein.[10] Auf Diagrammebene ist dies notwendig, da sonst das Quotientendiagramm eine Schleife hat, weil zwei Knoten identifiziert werden, aber eine Kante dazwischen liegt, und Schleifen in Dynkin-Diagrammen nicht erlaubt sind.

Die Knoten und Kanten des Quotienten (“gefaltet”) Diagramm sind die Bahnen von Knoten und Kanten des ursprünglichen Diagramms; die Kanten sind einfach, es sei denn, zwei einfallende Kanten werden auf dieselbe Kante abgebildet (insbesondere an Knoten mit einer Valenz größer als 2) – a “Verzweigungspunkt” der Karte, in diesem Fall ist das Gewicht die Anzahl der einfallenden Kanten und die Pfeilpunkte in Richtung der Knoten, an dem sie auftreten – “der Verzweigungspunkt wird auf den inhomogenen Punkt abgebildet”. Zum Beispiel in D4 Falten zu G2, die Kante in G2 Punkte von der Klasse der 3 äußeren Knoten (Wertigkeit 1) bis zur Klasse des zentralen Knotens (Wertigkeit 3).

Die Faltungen endlicher Diagramme sind:[11][note 2]

(Der Automorphismus von A2n ergibt keine Faltung, da die mittleren beiden Knoten durch eine Kante verbunden sind, aber auf derselben Umlaufbahn.)

Ähnliche Faltungen existieren für affine Diagramme, einschließlich:

Der Begriff der Faltung kann auch allgemeiner auf Coxeter-Diagramme angewendet werden[12] – insbesondere kann man zulässige Quotienten von Dynkin-Diagrammen auf H . verallgemeinernn und ich2(P). Geometrisch entspricht dies Projektionen gleichförmiger Polytope. Insbesondere kann jedes einfach geschnürte Dynkin-Diagramm auf I . gefaltet werden2(h), wo h ist die Coxeter-Zahl, die geometrisch der Projektion auf die Coxeter-Ebene entspricht.

Folding kann angewendet werden, um Fragen zu (semisimple) Lie-Algebren auf Fragen zu einfach geschnürten Algebren zu reduzieren, zusammen mit einem Automorphismus, der einfacher sein kann, als mehrfach geschnürte Algebren direkt zu behandeln; dies kann beispielsweise durch die Konstruktion der halbeinfachen Lie-Algebren erfolgen. Sehen Math Overflow: Falten durch Automorphismen zur weiteren Diskussion.

Andere Karten von Diagrammen[edit]

Root-System A2.svg
EIN2 Wurzelsystem
Root-System G2.svg
g2 Wurzelsystem

Einige zusätzliche Karten von Diagrammen haben sinnvolle Interpretationen, wie unten beschrieben. Allerdings entstehen nicht alle Karten von Wurzelsystemen als Karten von Diagrammen.[13]

Zum Beispiel gibt es zwei Einschlüsse von Wurzelsystemen von A2 in G2, entweder als die sechs langen Wurzeln oder die sechs kurzen Wurzeln. Die Knoten im G2 Diagramm einer langen Wurzel und einer kurzen Wurzel entsprechen, während die Knoten im A2 Diagramm entsprechen Wurzeln gleicher Länge, und daher kann diese Karte von Wurzelsystemen nicht als Karte der Diagramme ausgedrückt werden.

Einige Einschlüsse von Wurzelsystemen können so ausgedrückt werden, dass ein Diagramm ein induzierter Untergraph eines anderen ist, d. h “eine Teilmenge der Knoten mit allen Kanten dazwischen”. Dies liegt daran, dass das Eliminieren eines Knotens aus einem Dynkin-Diagramm dem Entfernen einer einfachen Wurzel aus einem Wurzelsystem entspricht, was ein Wurzelsystem des Rangs eins niedriger ergibt. Im Gegensatz dazu entspricht das Entfernen einer Kante (oder das Ändern der Multiplizität einer Kante), während die Knoten unverändert bleiben, einer Änderung der Winkel zwischen den Wurzeln, die nicht ohne Änderung des gesamten Wurzelsystems durchgeführt werden kann. Somit kann man sinnvoll Knoten entfernen, aber keine Kanten. Das Entfernen eines Knotens aus einem verbundenen Diagramm kann ein verbundenes Diagramm (einfache Lie-Algebra) ergeben, wenn der Knoten ein Blatt ist, oder ein nicht verbundenes Diagramm (halbeinfache, aber nicht einfache Lie-Algebra) mit entweder zwei oder drei Komponenten (letzteres für Dn und En). Auf der Ebene der Lie-Algebren entsprechen diese Einschlüsse Sub-Lie-Algebren.

