Assoziative Algebra – Wikipedia

before-content-x4

Algebraische Struktur mit (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd und (a) (bc) = (ab) (c)

In der Mathematik ist ein assoziative Algebra ist eine algebraische Struktur mit kompatiblen Operationen der Addition, Multiplikation (als assoziativ angenommen) und einer skalaren Multiplikation mit Elementen in einem bestimmten Bereich. Die Additions- und Multiplikationsoperationen ergeben zusammen EIN die Struktur eines Rings; die Additions- und Skalarmultiplikationsoperationen ergeben zusammen EIN die Struktur eines Vektorraums über K.. In diesem Artikel werden wir auch den Begriff verwenden K.-Algebra eine assoziative Algebra über dem Feld bedeuten K.. Ein erstes Standardbeispiel für a K.-Algebra ist ein Ring quadratischer Matrizen über einem Feld K.mit der üblichen Matrixmultiplikation.

EIN kommutative Algebra ist eine assoziative Algebra mit einer kommutativen Multiplikation oder äquivalent eine assoziative Algebra, die auch ein kommutativer Ring ist.

In diesem Artikel wird angenommen, dass assoziative Algebren eine multiplikative Identität haben, die mit 1 bezeichnet ist. Sie werden manchmal genannt unitale assoziative Algebren zur Klarstellung. In einigen Bereichen der Mathematik wird diese Annahme nicht getroffen, und wir werden solche Strukturen als nicht-unitale assoziative Algebren bezeichnen. Wir werden auch annehmen, dass alle Ringe unital sind und alle Ringhomomorphismen unital sind.

Viele Autoren betrachten das allgemeinere Konzept einer assoziativen Algebra über einen kommutativen Ring R., anstelle eines Feldes: An R.-Algebra ist ein R.-Modul mit einem Assoziativ R.-bilineare binäre Operation, die auch eine multiplikative Identität enthält. Für Beispiele dieses Konzepts, wenn S. ist ein beliebiger Ring mit Mitte C., dann S. ist ein assoziativer C.-Algebra.

Definition[edit]

Lassen R. sei ein fester kommutativer Ring (so R. könnte ein Feld sein). Ein assoziativ R.-Algebra (oder einfacher gesagt, ein R.-Algebra) ist eine additive abelsche Gruppe EIN welches die Struktur sowohl eines Rings als auch eines hat R.-Modul so, dass die Skalarmultiplikation erfüllt

für alle rR. und x, yEIN. Außerdem, EIN wird als unital angenommen, dh es enthält ein Element 1, so dass

für alle xEIN. Beachten Sie, dass ein solches Element 1 notwendigerweise eindeutig ist.

Mit anderen Worten, EIN ist ein R.-Modul zusammen mit a R.-bilineare binäre Operation EIN × EINEIN das ist assoziativ und hat eine Identität. [1] Wenn man die Anforderung an die Assoziativität fallen lässt, erhält man eine nicht assoziative Algebra.

Wenn EIN selbst ist kommutativ (als Ring), dann heißt es a kommutativ R.-Algebra.

Als monoides Objekt in der Kategorie der Module[edit]

Die Definition ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass ein unitaler Assoziativ R.-Algebra ist ein monoides Objekt in R.-Mod (die monoidale Kategorie von R.-Module). Per Definition ist ein Ring ein monoides Objekt in der Kategorie der abelschen Gruppen; Somit wird der Begriff einer assoziativen Algebra erhalten, indem die Kategorie der abelschen Gruppen durch die Kategorie der Module ersetzt wird.

Um diese Idee weiter voranzutreiben, haben einige Autoren a “verallgemeinerter Ring” als monoides Objekt in einer anderen Kategorie, die sich wie die Kategorie von Modulen verhält. In der Tat erlaubt diese Neuinterpretation zu vermeiden, explizit auf Elemente einer Algebra zu verweisen EIN. Zum Beispiel kann die Assoziativität wie folgt ausgedrückt werden. Durch die universelle Eigenschaft eines Tensorprodukts von Modulen wird die Multiplikation (die R.-bilineare Karte) entspricht einer eindeutigen R.-lineare Karte

Die Assoziativität bezieht sich dann auf die Identität:

Aus Ringhomomorphismen[edit]

Eine assoziative Algebra läuft auf einen Ringhomomorphismus hinaus, dessen Bild in der Mitte liegt. In der Tat mit einem Ring beginnen EIN und ein Ringhomomorphismus

η::R.EIN{ displaystyle eta Doppelpunkt R bis A}

dessen Bild liegt in der Mitte von EIN, wir können machen EIN ein R.-Algebra durch Definieren

für alle rR. und xEIN. Wenn EIN ist ein R.-Algebra, nehmen x = 1 definiert dieselbe Formel wiederum einen Ringhomomorphismus

η::R.EIN{ displaystyle eta Doppelpunkt R bis A}

dessen Bild liegt in der Mitte.

Wenn ein Ring kommutativ ist, entspricht er seinem Zentrum, so dass ein kommutativ ist R.-Algebra kann einfach als kommutativer Ring definiert werden EIN zusammen mit einem kommutativen Ringhomomorphismus

η::R.EIN{ displaystyle eta Doppelpunkt R bis A}

.

Der Ringhomomorphismus η Das Erscheinen oben wird oft als Strukturkarte bezeichnet. Im kommutativen Fall kann man die Kategorie betrachten, deren Objekte Ringhomomorphismen sind R.EIN;; dh kommutativ R.-Algebren und deren Morphismen Ringhomomorphismen sind EINEIN das sind unter R.;; dh R.EINEIN ist R.EIN (dh die Coslice-Kategorie der Kategorie der kommutativen Ringe unter R..) Der Hauptspektrum-Funktor Spec bestimmt dann eine Antiäquivalenz dieser Kategorie zur Kategorie der affinen Schemata über Spec R..

Wie die Kommutativitätsannahme geschwächt werden kann, ist Gegenstand der nichtkommutativen algebraischen Geometrie und in jüngerer Zeit der abgeleiteten algebraischen Geometrie. Siehe auch: generischer Matrixring.

Algebra-Homomorphismen[edit]

Ein Homomorphismus zwischen zwei R.-Algebren ist ein R.-linearer Ringhomomorphismus. Ausdrücklich,

φ::EIN1EIN2{ displaystyle varphi: A_ {1} bis A_ {2}}

ist ein assoziativer Algebra-Homomorphismus wenn

Die Klasse von allen R.-Algebren bilden zusammen mit Algebra-Homomorphismen zwischen ihnen eine Kategorie, die manchmal bezeichnet wird R.-Alg.

Die Unterkategorie Kommutativ R.-Algebren können als Coslice-Kategorie charakterisiert werden R./.CRing wo CRing ist die Kategorie der kommutativen Ringe.

Beispiele[edit]

Das grundlegendste Beispiel ist ein Ring selbst; Es ist eine Algebra über ihrem Zentrum oder einem in der Mitte liegenden Teilring. Insbesondere ist jeder kommutative Ring eine Algebra über einem seiner Teilringe. Andere Beispiele gibt es sowohl in der Algebra als auch in anderen Bereichen der Mathematik.

Algebra[edit]

