[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/30\/kommutative-eigenschaft-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/30\/kommutative-eigenschaft-wikipedia\/","headline":"Kommutative Eigenschaft \u2013 Wikipedia","name":"Kommutative Eigenschaft \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 Eigenschaft, mit der die Reihenfolge der Operanden einer Operation ge\u00e4ndert werden kann after-content-x4 In der Mathematik ist eine bin\u00e4re","datePublished":"2021-11-30","dateModified":"2021-11-30","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/1\/17\/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg\/220px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/1\/17\/Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg\/220px-Commutativity_of_binary_operations_%28without_question_mark%29.svg.png","height":"126","width":"220"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/30\/kommutative-eigenschaft-wikipedia\/","wordCount":11591,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Eigenschaft, mit der die Reihenfolge der Operanden einer Operation ge\u00e4ndert werden kann         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In der Mathematik ist eine bin\u00e4re Operation kommutativ wenn das \u00c4ndern der Reihenfolge der Operanden das Ergebnis nicht \u00e4ndert.  Es ist eine grundlegende Eigenschaft vieler bin\u00e4rer Operationen, und viele mathematische Beweise h\u00e4ngen davon ab.  Am bekanntesten ist der Name der Immobilie, der so etwas sagt wie “3 + 4 = 4 + 3” oder “2 \u00d7 5 = 5 \u00d7 2”, kann die Eigenschaft auch in erweiterten Einstellungen verwendet werden.  Der Name wird ben\u00f6tigt, weil es Operationen wie Division und Subtraktion gibt, die ihn nicht haben (z. “3 \u2212 5 \u2260 5 \u2212 3”);  solche Operationen sind nicht kommutativ und werden daher als bezeichnet nichtkommutative Operationen.  Die Idee, dass einfache Operationen wie die Multiplikation und Addition von Zahlen kommutativ sind, wurde viele Jahre implizit angenommen.  Daher wurde diese Eigenschaft erst im 19. Jahrhundert benannt, als die Mathematik begann, sich zu formalisieren.[1][2]  F\u00fcr bin\u00e4re Relationen existiert eine entsprechende Eigenschaft;  eine bin\u00e4re Relation wird als symmetrisch bezeichnet, wenn die Relation unabh\u00e4ngig von der Reihenfolge ihrer Operanden gilt;  Gleichheit ist beispielsweise symmetrisch, da zwei gleiche mathematische Objekte unabh\u00e4ngig von ihrer Reihenfolge gleich sind.[3]Table of ContentsH\u00e4ufige Verwendungen[edit]Mathematische Definitionen[edit]Beispiele[edit]Kommutativer Betrieb im Alltag[edit]Kommutative Operationen in der Mathematik[edit]Nichtkommutativer Betrieb im t\u00e4glichen Leben[edit]Nichtkommutative Operationen in der Mathematik[edit]Division, Subtraktion und Potenzierung[edit]Wahrheitsfunktionen[edit]Funktionszusammenstellung linearer Funktionen[edit]Matrix-Multiplikation[edit]Vektorprodukt[edit]Geschichte und Etymologie[edit]Aussagelogik[edit]Ersetzungsregel[edit]Wahre funktionale Konnektoren[edit]Mengenlehre[edit]Mathematische Strukturen und Kommutativit\u00e4t[edit]Verwandte Eigenschaften[edit]Assoziativit\u00e4t[edit]Verteilend[edit]Symmetrie[edit]Nicht-kommutierende Operatoren in der Quantenmechanik[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]B\u00fccher[edit]Artikel[edit]Internetquellen[edit]H\u00e4ufige Verwendungen[edit]Die Kommutativgesetz (oder Kommutativgesetz) ist eine Eigenschaft, die im Allgemeinen mit bin\u00e4ren Operationen und Funktionen verbunden ist.  