Die maximalen Teilgraphen sind wie folgt; Teilgraphen, die durch einen Diagramm-Automorphismus verbunden sind, werden beschriftet “konjugieren”:

  • EINn+1: EINn, auf 2 konjugierte Arten.
  • Bn+1: EINn, Bn.
  • Cn+1: EINn, Cn.
  • Dn+1: EINn (2 konjugierte Wege), Dn.
  • En+1: EINn, Dn, En.
    • Für E6, zwei davon fallen zusammen:
  • F4: B3, C3.
  • g2: EIN1, auf 2 nicht-konjugierte Arten (als lange Wurzel oder kurze Wurzel).

Schließlich entspricht die Dualität von Diagrammen der Umkehrung der Richtung von Pfeilen, falls vorhanden:[13] Bn und Cn sind dual, während F4, und G2 sind selbst-dual, ebenso wie die einfach geschnürten ADE-Diagramme.

Einfach geschnürt[edit]

Die einfach geschnürten Dynkin-Diagramme klassifizieren verschiedene mathematische Objekte; dies wird als ADE-Klassifizierung bezeichnet.

Ein Dynkin-Diagramm ohne mehrere Kanten heißt einfach geschnürt, ebenso wie die entsprechende Lie-Algebra und die Lie-Gruppe. Dies sind die

EINn,Dn,En{displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}

Diagramme und Phänomene, die solche Diagramme klassifizieren, werden als ADE-Klassifizierung bezeichnet. In diesem Fall stimmen die Dynkin-Diagramme genau mit den Coxeter-Diagrammen überein, da es keine Mehrfachkanten gibt.

Satake-Diagramme[edit]

Dynkin-Diagramme klassifizieren Komplex halbeinfache Lie-Algebren. Reale halbeinfache Lie-Algebren können als reelle Formen komplexer halbeinfacher Lie-Algebren klassifiziert werden, und diese werden durch Satake-Diagramme klassifiziert, die aus dem Dynkin-Diagramm erhalten werden, indem einige Eckpunkte schwarz (gefüllt) markiert und einige andere Eckpunkte paarweise durch Pfeile verbunden werden. nach bestimmten Regeln.

Geschichte[edit]

Dynkin-Diagramme sind nach Eugene Dynkin benannt, der sie in zwei Aufsätzen (1946, 1947) verwendet hat, um die Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren zu vereinfachen;[14] siehe (Dynkin 2000). Als Dynkin 1976 die Sowjetunion verließ, was damals als Hochverrat galt, wurden sowjetische Mathematiker angewiesen, sich auf “Diagramme einfacher Wurzeln” anstatt seinen Namen zu verwenden.[citation needed]

Ungerichtete Graphen wurden früher von Coxeter (1934) verwendet, um Reflexionsgruppen zu klassifizieren, wobei die Knoten einfachen Reflexionen entsprachen; die Graphen wurden dann (mit Längenangabe) von Witt (1941) in Bezug auf Wurzelsysteme verwendet, wobei die Knoten einfachen Wurzeln entsprachen, wie sie heute verwendet werden.[14][15] Dynkin verwendete sie dann 1946 und 1947 und würdigte Coxeter und Witt in seiner Arbeit von 1947.

Konventionen[edit]

Dynkin-Diagramme wurden auf verschiedene Weise gezeichnet;[15] die hier befolgte Konvention ist üblich, mit 180°-Winkeln am Knoten der Valenz 2, 120°-Winkel am Valenz-3-Knoten von Dn, und 90°/90°/180°-Winkel am Valenz-3-Knoten von En, wobei die Multiplizität durch 1, 2 oder 3 parallele Kanten angezeigt wird und die Wurzellänge durch Zeichnen eines Pfeils auf der Kante zur Orientierung angezeigt wird. Neben der Einfachheit besteht ein weiterer Vorteil dieser Konvention darin, dass Diagrammautomorphismen durch euklidische Isometrien der Diagramme realisiert werden.

