Nephroid – Wikipedia

In der Geometrie a Nephroid (aus dem Griechischen ὁ νεφρός ho nephros) ist eine bestimmte ebene Kurve, deren Name “nierenförmig” bedeutet (vgl Nephrologie). Obwohl der Begriff Nephroid wurde verwendet, um andere Kurven zu beschreiben, es wurde 1878 von Proctor auf die Kurve in diesem Artikel angewendet.^[1]

Ein Nephroid ist eine algebraische Kurve vom Grad 6. Sie kann durch Rollen eines Kreises mit Radius erzeugt werden

ein{ displaystyle a}

auf der Außenseite eines festen Kreises mit Radius

2ein{ displaystyle 2a}

. Daher ist ein Nephroid ein Epizykloid.

Gleichungen[edit]

Wenn der kleine Kreis einen Radius hat

ein{ displaystyle a}

hat der feste Kreis einen Mittelpunkt

((0,0){ displaystyle (0,0)}

und Radius

2ein{ displaystyle 2a}

ist der Rollwinkel des kleinen Kreises

2φ{ displaystyle 2 varphi}

und Punkt

((2ein,0){ displaystyle (2a, 0)}

den Startpunkt (siehe Abbildung) bekommt man dann den

• parametrische Darstellung

x((φ)=3eincos⁡φ– –eincos⁡3φ=6eincos⁡φ– –4eincos3⁡φ ,{ displaystyle x ( varphi) = 3a cos varphi -a cos 3 varphi = 6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi ,}

y((φ)=3einSünde⁡φ– –einSünde⁡3φ=4einSünde3⁡φ ,0≤φ<2π{ displaystyle y ( varphi) = 3a sin varphi -a sin 3 varphi = 4a sin ^ {3} varphi , qquad 0 leq varphi <2 pi}

Einfügen

x((φ){ displaystyle x ( varphi)}

und

y((φ){ displaystyle y ( varphi)}

in die Gleichung

• 
  ((x2+y2– –4ein2)3=108ein4y2{ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}}
  

zeigt, dass diese Gleichung eine implizite Darstellung der Kurve ist.

Nachweis der parametrischen Darstellung

Der Beweis der parametrischen Darstellung erfolgt leicht durch Verwendung komplexer Zahlen und ihrer Darstellung als komplexe Ebene. Die Bewegung des kleinen Kreises kann in zwei Umdrehungen aufgeteilt werden. In der komplexen Ebene eine Drehung eines Punktes

z{ displaystyle z}

um Punkt

0{ displaystyle 0}

(Ursprung) um einen Winkel

φ{ displaystyle varphi}

kann durch Multiplikation von Punkten durchgeführt werden

z{ displaystyle z}

(komplexe Zahl) von

eichφ{ displaystyle e ^ {i varphi}}

. Daher die

Drehung Φ3{ displaystyle Phi _ {3}}

um Punkt 3ein{ displaystyle 3a}

nach Winkel 2φ{ displaystyle 2 varphi}

ist ::z↦3ein+((z– –3ein)eich2φ{ displaystyle: z mapsto 3a + (z-3a) e ^ {i2 varphi}}

,

Drehung Φ0{ displaystyle Phi _ {0}}

um Punkt 0{ displaystyle 0}

nach Winkel φ{ displaystyle varphi}

ist ::z↦zeichφ{ displaystyle: quad z mapsto ze ^ {i varphi}}

.

Ein Punkt

p((φ){ displaystyle p ( varphi)}

des Nephroids wird durch die Drehung des Punktes erzeugt

2ein{ displaystyle 2a}

durch

Φ3{ displaystyle Phi _ {3}}

und die anschließende Drehung mit

Φ0{ displaystyle Phi _ {0}}

::

p((φ)=Φ0((Φ3((2ein))=Φ0((3ein– –eineich2φ)=((3ein– –eineich2φ)eichφ=3eineichφ– –eineich3φ{ displaystyle p ( varphi) = Phi _ {0} ( Phi _ {3} (2a)) = Phi _ {0} (3a-ae ^ {i2 varphi}) = (3a-ae ^ {i2 varphi}) e ^ {i varphi} = 3ae ^ {i varphi} -ae ^ {i3 varphi}}

.