Wenn die Kommutativeigenschaft f\u00fcr ein Paar von Elementen unter einer bestimmten bin\u00e4ren Operation gilt, dann hei\u00dfen die beiden Elemente pendeln unter dieser Operation.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Mathematische Definitionen[edit]Eine bin\u00e4re Operation *{displaystyle*}  am Set S wird genannt kommutativ wenn[4][5]x*ja=ja*xf\u00fcr alle x,ja\u2208S.{displaystyle x*y=y*xqquad {mbox{f\u00fcr alle }}x,yin S.}Eine Operation, die die obige Eigenschaft nicht erf\u00fcllt, hei\u00dft nicht kommutativ.Das sagt einer x pendelt mit ja  oder das x und ja pendeln unter        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4*{displaystyle*}  wennx*ja=ja*x.{displaystyle x*y=y*x.}Mit anderen Worten, eine Operation ist kommutativ, wenn jedes Elementpaar kommutiert.Eine bin\u00e4re Funktion F:EIN\u00d7EIN\u2192B{displaystyle fcolon Atimes Ato B}  hei\u00dft manchmal kommutativ wennF(x,ja)=F(ja,x)f\u00fcr alle x,ja\u2208EIN.{displaystyle f(x,y)=f(y,x)qquad {mbox{f\u00fcr alle}}x,yin A.}  Eine solche Funktion wird h\u00e4ufiger als symmetrische Funktion bezeichnet.Beispiele[edit]Kommutativer Betrieb im Alltag[edit]  Die Kumulierung von \u00c4pfeln, die als Addition nat\u00fcrlicher Zahlen angesehen werden kann, ist kommutativ.Das Anziehen von Socken \u00e4hnelt einer kommutativen Operation, da es unwichtig ist, welche Socke zuerst angezogen wird.  In jedem Fall ist das Ergebnis (mit beiden Socken an) das gleiche.  Im Gegensatz dazu ist das Anziehen von Unterw\u00e4sche und Hosen nicht kommutativ.Die Kommutativit\u00e4t der Addition wird beim Bezahlen eines Artikels mit Bargeld beachtet.  Unabh\u00e4ngig von der Reihenfolge, in der die Rechnungen \u00fcbergeben werden, ergeben sie immer die gleiche Summe.Kommutative Operationen in der Mathematik[edit]  Die Addition von Vektoren ist kommutativ, weil ein\u2192+B\u2192=B\u2192+ein\u2192{displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}={vec {b}}+{vec {a}}}.Zwei bekannte Beispiele f\u00fcr kommutative bin\u00e4re Operationen:[4]Die Addition reeller Zahlen ist kommutativ, daja+z=z+jaf\u00fcr alle ja,z\u2208R{displaystyle y+z=z+yqquad {mbox{f\u00fcr alle}}y,zinmathbb{R}}  Zum Beispiel 4 + 5 = 5 + 4, da beide Ausdr\u00fccke gleich 9 sind.Die Multiplikation reeller Zahlen ist kommutativ, dajaz=zjaf\u00fcr alle ja,z\u2208R{displaystyle yz=zyqquad {mbox{f\u00fcr alle }}y,zinmathbb{R}}Zum Beispiel 3 \u00d7 5 = 5 \u00d7 3, da beide Ausdr\u00fccke gleich 15 sind.Als direkte Folge davon gilt auch, dass Ausdr\u00fccke der Form y% von z und z% von y f\u00fcr alle reellen Zahlen y und z kommutativ sind.[6]  Zum Beispiel 64 % von 50 = 50 % von 64, da beide Ausdr\u00fccke gleich 32 sind, und 30 % von 50 % = 50 % von 30 %, da beide Ausdr\u00fccke gleich 15 % sind.  Einige bin\u00e4re Wahrheitsfunktionen sind auch kommutativ, da die Wahrheitstabellen f\u00fcr die Funktionen gleich sind, wenn man die Reihenfolge der Operanden \u00e4ndert. Zum Beispiel ist die logische bikonditionale Funktion p q \u00e4quivalent zu q p.  Diese Funktion wird auch als p IFF q oder als p \u2261 q oder als E . geschriebenpq. Die letzte Form ist ein Beispiel f\u00fcr die pr\u00e4gnanteste Schreibweise im Artikel \u00fcber Wahrheitsfunktionen, der die sechzehn m\u00f6glichen bin\u00e4ren Wahrheitsfunktionen auflistet, von denen acht kommutativ sind: Vpq = Vqp;  EINpq (ODER) = Aqp;  Dpq (NAND) = Dqp;  Epq (IFF) = Eqp;  Jpq = Jqp;  Kpq (UND) = Kqp;  xpq (NOR) = Xqp;  \u00d6pq = Oqp.Weitere Beispiele f\u00fcr kommutative Bin\u00e4roperationen sind die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen, die Addition und Skalarmultiplikation von Vektoren sowie die Schnittmenge und Vereinigung von Mengen.Nichtkommutativer Betrieb im t\u00e4glichen Leben[edit]Die Verkettung, das Zusammenf\u00fcgen von Zeichenfolgen, ist ein nicht kommutativer Vorgang.  