[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki49\/2021\/12\/27\/fermatsche-spirale-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki49\/2021\/12\/27\/fermatsche-spirale-wikipedia\/","headline":"Fermatsche Spirale \u2013 Wikipedia","name":"Fermatsche Spirale \u2013 Wikipedia","description":"Fermatsche Spirale: ein Ast Fermatsche Spirale: beide \u00c4ste Eine fermatsche oder parabolische Spirale ist eine nach Pierre de Fermat benannte","datePublished":"2021-12-27","dateModified":"2021-12-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki49\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki49\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/71\/Spiral-fermat-1.svg\/220px-Spiral-fermat-1.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/71\/Spiral-fermat-1.svg\/220px-Spiral-fermat-1.svg.png","height":"216","width":"220"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki49\/2021\/12\/27\/fermatsche-spirale-wikipedia\/","wordCount":7296,"articleBody":"  Fermatsche Spirale: ein Ast  Fermatsche Spirale: beide \u00c4steEine fermatsche oder parabolische Spirale ist eine nach Pierre de Fermat benannte ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch die Gleichung  r=\u00b1a\u03c6\u00a0,\u00a0\u03c6\u22650{displaystyle r=pm a{sqrt {varphi }} , varphi geq 0}  einer Parabel (mit horizontaler Achse) beschreiben l\u00e4sst.Die fermatsche Spirale sieht der archimedischen Spirale \u00e4hnlich. Im Gegensatz zu ihr hat sie aber abnehmenden Windungsabstand, d.\u00a0h., die Windungen liegen nach au\u00dfen hin immer dichter.So wie andere Spiralen werden auch fermatsche Spiralen zur Konstruktion von kr\u00fcmmungsstetigen \u00dcbergangskurven verwendet.[1]Die fermatsche Spirale mit der Polargleichung  r=a\u03c6\u00a0,\u03c6\u22650{displaystyle r=a{sqrt {varphi }} ,quad varphi geq 0}l\u00e4sst sich in kartesischen Koordinaten (x=rcos\u2061\u03c6,y=rsin\u2061\u03c6){displaystyle (x=rcos varphi ,;y=rsin varphi )} durch die Parameterdarstellungx=a\u03c6cos\u2061\u03c6,y=a\u03c6sin\u2061\u03c6,\u03c6\u22650{displaystyle x=a{sqrt {varphi }}cos varphi ,qquad y=a{sqrt {varphi }}sin varphi ,quad varphi geq 0}beschreiben.Aus der Parameterdarstellung und \u00a0\u03c6=r2a2,\u00a0r=x2+y2\u00a0{displaystyle  varphi ={tfrac {r^{2}}{a^{2}}}, r={sqrt {x^{2}+y^{2}}} } ergibt sich eine Darstellung mit einer Gleichung:yx=tan\u2061(x2+y2a2)\u00a0.{displaystyle {frac {y}{x}}=tan left({frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}right) .}Table of ContentsZerlegung der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Kr\u00fcmmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Inversion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Fl\u00e4che zwischen Kurvenb\u00f6gen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Bogenl\u00e4nge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zerlegung der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]  Eine fermatsche Spirale zerlegt die Ebene in zwei zusammenh\u00e4ngende Bereiche (hier schwarz und wei\u00df)Eine vollst\u00e4ndige fermatsche Spirale (beide \u00c4ste) ist, im Gegensatz zu einer archimedischen oder hyperbolischen Spirale, eine glatte doppelpunktfreie Kurve, die die Ebene, wie eine Gerade oder ein