Alternative Konventionen umfassen das Schreiben einer Zahl am Rand, um die Multiplizität anzuzeigen (üblicherweise in Coxeter-Diagrammen verwendet), das Verdunkeln von Knoten, um die Wurzellänge anzuzeigen, oder die Verwendung von 120°-Winkeln an Valenz-2-Knoten, um die Knoten deutlicher zu machen.

Es gibt auch Konventionen zur Nummerierung der Knoten. Die gängigste moderne Konvention hatte sich in den 1960er Jahren entwickelt und ist in (Bourbaki 1968) illustriert.[15]

Rang 2 Dynkin-Diagramme[edit]

Dynkin-Diagramme sind äquivalent zu verallgemeinerten Cartan-Matrizen, wie in dieser Tabelle der Rang-2-Dynkin-Diagramme mit ihren entsprechenden 2x2 Cartan-Matrizen.

Für Rang 2 lautet die Cartan-Matrixform:

Ein mehrkantiges Diagramm entspricht den nichtdiagonalen Cartan-Matrixelementen -a21, -ein12, mit der Anzahl der gezeichneten Kanten gleich max(-ein21, -ein12) und ein Pfeil, der auf Nichteinheitselemente zeigt.

EIN verallgemeinerte Cartan-Matrix ist eine quadratische Matrix

EIN=(einichJ){displaystyle A=(a_{ij})}

so dass:

  1. Für diagonale Einträge,
  2. Bei nicht diagonalen Einträgen

Die Cartan-Matrix bestimmt, ob die Gruppe aus endlicher Typ (wenn es eine positiv-definite Matrix ist, dh alle Eigenwerte sind positiv), of affiner Typ (wenn er nicht positiv-definit, sondern positiv-semidefinit ist, dh alle Eigenwerte sind nicht-negativ) oder von unbestimmter Typ. Der unbestimmte Typ wird oft weiter unterteilt, zum Beispiel ist eine Coxeter-Gruppe Lorentzian wenn es einen negativen Eigenwert hat und alle anderen Eigenwerte positiv sind. Darüber hinaus verweisen mehrere Quellen auf hyperbolisch Coxeter-Gruppen, es gibt jedoch mehrere nicht äquivalente Definitionen für diesen Begriff. In der folgenden Diskussion sind hyperbolische Coxeter-Gruppen ein Sonderfall von Lorentzian, der eine zusätzliche Bedingung erfüllt. Für Rang 2 entsprechen alle negativen Determinanten-Cartan-Matrizen der hyperbolischen Coxeter-Gruppe. Aber im Allgemeinen sind die meisten negativen Determinantenmatrizen weder hyperbolisch noch lorentzsch.

Endliche Verzweigungen haben (-a21, -ein12)=(1,1), (2,1), (3,1) und affine Zweige (mit einer Null-Determinante) haben (-a21, -ein12) = (2,2) oder (4,1).

Finite Dynkin-Diagramme[edit]

Affine Dynkin-Diagramme[edit]

Es gibt Erweiterungen von Dynkin-Diagrammen, nämlich die affine Dynkin-Diagramme; diese klassifizieren Cartan-Matrizen affiner Lie-Algebren. Diese sind klassifiziert in (Kac 1994, Kapitel 4, S. 47–), speziell aufgeführt auf (Kac 1994, S. 53–55). Affine Diagramme werden bezeichnet als

xl(1),xl(2),{displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}

oder

xl(3),{displaystyle X_{l}^{(3)},}

wo x ist der Buchstabe des entsprechenden endlichen Diagramms, und der Exponent hängt davon ab, in welcher Reihe von affinen Diagrammen sie sich befinden.

xl(1),{displaystyle X_{l}^{(1)},}

sind am häufigsten und heißen erweiterte Dynkin-Diagramme und mit einer Tilde gekennzeichnet und manchmal auch mit a . gekennzeichnet + hochgestellt.[17] wie in

EIN~5=EIN5(1)=EIN5+{displaystyle {tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}

. Die (2)- und (3)-Reihen heißen verdrehte affine Diagramme.

Sehen Dynkin-Diagrammgenerator für Diagramme.

