Schraubentheorie – Wikipedia

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Sir Robert Ball, Autor von Abhandlungen zur Schraubentheorie in den Jahren 1876 und 1900

Schraubentheorie ist die algebraische Berechnung von Vektorpaaren wie Kräften und Momenten oder Winkel- und Lineargeschwindigkeit, die in der Kinematik und Dynamik starrer Körper auftreten.[1][2] Das mathematische Gerüst wurde 1876 von Sir Robert Stawell Ball für die Anwendung in der Kinematik und Statik von Mechanismen (Starrkörpermechanik) entwickelt.[3]

Die Schneckentheorie liefert eine mathematische Formulierung für die Geometrie von Linien, die für die Dynamik des starren Körpers von zentraler Bedeutung ist, wobei Linien die Schraubenachsen der räumlichen Bewegung und die Wirkungslinien von Kräften bilden. Das Vektorpaar, das die Plücker-Koordinaten einer Linie bildet, definiert eine Einheitsschraube, und allgemeine Schrauben werden durch Multiplikation mit einem Paar reeller Zahlen und Addition von Vektoren erhalten.[3]

Ein wichtiges Ergebnis der Schneckentheorie ist, dass geometrische Berechnungen für Punkte unter Verwendung von Vektoren parallele geometrische Berechnungen für Linien haben, die durch Ersetzen von Vektoren durch Schrauben erhalten werden. Dies wird als bezeichnet Übertragungsprinzip.[4]

Die Schneckentheorie ist zu einem wichtigen Werkzeug in der Robotermechanik geworden.[5][6] mechanisches Design, Rechengeometrie und Mehrkörperdynamik. Dies ist teilweise auf die Beziehung zwischen Schrauben und Doppelquaternionen zurückzuführen, die zur Interpolation von Starrkörperbewegungen verwendet wurden.[7] Basierend auf der Schneckentheorie wurde auch ein effizienter Ansatz für die Typensynthese paralleler Mechanismen (parallele Manipulatoren oder parallele Roboter) entwickelt.[8]

Zu den Grundsätzen gehören der Satz von Poinsot (Louis Poinsot, 1806) und der Satz von Chasles (Michel Chasles, 1832). Felix Klein sah in der Schraubentheorie eine Anwendung der elliptischen Geometrie und seines Erlangen-Programms.[9] Er erarbeitete auch die elliptische Geometrie und eine neue Ansicht der euklidischen Geometrie mit der Cayley-Klein-Metrik. Die Verwendung einer symmetrischen Matrix für einen von Staudt-Kegel und eine Metrik, die auf Schrauben angewendet wird, wurde von Harvey Lipkin beschrieben.[10] Weitere prominente Mitwirkende sind Julius Plücker, WK Clifford, FM Dimentberg, Kenneth H. Hunt und JR Phillips.[11]

Grundlegendes Konzept[edit]

Die Steigung einer reinen Schraube bezieht die Drehung um eine Achse auf die Verschiebung entlang dieser Achse.

Eine räumliche Verschiebung eines starren Körpers kann durch eine Drehung um eine Linie und eine Verschiebung entlang derselben Linie definiert werden, die als Schraubenverschiebung bezeichnet wird. Dies ist als Satz von Chasles bekannt. Die sechs Parameter, die eine Schraubenverschiebung definieren, sind die vier unabhängigen Komponenten des Plücker-Vektors, der die Schraubenachse zusammen mit dem Drehwinkel um und dem linearen Gleiten entlang dieser Linie definiert und ein Vektorpaar bildet, das als a bezeichnet wird Schraube. Zum Vergleich können die sechs Parameter, die eine räumliche Verschiebung definieren, auch durch drei Euler-Winkel angegeben werden, die die Drehung und die drei Komponenten des Translationsvektors definieren.

Schraube[edit]

Eine Schraube ist ein sechsdimensionaler Vektor, der aus einem Paar dreidimensionaler Vektoren wie Kräften und Drehmomenten sowie linearer und Winkelgeschwindigkeit besteht, die bei der Untersuchung der räumlichen Starrkörperbewegung auftreten. Die Komponenten der Schraube definieren die Plücker-Koordinaten einer Linie im Raum und die Größen des Vektors entlang der Linie und des Moments um diese Linie.