Kreis oder eine Parabel, in zwei zusammenh\u00e4ngende Bereiche zerlegt. Die besondere Herausforderung bei der Zerlegung der Ebene durch eine fermatsche Spirale ist, dass man mit blo\u00dfem Auge nicht so leicht wie bei Gerade, Kreis oder Parabel entscheiden kann, auf welcher Seite der Kurve ein Punkt liegt.Kr\u00fcmmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit der Formel\u03ba=r2+2(r\u2032)2\u2212rr\u2033(r2+(r\u2032)2)3\/2{displaystyle kappa ={frac {r^{2}+2(r’)^{2}-r;r”}{(r^{2}+(r’)^{2})^{3\/2}}}}f\u00fcr die Kr\u00fcmmung einer Kurve in Polardarstellung r=r(\u03c6){displaystyle ;r=r(varphi );} und den Ableitungenr\u2032=a2\u03c6=a22r{displaystyle ;r’={tfrac {a}{2{sqrt {varphi }}}}={tfrac {a^{2}}{2r}};} und r\u2033=\u2212a4\u03c63=\u2212a44r3{displaystyle ;r”=-{tfrac {a}{4{sqrt {varphi }}^{3}}}=-{tfrac {a^{4}}{4r^{3}}};} der fermatschen Spirale ergibt sich f\u00fcr die Kr\u00fcmmung\u03ba(r)=2r(4r4+3a4)(4r4+a2)3\/2.{displaystyle kappa (r)={frac {2r(4r^{4}+3a^{4})}{(4r^{4}+a^{2})^{3\/2}}}.}Im Nullpunkt ist die Kr\u00fcmmung 0{displaystyle 0}. Die vollst\u00e4ndige Spirale hat alsoim Nullpunkt einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente.  Die Inversion einer fermatschen Spirale (gr\u00fcn) am Einheitskreis (rot) ergibt eine Lituus-Spirale (blau)Inversion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Spiegelung am Einheitskreis (Inversion) l\u00e4sst sich in Polarkoordinaten durch \u00a0(r,\u03c6)\u21a6(1r,\u03c6)\u00a0{displaystyle  (r,varphi )mapsto ({tfrac {1}{r}},varphi ) } beschreiben.Das Bild der fermatschen Spirale \u00a0r=a\u03c6\u00a0{displaystyle  r=a{sqrt {varphi }} } bei der Spiegelung am Einheitskreis ist eine Lituus-Spirale mit r=1a\u03c6{displaystyle ;r={frac {1}{a{sqrt {varphi }}}};}.F\u00fcr \u03c6=1a2{displaystyle ;varphi ={tfrac {1}{a^{2}}};} schneiden sich beide Kurven in einem Fixpunkt auf dem Einheitskreis.Die Wendetangente (x{displaystyle x}-Achse) der fermatschen Spirale (im Nullpunkt) geht bei der Spiegelung in sich \u00fcber und ist die Asymptote der Lituus-Spirale.Fl\u00e4che zwischen Kurvenb\u00f6gen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Sektorfl\u00e4che f\u00fcr den Kurvenbogen zwischen r(\u03c61),\u03c61){displaystyle ;r(varphi _{1}),varphi _{1});} und (r(\u03c62),\u03c62){displaystyle ;(r(varphi _{2}),varphi _{2});} istA_=12\u222b\u03c61\u03c62r(\u03c6)2d\u03c6=12\u222b\u03c61\u03c62a2\u03c6d\u03c6=a24(\u03c622\u2212\u03c612){displaystyle {underline {A}}={tfrac {1}{2}}int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}r(varphi )^{2};dvarphi ={tfrac {1}{2}}int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}a^{2}varphi ;dvarphi ={frac {a^{2}}{4}}{big (}varphi _{2}^{2}-varphi _{1}^{2}{big )}}=a24(\u03c62+\u03c61)(\u03c62\u2212\u03c61).{displaystyle quad ={frac {a^{2}}{4}}{big (}varphi _{2}+varphi _{1}{big )}{big (}varphi _{2}-varphi _{1}{big )};.}  Fermatsche Spirale:Fl\u00e4chen zwischen Kurvenb\u00f6genErh\u00f6ht man beide Winkel um 2\u03c0{displaystyle 2pi }, ergibt sichA\u00af=a24(\u03c62+\u03c61+4\u03c0)(\u03c62\u2212\u03c61)=A_+a2\u03c0(\u03c62\u2212\u03c61).{displaystyle {overline {A}}={frac {a^{2}}{4}}{big (}varphi _{2}+varphi _{1}+4pi {big )}{big (}varphi _{2}-varphi _{1}{big )}={underline {A}}+a^{2}pi {big (}varphi _{2}-varphi _{1}{big )};.