Satz vom höchsten Gewicht – Wikipedia
In der Mathematik ist der Satz vom höchsten Gewicht ein auf Elie Cartan zurückgehender grundlegender Lehrsatz der Darstellungstheorie. Er besagt, dass endlichdimensionale Darstellungen von Lie-Algebren oder Lie-Gruppen durch ihr höchstes Gewicht eindeutig bestimmt sind.
Sei
g{displaystyle {mathfrak {g}}}eine Lie-Algebra,
h{displaystyle {mathfrak {h}}}
eine Cartan-Unteralgebra und
π:g→gl(V){displaystyle pi colon {mathfrak {g}}to {mathfrak {gl}}(V)}
eine Darstellung. Eine lineare Abbildung
- λ:h→C{displaystyle lambda colon {mathfrak {h}}to mathbb {C} }
heißt Gewicht von
π{displaystyle pi }, wenn der Gewichtsraum
- Vλ={v∈V:π(h)v=λ(h)v ∀h∈h}{displaystyle V_{lambda }=left{vin Vcolon pi (h)v=lambda (h)v forall hin {mathfrak {h}}right}}
nicht nur aus dem Nullvektor besteht.
Die Wurzeln
R{displaystyle R}der Lie-Algebra sind definiert wie folgt. Zu
α∈h{displaystyle alpha in {mathfrak {h}}}
definiere
α∨∈h∗{displaystyle alpha ^{vee }in {mathfrak {h}}^{*}}
durch
- α∨(x)=2B(x,α)B(α,α) ∀x∈h{displaystyle alpha ^{vee }(x)=2{frac {B(x,alpha )}{B(alpha ,alpha )}} forall xin {mathfrak {h}}} ,
wobei
B{displaystyle B}die Killing-Form ist. Dann ist
α{displaystyle alpha }
genau dann eine Wurzel, wenn
α∨{displaystyle alpha ^{vee }}
ein Gewicht der adjungierten Darstellung
ad:g→gl(V){displaystyle adcolon {mathfrak {g}}to {mathfrak {gl}}(V)}
ist.
Nach Wahl einer Weyl-Kammer
h+{displaystyle {mathfrak {h}}^{+}}kann man die Menge der positiven Wurzeln definieren durch
- R+:={α∈R:α∨(x)>0 ∀x∈h+}{displaystyle R^{+}:=left{alpha in R:alpha ^{vee }(x)>0 forall xin {mathfrak {h}}^{+}right}} λ≤μ⟺λ(α)≤μ(α) ∀α∈R+{displaystyle lambda leq mu Longleftrightarrow lambda (alpha )leq mu (alpha ) forall alpha in R^{+}} .
Ein Gewicht heißt ein höchstes Gewicht, wenn es kein größeres Gewicht bzgl. dieser Teilordnung gibt.
Weiterhin heißt eine lineare Abbildung
λ∈h∗{displaystyle lambda in {mathfrak {h}}^{*}}ein integrales Element, wenn
- λ(α)∈Z ∀α∈R{displaystyle lambda (alpha )in mathbb {Z} forall alpha in R}
gilt. Es heißt ein dominantes integrales Element, wenn
- λ(α)∈N ∀α∈R+{displaystyle lambda (alpha )in mathbb {N} forall alpha in R^{+}}
ist.
Sei
g{displaystyle {mathfrak {g}}}eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra. Im Folgenden seien alle Darstellungen endlich-dimensional. Dann besagt der Satz vom höchsten Gewicht:
- Jede irreduzible Darstellung hat ein eindeutiges höchstes Gewicht.
- Zwei irreduzible Darstellungen mit demselben höchsten Gewicht sind äquivalent.
- Das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung ist ein dominantes integrales Element.
