[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/11\/28\/aquinumerositat-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/11\/28\/aquinumerositat-wikipedia\/","headline":"\u00c4quinumerosit\u00e4t – Wikipedia","name":"\u00c4quinumerosit\u00e4t – Wikipedia","description":"In der Mathematik zwei Mengen oder Klassen EIN und B. sind gleich viele Wenn zwischen ihnen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (oder Bijektion)","datePublished":"2020-11-28","dateModified":"2020-11-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f73b1d3aed1367d41a221dfa66e21dcf3c893f64","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f73b1d3aed1367d41a221dfa66e21dcf3c893f64","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/11\/28\/aquinumerositat-wikipedia\/","wordCount":3758,"articleBody":"In der Mathematik zwei Mengen oder Klassen EIN und B. sind gleich viele Wenn zwischen ihnen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (oder Bijektion) besteht, dh wenn eine Funktion von existiert EIN zu B. so dass f\u00fcr jedes Element y von B.gibt es genau ein Element x von EIN mit f(x) = y.[1]  Gleiche Mengen sollen die gleiche Kardinalit\u00e4t (Anzahl der Elemente) haben.[2]  Das Studium der Kardinalit\u00e4t wird oft genannt \u00c4quinumerosit\u00e4t (Gleichheit der Zahl).  Die Bedingungen \u00c4quipollenz (Gleichheit der St\u00e4rke) und \u00c4quipotenz (Gleichheit der Macht) werden manchmal stattdessen verwendet.  \u00c4quinumerosit\u00e4t hat die charakteristischen Eigenschaften einer \u00c4quivalenzbeziehung.[1]  Die Aussage, dass zwei S\u00e4tze EIN und B. sind gleich zahlreich wird \u00fcblicherweise bezeichnetEIN\u2248B.{ displaystyle A  approx B ,}  oder   EIN\u223cB.{ displaystyle A  sim B}, oder |EIN|=|B.|.{ displaystyle | A | = | B |.}[3]Die Definition der \u00c4quinumerosit\u00e4t unter Verwendung von Bijektionen kann sowohl auf endliche als auch auf unendliche Mengen angewendet werden und erm\u00f6glicht die Angabe, ob zwei Mengen dieselbe Gr\u00f6\u00dfe haben, auch wenn sie unendlich sind.  Georg Cantor, der Erfinder der Mengenlehre, zeigte 1874, dass es mehr als eine Art von Unendlichkeit gibt, insbesondere, dass die Sammlung aller nat\u00fcrlichen Zahlen und die Sammlung aller reellen Zahlen, obwohl beide unendlich sind, nicht gleich zahlreich sind (siehe Cantors erste Unz\u00e4hlbarkeit) Beweis).  In seiner kontroversen Arbeit von 1878 definierte Cantor explizit den Begriff der “Macht” von Mengen und verwendete ihn, um zu beweisen, dass die Menge aller nat\u00fcrlichen Zahlen und die Menge aller rationalen Zahlen gleich zahlreich sind (ein Beispiel, bei dem eine richtige Teilmenge einer unendlichen Menge vorhanden ist \u00e4quivalent zu der urspr\u00fcnglichen Menge), und dass das kartesische Produkt selbst einer z\u00e4hlbar unendlichen Anzahl von Kopien der reellen Zahlen einer einzelnen Kopie der reellen Zahlen entspricht.Cantors Satz von 1891 impliziert, dass keine Menge ihrer eigenen Potenzmenge (der Menge aller ihrer Teilmengen) entspricht.[1]  Dies erm\u00f6glicht die Definition von immer gr\u00f6\u00dferen unendlichen Mengen ausgehend von einer einzelnen unendlichen Menge.Wenn das Axiom der Wahl gilt, kann die Kardinalzahl einer Menge als die kleinste Ordnungszahl dieser Kardinalit\u00e4t angesehen werden (siehe anf\u00e4ngliche Ordnungszahl).  Andernfalls kann es (nach Scotts Trick) als die Menge von S\u00e4tzen mit minimalem Rang angesehen werden, die diese Kardinalit\u00e4t haben.