}Der Inhalt A{displaystyle A} der Sektorfl\u00e4che zwischen den Kurven ist alsoA=a2\u03c0(\u03c62\u2212\u03c61).{displaystyle A=a^{2}pi {big (}varphi _{2}-varphi _{1}{big )};.}A{displaystyle A} h\u00e4ngt nur von der Differenz der beiden Winkel und nicht von den Winkeln selbst ab.In dem Beispiel (siehe Bild) haben also alle benachbarten Sektorstreifen denselben Inhalt: A1=A2=A3{displaystyle A_{1}=A_{2}=A_{3}}.Diese Eigenschaft der fermatschen Spirale spielt in der Elektrotechnik bei der Herstellung von Drehkondensatoren eine Rolle.[2]  Die Zwischenfl\u00e4chen (wei\u00df, blau, gelb) haben alle den Fl\u00e4cheninhalt des eingezeichneten KreisesSpezialfall von Fermat1636 berichtete Fermat in einem Brief[3] an Marin Mersenne den folgenden Spezialfall:Es seien \u03c61=0,\u03c62=2\u03c0{displaystyle varphi _{1}=0,varphi _{2}=2pi }. Dann ist der Inhalt der schwarzen Fl\u00e4che (siehe Bild) A0=a2\u03c02={displaystyle A_{0}=a^{2}pi ^{2}=} die H\u00e4lfte der Fl\u00e4che des Kreises K0{displaystyle K_{0}} mit Radius r(2\u03c0){displaystyle r(2pi )}. Die Zwischenfl\u00e4chen (wei\u00df, blau, gelb) haben den Inhalt A=2a2\u03c02{displaystyle A={color {red}2}a^{2}pi ^{2}} Also gilt:Der Fl\u00e4cheninhalt zwischen zwei Spiralb\u00f6gen nach einer ganzen Umrundung ist gleich dem Fl\u00e4cheninhalt des Kreises K0{displaystyle K_{0}}.Bogenl\u00e4nge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die L\u00e4nge des Bogens einer fermatschen Spirale zwischen zwei Punkten (r(\u03c61),\u03c61),(r(\u03c62),\u03c62){displaystyle ;(r(varphi _{1}),varphi _{1}),(r(varphi _{2}),varphi _{2});} l\u00e4sst sich mit der Formel f\u00fcr Kurven in Polardarstellung berechnen:L=\u222b\u03c61\u03c62(r\u2032(\u03c6))2+r2(\u03c6)d\u03c6=\u22ef=a2\u222b\u03c61\u03c621\u03c6+4\u03c6d\u03c6.{displaystyle L=int limits _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}{sqrt {left(r^{prime }(varphi )right)^{2}+r^{2}(varphi )}},mathrm {d} varphi =cdots ={frac {a}{2}}int limits _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}{sqrt {{frac {1}{varphi }}+4varphi }},mathrm {d} varphi ;.}Die L\u00f6sung dieses Integrals ist allerdings nur numerisch oder mit Hilfe eines elliptischen Integrals m\u00f6glich.\u2191 Anastasios M. Lekkas1, Andreas R. Dahl, Morten Breivik, Thor I. Fossen4: Continuous-Curvature Path GenerationUsing Fermat\u2019s Spiral. In: Modeling, Identification and Control. Vol. 34, No. 4, 2013, S. 183\u2013198, ISSN\u00a01890-1328.\u2191  Fritz Wicke: Einf\u00fchrung in die h\u00f6here Mathematik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36804-6, S. 414.\u2191 Lettre de Fermat \u00e0 Mersenne du 3 juin 1636, dans Paul Tannery. In: Oeuvres de Fermat. T. III, S. 277, Lire en ligne.Friedrich Grelle: Analytische Geometrie der Ebene, Verlag F. Brecke, 1861 [1], S. 213.Jac. Phil Kulik: Spirallinien in Lehrbuch der h\u00f6hern Analysis, Band 2, In Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, [2], S. 226."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki49\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki49\/2021\/12\/27\/fermatsche-spirale-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Fermatsche Spirale \u2013 Wikipedia"}}]}]