[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/assoziative-algebra-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/assoziative-algebra-wikipedia\/","headline":"Assoziative Algebra – Wikipedia","name":"Assoziative Algebra – Wikipedia","description":"before-content-x4 Algebraische Struktur mit (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd und (a)","datePublished":"2020-12-02","dateModified":"2020-12-02","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/715ae73e40f4b45aedd455783e637358926c5677","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/715ae73e40f4b45aedd455783e637358926c5677","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/assoziative-algebra-wikipedia\/","wordCount":13930,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Algebraische Struktur mit (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd und (a) (bc) = (ab) (c)  In der Mathematik ist ein assoziative Algebra ist eine algebraische Struktur mit kompatiblen Operationen der Addition, Multiplikation (als assoziativ angenommen) und einer skalaren Multiplikation mit Elementen in einem bestimmten Bereich.  Die Additions- und Multiplikationsoperationen ergeben zusammen EIN die Struktur eines Rings;  die Additions- und Skalarmultiplikationsoperationen ergeben zusammen EIN die Struktur eines Vektorraums \u00fcber K..  In diesem Artikel werden wir auch den Begriff verwenden K.-Algebra eine assoziative Algebra \u00fcber dem Feld bedeuten K..  Ein erstes Standardbeispiel f\u00fcr a K.-Algebra ist ein Ring quadratischer Matrizen \u00fcber einem Feld K.mit der \u00fcblichen Matrixmultiplikation.EIN kommutative Algebra ist eine assoziative Algebra mit einer kommutativen Multiplikation oder \u00e4quivalent eine assoziative Algebra, die auch ein kommutativer Ring ist.In diesem Artikel wird angenommen, dass assoziative Algebren eine multiplikative Identit\u00e4t haben, die mit 1 bezeichnet ist.  Sie werden manchmal genannt unitale assoziative Algebren zur Klarstellung.  In einigen Bereichen der Mathematik wird diese Annahme nicht getroffen, und wir werden solche Strukturen als nicht-unitale assoziative Algebren bezeichnen.  Wir werden auch annehmen, dass alle Ringe unital sind und alle Ringhomomorphismen unital sind.  Viele Autoren betrachten das allgemeinere Konzept einer assoziativen Algebra \u00fcber einen kommutativen Ring R., anstelle eines Feldes: An R.-Algebra ist ein R.-Modul mit einem Assoziativ R.-bilineare bin\u00e4re Operation, die auch eine multiplikative Identit\u00e4t enth\u00e4lt.  F\u00fcr Beispiele dieses Konzepts, wenn S. ist ein beliebiger Ring mit Mitte C., dann S. ist ein assoziativer C.-Algebra.Table of ContentsDefinition[edit]Als monoides Objekt in der Kategorie der Module[edit]Aus Ringhomomorphismen[edit]Algebra-Homomorphismen[edit]Beispiele[edit]Algebra[edit]Darstellungstheorie[edit]Analyse[edit]Geometrie und Kombinatorik[edit]Konstruktionen[edit]Trennbare Algebra[edit]Endlich dimensionale Algebra[edit]Kommutativer Fall[edit]Nicht kommutiver Fall[edit]Gitter und Befehle[edit]Verwandte konzepte[edit]Kohlegebren[edit]Darstellungen[edit]Motivation f\u00fcr eine Hopf-Algebra[edit]Motivation f\u00fcr eine L\u00fcgenalgebra[edit]Nicht unitale Algebren[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Definition[edit]Lassen R. sei ein fester kommutativer Ring (so R. k\u00f6nnte ein Feld sein).  Ein assoziativ R.-Algebra (oder einfacher gesagt, ein R.-Algebra) ist eine additive abelsche Gruppe EIN welches die Struktur sowohl eines Rings als auch eines hat R.-Modul so, dass die Skalarmultiplikation erf\u00fcllt  r\u22c5((xy)=((r\u22c5x)y=x((r\u22c5y){ displaystyle r  cdot (xy) = (r  cdot x) y = x (r  cdot y)}f\u00fcr alle r \u2208 R. und x, y \u2208 EIN.  Au\u00dferdem, EIN wird als unital angenommen, dh es enth\u00e4lt ein Element 1, so dass1x=x=x1{ displaystyle 1x = x = x1}f\u00fcr alle x \u2208 EIN.  