Hiervon bekommt man

x((φ)=3eincos⁡φ– –eincos⁡3φ=6eincos⁡φ– –4eincos3⁡φ ,y((φ)=3einSünde⁡φ– –einSünde⁡3φ=4einSünde3⁡φ.{ displaystyle { begin {array} {cclcccc} x ( varphi) & = & 3a cos varphi -a cos 3 varphi & = & 6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi , && \ y ( varphi) & = & 3a sin varphi -a sin 3 varphi & = & 4a sin ^ {3} varphi &. & end {array}}}

(Die Formeln

eichφ=cos⁡φ+ichSünde⁡φ, cos2⁡φ+Sünde2⁡φ=1, cos⁡3φ=4cos3⁡φ– –3cos⁡φ,Sünde⁡3φ=3Sünde⁡φ– –4Sünde3⁡φ{ displaystyle e ^ {i varphi} = cos varphi + i sin varphi, cos ^ {2} varphi + sin ^ {2} varphi = 1, cos 3 varphi = 4 cos ^ {3} varphi -3 cos varphi, ; sin 3 varphi = 3 sin varphi -4 sin ^ {3} varphi}

wurden verwendet. Siehe trigonometrische Funktionen.)

Beweis der impliziten Darstellung

Mit

x2+y2– –4ein2=((3eincos⁡φ– –eincos⁡3φ)2+((3einSünde⁡φ– –einSünde⁡3φ)2– –4ein2=⋯=6ein2((1– –cos⁡2φ)=12ein2Sünde2⁡φ{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2} = (3a cos varphi -a cos 3 varphi) ^ {2} + (3a sin varphi -a sin 3 varphi) ^ {2} -4a ^ {2} = cdots = 6a ^ {2} (1- cos 2 varphi) = 12a ^ {2} sin ^ {2} varphi}

man bekommt

((x2+y2– –4ein2)3=((12ein2)3Sünde6⁡φ=108ein4((4einSünde3⁡φ)2=108ein4y2 .{ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = (12a ^ {2}) ^ {3} sin ^ {6} varphi = 108a ^ { 4} (4a sin ^ {3} varphi) ^ {2} = 108a ^ {4} y ^ {2} .}

andere Orientierung

Wenn sich die Höcker auf der y-Achse befinden, ist die parametrische Darstellung

x=3eincos⁡φ+eincos⁡3φ,y=3einSünde⁡φ+einSünde⁡3φ).{ displaystyle x = 3a cos varphi + a cos 3 varphi, quad y = 3a sin varphi + a sin 3 varphi).}

und der implizite:

((x2+y2– –4ein2)3=108ein4x2.{ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} x ^ {2}.}

Metrische Eigenschaften[edit]

Für den Nephroid über dem

• Bogenlänge ist
  L.=24ein,{ displaystyle L = 24a,}
  
• Bereich
  EIN=12πein2 { displaystyle A = 12 pi a ^ {2} }
  und
• Krümmungsradius ist
  ρ=|3einSünde⁡φ|.{ displaystyle rho = | 3a sin varphi |.}
  

Die Beweise dieser Aussagen verwenden geeignete Formeln für Kurven (Bogenlänge, Fläche und Krümmungsradius) und die obige parametrische Darstellung

x((φ)=6eincos⁡φ– –4eincos3⁡φ ,{ displaystyle x ( varphi) = 6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi ,}

y((φ)=4einSünde3⁡φ{ displaystyle y ( varphi) = 4a sin ^ {3} varphi}

und ihre Derivate

x˙=– –6einSünde⁡φ((1– –2cos2⁡φ) , x¨=– –6eincos⁡φ((5– –6cos2⁡φ) ,{ displaystyle { dot {x}} = – 6a sin varphi (1-2 cos ^ {2} varphi) , quad { ddot {x}} = – 6a cos varphi ( 5-6 cos ^ {2} varphi) ,}

y˙=12einSünde2⁡φcos⁡φ,y¨=12einSünde⁡φ((3cos2⁡φ– –1) .{ displaystyle { dot {y}} = 12a sin ^ {2} varphi cos varphi quad, quad quad quad quad { ddot {y}} = 12a sin varphi (3 cos ^ {2} varphi -1) .}

Beweis für die Bogenlänge

L.=2∫0πx˙2+y˙2dφ=⋯=12ein∫0πSünde⁡φdφ=24ein{ displaystyle L = 2 int _ {0} ^ { pi} { sqrt {{ dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2}}} ; d varphi = cdots = 12a int _ {0} ^ { pi} sin varphi ; d varphi = 24a}

.

Beweis für die Gegend

EIN=2⋅12|∫0π[xy˙−yx˙]dφ|=⋯=24ein2∫0πSünde2⁡φdφ=12πein2{ displaystyle A = 2 cdot { tfrac {1} {2}} | int _ {0} ^ { pi}[x{dot {y}}-y{dot {x}}]; d varphi | = cdots = 24a ^ {2} int _ {0} ^ { pi} sin ^ {2} varphi ; d varphi = 12 pi a ^ {2}}

.