Zum Beispiel,EA + T = ESSEN TEA = T + EADas Waschen und Trocknen von Kleidung \u00e4hnelt einem nicht kommutativen Vorgang;  Waschen und anschlie\u00dfendes Trocknen ergibt ein deutlich anderes Ergebnis als Trocknen und anschlie\u00dfendes Waschen.Das Drehen eines Buches um 90\u00b0 um eine vertikale Achse und dann um 90\u00b0 um eine horizontale Achse erzeugt eine andere Ausrichtung als wenn die Rotationen in umgekehrter Reihenfolge ausgef\u00fchrt werden.Die Z\u00fcge eines Kombinationsr\u00e4tsels (wie zum Beispiel die Drehungen eines Zauberw\u00fcrfels) sind nicht kommutativ.  Dies kann mit Hilfe der Gruppentheorie untersucht werden.Denkprozesse sind nicht kommutativ: Eine Person, die eine Frage (A) und dann eine Frage (B) gestellt hat, kann auf jede Frage andere Antworten geben als eine Person, die zuerst (B) und dann (A) gestellt hat, weil das Stellen einer Frage den Zustand der Person \u00e4ndern kann des Geistes.Der Akt des Ankleidens ist je nach Artikel entweder kommutativ oder nicht kommutativ.  Das Anziehen von Unterw\u00e4sche und normaler Kleidung ist nicht kommutativ.  Das Anziehen von linken und rechten Socken ist kommutativ.Das Mischen eines Kartenspiels ist nicht kommutativ.  Bei zwei M\u00f6glichkeiten, A und B, ein Kartenspiel zu mischen, ist es im Allgemeinen nicht dasselbe, zuerst A und dann B zu tun, als zuerst B und dann A zu tun.Nichtkommutative Operationen in der Mathematik[edit]Einige nichtkommutative bin\u00e4re Operationen:[7]Division, Subtraktion und Potenzierung[edit]Division ist nichtkommutativ, da 1\u00f72\u22602\u00f71{displaystyle 1div 2neq 2div 1}.Die Subtraktion ist nichtkommutativ, da 0\u22121\u22601\u22120{displaystyle 0-1neq 1-0}.  Es wird jedoch genauer als antikommutativ klassifiziert, da 0\u22121=\u2212(1\u22120){displaystyle 0-1=-(1-0)}.Die Exponentiation ist nichtkommutativ, da 23\u226032{displaystyle 2^{3}neq 3^{2}}.Wahrheitsfunktionen[edit]Einige Wahrheitsfunktionen sind nicht kommutativ, da die Wahrheitstabellen f\u00fcr die Funktionen unterschiedlich sind, wenn man die Reihenfolge der Operanden \u00e4ndert.  Zum Beispiel die Wahrheitstabellen f\u00fcr (A \u21d2 B) = (\u00acA \u2228 B)  und (B A) = (A \u2228 \u00acB) sind EIN B A \u21d2 B B \u21d2 A  F  F  T  T  F  T  T  F  T  F  F  T  T  T  T  TFunktionszusammenstellung linearer Funktionen[edit]Die Funktionszusammensetzung linearer Funktionen von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen ist fast immer nichtkommutativ.  Lassen Sie zum Beispiel F(x)=2x+1{displaystyle f(x)=2x+1}  und g(x)=3x+7{displaystyle g(x)=3x+7}.  Dann(F\u2218g)(x)=F(g(x))=2(3x+7)+1=6x+f\u00fcnfzehn{displaystyle (fcirc g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}und(g\u2218F)(x)=g(F(x))=3(2x+1)+7=6x+10{displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}Dies gilt auch allgemeiner f\u00fcr lineare und affine Transformationen von einem Vektorraum zu sich selbst (siehe unten f\u00fcr die Matrixdarstellung).Matrix-Multiplikation[edit]Die Matrixmultiplikation quadratischer Matrizen ist fast immer nichtkommutativ, zum Beispiel:[0201]=[1101][0101]\u2260[0101][1101]=[0101]{displaystyle {begin{bmatrix}0&2\\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&1\\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}0&1\\0&1end{bmatrix }}neq {begin{bmatrix}0&1\\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&1\\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\\0&1end{ bmatrix}}}Vektorprodukt[edit]Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) zweier Vektoren in drei Dimensionen ist antikommutativ;  dh, B \u00d7 ein = \u2212(ein \u00d7 B).Geschichte und Etymologie[edit]  Die erste bekannte Verwendung des Begriffs war in einem franz\u00f6sischen Journal, das 1814 ver\u00f6ffentlicht wurdeAufzeichnungen \u00fcber die implizite Verwendung der Kommutativeigenschaft reichen bis in die Antike zur\u00fcck.  Die \u00c4gypter nutzten die Kommutativeigenschaft der Multiplikation, um Computerprodukte zu vereinfachen.[8][9]Es ist bekannt, dass Euklid in seinem Buch die Kommutativeigenschaft der Multiplikation angenommen hat Elemente.[10]    Formale Verwendungen der Kommutativeigenschaft entstanden im sp\u00e4ten 18. und fr\u00fchen 19. Jahrhundert, als Mathematiker begannen, an einer Funktionentheorie zu arbeiten.  Heute ist die Kommutativeigenschaft eine bekannte und grundlegende Eigenschaft, die in den meisten Zweigen der Mathematik verwendet wird.Die erste aufgezeichnete Verwendung des Begriffs kommutativ war in einer Erinnerung von Fran\u00e7ois Servois im Jahr 1814,[1][11]  der das Wort benutzte Kommutative bei der Beschreibung von Funktionen, die die sogenannte Kommutativeigenschaft haben.  Das Wort ist eine Kombination aus dem franz\u00f6sischen Wort Pendler Bedeutung “ersetzen oder wechseln” und das Suffix -ativ bedeutet “neigend zu”, also bedeutet das Wort w\u00f6rtlich “neigend dazu, zu ersetzen oder zu wechseln”.  Der Begriff erschien dann 1838 auf Englisch[2]  in Duncan Farquharson Gregorys Artikel mit dem Titel “On the real nature of symbolical algebra”, der 1840 in den Transactions of the Royal Society of Edinburgh ver\u00f6ffentlicht wurde.[12]Aussagelogik[edit]Ersetzungsregel[edit]In der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik Kommutierung,[13][14]  oder Kommutativit\u00e4t[15]  siehe zwei g\u00fcltige Ersetzungsregeln.  Die Regeln erlauben es, propositionale Variablen innerhalb von logischen Ausdr\u00fccken in logischen Beweisen zu transponieren.  Die Regeln sind:(P\u2228Q)\u21d4(Q\u2228P){displaystyle (Plor Q)Linksrechtspfeil (Qlor P)}und(P\u2227Q)\u21d4(Q\u2227P){displaystyle (Pland Q)Linksrechtspfeil (Qland P)}wo “\u21d4{displaystyle Leftrightarrow}” ist ein metalogisches Symbol f\u00fcr “kann in einem Beweis ersetzt werden durch”.Wahre funktionale Konnektoren[edit]Kommutativit\u00e4t ist eine Eigenschaft einiger logischer Konnektoren der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik.  Die folgenden logischen \u00c4quivalenzen zeigen, dass die Kommutativit\u00e4t eine Eigenschaft bestimmter Konnektoren ist.  Die folgenden sind wahrheitsfunktionale Tautologien.Kommutativit\u00e4t der Konjunktion(P\u2227Q)\u2194(Q\u2227P){displaystyle (Pland Q)leftrightarrow (Qland P)}Kommutativit\u00e4t der Disjunktion(P\u2228Q)\u2194(Q\u2228P){displaystyle (Plor Q)leftrightarrow (Qlor P)}Kommutativit\u00e4t der Implikation (auch Permutationsgesetz genannt)(P\u2192(Q\u2192R))\u2194(Q\u2192(P\u2192R)){displaystyle (Pto (Qto R))leftrightarrow (Qto (Pto R))}Kommutativit\u00e4t der \u00c4quivalenz (auch vollst\u00e4ndiges Kommutativgesetz der \u00c4quivalenz genannt)(P\u2194Q)\u2194(Q\u2194P){displaystyle (Pleftrightarrow Q)leftrightarrow (Qleftrightarrow P)}Mengenlehre[edit]In der Gruppen- und Mengentheorie werden viele algebraische Strukturen als kommutativ bezeichnet, wenn bestimmte Operanden die kommutative Eigenschaft erf\u00fcllen.  