[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki43\/2021\/12\/30\/drehmatrix-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki43\/2021\/12\/30\/drehmatrix-wikipedia\/","headline":"Drehmatrix \u2013 Wikipedia","name":"Drehmatrix \u2013 Wikipedia","description":"Eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist eine reelle, orthogonale Matrix mit Determinante\u00a0+1. 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Ihre Multiplikation mit einem Vektor l\u00e4sst sich interpretieren als (sogenannte aktive) Drehung des Vektors im euklidischen Raum oder als passive Drehung des Koordinatensystems, dann mit umgekehrtem Drehsinn. Bei der passiven Drehung \u00e4ndert sich der Vektor nicht, er hat blo\u00df je eine Darstellung (Koordinatenwerte) im alten und im neuen Koordinatensystem. Dabei handelt es sich stets um Drehungen um den Ursprung, da die Multiplikation einer Matrix mit dem Nullvektor diesen auf sich selbst abbildet.In ungeraden Dimensionen werden durch eine Drehung weitere Vektoren auf sich selbst abgebildet, Rp=p{displaystyle Rp=p}. Im dreidimensionalen Raum handelt es sich also um eine Gerade, die Drehachse. Eine Drehmatrix enth\u00e4lt trigonometrische Ausdr\u00fccke des Drehwinkels und der Orientierung des invarianten Unterraumes. In geraden Dimensionen muss die Drehmatrix keinen reellen Eigenwert haben.In der euklidischen Ebene R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} wird die Drehung eines Vektors p{displaystyle p} (aktive Drehung, \u00dcberf\u00fchrung in den Vektor p\u2032{displaystyle p’}) um einen festen Ursprung um den Winkel \u03b1{displaystyle alpha } mathematisch positiv (gegen den Uhrzeigersinn) durch die Multiplikation mit der Drehmatrix R\u03b1{displaystyle R_{alpha }} erreicht:p\u2032=R\u03b1p(1){displaystyle p’=R_{alpha }pqquad (1)}Jede Rotation um den Ursprung ist eine lineare Abbildung. Wie bei jeder linearen Abbildung gen\u00fcgt daher zur Festlegung der Gesamtabbildung die Festlegung der Bilder der Elemente einer beliebigen Basis. Wird die Standardbasis gew\u00e4hlt, sind die Bilder der Basisvektoren gerade die Spalten der dazugeh\u00f6rigen Abbildungsmatrix.Hier wirkt R\u03b1{displaystyle R_{alpha }} auf die beiden Basisvektoren wie folgt:(10)\u21a6(cos\u2061\u03b1sin\u2061\u03b1)und(01)\u21a6(\u2212sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b1).{displaystyle {begin{pmatrix}1\\0end{pmatrix}}mapsto {begin{pmatrix}cos alpha \\sin alpha end{pmatrix}}qquad {text{und}}qquad {begin{pmatrix}0\\1end{pmatrix}}mapsto {begin{pmatrix}-sin alpha \\cos alpha end{pmatrix}}.}F\u00fcr die Drehmatrix einer Drehung um \u03b1{displaystyle alpha } ergibt sich damitR\u03b1=(cos\u2061\u03b1\u2212sin\u2061\u03b1sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b1).{displaystyle R_{alpha }={begin{pmatrix}cos alpha &-sin alpha \\sin alpha &cos alpha end{pmatrix}}.}Zur Drehung eines Punktes P=(x,y){displaystyle P=(x,y)} um den Winkel \u03b1{displaystyle alpha } kann man einfach den zugeh\u00f6rigen (als Spaltenvektor geschriebenen) Ortsvektor p=(xy){displaystyle p={begin{pmatrix}x\\yend{pmatrix}}} durch Anwenden der obigen Formel (1){displaystyle (1)} drehen, um den Ortsvektor p\u2032=(x\u2032y\u2032){displaystyle p’={begin{pmatrix}x’\\y’end{pmatrix}}} des neuen Punktes P\u2032=(x\u2032,y\u2032){displaystyle P’=(x’,y’)} zu erhalten:p\u2032=R\u03b1\u22c5p{displaystyle p’=R_{alpha }cdot p}(x\u2032y\u2032)=(cos\u2061\u03b1\u2212sin\u2061\u03b1sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b1)\u22c5(xy){displaystyle {begin{pmatrix}x’\\y’end{pmatrix}}={begin{pmatrix}cos alpha &-sin alpha \\sin alpha &cos alpha end{pmatrix}}cdot {begin{pmatrix}x\\yend{pmatrix}}}Diese Matrixmultiplikation ergibt:x\u2032=x\u22c5cos\u2061\u03b1\u2212y\u22c5sin\u2061\u03b1{displaystyle x’=xcdot cos alpha -ycdot sin alpha }y\u2032=x\u22c5sin\u2061\u03b1+y\u22c5cos\u2061\u03b1{displaystyle y’=xcdot sin alpha +ycdot cos alpha }Bei der passiven Drehung wird das Koordinatensystem mathematisch positiv gedreht. Der Vektor p{displaystyle p} erscheint im gedrehten Koordinatensystem als im Uhrzeigersinn zur\u00fcckgedrehter Vektor p^{displaystyle {hat {p}}}. Seine Koordinaten im gedrehten Koordinatensystem findet man durch Multiplikation mit der Matrix R\u03b1\u22121{displaystyle R_{alpha }^{-1}}:p^=R\u03b1\u22121p{displaystyle {hat {p}}=R_{alpha }^{-1}p}Die Drehmatrix f\u00fcr die passive Drehung ist:R\u03b1\u22121=(cos\u2061\u03b1sin\u2061\u03b1\u2212sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b1)=R\u2212\u03b1{displaystyle R_{alpha }^{-1}={begin{pmatrix}cos alpha &sin alpha \\-sin alpha &cos alpha end{pmatrix}}=R_{-alpha }}Die Verkettung zweier positiver Drehungen um die Winkel \u03b1{displaystyle alpha } bzw. \u03b2{displaystyle beta } ist erneut eine Drehung, und zwar um den Winkel \u03b1+\u03b2{displaystyle alpha +beta } (siehe auch Kreisgruppe).Die zur Verkettung geh\u00f6rende Matrix kann mittels Multiplikation aus den beiden einzelnen Drehmatrizen berechnet werden:R\u03b1+\u03b2=R\u03b1R\u03b2(cos\u2061(\u03b1+\u03b2)\u2212sin\u2061(\u03b1+\u03b2)sin\u2061(\u03b1+\u03b2)cos\u2061(\u03b1+\u03b2))=(cos\u2061\u03b1\u2212sin\u2061\u03b1sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b1)(cos\u2061\u03b2\u2212sin\u2061\u03b2sin\u2061\u03b2cos\u2061\u03b2)=(cos\u2061\u03b1cos\u2061\u03b2\u2212sin\u2061\u03b1sin\u2061\u03b2\u2212cos\u2061\u03b1sin\u2061\u03b2\u2212sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b2cos\u2061\u03b1sin\u2061\u03b2+sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b2cos\u2061\u03b1cos\u2061\u03b2\u2212sin\u2061\u03b1sin\u2061\u03b2){displaystyle {begin{aligned}R_{alpha +beta }=&R_{alpha }R_{beta }\\{begin{pmatrix}cos(alpha +beta )&-sin(alpha +beta )\\sin(alpha +beta )&cos(alpha +beta )end{pmatrix}}=&{begin{pmatrix}cos alpha &-sin alpha \\sin alpha &cos alpha end{pmatrix}}{begin{pmatrix}cos beta &-sin beta \\sin beta &cos beta end{pmatrix}}\\=&{begin{pmatrix}cos alpha cos beta -sin alpha sin beta &-cos alpha sin beta -sin alpha cos beta \\cos alpha sin beta +sin alpha cos beta &cos alpha cos beta -sin alpha sin beta end{pmatrix}}end{aligned}}}Die elementaren Drehungen im R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} sind Drehungen um die \u00fcblichen kartesischen Koordinatenachsen. Die folgenden Matrizen drehen einen Punkt (bzw. Vektor) um den Winkel \u03b1{displaystyle alpha } bei festen Koordinatenachsen. In der Physik werden h\u00e4ufig Drehungen des Koordinatensystems benutzt, dann m\u00fcssen bei den untenstehenden Matrizen die Vorzeichen aller Sinus-Eintr\u00e4ge ge\u00e4ndert werden. Die Drehung eines Vektors um einen bestimmten Winkel in einem Koordinatensystem f\u00fchrt auf dieselben Spaltenvektoren wie die Drehung des Koordinatensystems um den gleichen Winkel in umgekehrter Richtung (Drehung um negativen Winkel).Die Matrizen gelten sowohl f\u00fcr Rechts- als auch f\u00fcr Linkssysteme. Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht. Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung schaut. In Rechtssystemen kann auch eine Rechte-Hand-Regel angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an. Im Ergebnis ist das Vorzeichen der Sinus-Eintr\u00e4ge der Drehung um die y{displaystyle y}-Achse anders als bei den beiden anderen Matrizen.Drehung um die x{displaystyle x}-Achse:Rx(\u03b1)=(1000cos\u2061\u03b1\u2212sin\u2061\u03b10sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b1){displaystyle R_{x}(alpha )={begin{pmatrix}1&0&0\\0&cos alpha &-sin alpha \\0&sin alpha &cos alpha end{pmatrix}}}Drehung um die y{displaystyle y}-Achse:Ry(\u03b1)=(cos\u2061\u03b10sin\u2061\u03b1010\u2212sin\u2061\u03b10cos\u2061\u03b1){displaystyle R_{y}(alpha )={begin{pmatrix}cos alpha &0&sin alpha \\0&1&0\\-sin alpha &0&cos alpha end{pmatrix}}}Drehung um die z{displaystyle z}-Achse:Rz(\u03b1)=(cos\u2061\u03b1\u2212sin\u2061\u03b10sin\u2061\u03b1cos\u2061\u03b10001){displaystyle R_{z}(alpha )={begin{pmatrix}cos alpha &-sin alpha &0\\sin alpha &cos alpha &0\\0&0&1end{pmatrix}}}Drehung um eine Ursprungsgerade, deren Richtung und Orientierung durch den beliebigen Einheitsvektor n^=(n1,n2,n3)T{displaystyle {hat {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})^{T}} gegeben ist:Rn^(\u03b1)=(n12(1\u2212cos\u2061\u03b1)+cos\u2061\u03b1n1n2(1\u2212cos\u2061\u03b1)\u2212n3sin\u2061\u03b1n1n3(1\u2212cos\u2061\u03b1)+n2sin\u2061\u03b1n2n1(1\u2212cos\u2061\u03b1)+n3sin\u2061\u03b1n22(1\u2212cos\u2061\u03b1)+cos\u2061\u03b1n2n3(1\u2212cos\u2061\u03b1)\u2212n1sin\u2061\u03b1n3n1(1\u2212cos\u2061\u03b1)\u2212n2sin\u2061\u03b1n3n2(1\u2212cos\u2061\u03b1)+n1sin\u2061\u03b1n32(1\u2212cos\u2061\u03b1)+cos\u2061\u03b1){displaystyle