Beachten Sie, dass ein solches Element 1 notwendigerweise eindeutig ist.Mit anderen Worten, EIN ist ein R.-Modul zusammen mit a R.-bilineare bin\u00e4re Operation EIN \u00d7 EIN \u2192 EIN das ist assoziativ und hat eine Identit\u00e4t. [1]  Wenn man die Anforderung an die Assoziativit\u00e4t fallen l\u00e4sst, erh\u00e4lt man eine nicht assoziative Algebra.Wenn EIN selbst ist kommutativ (als Ring), dann hei\u00dft es a kommutativ R.-Algebra.Als monoides Objekt in der Kategorie der Module[edit]Die Definition ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass ein unitaler Assoziativ R.-Algebra ist ein monoides Objekt in R.-Mod (die monoidale Kategorie von R.-Module).  Per Definition ist ein Ring ein monoides Objekt in der Kategorie der abelschen Gruppen;  Somit wird der Begriff einer assoziativen Algebra erhalten, indem die Kategorie der abelschen Gruppen durch die Kategorie der Module ersetzt wird.Um diese Idee weiter voranzutreiben, haben einige Autoren a “verallgemeinerter Ring” als monoides Objekt in einer anderen Kategorie, die sich wie die Kategorie von Modulen verh\u00e4lt.  In der Tat erlaubt diese Neuinterpretation zu vermeiden, explizit auf Elemente einer Algebra zu verweisen EIN.  Zum Beispiel kann die Assoziativit\u00e4t wie folgt ausgedr\u00fcckt werden.  Durch die universelle Eigenschaft eines Tensorprodukts von Modulen wird die Multiplikation (die R.-bilineare Karte) entspricht einer eindeutigen R.-lineare Kartem::EIN\u2297R.EIN\u2192EIN{ displaystyle m: A  otimes _ {R} A  bis A}.Die Assoziativit\u00e4t bezieht sich dann auf die Identit\u00e4t:m\u2218((Ich w\u00fcrde\u2297m)=m\u2218((m\u2297Ich w\u00fcrde).{ displaystyle m  circ ({ operatorname {id}}  otimes m) = m  circ (m  otimes  operatorname {id}).}Aus Ringhomomorphismen[edit]Eine assoziative Algebra l\u00e4uft auf einen Ringhomomorphismus hinaus, dessen Bild in der Mitte liegt.  In der Tat mit einem Ring beginnen EIN und ein Ringhomomorphismus \u03b7::R.\u2192EIN{ displaystyle  eta  Doppelpunkt R  bis A}  dessen Bild liegt in der Mitte von EIN, wir k\u00f6nnen machen EIN ein R.-Algebra durch Definierenr\u22c5x=\u03b7((r)x{ displaystyle r  cdot x =  eta (r) x}f\u00fcr alle r \u2208 R. und x \u2208 EIN.  Wenn EIN ist ein R.-Algebra, nehmen x = 1 definiert dieselbe Formel wiederum einen Ringhomomorphismus \u03b7::R.\u2192EIN{ displaystyle  eta  Doppelpunkt R  bis A}  dessen Bild liegt in der Mitte.Wenn ein Ring kommutativ ist, entspricht er seinem Zentrum, so dass ein kommutativ ist R.-Algebra kann einfach als kommutativer Ring definiert werden EIN zusammen mit einem kommutativen Ringhomomorphismus \u03b7::R.\u2192EIN{ displaystyle  eta  Doppelpunkt R  bis A}.Der Ringhomomorphismus \u03b7 Das Erscheinen oben wird oft als Strukturkarte bezeichnet.  Im kommutativen Fall kann man die Kategorie betrachten, deren Objekte Ringhomomorphismen sind R. \u2192 EIN;;  dh kommutativ R.-Algebren und deren Morphismen Ringhomomorphismen sind EIN \u2192 EIN‘  das sind unter R.;;  dh R. \u2192 EIN \u2192 EIN‘  ist R. \u2192 EIN‘  (dh die Coslice-Kategorie der Kategorie der kommutativen Ringe unter R..) Der Hauptspektrum-Funktor Spec bestimmt dann eine Anti\u00e4quivalenz dieser Kategorie zur Kategorie der affinen Schemata \u00fcber Spec R..Wie die Kommutativit\u00e4tsannahme geschw\u00e4cht werden kann, ist Gegenstand der nichtkommutativen algebraischen Geometrie und in j\u00fcngerer Zeit der abgeleiteten algebraischen Geometrie.  Siehe auch: generischer Matrixring.Algebra-Homomorphismen[edit]Ein Homomorphismus zwischen zwei R.-Algebren ist ein R.-linearer Ringhomomorphismus.  Ausdr\u00fccklich, \u03c6::EIN1\u2192EIN2{ displaystyle  varphi: A_ {1}  bis A_ {2}}  ist ein assoziativer Algebra-Homomorphismus wenn\u03c6((r\u22c5x)=r\u22c5\u03c6((x)\u03c6((x+y)=\u03c6((x)+\u03c6((y)\u03c6((xy)=\u03c6((x)\u03c6((y)\u03c6((1)=1{ displaystyle { begin {align}  varphi (r  cdot x) & = r  cdot  varphi (x) \\ varphi (x + y) & =  varphi (x) +  varphi (y)  \\ varphi (xy) & =  varphi (x)  varphi (y) \\ varphi (1) & = 1  end {align}}}Die Klasse von allen R.