[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki31\/2022\/01\/12\/auswahlsatz-von-kuratowski-und-ryll-nardzewski-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki31\/2022\/01\/12\/auswahlsatz-von-kuratowski-und-ryll-nardzewski-wikipedia\/","headline":"Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski \u2013 Wikipedia","name":"Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski \u2013 Wikipedia","description":"before-content-x4 Der Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski, englisch Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analysis,","datePublished":"2022-01-12","dateModified":"2022-01-12","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki31\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki31\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki31\/2022\/01\/12\/auswahlsatz-von-kuratowski-und-ryll-nardzewski-wikipedia\/","wordCount":6018,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Der Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski, englisch Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analysis, der auf die beiden polnischen  Mathematiker Kazimierz Kuratowski und Czes\u0142aw Ryll-Nardzewski zur\u00fcckgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen einer mengenwertigen Abbildung zwischen einem Messraum und einem topologischen Raum unter Ber\u00fccksichtigung von Messbarkeitsgesichtspunkten eine Auswahlabbildung zugeh\u00f6rt.[1]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Ankn\u00fcpfend an die Darstellung von Leszek Gasi\u0144ski  und Nikolaos S. Papageorgiou l\u00e4sst sich der genannte Auswahlsatz folgenderma\u00dfen formulieren:[2]Gegeben seien ein Messraum  \u03a9{displaystyle Omega } und ein topologischer Raum        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4X{displaystyle X}.Weiter gegeben sei eine messbare mengenwertige Abbildung F:\u03a9\u2192P(X)\u2216{\u2205}{displaystyle Fcolon Omega to {{mathcal {P}}(X)setminus {emptyset }}} derart, dass f\u00fcr jedes \u03c9\u2208\u03a9{displaystyle omega in Omega } die zugeordnete Teilmenge F(\u03c9){displaystyle F(omega )} in        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4X{displaystyle X} abgeschlossen ist.Ist dabei X{displaystyle X} ein polnischer Raum, so existiert stets eine zugeh\u00f6rige messbare Auswahlabbildung f:\u03a9\u2192X{displaystyle fcolon Omega to X}.Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aufbauend auf den Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski l\u00e4sst sich ein weiteres Resultat gewinnen, welches die Frage der Messbarkeit von mengenwertigen Abbildungen betrifft. Es besagt folgendes:[3]Gegeben seien ein Messraum  \u03a9{displaystyle Omega } und ein polnischer Raum X{displaystyle X} und weiter eine mengenwertige Abbildung F:\u03a9\u2192P(X){displaystyle Fcolon Omega to {{mathcal {P}}(X)}},welche jedem \u03c9\u2208\u03a9{displaystyle omega in Omega } eine in X{displaystyle X} abgeschlossene, nichtleere Teilmenge  F(\u03c9){displaystyle F(omega )} zuordnet.Dann sind die folgenden beiden Aussagen gleichwertig: (a) F{displaystyle F} ist messbar. (b) Es gibt eine Funktionenfolge von messbaren Funktionen f1,f2,f3,\u2026:\u03a9\u2192X{displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},ldots ;colon Omega to X}, welche die folgenden beiden Bedingungen erf\u00fcllt: (b1) F\u00fcr n=1,2,3,\u2026{displaystyle n=1,2,3,ldots } ist fn{displaystyle f_{n}}  stets eine zu F{displaystyle F} geh\u00f6rige Auswahlabbildung. (b2) F\u00fcr jedes  \u03c9\u2208\u03a9{displaystyle omega in Omega } gilt F(\u03c9)={fn(\u03c9)\u2223n=1,2,3,\u2026}\u00af{displaystyle F(omega )={overline {{f_{n}(omega )mid n=1,2,3,ldots }}}}.[A 1]Mit dem Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski direkt verwandt ist ein anderer (bekannter) Auswahlsatz, der die gleiche Frage unter Stetigkeitsgesichtspunkten statt unter Messbarkeitsgesichtspunkten behandelt und nach seinem Entdecker, dem US-amerikanischen Mathematiker Ernest Arthur Michael, als Auswahlsatz von Michael (englisch Michael Selection Theorem) bezeichnet wird.