  • Jeder Ring EIN kann als betrachtet werden Z.-Algebra. Der einzigartige Ringhomomorphismus von Z. zu EIN wird durch die Tatsache bestimmt, dass es 1 an die Identität in senden muss EIN. Daher klingelt und Z.-Algebren sind äquivalente Konzepte, genauso wie abelsche Gruppen und Z.-Module sind äquivalent.
  • Jeder charakteristische Ring n ist ein (Z./.nZ.) -Algebra auf die gleiche Weise.
  • Gegeben ein R.-Modul M., der Endomorphismusring von M., bezeichnet EndeR.((M.) ist ein R.-Algebra durch Definieren von (r· Φ) (x) = r· Φ (x).
  • Jeder Matrizenring mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring R. bildet eine R.-Algebra unter Matrixaddition und Multiplikation. Dies stimmt mit dem vorherigen Beispiel überein, wenn M. ist eine endlich erzeugte, freie R.-Modul.
  • Der Platz n-durch-n Matrizen mit Einträgen aus dem Feld K. bilden eine assoziative Algebra über K.. Insbesondere bilden die 2 × 2-Realmatrizen eine assoziative Algebra, die bei der Ebenenabbildung nützlich ist.
  • Die komplexen Zahlen bilden eine zweidimensionale assoziative Algebra über den reellen Zahlen.
  • Die Quaternionen bilden eine 4-dimensionale assoziative Algebra über den Realzahlen (aber keine Algebra über den komplexen Zahlen, da die komplexen Zahlen nicht im Zentrum der Quaternionen liegen).
  • Die Polynome mit reellen Koeffizienten bilden eine assoziative Algebra über den reellen.
  • Jeder Polynomring R.[x1, …, xn] ist kommutativ R.-Algebra. In der Tat ist dies das freie Kommutativ R.-Algebra am Set {x1, …, xn}.
  • Die Freiheit R.-Algebra am Set E. ist eine Algebra von ‘Polynomen’ mit Koeffizienten in R. und nicht pendelnde Unbestimmte aus dem Satz entnommen E..
  • Die Tensoralgebra eines R.-Modul ist natürlich ein R.-Algebra. Gleiches gilt für Quotienten wie die äußeren und symmetrischen Algebren. Kategorisch gesehen ist der Funktor, der eine R.-Modul zu seiner Tensoralgebra bleibt neben dem Funktor, der eine sendet R.-Algebra zu seinem zugrunde liegenden R.-Modul (Vergessen der multiplikativen Struktur).
  • Der folgende Ring wird in der Theorie der λ-Ringe verwendet. Gegeben einen kommutativen Ring EIN, Lassen

Darstellungstheorie[edit]

  • Die universelle Hüllalgebra einer Lie-Algebra ist eine assoziative Algebra, mit der die gegebene Lie-Algebra untersucht werden kann.
  • Wenn G ist eine Gruppe und R. ist ein kommutativer Ring, der Satz aller Funktionen aus G zu R. mit endlicher Unterstützung bilden ein R.-Algebra mit der Faltung als Multiplikation. Es heißt die Gruppenalgebra von G. Die Konstruktion ist der Ausgangspunkt für die Anwendung auf das Studium (diskreter) Gruppen.
  • Wenn G ist eine algebraische Gruppe (z. B. eine halb-einfache komplexe Lie-Gruppe), dann der Koordinatenring von G ist die Hopf-Algebra EIN korrespondierend zu G. Viele Strukturen von G übersetzen in die von EIN.

Analyse[edit]

Geometrie und Kombinatorik[edit]

Konstruktionen[edit]

Subalgebren
Eine Subalgebra eines R.-Algebra EIN ist eine Teilmenge von EIN Das ist sowohl ein Subring als auch ein Submodul von EIN. Das heißt, es muss unter Addition, Ringmultiplikation, Skalarmultiplikation geschlossen werden und das Identitätselement von enthalten EIN.
Quotientenalgebren
Lassen EIN Bohne R.-Algebra. Jedes ring-theoretische Ideal ich im EIN ist automatisch ein R.-Modul seit r · · x = (r1EIN)x. Dies ergibt den Quotientenring EIN /. ich die Struktur eines R.-Modul und in der Tat ein R.-Algebra. Daraus folgt, dass jedes ringhomomorphe Bild von EIN ist auch ein R.-Algebra.
Direkte Produkte
Das direkte Produkt einer Familie von R.-Algebren ist das ring-theoretische Direktprodukt. Dies wird ein R.-Algebra mit der offensichtlichen skalaren Multiplikation.
Kostenlose Produkte
Man kann ein freies Produkt von bilden R.-Algebren in ähnlicher Weise wie das freie Produkt von Gruppen. Das freie Produkt ist das Nebenprodukt in der Kategorie R.-Algebren.
Tensorprodukte
Das Tensorprodukt von zwei R.-Algebren ist auch ein R.-Algebra auf natürliche Weise. Weitere Informationen finden Sie unter Tensorprodukt von Algebren. Gegeben einen kommutativen Ring R. und jeder Ring EIN das Tensorprodukt R.Z. EIN kann die Struktur eines gegeben werden R.-Algebra durch Definieren r · (()sein) = (rsein). Der Funktor, der sendet EIN zu R.Z. EIN wird neben dem Funktor gelassen, der eine sendet R.-Algebra zu ihrem zugrunde liegenden Ring (Vergessen der Modulstruktur). Siehe auch: Ringwechsel.