In h\u00f6heren Zweigen der Mathematik, wie der Analysis und der linearen Algebra, wird in Beweisen h\u00e4ufig die Kommutativit\u00e4t bekannter Operationen (wie Addition und Multiplikation von reellen und komplexen Zahlen) verwendet (oder implizit vorausgesetzt).[16][17][18]Mathematische Strukturen und Kommutativit\u00e4t[edit]Verwandte Eigenschaften[edit]Assoziativit\u00e4t[edit]Die Assoziativeigenschaft ist eng mit der Kommutativeigenschaft verwandt.  Die assoziative Eigenschaft eines Ausdrucks, der zwei oder mehr Vorkommen desselben Operators enth\u00e4lt, besagt, dass die Reihenfolge der Operationen in der Reihenfolge ausgef\u00fchrt wird, hat keinen Einfluss auf das Endergebnis, solange sich die Reihenfolge der Ausdr\u00fccke nicht \u00e4ndert.  Im Gegensatz dazu besagt die Kommutativeigenschaft, dass die Reihenfolge der Terme das Endergebnis nicht beeinflusst.Die meisten in der Praxis anzutreffenden kommutativen Operationen sind auch assoziativ.  Kommutativit\u00e4t bedeutet jedoch keine Assoziativit\u00e4t.  Ein Gegenbeispiel ist die FunktionF(x,ja)=x+ja2,{displaystyle f(x,y)={frac {x+y}{2}},}was eindeutig kommutativ ist (austauschend x und ja hat keinen Einfluss auf das Ergebnis), ist aber nicht assoziativ (da z. F(\u22124,F(0,+4))=\u22121{displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}  aber F(F(\u22124,0),+4)=+1{displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}).  Weitere solche Beispiele finden sich in kommutativen nicht-assoziativen Magmen.Verteilend[edit]Symmetrie[edit]  Diagramm zur Symmetrie der AdditionsfunktionEinige Symmetrieformen k\u00f6nnen direkt mit der Kommutativit\u00e4t in Verbindung gebracht werden.  Wenn eine kommutative Operation als bin\u00e4re Funktion geschrieben wird z=F(x,ja),{displaystyle z=f(x,y),}  dann hei\u00dft diese Funktion symmetrische Funktion, und ihr Graph im dreidimensionalen Raum ist symmetrisch \u00fcber die Ebene ja=x{displaystyle y=x}.  Wenn zum Beispiel die Funktion F  ist definiert als F(x,ja)=x+ja{displaystyle f(x,y)=x+y}  dann F{displaystyle f}  ist eine symmetrische Funktion.F\u00fcr Relationen ist eine symmetrische Relation einer kommutativen Operation insofern analog, als eine Relation R symmetrisch ist, dann einRB\u21d4BRein{displaystyle aRbLinksrechtspfeil bRa}.Nicht-kommutierende Operatoren in der Quantenmechanik[edit]In der von Schr\u00f6dinger formulierten Quantenmechanik werden physikalische Gr\u00f6\u00dfen durch lineare Operatoren wie x{displaystyle x}  (bedeutet multiplizieren mit x{displaystyle x}), und DDx{textstyle {frac {d}{dx}}}.  Diese beiden Operatoren kommutieren nicht, wie man anhand der Wirkung ihrer Zusammensetzungen sehen kann xDDx{textstyle x{frac {d}{dx}}}  und DDxx{textstyle {frac {d}{dx}}x}  (auch Operatoren genannt) auf einer eindimensionalen Wellenfunktion \u03c8(x){displaystylepsi(x)}:x\u22c5DDx\u03c8=x\u22c5\u03c8Ich \u2260 \u03c8+x\u22c5\u03c8Ich=DDx(x\u22c5\u03c8){displaystyle xcdot {mathrm {d} over mathrm {d} x}psi =xcdot psi ‘ neq  psi +xcdot psi ‘={mathrm {d} overmathrm{d}x}left(xcdotpsiright)}Wenn die beiden Operatoren, die ein Variablenpaar repr\u00e4sentieren, nicht kommutieren, dann sind nach dem Unsch\u00e4rferelationsprinzip von Heisenberg diese Variablenpaare komplement\u00e4r, was bedeutet, dass sie nicht gleichzeitig gemessen oder genau bekannt sind.  