[4][5]Ankn\u00fcpfend an die Darstellung von Winfried Kaballo l\u00e4sst sich dieser Satz von folgenderma\u00dfen formulieren:[6]Gegeben seien ein topologischer Raum \u03a9{displaystyle Omega } und ein topologischer Vektorraum X{displaystyle X}.Weiter gegeben sei eine unterhalbstetige mengenwertige Abbildung F:\u03a9\u2192P(X)\u2216{\u2205}{displaystyle Fcolon Omega to {{mathcal {P}}(X)setminus {emptyset }}} derart, dass f\u00fcr jedes \u03c9\u2208\u03a9{displaystyle omega in Omega } die zugeordnete Teilmenge F(\u03c9){displaystyle F(omega )} in X{displaystyle X} zugleich abgeschlossen und konvex ist.Ist dabei \u03a9{displaystyle Omega } ein parakompakter Hausdorffraum und ist zugleich X{displaystyle X} ein Fr\u00e9chet-Raum, so existiert stets eine zugeh\u00f6rige stetige Auswahlabbildung f:\u03a9\u2192X{displaystyle fcolon Omega to X}.Folgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aus dem Auswahlsatz von Michael gewinnt man auf direktem Wege ein Resultat, welches f\u00fcr die Frage der Existenz von L\u00f6sungen von Gleichungen bedeutsam ist. Es geht auf eine in 1952 von Robert G. Bartle und Lawrence M. Graves vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zur\u00fcck und wird auch als Satz von Bartle-Graves (englisch Bartle-Graves Theorem) genannt. An Winfried Kaballo ankn\u00fcpfend kann dieser Satz wie folgt angegeben werden:[7]Gegeben seien zwei Banachr\u00e4ume E{displaystyle E} und Q{displaystyle Q}, wobei Q{displaystyle Q} ein mit der Quotientennorm versehener Faktorraum von E{displaystyle E} sein soll.Die zugeh\u00f6rige Quotientenabbildung sei \u03c3:E\u2192Q{displaystyle sigma colon Erightarrow Q}.Dann gilt:Zu jeder reellen Zahl 1″\/> gibt es eine linear homogene, stetige, rechtsinverse Abbildung R:Q\u2192E{displaystyle Rcolon Qto E} derart, dass f\u00fcr y\u2208Q{displaystyle yin Q} stets die Ungleichung\u2016R(y)\u2016\u2264r\u22c5\u2016y\u2016{displaystyle |R(y)|leq rcdot |y|}erf\u00fcllt ist.Robert G. Bartle, Lawrence M. Graves: Mappings between function spaces. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band\u00a072, 1952, S.\u00a0400\u2013413 (MR0047910).\u00a0J. M. Borwein, Asen L. Dontchev: On the Bartle-Graves theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band\u00a0131, 2003, S.\u00a02553\u20132560 (MR1974655).\u00a0Leszek Gasi\u0144ski, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1 (=\u00a0Problem Books in Mathematics). Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06175-7, doi:10.1007\/978-3-319-06176-4 (MR3307732).\u00a0Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen \u2013 lokalkonvexe Methoden \u2013 Spektraltheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007\/978-3-642-37794-5 (MR3672798).\u00a0\u2191 Mit dem oberen Querbalken ist die jeweilige abgeschlossene H\u00fclle im topologischen Sinne gemeint.\u2191 Mit den Auswahlabbildungen verwandt sind die Auswahlfunktionen.\u2191 Man nennt F\u2212(U){displaystyle F^{-}(U)} auch das schwache Urbild (englisch weak inverse image) von U{displaystyle U} unter F{displaystyle F}.\u2191 F\u00fcr den Beweis dieses Satzes ben\u00f6tigt man die Zuhilfenahme des Zorn’schen Lemmas und damit die Annahme der G\u00fcltigkeit des Auswahlaxioms. Siehe Horst Schubert: Topologie., 4. Auflage, B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, S. 83\u201388!\u2191 Leszek Gasi\u0144ski, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1. 2014, S. 643\u00a0ff.\u2191 Gasi\u0144ski\/Papageorgiou, op. cit., S. 643\u2013644\u2191 ab Gasi\u0144ski\/Papageorgiou, op. cit., S. 645\u2191 Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie 2014, 198\u00a0ff.\u2191 Gasi\u0144ski\/Papageorgiou, op. cit., S. 229\u2013230\u2191 Kaballo, op. cit., S. 216\u2191 Kaballo, op. cit., S. 197\u2013198, 215\u2013218     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki31\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki31\/2022\/01\/12\/auswahlsatz-von-kuratowski-und-ryll-nardzewski-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski \u2013 Wikipedia"}}]}]