Trennbare Algebra[edit]

Lassen EIN sei eine Algebra über einem kommutativen Ring R.. Dann die Algebra EIN ist ein Recht[2] Modul vorbei

EINe: =EINÖpR.EIN{ displaystyle A ^ {e}: = A ^ {op} otimes _ {R} A}

mit der Aktion

x((einb)=einxb{ displaystyle x cdot (a otimes b) = axb}

. Dann per Definition, EIN wird als trennbar bezeichnet, wenn die Multiplikationskarte

EINR.EINEIN,xyxy{ displaystyle A otimes _ {R} A bis A, , x otimes y mapsto xy}

spaltet sich als

EINe{ displaystyle A ^ {e}}

-lineare Karte,[3] wo

EINEIN{ displaystyle A otimes A}

ist ein

EINe{ displaystyle A ^ {e}}

-Modul von

((xy)((einb)=einxyb{ displaystyle (x otimes y) cdot (a otimes b) = ax otimes yb}

. Gleichermaßen[4]

EIN{ displaystyle A}

ist trennbar, wenn es sich um ein projektives Modul handelt

EINe{ displaystyle A ^ {e}}

;; Und so kam es dass der

EINe{ displaystyle A ^ {e}}

-projektive Dimension von EIN, manchmal genannt die Bidimension von EINmisst das Versagen der Trennbarkeit.

Endlich dimensionale Algebra[edit]

Lassen EIN sei eine endlichdimensionale Algebra über einem Feld k. Dann EIN ist ein artinischer Ring.

Kommutativer Fall[edit]

Wie EIN ist Artinian, wenn es kommutativ ist, dann ist es ein endliches Produkt von Artinian-Lokalringen, deren Restfelder Algebren über dem Basisfeld sind k. Nun ist ein reduzierter lokaler artinischer Ring ein Feld und daher sind die folgenden äquivalent[5]

Nicht kommutiver Fall[edit]

Da ein einfacher Artinian-Ring ein (vollständiger) Matrixring über einem Teilungsring ist, wenn EIN ist also eine einfache Algebra EIN ist eine (Voll-) Matrixalgebra über eine Divisionsalgebra D. Über k;; dh

EIN=M.n((D.){ displaystyle A = M_ {n} (D)}

. Allgemeiner, wenn EIN ist eine semisimple Algebra, dann ist es ein endliches Produkt von Matrixalgebren (über verschiedene Teilungen k-Algebren), die als Artin-Wedderburn-Theorem bekannte Tatsache.

Die Tatsache, dass EIN ist Artinian vereinfacht die Vorstellung eines Jacobson-Radikalen; für einen artinischen Ring das Jacobson-Radikal von EIN ist der Schnittpunkt aller (zweiseitigen) Maximalideale (im Gegensatz dazu ist ein Jacobson-Radikal im Allgemeinen der Schnittpunkt aller linken Maximalideale oder der Schnittpunkt aller rechten Maximalideale.)

Das Wedderburn-Hauptsatz Zustände:[6] für eine endlichdimensionale Algebra EIN mit einem nilpotenten Ideal ich, wenn die projektive Dimension von

EIN/.ich{ displaystyle A / I}

als

((EIN/.ich)e{ displaystyle (A / I) ^ {e}}

-Modul ist höchstens eins, dann die natürliche Surjektion

p::EINEIN/.ich{ displaystyle p: A bis A / I}

spaltet sich; dh

EIN{ displaystyle A}

enthält eine Subalgebra

B.{ displaystyle B}

so dass

p|B.::B.EIN/.ich{ displaystyle p | _ {B}: B { overset { sim} { to}} A / I}

ist ein Isomorphismus. Nehmen ich Um das Jacobson-Radikal zu sein, sagt der Satz insbesondere, dass das Jacobson-Radikal durch eine halb-einfache Algebra ergänzt wird. Der Satz ist ein Analogon zu Levis Satz für Lie-Algebren.