Schlüssel[edit]

Die Kraft- und Drehmomentvektoren, die bei der Anwendung der Newtonschen Gesetze auf einen starren Körper entstehen, können zu einer Schraube namens a zusammengesetzt werden Schlüssel. Eine Kraft hat einen Angriffspunkt und eine Wirkungslinie, definiert daher die Plücker-Koordinaten einer Linie im Raum und hat eine Steigung von Null. Ein Drehmoment hingegen ist ein reiner Moment, der nicht an eine Linie im Raum gebunden ist und eine Schraube mit unendlicher Steigung ist. Das Verhältnis dieser beiden Größen definiert die Steigung der Schraube.

Twist[edit]

EIN Twist repräsentiert die Geschwindigkeit eines starren Körpers als Winkelgeschwindigkeit um eine Achse und als lineare Geschwindigkeit entlang dieser Achse. Alle Punkte im Körper haben die gleiche Geschwindigkeitskomponente entlang der Achse. Je größer der Abstand von der Achse ist, desto größer ist jedoch die Geschwindigkeit in der Ebene senkrecht zu dieser Achse. Somit wird das durch die Geschwindigkeitsvektoren in einem sich bewegenden starren Körper gebildete Helikoidfeld abgeflacht, je weiter die Punkte radial von der Verdrehungsachse entfernt sind.

Die Punkte in einem Körper, die einer konstanten Schraubenbewegung unterliegen, verfolgen Helices im festen Rahmen. Wenn diese Schraubenbewegung eine Steigung von Null hat, zeichnen die Trajektorien Kreise und die Bewegung ist eine reine Drehung. Wenn die Schraubenbewegung eine unendliche Steigung aufweist, sind die Trajektorien alle gerade Linien in derselben Richtung.

Algebra der Schrauben[edit]

Lassen Sie a Schraube ein bestelltes Paar sein

wo S. und V. sind dreidimensionale reelle Vektoren. Die Summe und Differenz dieser geordneten Paare wird komponentenweise berechnet. Schrauben werden oft genannt duale Vektoren.

Führen Sie nun das geordnete Paar reeller Zahlen ein â = (ein, b) genannt dualer Skalar. Die Addition und Subtraktion dieser Zahlen sei komponentenweise und definiere die Multiplikation als

Die Multiplikation einer Schraube S. = (S., V.) durch den dualen Skalar â = (ein, b) wird komponentenweise berechnet als,

Führen Sie abschließend die Punkt- und Kreuzprodukte der Schrauben anhand der folgenden Formeln ein:

das ist ein dualer Skalar, und

Das ist eine Schraube. Die Punkt- und Kreuzprodukte von Schrauben erfüllen die Identitäten der Vektoralgebra und ermöglichen Berechnungen, die direkt parallel zu Berechnungen in der Vektoralgebra sind.

Sei der duale Skalar ẑ = (φ, d) definieren a Doppelwinkeldann ergeben die unendlichen Reihendefinitionen von Sinus und Cosinus die Beziehungen

Das sind auch duale Skalare. Im Allgemeinen wird die Funktion einer dualen Variablen als definiert f(ẑ) = (f((φ), df‘(φ)), wo f‘(φ) ist die Ableitung von f((φ).

Diese Definitionen ermöglichen die folgenden Ergebnisse:

  • Sei ẑ = ​​(φ, d) sei der Doppelwinkel, wo φ ist der Winkel zwischen den Achsen von S. und T. um ihre gemeinsame Normalität, und d ist dann der Abstand zwischen diesen Achsen entlang der gemeinsamen Normalen
  • Sei N die Einheitsschraube, die die gemeinsame Normale zu den Achsen von definiert S. und T.und ẑ = (φ, d) ist also der Doppelwinkel zwischen diesen Achsen

Ein häufiges Beispiel für eine Schraube ist die Schlüssel verbunden mit einer Kraft, die auf einen starren Körper wirkt. Lassen P. der Angriffspunkt der Kraft sein F. und lass P. sei der Vektor, der diesen Punkt in einem festen Rahmen lokalisiert. Der Schraubenschlüssel W. = (F., P.×F.) ist eine Schraube. Die resultierende Kraft und das resultierende Moment, die aus allen Kräften erhalten werden F.ich, ich = 1, …,nEinwirken auf einen starren Körper ist einfach die Summe der einzelnen Schraubenschlüssel W.ich, das ist

Beachten Sie, dass der Fall von zwei gleichen, aber entgegengesetzten Kräften F. und –F. an Punkten handeln EIN und B. ergibt jeweils das Ergebnis

Dies zeigt, dass Schrauben der Form

kann als reine Momente interpretiert werden.