R_{hat {n}}(alpha )={begin{pmatrix}n_{1}^{2}left(1-cos alpha right)+cos alpha &n_{1}n_{2}left(1-cos alpha right)-n_{3}sin alpha &n_{1}n_{3}left(1-cos alpha right)+n_{2}sin alpha \\n_{2}n_{1}left(1-cos alpha right)+n_{3}sin alpha &n_{2}^{2}left(1-cos alpha right)+cos alpha &n_{2}n_{3}left(1-cos alpha right)-n_{1}sin alpha \\n_{3}n_{1}left(1-cos alpha right)-n_{2}sin alpha &n_{3}n_{2}left(1-cos alpha right)+n_{1}sin alpha &n_{3}^{2}left(1-cos alpha right)+cos alpha end{pmatrix}}}Diese beliebige Drehung l\u00e4sst sich auch \u00fcber drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den eulerschen Winkeln um bestimmte Koordinatenachsen erzielen, sodass sich diese Matrix auch mit diesen Winkeln formulieren l\u00e4sst.Eine Drehung um eine beliebige Achse n^{displaystyle {hat {n}}} (mit n^\u22c5n^=1{displaystyle {hat {n}}cdot {hat {n}}=1}) um den Winkel \u03b1{displaystyle alpha } l\u00e4sst sich im R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} schreiben als:Rn^(\u03b1)x\u2192=n^(n^\u22c5x\u2192)+cos\u2061(\u03b1)(n^\u00d7x\u2192)\u00d7n^+sin\u2061(\u03b1)(n^\u00d7x\u2192){displaystyle R_{hat {n}}(alpha ){vec {x}}={hat {n}}({hat {n}}cdot {vec {x}})+cos left(alpha right)({hat {n}}times {vec {x}})times {hat {n}}+sin left(alpha right)({hat {n}}times {vec {x}})}Dies l\u00e4sst sich mit der Gra\u00dfmann-Identit\u00e4t f\u00fcr doppelte Kreuzprodukte und dem dyadischen Produkt \u2297{displaystyle otimes } umformen zu:Rn^(\u03b1)x\u2192=(1\u2212cos\u2061\u03b1)n^(n^\u22c5x\u2192)+cos\u2061\u03b1x\u2192+sin\u2061\u03b1(n^\u00d7x\u2192)={(1\u2212cos\u2061\u03b1)n^\u2297n^+Icos\u2061\u03b1+sin\u2061\u03b1\u2211i(n^\u00d7e^i)\u2297e^i}x\u2192={(1\u2212cos\u2061\u03b1)n^\u2297n^+Icos\u2061\u03b1+[n^]\u00d7sin\u2061\u03b1}x\u2192{displaystyle {begin{aligned}R_{hat {n}}(alpha ){vec {x}}&=(1-cos alpha ){hat {n}}({hat {n}}cdot {vec {x}})+cos alpha ,{vec {x}}+sin alpha ({hat {n}}times {vec {x}})\\&={Bigl {}(1-cos alpha ){hat {n}}otimes {hat {n}}+I,cos alpha +sin alpha sum _{i}({hat {n}}times {hat {e}}_{i})otimes {hat {e}}_{i}{Bigr }}{vec {x}}\\&={Bigl {}(1-cos alpha ){hat {n}}otimes {hat {n}}+I,cos alpha +[{hat {n}}]_{times },sin alpha {Bigr }}{vec {x}}end{aligned}}}Dabei ist I{displaystyle I} die Einheitsmatrix und e^i{displaystyle {hat {e}}_{i}} sind die kanonischen Einheitsvektoren. [n^]\u00d7{displaystyle [{hat {n}}]_{times }} ist die Kreuzproduktmatrix von n^{displaystyle {hat {n}}}.Der Term in geschweiften Klammern stellt die Drehmatrix im R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} dar. In Komponentendarstellung schreibt sich diese so:[Rn^(\u03b1)]ij=(1\u2212cos\u2061\u03b1)ninj+cos\u2061\u03b1\u03b4ij+sin\u2061\u03b1\u03b5ikjnk{displaystyle [R_{hat {n}}(alpha )]_{ij}=(1-cos alpha )n_{i}n_{j}+cos alpha ,delta _{ij}+sin alpha ,varepsilon _{ikj}n_{k}}Dabei sind \u03b4ij{displaystyle delta _{ij}} das Kronecker-Delta und \u03b5ikj{displaystyle varepsilon _{ikj}} das Levi-Civita-Symbol.Eine Drehmatrix R\u2260I{displaystyle Rneq I} im R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} hat den Eigenwert\u00a01, dieser ist nicht entartet, und der zugeh\u00f6rige Eigenraum bildet die Drehachse.Parametrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]F\u00fcr Drehmatrizen im dreidimensionalen Raum sind mehrere Parametrisierungen bekannt:\u03b1\u2192=\u03b1n^\u2192R=I+sin\u2061(\u03b1)\u03b1[\u03b1\u2192]\u00d7+1\u2212cos\u2061(\u03b1)\u03b12[\u03b1\u2192]\u00d72=exp\u2061([\u03b1\u2192]\u00d7)\u03b1\u2192=tan\u2061(\u03b12)n^\u2192R=I+21+\u03b1\u2192\u22c5\u03b1\u2192([\u03b1\u2192]\u00d7+[\u03b1\u2192]\u00d72)\u03b1\u2192=sin\u2061(\u03b1)n^\u2192R=I+[\u03b1\u2192]\u00d7+11+cos\u2061(\u03b1)[\u03b1\u2192]\u00d72\u03b1\u2192=sin\u2061(\u03b12)n^\u2192R=I+2cos\u2061(\u03b12)[\u03b1\u2192]\u00d7+2[\u03b1\u2192]\u00d72{displaystyle {begin{array}{lcl}{vec {alpha }}=alpha {hat {n}}&rightarrow &R=I+{frac {sin(alpha )}{alpha }}[{vec {alpha }}]_{times }+{frac {1-cos(alpha )}{alpha ^{2}}}[{vec {alpha }}]_{times }^{2}=exp([{vec {alpha }}]_{times })\\{vec {alpha }}=tan left({dfrac {alpha }{2}}right);{hat {n}}&rightarrow &R=I+{dfrac {2}{1+{vec {alpha }}cdot {vec {alpha }}}}([{vec {alpha }}]_{times }+[{vec {alpha }}]_{times }^{2})\\[2ex]{vec {alpha }}=sin(alpha );{hat {n}}&rightarrow &R=I+[{vec {alpha }}]_{times }+{dfrac {1}{1+cos(alpha )}}[{vec {alpha }}]_{times }^{2}\\[2ex]{vec {alpha }}=sin left({dfrac {alpha }{2}}right);{hat {n}}&rightarrow &R=I+2cos left({dfrac {alpha }{2}}right)[{vec {alpha }}]_{times }+2[{vec {alpha }}]_{times }^{2}end{array}}}Darin ist \u03b1{displaystyle alpha } der Drehwinkel, n^{displaystyle {hat {n}}} der Einheitsvektor in Richtung der Drehachse und [\u03b1\u2192]\u00d7{displaystyle [{vec {alpha }}]_{times }} ist die Kreuzproduktmatrix des Rotationsvektors. Die Auflistung gibt vier Darstellungen derselben Drehmatrix, die mit Winkel \u03b1{displaystyle alpha } um die Drehachse n^{displaystyle {hat {n}}} dreht.Im n{displaystyle n}-dimensionalen Raum wird eine Drehung nicht durch eine Drehachse, sondern durch die Ebene definiert, die bei der Drehung auf sich selbst abgebildet wird. Das gilt auch in zwei Dimensionen, wo die Dreh-\u201eAchse\u201c nur ein Punkt ist. Seien im Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} die Vektoren g^1{displaystyle {hat {g}}_{1}} und g^2{displaystyle {hat {g}}_{2}} zwei zueinander orthogonale Einheitsvektoren (also g^1\u22c5g^2=0{displaystyle {hat {g}}_{1}cdot {hat {g}}_{2}=0} und |g^1|=|g^2|=1{displaystyle left|{hat {g}}_{1}right|=left|{hat {g}}_{2}right|=1}), die demnach eine Ebene aufspannen. Seien V=g^1\u2297g^1+g^2\u2297g^2{displaystyle V={hat {g}}_{1}otimes {hat {g}}_{1}+{hat {g}}_{2}otimes {hat {g}}_{2}}, W=g^1\u2297g^2\u2212g^2\u2297g^1{displaystyle W={hat {g}}_{1}otimes {hat {g}}_{2}-{hat {g}}_{2}otimes {hat {g}}_{1}}, und In{displaystyle I_{n}} die Einheitsmatrix. Dann vermittelt die MatrixR=exp\u2061(\u03b1W)=In+(cos\u2061(\u03b1)\u22121)V+sin\u2061(\u03b1)W{displaystyle R=exp(alpha W)=I_{n}+left(cos(alpha )-1right)V+sin(alpha )W}eine Drehung um den Winkel \u03b1{displaystyle alpha } in der g^1–g^2-Ebene{displaystyle {hat {g}}_{1}{text{-}}{hat {g}}_{2}{text{-Ebene}}} im Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}. Dabei wurdeexp\u2061(\u03b1W):=\u2211k=0\u221e\u03b1kk!Wk{displaystyle exp left(alpha Wright):=sum _{k=0}^{infty }{frac {alpha ^{k}}{kmathrm {!} }}{W}^{k}}und W0:=In{displaystyle W^{0}:=I_{n}} definiert. Die Darstellung exp\u2061(\u03b1W)=In+(cos\u2061(\u03b1)\u22121)V+sin\u2061(\u03b1)W{displaystyle exp(alpha W)=I_{n}+left(cos(alpha )-1right)V+sin(alpha )W} ergibt sich aus den Identit\u00e4tenW2=WW=\u2212V,WV=VW=W,V2=V\u2192W2n=(\u22121)nVundW2n+1=(\u22121)nW{displaystyle {begin{aligned}{W}^{2}=&WW=-V,,quad WV=VW=W,,quad V^{2}=V\\rightarrow W^{2n}=&(-1)^{n}Vquad {text{und}}quad {W}^{2n+1}=(-1)^{n}Wend{aligned}}}sowiecos\u2061(\u03b1)=1+\u2211k=1\u221e(\u22121)k(2k)!\u03b12kundsin\u2061(\u03b1)=\u2211k=0\u221e(\u22121)k(2k+1)!\u03b12k+1.{displaystyle cos(alpha )=1+sum _{k=1}^{infty }{frac {{(-1)}^{k}}{left(2kright)mathrm {!} }}alpha ^{2k}quad {text{und}}quad sin(alpha )=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{(2k+1)mathrm {!} }}alpha ^{2k+1}.}Eigensystem der Drehmatrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Von R{displaystyle R} wird jeder auf g^1{displaystyle {hat {g}}_{1}} und g^2{displaystyle {hat {g}}_{2}} senkrecht stehende Vektor n\u2192{displaystyle {vec {n}}} (mit n\u2192\u22c5g^1=n\u2192\u22c5g^2=0{displaystyle {vec {n}}cdot {hat {g}}_{1}={vec {n}}cdot {hat {g}}_{2}=0}) auf sich selbst abgebildet. Also sind diese Vektoren n\u2192{displaystyle {vec {n}}} Eigenvektoren von R{displaystyle R} mit Eigenwert 1. Zwei Eigenwerte von R{displaystyle R} sind \u03bb1,2=e\u00b1i\u03b1{displaystyle lambda _{1,2}=e^{pm mathrm {i} alpha }} mit den Eigenvektoren v^1,2=22(g^1\u00b1ig^2){displaystyle {hat {v}}_{1,2}={tfrac {sqrt {2}}{2}}left({hat {g}}_{1}pm mathrm {i} {hat {g}}_{2}right)}, worin i2=\u22121{displaystyle mathrm {i} ^{2}=-1} die imagin\u00e4re Einheit definiert. Aus diesen komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren kann man also den Drehwinkel und die Drehebene rekonstruieren. Des Weiteren gilt bei Drehung in einer Ebene:Sp\u2061R=n+2cos\u2061(\u03b1)\u22122\u2192\u03b1=arccos\u2061(Sp\u2061(R)+2\u2212n2)R\u2212R\u22a4=2sin\u2061(\u03b1)W\u2192g^1\u2297g^2\u2212g^2\u2297g^1=W=R\u2212R\u22a42sin\u2061(\u03b1){displaystyle {begin{aligned}operatorname {Sp} R=&n+2cos(alpha )-2rightarrow alpha =arccos left({frac {operatorname {Sp} (R)+2-n}{2}}right)\\R-{R}^{top }=&2sin(alpha )Wrightarrow {hat {g}}_{1}otimes {hat {g}}_{2}-{hat {g}}_{2}otimes {hat {g}}_{1}=W={frac {R-{R}^{top }}{2sin(alpha )}}end{aligned}}}Allerdings kann eine Drehung im n{displaystyle n}-dimensionalen Raum gleichzeitig in n2{displaystyle {tfrac {n}{2}}} (falls n{displaystyle n} gerade) oder n\u221212{displaystyle {tfrac {n-1}{2}}} (falls n{displaystyle n} ungerade) Ebenen auch mit mehreren unterschiedlichen Winkeln stattfinden. Dadurch kann es in geraden Dimensionen dazu kommen, dass eine allgemeine Drehmatrix nicht den Eigenwert 1 hat.Eine n\u00d7n{displaystyle ntimes n}-Matrix R{displaystyle R} mit reellen Komponenten hei\u00dft Drehmatrix, wenn siea) die L\u00e4nge von Vektoren und die Winkel zwischen Vektoren erh\u00e4lt (ausgedr\u00fcckt durch das Skalarprodukt), wenn also f\u00fcr alle Vektoren x{displaystyle x} und y{displaystyle y} des Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} gilt:\u27e8Rx,Ry\u27e9=\u27e8x,y\u27e9{displaystyle langle Rx,Ryrangle =langle x,yrangle }undb) orientierungserhaltend ist, wenn also detR=1{displaystyle det ,R=1} gilt.Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante +1.Weitere Eigenschaften von Rotationsmatrizen R\u2208Rn\u00d7n{displaystyle Rin mathbb {R} ^{ntimes n}}:RTR=R\u00a0RT=In{displaystyle R^{T}R=R R^{T}={I_{n}}} (orthogonal), folgt aus dem ersten Teil der Definition:\u27e8Rx,Ry\u27e9\u2261\u27e8x,RTRy\u27e9=\u27e8x,y\u27e9\u21d2RTR=I{displaystyle leftlangle Rx,Ryrightrangle equiv leftlangle x,R^{T}Ryrightrangle =leftlangle x,yrightrangle quad Rightarrow quad R^{T}R=I}RT=R\u22121{displaystyle R^{T}=R^{-1}} (Transponierte und Inverse von R sind gleich), folgt aus der Orthogonalit\u00e4t.det(R)=1{displaystyle det(R)=1} (Determinante), entspricht dem zweiten Teil der Definition.Die Ausrichtung des Koordinatensystems (Rechts- oder Linkssystem) wird beibehalten, da  0″\/> positive Orientierung.Die Kombination einer Drehung R1{displaystyle R_{1}} mit anschlie\u00dfender Drehung R2{displaystyle R_{2}} erfolgt mit der Matrix R2R1{displaystyle R_{2}R_{1}}. Weil die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, f\u00fchrt die umgekehrte Reihenfolge R1R2{displaystyle R_{1}R_{2}} im Allgemeinen zu einem anderen Ergebnis. Nur bei infinitesimal kleinen Drehungen ist die Reihenfolge vertauschbar, siehe #Kommutativit\u00e4t infinitesimaler Drehungen.SO(n)={lineare Abbildung\u00a0R:Rn\u2192Rn\u00a0|\u00a0RTR=In,\u00a0detR=1}{displaystyle mathrm {SO} (n)=left{{text{lineare Abbildung }}Rcolon ,mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n} | R^{T}R=I_{n},, det ,R=1right}}Zus\u00e4tzlich zur algebraischen Struktur einer Gruppe besitzt die Menge aller Drehmatrizen auch eine topologische Struktur: Die Operationen Multiplikation und Inversion von Drehmatrizen sind stetig differenzierbare Funktionen ihrer Parameter, der Drehwinkel. Die SO(n){displaystyle mathrm {SO} (n)} bildet eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ist somit eine Lie-Gruppe. Diese hat die Dimension n(n\u22121)\/2{displaystyle n(n-1)\/2}.exp:\u00a0so(n)\u2192SO(n),\u00a0J\u21a6\u2211k=0\u221e1k!Jk{displaystyle exp colon  {mathfrak {so}}(n)to mathrm {SO} (n), Jmapsto sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}J^{k}}Speziell bei Drehungen in einer Ebene gilt f\u00fcr Rotationsmatrizen R\u2208Rn\u00d7n{displaystyle Rin mathbb {R} ^{ntimes n}}:R\u22121(\u03b1)=R(\u2212\u03b1)=R(2\u03c0\u2212\u03b1){displaystyle R^{-1}(alpha )=R({-alpha })=R(2pi -alpha )}Zwei Vektoren spannen die Drehebene auf und n\u22122{displaystyle n-2} Vektoren werden von R{displaystyle R} auf sich abgebildet. In drei Dimensionen wird ein Vektor auf sich abgebildet, der dann die Drehachse erzeugt.Die zur Drehebene senkrechten Vektoren v\u2192{displaystyle {vec {v}}} sind L\u00f6sung von(R\u2212I)v\u2192=0\u2192.{displaystyle (R-I){vec {v}}={vec {0}}.