Beweis für den Krümmungsradius

ρ=|((x˙2+y˙2)32x˙y¨– –y˙x¨|=⋯=|3einSünde⁡φ|.{ displaystyle rho = left | { frac { left ({{ dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2}} right) ^ { frac {3 } {2}}} {{ dot {x}} { ddot {y}} – { dot {y}} { ddot {x}}} right | = cdots = | 3a sin varphi |.}

Nephroid als Umschlag eines Kreisstifts[edit]

Beweis

Lassen

c0{ displaystyle c_ {0}}

sei der Kreis

((2eincos⁡φ,2einSünde⁡φ){ displaystyle (2a cos varphi, 2a sin varphi)}

mit Mittelpunkt

((0,0){ displaystyle (0,0)}

und Radius

2ein{ displaystyle 2a}

. Der Durchmesser kann auf der x-Achse liegen (siehe Abbildung). Der Kreisstift hat Gleichungen:

f((x,y,φ)=((x– –2eincos⁡φ)2+((y– –2einSünde⁡φ)2– –((2einSünde⁡φ)2=0 .{ displaystyle f (x, y, varphi) = (x-2a cos varphi) ^ {2} + (y-2a sin varphi) ^ {2} – (2a sin varphi) ^ { 2} = 0 .}

Der Umschlagzustand ist

fφ((x,y,φ)=2ein((xSünde⁡φ– –ycos⁡φ– –2eincos⁡φSünde⁡φ)=0 .{ displaystyle f _ { varphi} (x, y, varphi) = 2a (x sin varphi -y cos varphi -2a cos varphi sin varphi) = 0 .}

Man kann leicht überprüfen, ob der Punkt des Nephroids

p((φ)=((6eincos⁡φ– –4eincos3⁡φ,4einSünde3⁡φ){ displaystyle p ( varphi) = (6a cos varphi -4a cos ^ {3} varphi ;, ; 4a sin ^ {3} varphi)}

ist eine Lösung des Systems

f((x,y,φ)=0,fφ((x,y,φ)=0{ displaystyle f (x, y, varphi) = 0, ; f _ { varphi} (x, y, varphi) = 0}

und daher ein Punkt der Hülle des Kreisstifts.

Nephroid als Umschlag eines Linienstifts[edit]

Ähnlich wie bei der Erzeugung einer Niere als Umschlag eines Linienstifts gilt das folgende Verfahren:

1. Zeichnen Sie einen Kreis, teilen Sie seinen Umfang in gleich große Teile mit
   3N.{ displaystyle 3N}
   Punkte (siehe Abbildung) und nummerieren Sie diese fortlaufend.
2. Zeichne die Akkorde:
   ((1,3),((2,6),....,((n,3n),....,((N.,3N.),((N.+1,3),((N.+2,6),....,{ Anzeigestil (1,3), (2,6), …., (n, 3n), …., (N, 3N), (N + 1,3), (N + 2, 6), ….,}
   . (dh: Der zweite Punkt wird um die dreifache Geschwindigkeit bewegt.)
3. Das Briefumschlag Von diesen Akkorden ist ein Nephroid.

Beweis

Die folgende Überlegung verwendet trigonometrische Formeln für

cos⁡α+cos⁡β, Sünde⁡α+Sünde⁡β, cos⁡((α+β), cos⁡2α{ displaystyle cos alpha + cos beta, sin alpha + sin beta, cos ( alpha + beta), cos 2 alpha}

. Um die Berechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für das Nephroid mit Höckern auf der y-Achse gegeben.

Gleichung der Tangente

für den Nephroid mit parametrischer Darstellung

x=3cos⁡φ+cos⁡3φ,y=3Sünde⁡φ+Sünde⁡3φ{ displaystyle x = 3 cos varphi + cos 3 varphi, ; y = 3 sin varphi + sin 3 varphi}

::

Hieraus bestimmt man den Normalenvektor

n→=((y˙,– –x˙)T.{ displaystyle { vec {n}} = ({ dot {y}}, – { dot {x}}) ^ {T}}

, zunaechst.