Gitter und Befehle[edit]

Lassen R. sei eine noetherische Integraldomäne mit einem Feld von Brüchen K. (Zum Beispiel können sie sein

Z.,Q.{ displaystyle mathbb {Z}, mathbb {Q}}

). EIN Gitter L. in einer endlichen Dimension K.-Vektorraum V. ist eine endlich erzeugte R.-Modul von V. das überspannt V.;; mit anderen Worten,

L.R.K.=V.{ displaystyle L otimes _ {R} K = V}

.

Lassen

EINK.{ displaystyle A_ {K}}

sei eine endliche Dimension K.-Algebra. Ein bestellen im

EINK.{ displaystyle A_ {K}}

ist ein R.-Subalgebra, die ein Gitter ist. Im Allgemeinen gibt es viel weniger Ordnungen als Gitter; z.B,

12Z.{ displaystyle {1 over 2} mathbb {Z}}

ist ein Gitter in

Q.{ displaystyle mathbb {Q}}

aber keine Ordnung (da es keine Algebra ist).[7]

EIN maximale Ordnung ist eine Bestellung, die unter allen Bestellungen maximal ist.

Verwandte konzepte[edit]

Kohlegebren[edit]

Eine assoziative Algebra vorbei K. ist gegeben durch a K.-Vektorraum EIN mit einer bilinearen Karte ausgestattet EIN × EINEIN mit zwei Eingängen (Multiplikator und Multiplikand) und einem Ausgang (Produkt) sowie einem Morphismus K.EIN Identifizieren der skalaren Vielfachen der multiplikativen Identität. Wenn die bilineare Karte EIN × EINEIN wird als lineare Karte neu interpretiert (dh Morphismus in der Kategorie von K.-Vektorräume) EINEINEIN (durch die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts), dann können wir eine assoziative Algebra über betrachten K. Als ein K.-Vektorraum EIN ausgestattet mit zwei Morphismen (einer der Form EINEINEIN und eine der Form K.EIN) bestimmte Bedingungen erfüllen, die auf die Algebra-Axiome hinauslaufen. Diese beiden Morphismen können mithilfe der kategorialen Dualität dualisiert werden, indem alle Pfeile in den kommutativen Diagrammen, die die Algebra-Axiome beschreiben, umgekehrt werden. Dies definiert die Struktur einer Kohlegebra.

Es gibt auch einen abstrakten Begriff von F.-Koalgebra, wo F. ist ein Funktor. Dies hängt vage mit dem oben diskutierten Begriff der Kohlegebra zusammen.

Darstellungen[edit]

Eine Darstellung einer Algebra EIN ist ein Algebra-Homomorphismus ρ :: EIN → Ende (V.) von EIN zur Endomorphismusalgebra eines Vektorraums (oder Moduls) V.. Das Eigentum von ρ ein Algebra-Homomorphismus zu sein bedeutet das ρ bewahrt die multiplikative Operation (d. h. ρ((xy) = ρ((x)ρ((y) für alle x und y im EIN), und das ρ sendet die Einheit von EIN zur Einheit von End (V.) (dh zum Identitätsendomorphismus von V.).

Wenn EIN und B. sind zwei Algebren und ρ :: EIN → Ende (V.) und τ :: B. → Ende (W.) sind zwei Darstellungen, dann gibt es eine (kanonische) Darstellung EIN

{ displaystyle otimes}

B. → Ende (V.

{ displaystyle otimes}

W.) der Tensorproduktalgebra EIN

{ displaystyle otimes}

B. auf dem Vektorraum V.

{ displaystyle otimes}

W.. Es gibt jedoch keine natürliche Möglichkeit, ein Tensorprodukt aus zwei Darstellungen einer einzelnen assoziativen Algebra so zu definieren, dass das Ergebnis immer noch eine Darstellung derselben Algebra (nicht ihres Tensorprodukts mit sich selbst) ist, ohne dass zusätzliche Bedingungen auferlegt werden . Hier von Tensorprodukt von Darstellungenist die übliche Bedeutung beabsichtigt: Das Ergebnis sollte eine lineare Darstellung derselben Algebra auf dem Produktvektorraum sein. Das Auferlegen einer solchen zusätzlichen Struktur führt typischerweise zur Idee einer Hopf-Algebra oder einer Lie-Algebra, wie unten gezeigt.