Zum Beispiel die Position und der Impuls im x{displaystyle x}-Richtung eines Teilchens werden durch die Operatoren dargestellt x{displaystyle x}  und \u2212ich\u210f\u2202\u2202x{displaystyle -ihbar {frac {partial }{partial x}}}, bzw. (wo \u210f{displaystyle hbar}  ist die reduzierte Planck-Konstante).  Dies ist das gleiche Beispiel mit Ausnahme der Konstanten \u2212ich\u210f{displaystyle -ihbar}, also kommutieren die Operatoren nicht und die physikalische Bedeutung ist, dass der Ort und der Impuls in einer bestimmten Richtung komplement\u00e4r sind.Siehe auch[edit]^ ein B Cabillon & Miller, Kommutativ und distributiv^ ein B Flut, Raymond;  Reis, Adrian;  Wilson, Robin, Hrsg.  (2011). Mathematik im viktorianischen Gro\u00dfbritannien.  Oxford University Press.  P.  4. ISBN 9780191627941.^ Weisstein, Eric W. “Symmetrische Beziehung”. MathWorld.^ ein B Krone, S.1^ Wei\u00dfstein, Pendeln, S.1^ “Kompatible Zahlen zur Vereinfachung von Prozentproblemen”.  Abgerufen 17. Juli 2020.^ Yark, S.  1^ Klumpen 1997, S.  11^ Gay & Shute 1987^     O’Conner & Robertson Reale Nummern^ O’Conner & Robertson, Servois^ Gregor, DF (1840). “\u00dcber die wahre Natur der symbolischen Algebra”. Transaktionen der Royal Society of Edinburgh. 14: 208\u2013216.^ Moore und Parker^ Copi & Cohen 2005^ Hurley & Watson 2016^ Axler 1997, p.  2^ ein B Gallian 2006, S.  34^ Gallian 2006, S. 26, 87^ Gallian 2006, S.  236^ Gallian 2006, S.  250Verweise[edit]B\u00fccher[edit]Axler, Sheldon (1997). Lineare Algebra rechts gemacht, 2e.  Springer.  ISBN 0-387-98258-2.Abstrakte Algebratheorie.  Deckt die Kommutativit\u00e4t in diesem Zusammenhang ab.  Verwendet Eigentum im gesamten Buch.Copi, Irving M.;  Cohen, Carl (2005). Einf\u00fchrung in die Logik (12. Aufl.).  Lehrlingssaal.  ISBN 9780131898349.Gallian, Joseph (2006). Zeitgen\u00f6ssische abstrakte Algebra (6e-Hrsg.).  Houghton Mifflin.  ISBN 0-618-51471-6.Theorie der linearen Algebra.  Erkl\u00e4rt die Kommutativit\u00e4t in Kapitel 1, verwendet sie durchgehend.Goodman, Friedrich (2003). Algebra: Abstrakt und konkret, Symmetrie betonend (2e-Hrsg.).  Lehrlingssaal.  ISBN 0-13-067342-0.Abstrakte Algebratheorie.  Verwendet die Kommutativit\u00e4tseigenschaft im gesamten Buch.Hurley, Patrick J.;  Watson, Lori (2016). Eine kurze Einf\u00fchrung in die Logik  (12. Aufl.).  Cengage-Lernen.  ISBN 978-1-337-51478-1.Artikel[edit]Internetquellen[edit]“Kommutativit\u00e4t”, Enzyklop\u00e4die der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994]Krone, Aaron,  Kommutativ at PlanetMath., abgerufen am 8. August 2007.Definition der Kommutativit\u00e4t und Beispiele f\u00fcr kommutative OperationenWeisstein, Eric W. “Pendeln”. MathWorld., Aufgerufen am 8. August 2007.Erkl\u00e4rung des Begriffs pendeln“Yark”.  Beispiele f\u00fcr nicht-kommutative Operationen at PlanetMath., abgerufen am 8. August 2007Beispiele, die einige nichtkommutative Operationen beweisenO’Conner, JJ;  Robertson, EF “Geschichte der reellen Zahlen”. MacTutor.  Abgerufen 8. August 2007.Artikel \u00fcber die Geschichte der reellen ZahlenCabillon, Julio;  M\u00fcller, Jeff. “Fr\u00fcheste bekannte Verwendungen von mathematischen Begriffen”.  Abgerufen 22. November 2008.Seite mit den fr\u00fchesten Verwendungen mathematischer BegriffeO’Conner, JJ;  Robertson, EF “Biographie von Fran\u00e7ois Servois”. MacTutor.  Abgerufen 8. August 2007.Biographie von Francois Servois, der den Begriff zum ersten Mal verwendete     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki29\/2021\/11\/30\/kommutative-eigenschaft-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Kommutative Eigenschaft \u2013 Wikipedia"}}]}]