Hier sind alle Dynkin-Graphen für affine Gruppen bis zu 10 Knoten. Erweiterte Dynkin-Graphen werden als ~ Familien, die gleichen wie die endlichen Graphen oben, mit einem hinzugefügten Knoten. Andere Variationen des gerichteten Graphen werden mit einem hochgestellten Wert (2) oder (3) angegeben, die Faltungen von Gruppen höherer Ordnung darstellen. Diese sind kategorisiert als Verdreht affin Diagramme.[18]

Hyperbolische und höhere Dynkin-Diagramme[edit]

Die Menge der kompakten und nicht kompakten hyperbolischen Dynkin-Graphen wurde aufgezählt.[19] Alle hyperbolischen Graphen vom Rang 3 sind kompakt. Kompakte hyperbolische Dynkin-Diagramme existieren bis Rang 5 und nicht-kompakte hyperbolische Graphen bis Rang 10.

Zusammenfassung
Rang Kompakt Nicht kompakt Gesamt
3 31 93 123
4 3 50 53
5 1 21 22
6 0 22 22
7 0 4 4
8 0 5 5
9 0 5 5
10 0 4 4

Kompakte hyperbolische Dynkin-Diagramme[edit]

Nicht kompakt (überdehnte Formen)[edit]

Einige in der theoretischen Physik verwendete Notationen, wie die M-Theorie, verwenden a “+” hochgestellt für erweiterte Gruppen statt a “~” und dies ermöglicht die Definition von Gruppen mit höheren Nebenstellen.

  1. Erweitert Dynkin-Diagramme (affin) sind gegeben “+” und repräsentieren einen hinzugefügten Knoten. (Gleich wie “~”)
  2. Überdehnt Dynkin-Diagramme (hyperbolisch) sind angegeben “^” oder “++” und repräsentieren zwei hinzugefügte Knoten.
  3. Sehr ausgedehnt Dynkin-Diagramme mit 3 hinzugefügten Knoten sind gegeben “+++”.

238 Hyperbolische Gruppen (kompakt und nicht kompakt)[edit]

Die 238 hyperbolischen Gruppen (kompakt und nicht kompakt) des Ranges

n3{displaystyle ngeq 3}

heißen wie

hich(n){displaystyle H_{i}^{(n)}}

und aufgeführt als

ich=1,2,3…{displaystyle i=1,2,3…}

für jeden Rang.

Sehr ausgedehnt[edit]

Sehr erweiterte Gruppen sind Lorentz-Gruppen, die durch Hinzufügen von drei Knoten zu den endlichen Gruppen definiert werden. Die E8, E7, E6, F4, und G2 bieten sechs Serien an, die als sehr ausgedehnte Gruppen enden. Andere nicht gezeigte erweiterte Reihen können aus A . definiert werdenn, Bn, Cn, und Dn, als unterschiedliche Serien für jeden n. Die Determinante der zugehörigen Cartan-Matrix bestimmt, wo sich die Reihe von endlich (positiv) zu affin (null) zu einer nicht kompakten hyperbolischen Gruppe (negativ) ändert und als Lorentz-Gruppe endet, die mit einer zeitähnlichen Dimension definiert werden kann , und wird in der M-Theorie verwendet.[20]

Siehe auch[edit]

  1. ^ In diesem Abschnitt bezeichnen wir die allgemeine Klasse als “Coxeter-Diagramme” eher, als “Coxeter-Dynkin-Diagramme” aus Gründen der Übersichtlichkeit, da ein großes Potenzial für Verwirrung und Prägnanz besteht.
  2. ^ Beachten Sie, dass Stekloshchik eine Pfeilkonvention verwendet, die der in diesem Artikel entgegengesetzt ist.

Zitate[edit]

  1. ^ Halle 2015 Sektion 8.6
  2. ^ Halle 2015 Vorschläge 8.6 und 8.13
  3. ^ Halle 2015 Vorschlag 8.6
  4. ^ Baez, John (13. April 1998), Die Funde dieser Woche in der mathematischen Physik (Woche 119)
  5. ^ Fulton & Harris 1991, Proposition D.40
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Verweise[edit]

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  • Knapp, Anthony W. (2002), Lügengruppen jenseits einer Einführung (2. Aufl.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4
  • Stekolschtschik, R. (2008), Hinweise zu Coxeter-Transformationen und der McKay-Korrespondenz, Springer-Monographien in Mathematik, arXiv:mathe/0510216, doi:10.1007/978-3-540-77399-3, ISBN 978-3-540-77398-6

Externe Links[edit]


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