Um die zu definieren Twist eines starren Körpers müssen wir seine Bewegung betrachten, die durch die parametrisierte Menge der räumlichen Verschiebungen definiert ist, D

Die Geschwindigkeit von P. ist

wo v ist die Geschwindigkeit des Ursprungs des sich bewegenden Rahmens, dh dd/ dt. Jetzt ersetzen p = [AT]((P. – – d) in diese Gleichung zu erhalten,

ist der Twist des sich bewegenden Körpers. Der Vektor V. = v + d × ω ist die Geschwindigkeit des Punktes im Körper, die dem Ursprung des festen Rahmens entspricht.

Es gibt zwei wichtige Sonderfälle: (i) wann d ist konstant, das heißt v = 0, dann ist die Verdrehung eine reine Drehung um eine Linie, dann ist die Verdrehung

und (ii) wann [Ω] = 0, das heißt, der Körper dreht sich nicht, sondern gleitet nur in die Richtung v, dann ist die Drehung eine reine Folie gegeben durch

Drehgelenke[edit]

Lassen Sie bei einem Drehgelenk die Drehachse durch den Punkt verlaufen q und entlang des Vektors gerichtet sein ω, dann ist die Verdrehung für das Gelenk gegeben durch,

Prismatische Gelenke[edit]

Lassen Sie für eine prismatische Verbindung den Vektor v Zeigen Sie die Richtung des Schlittens, dann ist die Verdrehung für die Verbindung gegeben durch:

Koordinatentransformation von Schrauben[edit]

Die Koordinatentransformationen für Schrauben sind leicht zu verstehen, wenn man mit den Koordinatentransformationen des Plücker-Linienvektors beginnt, die wiederum aus den Transformationen der Koordinate der Punkte auf der Linie erhalten werden.

Die Verschiebung eines Körpers sei definiert durch D. = ([A], d), wo [A] ist die Rotationsmatrix und d ist der Übersetzungsvektor. Betrachten Sie die Linie im Körper, die durch die beiden Punkte definiert ist p und q, der die Plücker-Koordinaten hat,

dann haben wir im festen Rahmen die transformierten Punktkoordinaten P. = [A]p + d und Q. = [A]q + d, die ergeben.

Eine räumliche Verschiebung definiert also eine Transformation für Plücker-Koordinaten von Linien, die durch gegeben sind

Die Matrix [D] ist die schrägsymmetrische Matrix, die die produktübergreifende Operation ausführt, d. h [D]y = d × y.

Die aus der räumlichen Verschiebung erhaltene 6 × 6-Matrix D. = ([A], d) kann in die Doppelmatrix eingebaut werden

welches auf einer Schraube arbeitet s = (s.v) erhalten,

Die Doppelmatrix [Â] = ([A], [DA]) hat die Determinante 1 und heißt a duale orthogonale Matrix.

Drehungen als Elemente einer Lie-Algebra[edit]

Betrachten Sie die Bewegung eines starren Körpers, der durch die parametrisierte homogene 4×4-Transformation definiert wird.

Erinnere dich daran [Ω] ist die Winkelgeschwindigkeitsmatrix. Die Matrix [S] ist ein Element der Lie-Algebra se (3) der Lie-Gruppe SE (3) homogener Transformationen. Die Komponenten von [S] sind die Komponenten der Drehschraube, und aus diesem Grund [S] wird auch oft als Twist bezeichnet.

Aus der Definition der Matrix [S]können wir die gewöhnliche Differentialgleichung formulieren,

wo θ repräsentiert die Parameter der Transformation.

