[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki47\/2021\/12\/27\/alephformel-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki47\/2021\/12\/27\/alephformel-wikipedia\/","headline":"Alephformel \u2013 Wikipedia","name":"Alephformel \u2013 Wikipedia","description":"Alephformeln sind mathematische Formeln der Kardinalzahlarithmetik und als solche Lehrs\u00e4tze des mathematischen Teilgebiets der Mengenlehre. Bedeutende Alephformeln sind nicht zuletzt","datePublished":"2021-12-27","dateModified":"2021-12-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki47\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki47\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki47\/2021\/12\/27\/alephformel-wikipedia\/","wordCount":9784,"articleBody":"Alephformeln sind mathematische Formeln der Kardinalzahlarithmetik und als solche Lehrs\u00e4tze des mathematischen Teilgebiets der Mengenlehre. Bedeutende Alephformeln sind nicht zuletzt mit den Namen der Mathematiker Gerhard Hessenberg, Felix Hausdorff und Felix Bernstein verbunden.[1][2][3][4][5][6][7][8]  Der Terminus Alephformel(n) wird vor allem von Arnold Oberschelp und Dieter Klaua in ihren jeweiligen Monographien Allgemeine Mengenlehre benutzt, wobei Oberschelp mit diesem Terminus explizit die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel (s.\u00a0u.) meint.[1][7]Die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel \u2013 die auch als Satz von Hessenberg zitiert wird \u2013 ist von grundlegender Bedeutung f\u00fcr die gesamte Kardinalzahlarithmetik. Sie l\u00e4sst sich folgenderma\u00dfen angeben:[9][10][11][12]F\u00fcr jede Ordinalzahl   \u03b1{displaystyle alpha } gilt\u2135\u03b12=\u2135\u03b1{displaystyle {aleph _{alpha }}^{2},=,aleph _{alpha }}.Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die hessenbergsche Formel zieht eine Reihe von weiteren Alephformeln nach sich.IF\u00fcr je zwei Ordinalzahlen   \u03b1{displaystyle alpha } und \u03b2{displaystyle beta } gilt die hessenbergsche Gleichung\u2135\u03b1+\u2135\u03b2=\u2135\u03b1\u22c5\u2135\u03b2=\u2135max(\u03b1,\u03b2)=max(\u2135\u03b1,\u2135\u03b2){displaystyle aleph _{alpha }+aleph _{beta },=,aleph _{alpha }cdot aleph _{beta },=,aleph _{max(alpha ,,,beta )},=,max(aleph _{alpha },,,aleph _{beta })}.[13][14][15][16][17]IIUnter Anwendung der hessenbergschen Gleichung ergibt sich auch die von Felix Bernstein vorgelegte bernsteinsche Formel:[18][19][20]F\u00fcr je zwei Ordinalzahlen \u03b1{displaystyle alpha } und \u03b2{displaystyle beta } mit \u03b1\u2264\u03b2+1{displaystyle alpha leq beta +1} gilt2\u2135\u03b2=\u2135\u03b1\u2135\u03b2{displaystyle 2^{aleph _{beta }},=,{aleph _{alpha }}^{aleph _{beta }}}.IIIFelix Bernstein hat eine weitere Alephformel geliefert, die bei Klaua auch als bernsteinscher Alephsatz bezeichnet wird und die auf Bernsteins Publikation aus dem Jahre 1905 zur\u00fcckgeht:[21][22]F\u00fcr jede Ordinalzahl \u03b2{displaystyle beta } und alle nat\u00fcrlichen Zahlen n{displaystyle n} gilt\u2135n\u2135\u03b2=2\u2135\u03b2\u22c5\u2135n{displaystyle aleph _{n}^{aleph _{beta }},=,2^{aleph _{beta }}cdot aleph _{n}}.Weitergehend als der bernsteinsche Alephsatz ist ein Satz, der von Felix Hausdorff im Jahre 1904 bewiesen wurde und in dem er die bekannte hausdorffsche Rekursionsformel (englisch Hausdorff recursion formula) formuliert:[23][21][24][22]F\u00fcr je zwei Ordinalzahlen \u03b1{displaystyle alpha } und \u03b2{displaystyle beta } und alle nat\u00fcrlichen Zahlen n{displaystyle n} gilt\u2135\u03b1+n\u2135\u03b2=\u2135\u03b1\u2135\u03b2\u22c5\u2135\u03b1+n{displaystyle aleph _{alpha +n}^{aleph _{beta }},=,aleph _{alpha }^{aleph _{beta }}cdot aleph _{alpha +n}}.Insbesondere gilt f\u00fcr jede Ordinalzahl "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki47\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki47\/2021\/12\/27\/alephformel-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Alephformel \u2013 Wikipedia"}}]}]