Die Gleichung der Tangente

y˙((φ)⋅((x– –x((φ))– –x˙((φ)⋅((y– –y((φ))=0{ displaystyle { dot {y}} ( varphi) cdot (xx ( varphi)) – { dot {x}} ( varphi) cdot (yy ( varphi)) = 0}

ist:

((cos⁡2φ⋅x + Sünde⁡2φ⋅y)cos⁡φ=4cos2⁡φ .{ displaystyle ( cos 2 varphi cdot x + sin 2 varphi cdot y) cos varphi = 4 cos ^ {2} varphi .}

Zum

φ=π2,3π2{ displaystyle varphi = { tfrac { pi} {2}}, { tfrac {3 pi} {2}}}

man bekommt die Höcker des Nephroids, wo es keine Tangente gibt. Zum

φ≠π2,3π2{ displaystyle varphi neq { tfrac { pi} {2}}, { tfrac {3 pi} {2}}}

man kann durch teilen

cos⁡φ{ displaystyle cos varphi}

erhalten

• 
  cos⁡2φ⋅x+Sünde⁡2φ⋅y=4cos⁡φ .{ displaystyle cos 2 varphi cdot x + sin 2 varphi cdot y = 4 cos varphi .}
  

Gleichung des Akkords

zum Kreis mit Mittelpunkt ((0,0){ displaystyle (0,0)}

und Radius 4{ displaystyle 4}

: Die Gleichung des Akkords, der die beiden Punkte enthält ((4cos⁡θ,4Sünde⁡θ), ((4cos⁡3θ,4Sünde⁡3θ)){ displaystyle (4 cos theta, 4 sin theta), (4 cos { color {red} 3} theta, 4 sin { color {red} 3} theta))}

ist:

((cos⁡2θ⋅x+Sünde⁡2θ⋅y)Sünde⁡θ=4cos⁡θSünde⁡θ .{ displaystyle ( cos 2 theta cdot x + sin 2 theta cdot y) sin theta = 4 cos theta sin theta .}

Zum

θ=0,π{ displaystyle theta = 0, pi}

Der Akkord degeneriert zu einem Punkt. Zum

θ≠0,π{ displaystyle theta neq 0, pi}

man kann durch teilen

Sünde⁡θ{ displaystyle sin theta}

und erhält die Gleichung des Akkords:

• 
  cos⁡2θ⋅x+Sünde⁡2θ⋅y=4cos⁡θ .{ displaystyle cos 2 theta cdot x + sin 2 theta cdot y = 4 cos theta .}
  

Die zwei Winkel

φ,θ{ displaystyle varphi, theta}

sind unterschiedlich definiert (

φ{ displaystyle varphi}

ist die Hälfte des Rollwinkels,

θ{ displaystyle theta}

ist der Parameter des Kreises, dessen Akkorde bestimmt sind), z

φ=θ{ displaystyle varphi = theta}

man bekommt die gleiche Zeile. Daher ist jeder Akkord aus dem obigen Kreis tangential zum Nephroid und

• Der Nephroid ist die Hüllkurve der Akkorde des Kreises.

Nephroid als Ätzmittel eines halben Kreises [edit]

Die im vorherigen Abschnitt gemachten Überlegungen belegen, dass die Ätzung einer Kreishälfte ein Nephroid ist.

• Wenn in der Ebene parallele Lichtstrahlen auf eine reflektierende Hälfte eines Kreises treffen (siehe Diagramm), berühren die reflektierten Strahlen einen Nephroid.

Beweis

Der Kreis kann den Ursprung als Mittelpunkt haben (wie im vorherigen Abschnitt) und sein Radius ist

4{ displaystyle 4}

. Der Kreis hat die parametrische Darstellung

k((φ)=4((cos⁡φ,Sünde⁡φ) .{ displaystyle k ( varphi) = 4 ( cos varphi, sin varphi) .}

Die Tangente am Kreispunkt

K.:: k((φ){ displaystyle K: k ( varphi)}

hat einen normalen Vektor

n→t=((cos⁡φ,Sünde⁡φ)T.{ displaystyle { vec {n}} _ {t} = ( cos varphi, sin varphi) ^ {T}}

. Der reflektierte Strahl hat den Normalenvektor (siehe Abbildung)

n→r=((cos⁡2φ,Sünde⁡2φ)T.{ displaystyle { vec {n}} _ {r} = ( cos { color {red} 2} varphi, sin { color {red} 2} varphi) ^ {T}}

und enthält Kreispunkt

K.:: 4((cos⁡φ,Sünde⁡φ){ displaystyle K: 4 ( cos varphi, sin varphi)}

. Daher ist der reflektierte Strahl Teil der Linie mit der Gleichung

cos⁡2φ⋅x + Sünde⁡2φ⋅y=4cos⁡φ ,{ displaystyle cos { color {red} 2} varphi cdot x + sin { color {red} 2} varphi cdot y = 4 cos varphi ,}

Das ist tangential zum Nephroid des vorherigen Abschnitts an Punkt

P.:: ((3cos⁡φ+cos⁡3φ,3Sünde⁡φ+Sünde⁡3φ){ displaystyle P: (3 cos varphi + cos 3 varphi, 3 sin varphi + sin 3 varphi)}

(siehe oben).