}Da (R\u2212I){displaystyle (R-I)} f\u00fcr ungerade Dimensionen nicht regul\u00e4r ist, ist die Berechnung dieser Vektoren \u00fcber eine Eigenwertzerlegung durchzuf\u00fchren. Die Vektoren v\u2192{displaystyle {vec {v}}} sind Eigenvektor von R{displaystyle R} mit Eigenwert 1. In geraden Dimensionen muss kein Eigenvektor zum Eigenwert 1 existieren, was im Fall n=2{displaystyle n=2} anschaulich klar ist.Der Drehwinkel \u03b1{displaystyle alpha } ergibt sich \u00fcber das Skalarprodukt:\u27e8w\u2192,Rw\u2192\u27e9=\u2016w\u2192\u2016\u2016Rw\u2192\u2016cos\u2061\u03b1{displaystyle quad leftlangle {vec {w}},R{vec {w}}rightrangle =left|{vec {w}}right|left|R{vec {w}}right|cos alpha }mit w\u2192{displaystyle {vec {w}}} in der Drehebene, in drei Dimensionen also orthogonal zur Drehachse, oder aus der Spur der DrehmatrixSpur\u2061(R)=n\u22122+2cos\u2061\u03b1{displaystyle operatorname {Spur} (R)=n-2+2cos alpha }(siehe auch Formel f\u00fcr die Matrix einer Drehung um eine allgemeine Achse oben).Betrachtet man Drehungen um infinitesimal kleine Winkel d\u03b1{displaystyle mathrm {d} alpha }, so ist es ausreichend, die Winkelfunktionen der endlichen Drehung bis zur ersten Ordnung zu entwickeln (sin\u2061x=x{displaystyle sin x=x} bzw. cos\u2061x=1{displaystyle cos x=1}). Damit lassen sich nun infinitesimale Drehungen darstellen alsR(d\u03b1)=I+d\u03b1J,{displaystyle R(mathrm {d} alpha )=I+mathrm {d} alpha ,J,}wobei I{displaystyle I} die Einheitsmatrix und J{displaystyle J} die Erzeugende einer infinitesimalen Drehung darstellt. Die Erzeugenden sind die Ableitungen der Rotationsmatrix an der Stelle der Identit\u00e4t und bilden die Basis der Lie-Algebra so(n){displaystyle {mathfrak {so}}(n)} (Beispiel siehe unten).J=dR(\u03b1)d\u03b1|\u03b1=0{displaystyle J=left.{frac {mathrm {d} R(alpha )}{mathrm {d} alpha }}right|_{alpha =0}}Eine endliche Drehung l\u00e4sst sich durch Hintereinanderausf\u00fchrung infinitesimaler Drehungen erzeugen:R(\u03b1)=limN\u2192\u221e[R(\u03b1N)]N=limN\u2192\u221e[I+\u03b1NJ]N=exp\u2061(\u03b1J)\u2261\u2211n=0\u221e(\u03b1J)nn!{displaystyle R(alpha )=lim _{Nto infty }left[Rleft({frac {alpha }{N}}right)right]^{N}=lim _{Nto infty }left[I+{frac {alpha }{N}},Jright]^{N}=exp left(alpha Jright)equiv sum _{n=0}^{infty }{frac {left(alpha Jright)^{n}}{n!}}}Dabei wurde die Exponentialfunktion identifiziert. Die Exponentialfunktion von Matrizen ist \u00fcber die Reihendarstellung definiert, wie im letzten Schritt gezeigt. Es l\u00e4sst sich zeigen, dass Erzeugende spurfrei sein m\u00fcssen:1=detR(\u03b1)=exp\u2061(\u03b1\u00a0SpJ)\u27f9SpJ=0{displaystyle 1=det R(alpha )=exp(alpha  operatorname {Sp} ,J)quad implies quad operatorname {Sp} ,J=0}und schiefsymmetrisch sind:I=R(\u03b1)RT(\u03b1)=RT(\u03b1)R(\u03b1)=e\u03b1Je\u03b1JT=e\u03b1JTe\u03b1J=e\u03b1(J+JT)\u27f9J+JT=0.{displaystyle I=R(alpha )R^{mathrm {T} }(alpha )=R^{mathrm {T} }(alpha )R(alpha )=e^{alpha J}e^{alpha J^{mathrm {T} }}=e^{alpha J^{mathrm {T} }}e^{alpha J}=e^{alpha (J+J^{mathrm {T} })}quad implies quad J+J^{mathrm {T} }=0.}Mit dem Konzept der Erzeugenden l\u00e4sst sich die lokale Gruppenstruktur der SO(n){displaystyle mathrm {SO} (n)} in der Umgebung der identischen Abbildung ausdr\u00fccken, und zwar durch die infinitesimalen Drehungen. Wegen des Zusammenhangs \u00fcber die Exponentialfunktion wird aus einer Multiplikation von Drehmatrizen eine Addition ihrer Erzeugenden. Die Erzeugenden bilden einen Vektorraum derselben Dimension G=n(n\u22121)\/2{displaystyle G=n(n-1)\/2} wie die Drehgruppe SO(n){displaystyle mathrm {SO} (n)}; somit gibt es G{displaystyle G} linear unabh\u00e4ngige Erzeugende der Gruppe SO(n){displaystyle mathrm {SO} (n)}.Die Erzeugenden Ji{displaystyle J_{i}} bilden mit dem Lie-Produkt (Kommutator) die sog. Lie-Algebra so(n){displaystyle {mathfrak {so}}(n)}. Eine Algebra besitzt zwei Gruppenstrukturen, die kommutative Addition und eine Multiplikation (Lie-Produkt). Der Kommutator zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden (Abgeschlossenheit):[Ji,Jk]=\u2211lciklJl{displaystyle [J_{i},J_{k}]=sum _{l}c_{ik}^{l}J_{l}}Die Koeffizienten cikl=\u2212ckil{displaystyle c_{ik}^{l}=-c_{ki}^{l}} sind charakteristische Konstanten der Gruppe. F\u00fcr alle doppelten Kommutatoren gilt die Jacobi-Identit\u00e4t:[[Ji,Jk],Jl]+[[Jk,Jl],Ji]+[[Jl,Ji],Jk]=0{displaystyle left[[J_{i},J_{k}],J_{l}right]+left[[J_{k},J_{l}],J_{i}right]+left[[J_{l},J_{i}],J_{k}right]=0}In der theoretischen Physik spielen Lie-Gruppen eine wichtige Rolle, z.