Schrauben durch Reflexion[edit]

In der Transformationsgeometrie ist das elementare Konzept der Transformation die Reflexion (Mathematik). Bei planaren Transformationen wird eine Translation durch Reflexion in parallelen Linien erhalten, und eine Drehung wird durch Reflexion in einem Paar sich schneidender Linien erhalten. Um eine Schraubentransformation aus ähnlichen Konzepten zu erzeugen, müssen Ebenen im Raum verwendet werden: Die parallelen Ebenen müssen senkrecht zur Schraubenachse sein, der Schnittlinie der Schnittebenen, die die Drehung der Schraube erzeugen. Somit bewirken vier Reflexionen in Ebenen eine Schraubentransformation. Die Tradition der inversiven Geometrie übernimmt einige der Ideen der projektiven Geometrie und bietet eine Transformationssprache, die nicht von der analytischen Geometrie abhängt.

Homographie[edit]

Die Kombination einer Translation mit einer Drehung, die durch eine Schraubenverschiebung bewirkt wird, kann mit der Exponentialabbildung veranschaulicht werden. Diese Idee in der Transformationsgeometrie wurde von Sophus Lie vor mehr als einem Jahrhundert vorgebracht. Noch früher zeigte William Rowan Hamilton die Versorform von Einheitsquaternionen als exp (ar) = cos ein + r Sünde ein. Die Idee ist auch in Eulers Formel enthalten, die den Einheitskreis in der komplexen Ebene parametrisiert.

Schon seit ε2 = 0 für doppelte Zahlen, exp () = 1 + , alle anderen Begriffe der Exponentialreihe verschwinden.

Lassen F. = {1 + εr :: rH.}, ε2 = 0. Beachten Sie, dass F. ist unter der Rotation stabil qp −1qp und unter der Übersetzung (1 + εr) (1 + εs) = 1 + ε ((r + s) für alle Vektorquaternionen r und s.
F. ist eine 3-Ebene im achtdimensionalen Raum der doppelten Quaternionen. Diese 3-Wohnung F. stellt den Raum dar und die Homographie konstruiert, beschränkt auf F.ist eine Schraubenverschiebung des Raumes.

Lassen ein sei der halbe Winkel der gewünschten Drehung um die Achse r, und br die Hälfte der Verschiebung auf der Schraubenachse. Dann bilden z = exp ((ein + )r ) und z * = exp ((ein – – )r). Jetzt ist die Homographie

Die Umkehrung für z* ist

Also sendet die Homographie q zu

Nun zu jedem Quaternionsvektor p, p* = –p, Lassen q = 1 + F. wo die erforderliche Rotation und Translation bewirkt werden.

William Kingdon Clifford initiierte die Verwendung von Doppelquaternionen für die Kinematik, gefolgt von Aleksandr Kotelnikov, Eduard Study (Geometrie der Dynamen) und Wilhelm Blaschke. Der Standpunkt von Sophus Lie hat sich jedoch wiederholt.[12]

Im Jahr 1940 beschrieb Julian Coolidge die Verwendung von Doppelquaternionen für Schraubenverschiebungen auf Seite 261 von Eine Geschichte geometrischer Methoden. Er nimmt den Beitrag von Arthur Buchheim von 1885 zur Kenntnis.[13] Coolidge stützte seine Beschreibung einfach auf die Werkzeuge, die Hamilton für echte Quaternionen verwendet hatte.

Offensichtlich ist die Gruppe der Einheiten des Rings der doppelten Quaternionen eine Lie-Gruppe. In einer Untergruppe wird durch die Parameter eine Lie-Algebra generiert ar und bs, wo ein, bR., und r, sH.. Diese sechs Parameter erzeugen eine Untergruppe der Einheiten, die Einheitskugel. Natürlich beinhaltet es F. und die 3-Sphäre der Verse.

Arbeit von Kräften, die auf einen starren Körper wirken[edit]

Betrachten Sie die Menge der Kräfte F.1, F.2F.n auf die Punkte einwirken X.1, X.2X.n in einem starren Körper. Die Flugbahnen von X.ich, ich = 1, …,n werden durch die Bewegung des starren Körpers mit Rotation definiert [A(t)] und die Übersetzung d((t) eines Bezugspunkts im Körper, gegeben durch

wo ω ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor und v ist die Ableitung von d((t).