[1]  Die Aussage, dass zwei beliebige Mengen entweder gleich zahlreich sind oder eine eine geringere Kardinalit\u00e4t als die andere hat, entspricht dem Axiom der Wahl.[4]Table of ContentsKardinalit\u00e4t[edit]Satz von Cantor[edit]Dedekind-unendliche Mengen[edit]Kompatibilit\u00e4t mit festgelegten Operationen[edit]Kategoriale Definition[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Kardinalit\u00e4t[edit]Zahlreiche Mengen haben eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen ihnen,[5]  und sollen die gleiche Kardinalit\u00e4t haben.  Die Kardinalit\u00e4t einer Menge X. ist ein Ma\u00df f\u00fcr die “Anzahl der Elemente der Menge”.[1]  \u00c4quinumerosit\u00e4t hat die charakteristischen Eigenschaften einer \u00c4quivalenzbeziehung (Reflexivit\u00e4t, Symmetrie und Transitivit\u00e4t):[1]Reflexivit\u00e4tGegeben ein Satz EIN, die Identit\u00e4tsfunktion auf EIN ist eine Bijektion von EIN zu sich selbst, zeigt, dass jeder Satz EIN ist f\u00fcr sich selbst gleich zahlreich: EIN ~ EIN.SymmetrieF\u00fcr jede Bijektion zwischen zwei S\u00e4tzen EIN und B. Es gibt eine Umkehrfunktion, zwischen der eine Bijektion besteht B. und EIN, was bedeutet, dass wenn ein Satz EIN ist gleich einer Menge B. dann B. ist auch gleich zahlreich EIN:: EIN ~ B.  impliziert B. ~ EIN.Transitivit\u00e4tBei drei S\u00e4tzen EIN, B. und C. mit zwei bijektionen f :: EIN \u2192 B.  und G :: B. \u2192 C., die Zusammensetzung G \u2218 f  dieser bijektionen ist eine bijektion von EIN zu C., also wenn EIN und B. sind gleich zahlreich und B. und C. sind dann gleich zahlreich EIN und C. sind gleich zahlreich: EIN ~ B.  und B. ~ C.  zusammen implizieren EIN ~ C..Der Versuch, die Kardinalit\u00e4t einer Menge als \u00c4quivalenzklasse aller ihr \u00e4quivalenten Mengen zu definieren, ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, der Standardform der axiomatischen Mengenlehre, problematisch, da die \u00c4quivalenzklasse einer nicht leeren Menge zu gro\u00df w\u00e4re ein Set sein: Es w\u00e4re eine richtige Klasse.  Im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind Beziehungen per Definition auf Mengen beschr\u00e4nkt (eine bin\u00e4re Beziehung auf einer Menge EIN ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts EIN \u00d7 EIN), und es gibt keine Menge aller Mengen in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.  In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre versucht man, anstatt die Kardinalit\u00e4t einer Menge als \u00c4quivalenzklasse aller ihr \u00e4quivalenten Mengen zu definieren, jeder \u00c4quivalenzklasse eine repr\u00e4sentative Menge zuzuweisen (Kardinalzuordnung).  In einigen anderen Systemen der axiomatischen Mengenlehre, beispielsweise in der Von Neumann-Bernays-G\u00f6del-Mengenlehre und der Morse-Kelley-Mengenlehre, werden die Beziehungen auf Klassen ausgedehnt.Ein Set EIN soll eine Kardinalit\u00e4t haben, die kleiner oder gleich der Kardinalit\u00e4t einer Menge ist B., wenn es eine Eins-zu-Eins-Funktion (eine Injektion) von gibt EIN in B..  Dies wird bezeichnet |EIN|  \u2264 |B.|. Wenn EIN und B. sind nicht gleich zahlreich, dann ist die Kardinalit\u00e4t von EIN soll streng kleiner sein als die Kardinalit\u00e4t von B..  