\u00a0B. in der Quantenmechanik (siehe Drehimpulsoperator) oder der Elementarteilchenphysik.Ebene \u211d\u00b2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]F\u00fcr Drehungen im R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} lauten die infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende:R(d\u03b1)=(1\u2212d\u03b1d\u03b11),J=(0\u2212110){displaystyle R(mathrm {d} alpha )={begin{pmatrix}1&-mathrm {d} alpha \\mathrm {d} alpha &1end{pmatrix}},,quad J={begin{pmatrix}0&-1\\1&0end{pmatrix}}}F\u00fcr die SO(2){displaystyle mathrm {SO} (2)} gibt es nur eine linear unabh\u00e4ngige Erzeugende.Eine endliche Drehung l\u00e4sst sich \u00fcber die Exponentialfunktion des Drehwinkels und der Erzeugenden darstellen. Dies wird hier auf eine weitere Art gezeigt: Die Drehmatrix wird in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil zerlegt und die trigonometrischen Funktionen werden durch ihre Taylorreihe dargestellt.R(\u03b1)=Icos\u2061\u03b1+Jsin\u2061\u03b1=I\u2211n=0\u221e(\u22121)n\u03b12n(2n)!+J\u2211n=0\u221e(\u22121)n\u03b12n+1(2n+1)!{displaystyle R(alpha )=I,cos alpha +J,sin alpha =I,sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {alpha ^{2n}}{(2n)!}}+J,sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}}Mit J2=\u2212I{displaystyle J^{2}=-I} bzw. J2n=(\u2212I)n{displaystyle J^{2n}=(-I)^{n}} folgt das von oben bekannte Ergebnis:R(\u03b1)=\u2211n=0\u221eJ2n\u03b12n(2n)!+\u2211n=0\u221eJ2n+1\u03b12n+1(2n+1)!=exp\u2061(\u03b1J){displaystyle R(alpha )=sum _{n=0}^{infty }J^{2n}{frac {alpha ^{2n}}{(2n)!}}+sum _{n=0}^{infty }J^{2n+1}{frac {alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}=exp(alpha J)}Raum \u211d\u00b3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]F\u00fcr Drehungen im R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} um die kartesischen Koordinatenachsen lauten die infinitesimalen Drehungen und ihre Erzeugenden:Rx(d\u03b1)=(10001\u2212d\u03b10d\u03b11),Jx=(00000\u22121010)Ry(d\u03b1)=(10d\u03b1010\u2212d\u03b101),Jy=(001000\u2212100)Rz(d\u03b1)=(1\u2212d\u03b10d\u03b110001),Jz=(0\u221210100000){displaystyle {begin{aligned}R_{x}(mathrm {d} alpha )&={begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-mathrm {d} alpha \\0&mathrm {d} alpha &1end{pmatrix}},,quad &J_{x}&={begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0end{pmatrix}}\\R_{y}(mathrm {d} alpha )&={begin{pmatrix}1&0&mathrm {d} alpha \\0&1&0\\-mathrm {d} alpha &0&1end{pmatrix}},,quad &J_{y}&={begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0end{pmatrix}}\\R_{z}(mathrm {d} alpha )&={begin{pmatrix}1&-mathrm {d} alpha &0\\mathrm {d} alpha &1&0\\0&0&1end{pmatrix}},,quad &J_{z}&={begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0end{pmatrix}}end{aligned}}}F\u00fcr die SO(3){displaystyle mathrm {SO} (3)} gibt es drei linear unabh\u00e4ngige Erzeugende. Gegen\u00fcber endlichen Drehungen vertauschen infinitesimale Drehungen miteinander (der Kommutator verschwindet in erster Ordnung in d\u03b1{displaystyle mathrm {d} alpha }).Eine infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende um eine beliebige Achse n^{displaystyle {hat {n}}} (mit n^\u22c5n^=1{displaystyle {hat {n}}cdot {hat {n}}=1}) l\u00e4sst sich auch schreiben als:Rn^(d\u03b1)=I+d\u03b1\u2211i(n^\u00d7e^i)\u2297e^i=(1\u2212d\u03b1nzd\u03b1nyd\u03b1nz1\u2212d\u03b1nx\u2212d\u03b1nyd\u03b1nx1){displaystyle R_{hat {n}}(mathrm {d} alpha )=I+mathrm {d} alpha sum _{i}({hat {n}}times {hat {e}}_{i})otimes {hat {e}}_{i}={begin{pmatrix}1&-mathrm {d} alpha ,n_{z}&mathrm {d} alpha ,n_{y}\\mathrm {d} alpha ,n_{z}&1&-mathrm {d} alpha ,n_{x}\\-mathrm {d} alpha ,n_{y}&mathrm {d} alpha ,n_{x}&1end{pmatrix}}}Jn^=\u2211i(n^\u00d7e^i)\u2297e^i=(0\u2212nznynz0\u2212nx\u2212nynx0){displaystyle J_{hat {n}}=sum _{i}left({hat {n}}times {hat {e}}_{i}right)otimes {hat {e}}_{i}={begin{pmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0end{pmatrix}}}Hieran sieht man, dass eine beliebige Erzeugende stets eine schiefsymmetrische Matrix ist.Eine endliche Drehung um eine beliebige Achse n^{displaystyle {hat {n}}} (mit n^\u22c5n^=1{displaystyle {hat {n}}cdot {hat {n}}=1}) um den Winkel \u03b1{displaystyle alpha } l\u00e4sst sich so darstellen:Rn^(\u03b1)=exp\u2061(\u03b1Jn^)=exp\u2061(\u03b1n^\u22c5J\u2192)=exp\u2061(\u03b1(nxJx+nyJy+nzJz)){displaystyle R_{hat {n}}(alpha )=exp {Big (}alpha ,J_{hat {n}}{Big )}=exp {Big (}alpha ,{hat {n}}cdot {vec {J}},{Big )}=exp {Big (}alpha (n_{x}J_{x}+n_{y}J_{y}+n_{z}J_{z}){Big )}}Die Erzeugenden Jx{displaystyle J_{x}}, Jy{displaystyle J_{y}}, Jz{displaystyle J_{z}} bilden die sog. Lie-Algebra so(3){displaystyle {mathfrak {so}}(3)}, d.