Die Arbeit der Kräfte über die Verschiebung δrich=vichδt von jedem Punkt ist gegeben durch

Definieren Sie die Geschwindigkeiten jedes Punktes in Bezug auf die Verdrehung des sich zu bewegenden Körpers

Erweitern Sie diese Gleichung und sammeln Sie Koeffizienten von ω und v erhalten

Führen Sie die Drehung des sich bewegenden Körpers und den darauf einwirkenden Schraubenschlüssel ein

dann nimmt die Arbeit die Form an

Die 6 × 6-Matrix [Π] wird verwendet, um die Berechnung der Arbeit mit Schrauben zu vereinfachen, so dass

wo

und [I] ist die 3 × 3-Identitätsmatrix.

Wechselschrauben[edit]

Wenn die virtuelle Arbeit eines Schraubenschlüssels an einer Drehung Null ist, sind die Kräfte und das Drehmoment des Schraubenschlüssels Zwangskräfte relativ zur Drehung. Der Schraubenschlüssel und die Drehung sollen sein wechselseitig, das ist wenn

dann die Schrauben W. und T. sind wechselseitig.

Wendungen in der Robotik[edit]

Bei der Untersuchung von Robotersystemen werden die Komponenten der Verdrehung häufig transponiert, um die Notwendigkeit der 6 × 6-Matrix zu beseitigen [Π] bei der Berechnung der Arbeit.[4] In diesem Fall ist die Verdrehung definiert als

Die Berechnung der Arbeit hat also die Form

In diesem Fall, wenn

dann der Schraubenschlüssel W. ist wechselseitig zur Wendung T..

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Dimentberg, FM (1965) Die Schraubenrechnung und ihre Anwendungen in der Mechanik, Übersetzung der Foreign Technology Division FTD-HT-23-1632-67
  2. ^ Yang, AT (1974) “Calculus of Screws” in Grundlegende Fragen der DesigntheorieWilliam R. Spillers (Hrsg.), Elsevier, S. 266–281.
  3. ^ ein b Ball, RS (1876). Die Theorie der Schrauben: Eine Studie zur Dynamik eines starren Körpers. Hodges, Foster.
  4. ^ ein b McCarthy, J. Michael; Soh, Gim Song (2010). Geometrisches Design von Verknüpfungen. Springer. ISBN 978-1-4419-7892-9.
  5. ^ Featherstone, Roy (1987). Roboterdynamik-Algorithmen. Kluwer Academic Pub. ISBN 978-0-89838-230-3.
  6. ^ Featherstone, Roy (2008). Roboterdynamik-Algorithmen. Springer. ISBN 978-0-387-74315-8.
  7. ^ Selig, JM (2011) “Rationale Interpolation starrer Körperbewegungen”, Fortschritte in der Theorie der Kontrolle, Signale und Systeme mit physikalischer Modellierung, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Band 407/2011 213–224, doi:10.1007 / 978-3-642-16135-3_18 Springer.
  8. ^ Kong, Xianwen; Gosselin, Clément (2007). Typensynthese paralleler Mechanismen. Springer. ISBN 978-3-540-71990-8.
  9. ^ Felix Klein (1902) (DH Delphenich Übersetzer) Zur Theorie der Schrauben von Sir Robert Ball
  10. ^ Harvey Lipkin (1983) Metrische Geometrie Archiviert 05.03.2016 an der Wayback-Maschine der Georgia Tech University
  11. ^ Clifford, William Kingdon (1873), “Vorläufige Skizze der Biquaternionen”, Papier XX, Mathematische Papiere, p. 381.
  12. ^ Xiangke Wang, Dapeng Han, Changbin Yu und Zhiqiang Zheng (2012) “Die geometrische Struktur von Einheits-Doppelquaternionen mit Anwendung in der kinematischen Steuerung”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 389 (2): 1352 bis 64
  13. ^ Buchheim, Arthur (1885). “Eine Abhandlung über Biquaternionen”. American Journal of Mathematics. 7 (4): 293–326. doi:10.2307 / 2369176. JSTOR 2369176.

Externe Links[edit]

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