Dies wird bezeichnet |EIN|  1{ displaystyle  beth _ {1}}, \u21362{ displaystyle  beth _ {2}}, \u21363{ displaystyle  beth _ {3}},\u2026,[3]  mit der ersten beth nummer \u21360{ displaystyle  beth _ {0}}  gleich sein \u21350{ displaystyle  aleph _ {0}}  (Aleph nichts), die Kardinalit\u00e4t einer z\u00e4hlbar unendlichen Menge und die zweite Beth-Zahl \u21361{ displaystyle  beth _ {1}}  gleich sein c{ displaystyle { mathfrak {c}}}, die Kardinalit\u00e4t des Kontinuums.Dedekind-unendliche Mengen[edit]In einigen F\u00e4llen ist es f\u00fcr einen Satz m\u00f6glich S. und seine richtige Teilmenge, um gleich zahlreich zu sein.  Zum Beispiel ist die Menge der geraden nat\u00fcrlichen Zahlen gleich der Menge aller nat\u00fcrlichen Zahlen.  Eine Menge, die einer richtigen Teilmenge von sich selbst entspricht, hei\u00dft Dedekind-infinite.[1][4]Das Axiom der z\u00e4hlbaren Wahl (AC\u03c9), eine schwache Variante des Axioms der Wahl (AC), wird ben\u00f6tigt, um zu zeigen, dass eine Menge, die nicht Dedekind-unendlich ist, tats\u00e4chlich endlich ist.  Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl (ZF) sind nicht stark genug, um zu beweisen, dass jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist, sondern die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Axiom der z\u00e4hlbaren Wahl (ZF + AC\u03c9) sind stark genug.[7]  Andere Definitionen der Endlichkeit und Unendlichkeit von Mengen als die von Dedekind gegebenen erfordern hierf\u00fcr nicht das Axiom der Wahl, siehe Endliche Menge \u00a7 Notwendige und ausreichende Bedingungen f\u00fcr die Endlichkeit.[1]Kompatibilit\u00e4t mit festgelegten Operationen[edit]Die \u00c4quinumerosit\u00e4t ist mit den grundlegenden Mengenoperationen so kompatibel, dass die Definition der Kardinalarithmetik m\u00f6glich ist.[1]  Insbesondere ist die \u00c4quinumerosit\u00e4t mit disjunkten Gewerkschaften kompatibel: Gegeben sind vier S\u00e4tze EIN, B., C. und D. mit EIN und C. einerseits und B. und D. andererseits paarweise disjunkt und mit EIN ~ B.  und C. ~ D.  dann EIN \u222a C. ~ B. \u222a D.. Dies wird verwendet, um die Definition der Kardinaladdition zu rechtfertigen.Dar\u00fcber hinaus ist die \u00c4quinumerosit\u00e4t mit kartesischen Produkten kompatibel:Wenn EIN ~ B.  und C. ~ D.  dann EIN \u00d7 C. ~ B. \u00d7 D..EIN \u00d7 B. ~ B. \u00d7 EIN(EIN \u00d7 B.) \u00d7 C. ~ EIN \u00d7 ((B. \u00d7 C.)Diese Eigenschaften werden verwendet, um die Kardinalmultiplikation zu rechtfertigen.Gegeben zwei S\u00e4tze X. und Y., die Menge aller Funktionen aus Y. zu X. wird mit bezeichnet X.Y..  Dann gelten folgende Aussagen:Wenn EIN ~ B. und C. ~ D. dann EINC.  ~ B.D..EINB. \u222a C.  ~ EINB.  \u00d7 EINC.  f\u00fcr disjunkt B. und C..(EIN \u00d7 B.)C.  ~ EINC.  \u00d7 B.C.(EINB.)C.  ~ EINB.\u00d7C.Diese Eigenschaften werden verwendet, um die Kardinal-Potenzierung zu rechtfertigen.Weiterhin die Potenzmenge einer gegebenen Menge EIN (die Menge aller Teilmengen von EIN) entspricht der Menge 2EIN, die Menge aller Funktionen aus der Menge EIN zu einer Menge, die genau zwei Elemente enth\u00e4lt.Kategoriale Definition[edit]In der Kategorietheorie wird die Kategorie der Mengen bezeichnet einstellenist die Kategorie, die aus der Sammlung aller Mengen als Objekte und der Sammlung aller Funktionen zwischen Mengen als Morphismen besteht, wobei die Zusammensetzung der Funktionen die Zusammensetzung der Morphismen ist.  Im einstellenEin Isomorphismus zwischen zwei Mengen ist genau eine Bijektion, und zwei Mengen sind genau dann gleich zahlreich, wenn sie als Objekte in isomorph sind einstellen.Siehe auch[edit]Verweise[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/11\/28\/aquinumerositat-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"\u00c4quinumerosit\u00e4t – Wikipedia"}}]}]