Die Entwicklung und Evolvente eines Nephroiden[edit]

Evolute[edit]

Die Entwicklung einer Kurve ist der Ort der Krümmungszentren. Im Detail: Für eine Kurve

x→=c→((s){ displaystyle { vec {x}} = { vec {c}} (s)}

mit Krümmungsradius

ρ((s){ displaystyle rho (s)}

Die Evolute hat die Darstellung

x→=c→((s)+ρ((s)n→((s).{ displaystyle { vec {x}} = { vec {c}} (s) + rho (s) { vec {n}} (s).}

mit

n→((s){ displaystyle { vec {n}} (s)}

die entsprechend ausgerichtete Einheit normal.

Für einen Nephroid bekommt man:

• Das weiterentwickeln eines Nephroids ist ein anderes Nephroid, das halb so groß und um 90 Grad gedreht ist (siehe Abbildung).

Beweis

Das im Bild gezeigte Nephroid hat die parametrische Darstellung

x=3cos⁡φ+cos⁡3φ,y=3Sünde⁡φ+Sünde⁡3φ ,{ displaystyle x = 3 cos varphi + cos 3 varphi, quad y = 3 sin varphi + sin 3 varphi ,}

der Einheitsnormalenvektor, der auf das Krümmungszentrum zeigt

n→((φ)=((– –cos⁡2φ,– –Sünde⁡2φ)T.{ displaystyle { vec {n}} ( varphi) = (- cos 2 varphi, – sin 2 varphi) ^ {T}}

(siehe Abschnitt oben)

und der Krümmungsradius

3cos⁡φ{ displaystyle 3 cos varphi}

(Abschnitt über metrische Eigenschaften). Daher hat der Evolute die Darstellung:

x=3cos⁡φ+cos⁡3φ– –3cos⁡φ⋅cos⁡2φ=⋯=3cos⁡φ– –2cos3⁡φ,{ displaystyle x = 3 cos varphi + cos 3 varphi -3 cos varphi cdot cos 2 varphi = cdots = 3 cos varphi -2 cos ^ {3} varphi,}

y=3Sünde⁡φ+Sünde⁡3φ– –3cos⁡φ⋅Sünde⁡2φ =⋯=2Sünde3⁡φ ,{ displaystyle y = 3 sin varphi + sin 3 varphi -3 cos varphi cdot sin 2 varphi = cdots = 2 sin ^ {3} varphi ,}

Das ist ein halb so großes Nephroid, das um 90 Grad gedreht ist (siehe Abbildung und Abschnitt # Gleichungen oben).

Involute[edit]

Da die Entwicklung eines Nephroids ein anderes Nephroid ist, ist das Evolvent des Nephroids auch ein anderes Nephroid. Der ursprüngliche Nephroid im Bild ist die Evolvente des kleineren Nephroids.

Inversion eines Nephroiden[edit]

Die Umkehrung

x↦4ein2xx2+y2,y↦4ein2yx2+y2{ displaystyle x mapsto { frac {4a ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, quad y mapsto { frac {4a ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

über den Kreis mit Mittelpunkt

((0,0){ displaystyle (0,0)}

und Radius

2ein{ displaystyle 2a}

bildet den Nephroid mit Gleichung ab

((x2+y2– –4ein2)3=108ein4y2{ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}}

auf die Kurve des Grades 6 mit Gleichung

((4ein2– –((x2+y2))3=27ein2((x2+y2)y2{ displaystyle (4a ^ {2} – (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {3} = 27a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) y ^ { 2}}

(siehe Zeichnung) .

Verweise[edit]

• Arganbright, D., Praktisches Handbuch für Tabellenkalkulationskurven und geometrische Konstruktionen, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p. 54.
• Borceux, F., Ein differenzierter Ansatz zur Geometrie: Geometrische Trilogie III, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p. 148.
• Lockwood, EH, Ein Buch der Kurven, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, p. 7.

Externe Links[edit]

Wikimedia Commons hat Medien im Zusammenhang mit Nephroid.