Motivation für eine Hopf-Algebra[edit]

Betrachten Sie zum Beispiel zwei Darstellungen

σ::EINE.nd((V.){ displaystyle sigma: A rightarrow mathrm {End} (V)}

und

τ::EINE.nd((W.){ displaystyle tau: A rightarrow mathrm {End} (W)}

. Man könnte versuchen, eine Tensorproduktdarstellung zu bilden

ρ::xσ((x)τ((x){ displaystyle rho: x mapsto sigma (x) otimes tau (x)}

je nachdem, wie es auf den Produktvektorraum wirkt, so dass

Eine solche Karte wäre jedoch nicht linear, da dies der Fall wäre

zum kK.. Man kann diesen Versuch retten und die Linearität wiederherstellen, indem man eine zusätzliche Struktur auferlegt, indem man einen Algebra-Homomorphismus Δ definiert: EINEINEINund Definieren der Tensorproduktdarstellung als

Ein solcher Homomorphismus Δ wird als Comultiplikation bezeichnet, wenn er bestimmte Axiome erfüllt. Die resultierende Struktur wird als Bialgebra bezeichnet. Um mit den Definitionen der assoziativen Algebra übereinzustimmen, muss die Kohlegebra koassoziativ sein, und wenn die Algebra unital ist, muss die Coalgebra auch co-unital sein. Eine Hopf-Algebra ist eine Bialgebra mit einem zusätzlichen Strukturstück (dem sogenannten Antipoden), mit dem nicht nur das Tensorprodukt zweier Darstellungen, sondern auch das Hom-Modul zweier Darstellungen definiert werden kann (ähnlich wie dies wiederum der Fall ist) in der Darstellungstheorie von Gruppen).

Motivation für eine Lügenalgebra[edit]

Man kann versuchen, ein Tensorprodukt klüger zu definieren. Betrachten Sie zum Beispiel

so dass die Wirkung auf den Tensorproduktraum gegeben ist durch

Diese Karte ist in eindeutig linear xund so hat es nicht das Problem der früheren Definition. Die Multiplikation bleibt jedoch nicht erhalten:

Im Allgemeinen ist dies jedoch nicht gleichbedeutend

Dies zeigt, dass diese Definition eines Tensorprodukts zu naiv ist; Die offensichtliche Lösung besteht darin, es so zu definieren, dass es antisymmetrisch ist, sodass sich die beiden mittleren Begriffe aufheben. Dies führt zum Konzept einer Lie-Algebra.

Nicht unitale Algebren[edit]

Einige Autoren verwenden den Begriff “assoziative Algebra” sich auf Strukturen zu beziehen, die nicht unbedingt eine multiplikative Identität haben, und daher Homomorphismen zu betrachten, die nicht unbedingt einheitlich sind.

Ein Beispiel für eine nicht unitale assoziative Algebra ist die Menge aller Funktionen f:: R.R. dessen Grenze als x nahe der Unendlichkeit ist Null.

Ein weiteres Beispiel ist der Vektorraum kontinuierlicher periodischer Funktionen zusammen mit dem Faltungsprodukt.

Siehe auch[edit]

  1. ^ Technischer Hinweis: Die multiplikative Identität ist ein Datum (es gibt den vergesslichen Funktor von der Kategorie der unitalen assoziativen Algebren bis zur Kategorie der möglicherweise nicht unitalen assoziativen Algebren), während die Assoziativität eine Eigenschaft ist. Durch die Einzigartigkeit der multiplikativen Identität, “Einheitlichkeit” wird oft wie eine Immobilie behandelt.
  2. ^ Anmerkung der Redaktion: Wie sich herausstellt,
  3. ^ Cohn 2003, § 4.7.
  4. ^ Beachten Sie einen Abschnitt von, um die Äquivalenz zu sehen
  5. ^ Waterhouse 1979, § 6.2.
  6. ^ Cohn 2003, Satz 4.7.5.
  7. ^ Artin 1999, Ch. IV, § 1.

Verweise[edit]

after-content-x4