- Jedes dominante integrale Element ist das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung.
sl(2,C)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Cartan-Unteralgebra von
sl(2,C){displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}ist
h={(λ00−λ):λ∈C}{displaystyle {mathfrak {h}}=left{left({begin{array}{cc}lambda &0\0&-lambda end{array}}right):lambda in mathbb {C} right}}
, als positive Wurzel kann man
α=(100−1){displaystyle alpha =left({begin{array}{cc}1&0\0&-1end{array}}right)}
wählen. Für jedes
n∈N{displaystyle nin mathbb {N} }
hat man ein dominantes integrales Element
λn{displaystyle lambda _{n}}
gegeben durch die Abbildung
- λn(α)=n{displaystyle lambda _{n}(alpha )=n} .
Dieses entspricht der bekannten
n{displaystyle n}-dimensionalen irreduziblen Darstellung (siehe Darstellungstheorie der sl(2,C)) als
Symn−1(V){displaystyle Sym^{n-1}(V)}
, wobei
V{displaystyle V}
die definierende 2-dimensionale Darstellung von
sl(2,C){displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}
bezeichnet.
sl(3,C)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Cartan-Unteralgebra von
sl(3,C){displaystyle {mathfrak {sl}}(3,mathbb {C} )}ist
- h={(λ1000λ2000λ3):λ1,λ2,λ3∈C:λ1+λ2+λ3=0}{displaystyle {mathfrak {h}}=left{left({begin{array}{ccc}lambda _{1}&0&0\0&lambda _{2}&0\0&0&lambda _{3}end{array}}right):lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}in mathbb {C} colon lambda _{1}+lambda _{2}+lambda _{3}=0right}} ,
als positive Wurzeln kann man
α1=(1000−10000){displaystyle alpha _{1}=left({begin{array}{ccc}1&0&0\0&-1&0\0&0&0end{array}}right)}und
α2=(00001000−1){displaystyle alpha _{2}=left({begin{array}{ccc}0&0&0\0&1&0\0&0&-1end{array}}right)}
wählen. Für jedes Paar
hat man ein dominantes integrales Element
λm,n{displaystyle lambda _{m,n}}
gegeben durch die Abbildung
- λm,n(α1)=m,λm,n(α2)=n{displaystyle lambda _{m,n}(alpha _{1})=m,lambda _{m,n}(alpha _{2})=n} .
Die zugehörige Darstellung
πm,n{displaystyle pi _{m,n}}ist eine Unterdarstellung von
Symm(V)⊗Symn(V∗){displaystyle Sym^{m}(V)otimes Sym^{n}(V^{*})}
, wobei
V{displaystyle V}
die definierende 3-dimensionale Darstellung von
sl(3,C){displaystyle {mathfrak {sl}}(3,mathbb {C} )}bezeichnet. Genauer stimmt
πm,n{displaystyle pi _{m,n}}mit
Ker(ιm,n){displaystyle Ker(iota _{m,n})}überein für die durch
- ιm,n(v1…vm⊗v1∗…vn∗)=∑i,jvj∗(vi)v1…vi^…vm⊗v1∗…vj∗^…vn∗{displaystyle iota _{m,n}(v_{1}ldots v_{m}otimes v_{1}^{*}ldots v_{n}^{*})=sum _{i,j}v_{j}^{*}(v_{i})v_{1}ldots {widehat {v_{i}}}ldots v_{m}otimes v_{1}^{*}ldots {widehat {v_{j}^{*}}}ldots v_{n}^{*}}
definierte Kontraktion.
Jeder Darstellung einer Lie-Gruppe kann man eine Darstellung ihrer Lie-Algebra zuordnen, siehe Darstellung (Lie-Algebra)#Von Lie-Gruppen-Darstellungen induzierte Darstellungen. Insbesondere kann man auch für Darstellungen von Lie-Gruppen ein höchstes Gewicht definieren.
Irreduzible, endlich-dimensionale Darstellungen einer kompakten, zusammenhängenden (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe werden durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert. Auch dieser Sachverhalt wird häufig als Satz vom höchsten Gewicht bezeichnet.
- Brian Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer, Cham 2015. ISBN 978-3-319-13466-6
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