\u00a0h., der Kommutator (Lie-Produkt) zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden:[Jx,Jy]=Jz,[Jx,Jz]=\u2212Jy{displaystyle [J_{x},J_{y}]=J_{z},,quad [J_{x},J_{z}]=-J_{y}}und ebenso f\u00fcr alle zyklischen Permutationen der Indizes.Kommutativit\u00e4t infinitesimaler Drehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zwei infinitesimale Drehungen sind in ihrer Reihenfolge vertauschbar, was bei gro\u00dfen Drehungen im Allgemeinen nicht der Fall ist, siehe #Eigenschaften. Ersichtlich ist das am Produkt zweier infinitesimaler Drehungen Rn=I+d\u03b1Jn{displaystyle R_{n}=I+mathrm {d} alpha J_{n}} und Rm=I+d\u03b2Jm{displaystyle R_{m}=I+mathrm {d} beta J_{m}}RnRm=(I+d\u03b1Jn)(I+d\u03b2Jm)=I+d\u03b1Jn+d\u03b2Jm+d\u03b1d\u03b2JnJm\u2248I+d\u03b1Jn+d\u03b2Jm\u2248I+d\u03b1Jn+d\u03b2Jm+d\u03b1d\u03b2JmJn=(I+d\u03b2Jm)(I+d\u03b1Jn)=RmRn,{displaystyle {begin{aligned}R_{n}R_{m}=&(I+mathrm {d} alpha J_{n})(I+mathrm {d} beta J_{m})\\=&I+mathrm {d} alpha J_{n}+mathrm {d} beta J_{m}+mathrm {d} alpha mathrm {d} beta J_{n}J_{m}\\approx &I+mathrm {d} alpha J_{n}+mathrm {d} beta J_{m}approx I+mathrm {d} alpha J_{n}+mathrm {d} beta J_{m}+mathrm {d} alpha mathrm {d} beta J_{m}J_{n}\\=&(I+mathrm {d} beta J_{m})(I+mathrm {d} alpha J_{n})=R_{m}R_{n},end{aligned}}}denn die Terme, die proportional zum Produkt d\u03b1d\u03b2{displaystyle mathrm {d} alpha mathrm {d} beta } zweier infinitesimaler Gr\u00f6\u00dfen sind, k\u00f6nnen gegen\u00fcber den anderen vernachl\u00e4ssigt werden.Gegeben sei die Lage eines K\u00f6rpers in zwei Positionen. Au\u00dferdem sei die Positions\u00e4nderung durch Drehung um den Ursprung erfolgt. Gesucht ist die oder eine Drehmatrix, die diese Drehung beschreibt. Im n{displaystyle n}-dimensionalen Raum wird die Lage des K\u00f6rpers durch n{displaystyle n} Punkte x\u2192i,i=1\u2026n{displaystyle {vec {x}}_{i},;i=1ldots n} beschrieben, welche die Matrix X=(x\u21921\u2026x\u2192n){displaystyle X={Big (}{vec {x}}_{1}ldots {vec {x}}_{n}{Big )}} bilden. Die Ausgangslage werde durch X0{displaystyle X_{0}}, die verdrehte Lage durch X{displaystyle X} beschreiben. Dann gilt f\u00fcr die DrehungRX0=X.{displaystyle R,X_{0}=X.}Ist X0{displaystyle X_{0}} regul\u00e4r, dann kann die Drehmatrix einfach durch Rechtsmultiplikation mit X0\u22121{displaystyle X_{0}^{-1}} bestimmt werden:R=XX0\u22121.{displaystyle R=X,X_{0}^{-1}.}Ist X0{displaystyle X_{0}} nicht regul\u00e4r, weil zum Beispiel einer der Punkte des K\u00f6rpers im Ursprung liegt, dann kann die Inverse nicht gebildet werden. Auch die Pseudoinverse f\u00fchrt hier nicht zum Ziel. Allerdings kann eine Singul\u00e4rwertzerlegung durchgef\u00fchrt werden. Diese liefert f\u00fcr eine Matrix X{displaystyle X} die unit\u00e4ren Matrizen U{displaystyle U} und V{displaystyle V} sowie die Diagonalmatrix \u03a3{displaystyle Sigma } der Singul\u00e4rwerte:(U,\u03a3,V)=svd(X)X=U\u03a3VT{displaystyle {begin{aligned}(U,Sigma ,V)&={text{svd}}(X)\\X&=U,Sigma ,V^{mathrm {T} }end{aligned}}}Man kann zeigen, dass die Singul\u00e4rwerte gegen\u00fcber einer Rotation invariant sind. Es gilt also \u03a3=\u03a30{displaystyle Sigma =Sigma _{0}} und damitRX0=XRU0\u03a30V0T=U\u03a3VTR=UVTV0U0T.{displaystyle {begin{aligned}R,X_{0}&=X\\R,U_{0},Sigma _{0},V_{0}^{mathrm {T} }&=U,Sigma ,V^{mathrm {T} }\\R&=U,V^{mathrm {T} },V_{0},U_{0}^{mathrm {T} }.end{aligned}}}Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einf\u00fchrung f\u00fcr Studienanf\u00e4nger. 17.\u00a0aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4 (Studium. Grundkurs Mathematik).Karlheinz Goldhorn: Moderne mathematische Methoden der Physik. Band\u00a02. Springer, Berlin u.\u00a0a. 2010, ISBN 978-3-642-05184-5 (Springer-Lehrbuch).Max Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 4.\u00a0erg\u00e4nzte und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u.\u00a0a. 1997, ISBN 3-540-62903-3 (Grundwissen Mathematik\u00a0\u2013 Springer-Lehrbuch).Florian Scheck: Theoretische Physik. Band\u00a01: Mechanik, von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos. 8.\u00a0Auflage. Springer, Berlin u.\u00a0a. 2007, ISBN 978-3-540-71377-7.J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. arxiv:1103.5263."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki43\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki43\/2021\/12\/30\/drehmatrix-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Drehmatrix \u2013 Wikipedia"}}]}]