-Algebren bilden zusammen mit Algebra-Homomorphismen zwischen ihnen eine Kategorie, die manchmal bezeichnet wird R.-Alg.Die Unterkategorie Kommutativ R.-Algebren k\u00f6nnen als Coslice-Kategorie charakterisiert werden R.\/.CRing wo CRing ist die Kategorie der kommutativen Ringe.Beispiele[edit]Das grundlegendste Beispiel ist ein Ring selbst;  Es ist eine Algebra \u00fcber ihrem Zentrum oder einem in der Mitte liegenden Teilring.  Insbesondere ist jeder kommutative Ring eine Algebra \u00fcber einem seiner Teilringe.  Andere Beispiele gibt es sowohl in der Algebra als auch in anderen Bereichen der Mathematik.Algebra[edit]Jeder Ring EIN kann als betrachtet werden Z.-Algebra.  Der einzigartige Ringhomomorphismus von Z. zu EIN wird durch die Tatsache bestimmt, dass es 1 an die Identit\u00e4t in senden muss EIN.  Daher klingelt und Z.-Algebren sind \u00e4quivalente Konzepte, genauso wie abelsche Gruppen und Z.-Module sind \u00e4quivalent.Jeder charakteristische Ring n ist ein (Z.\/.nZ.) -Algebra auf die gleiche Weise.Gegeben ein R.-Modul M., der Endomorphismusring von M., bezeichnet EndeR.((M.) ist ein R.-Algebra durch Definieren von (r\u00b7 \u03a6) (x) = r\u00b7 \u03a6 (x).Jeder Matrizenring mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring R. bildet eine R.-Algebra unter Matrixaddition und Multiplikation.  Dies stimmt mit dem vorherigen Beispiel \u00fcberein, wenn M. ist eine endlich erzeugte, freie R.-Modul.Der Platz n-durch-n Matrizen mit Eintr\u00e4gen aus dem Feld K. bilden eine assoziative Algebra \u00fcber K..  Insbesondere bilden die 2 \u00d7 2-Realmatrizen eine assoziative Algebra, die bei der Ebenenabbildung n\u00fctzlich ist.Die komplexen Zahlen bilden eine zweidimensionale assoziative Algebra \u00fcber den reellen Zahlen.Die Quaternionen bilden eine 4-dimensionale assoziative Algebra \u00fcber den Realzahlen (aber keine Algebra \u00fcber den komplexen Zahlen, da die komplexen Zahlen nicht im Zentrum der Quaternionen liegen).Die Polynome mit reellen Koeffizienten bilden eine assoziative Algebra \u00fcber den reellen.Jeder Polynomring R.[x1, …, xn]  ist kommutativ R.-Algebra.  In der Tat ist dies das freie Kommutativ R.-Algebra am Set {x1, …, xn}.Die Freiheit R.-Algebra am Set E. ist eine Algebra von ‘Polynomen’ mit Koeffizienten in R. und nicht pendelnde Unbestimmte aus dem Satz entnommen E..Die Tensoralgebra eines R.-Modul ist nat\u00fcrlich ein R.-Algebra.  Gleiches gilt f\u00fcr Quotienten wie die \u00e4u\u00dferen und symmetrischen Algebren.  Kategorisch gesehen ist der Funktor, der eine R.-Modul zu seiner Tensoralgebra bleibt neben dem Funktor, der eine sendet R.-Algebra zu seinem zugrunde liegenden R.-Modul (Vergessen der multiplikativen Struktur).Der folgende Ring wird in der Theorie der \u03bb-Ringe verwendet.  Gegeben einen kommutativen Ring EIN, Lassen G((EIN)=1+tEIN[[t]]],{ Anzeigestil G (A) = 1 + tA[![t]!],}  die Menge der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Es ist eine abelsche Gruppe mit der Gruppenoperation, die die Multiplikation von Potenzreihen ist.  Es ist dann ein Ring mit der Multiplikation, bezeichnet mit \u2218{ displaystyle  circ}, so dass ((1+eint)\u2218((1+bt)=1+einbt,{ displaystyle (1 + at)  circ (1 + bt) = 1 + abt,}  bestimmt durch diese Bedingung und die Ringaxiome.  Die additive Identit\u00e4t ist 1 und die multiplikative Identit\u00e4t ist 1+t{ displaystyle 1 + t}.  Dann EIN{ displaystyle A}  hat eine kanonische Struktur von a G((EIN){ displaystyle G (A)}-Algebra gegeben durch den Ringhomomorphismus"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/assoziative-algebra-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Assoziative Algebra – Wikipedia"}}]}]