[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/schraubentheorie-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/schraubentheorie-wikipedia\/","headline":"Schraubentheorie – Wikipedia","name":"Schraubentheorie – Wikipedia","description":"before-content-x4 Sir Robert Ball, Autor von Abhandlungen zur Schraubentheorie in den Jahren 1876 und 1900 Schraubentheorie ist die algebraische Berechnung","datePublished":"2020-12-02","dateModified":"2020-12-02","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d8\/Robert_Stawell_Ball.jpg\/220px-Robert_Stawell_Ball.jpg","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d8\/Robert_Stawell_Ball.jpg\/220px-Robert_Stawell_Ball.jpg","height":"275","width":"220"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/schraubentheorie-wikipedia\/","wordCount":15588,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4  Sir Robert Ball, Autor von Abhandlungen zur Schraubentheorie in den Jahren 1876 und 1900Schraubentheorie ist die algebraische Berechnung von Vektorpaaren wie Kr\u00e4ften und Momenten oder Winkel- und Lineargeschwindigkeit, die in der Kinematik und Dynamik starrer K\u00f6rper auftreten.[1][2]    Das mathematische Ger\u00fcst wurde 1876 von Sir Robert Stawell Ball f\u00fcr die Anwendung in der Kinematik und Statik von Mechanismen (Starrk\u00f6rpermechanik) entwickelt.[3]  Die Schneckentheorie liefert eine mathematische Formulierung f\u00fcr die Geometrie von Linien, die f\u00fcr die Dynamik des starren K\u00f6rpers von zentraler Bedeutung ist, wobei Linien die Schraubenachsen der r\u00e4umlichen Bewegung und die Wirkungslinien von Kr\u00e4ften bilden.  Das Vektorpaar, das die Pl\u00fccker-Koordinaten einer Linie bildet, definiert eine Einheitsschraube, und allgemeine Schrauben werden durch Multiplikation mit einem Paar reeller Zahlen und Addition von Vektoren erhalten.[3]Ein wichtiges Ergebnis der Schneckentheorie ist, dass geometrische Berechnungen f\u00fcr Punkte unter Verwendung von Vektoren parallele geometrische Berechnungen f\u00fcr Linien haben, die durch Ersetzen von Vektoren durch Schrauben erhalten werden.  Dies wird als bezeichnet \u00dcbertragungsprinzip.[4]  Die Schneckentheorie ist zu einem wichtigen Werkzeug in der Robotermechanik geworden.[5][6]  mechanisches Design, Rechengeometrie und Mehrk\u00f6rperdynamik.  Dies ist teilweise auf die Beziehung zwischen Schrauben und Doppelquaternionen zur\u00fcckzuf\u00fchren, die zur Interpolation von Starrk\u00f6rperbewegungen verwendet wurden.[7]  Basierend auf der Schneckentheorie wurde auch ein effizienter Ansatz f\u00fcr die Typensynthese paralleler Mechanismen (parallele Manipulatoren oder parallele Roboter) entwickelt.[8]Zu den Grunds\u00e4tzen geh\u00f6ren der Satz von Poinsot (Louis Poinsot, 1806) und der Satz von Chasles (Michel Chasles, 1832).  Felix Klein sah in der Schraubentheorie eine Anwendung der elliptischen Geometrie und seines Erlangen-Programms.[9]  Er erarbeitete auch die elliptische Geometrie und eine neue Ansicht der euklidischen Geometrie mit der Cayley-Klein-Metrik.  Die Verwendung einer symmetrischen Matrix f\u00fcr einen von Staudt-Kegel und eine Metrik, die auf Schrauben angewendet wird, wurde von Harvey Lipkin beschrieben.[10]  Weitere prominente Mitwirkende sind Julius Pl\u00fccker, WK Clifford, FM Dimentberg, Kenneth H. Hunt und JR Phillips.[11]Table of ContentsGrundlegendes Konzept[edit]Schraube[edit]Schl\u00fcssel[edit]Twist[edit]Algebra der Schrauben[edit]Drehgelenke[edit]Prismatische Gelenke[edit]Koordinatentransformation von Schrauben[edit]Drehungen als Elemente einer Lie-Algebra[edit]Schrauben durch Reflexion[edit]Homographie[edit]Arbeit von Kr\u00e4ften, die auf einen starren K\u00f6rper wirken[edit]Wechselschrauben[edit]Wendungen in der Robotik[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Grundlegendes Konzept[edit]    Die Steigung einer reinen Schraube bezieht die Drehung um eine Achse auf die Verschiebung entlang dieser Achse.Eine r\u00e4umliche Verschiebung eines starren K\u00f6rpers kann durch eine Drehung um eine Linie und eine Verschiebung entlang derselben Linie definiert werden, die als Schraubenverschiebung bezeichnet wird.  Dies ist als Satz von Chasles bekannt.  Die sechs Parameter, die eine Schraubenverschiebung definieren, sind die vier unabh\u00e4ngigen Komponenten des Pl\u00fccker-Vektors, der die Schraubenachse zusammen mit dem Drehwinkel um und dem linearen Gleiten entlang dieser Linie definiert und ein Vektorpaar bildet, das als a bezeichnet wird Schraube.  Zum Vergleich k\u00f6nnen die sechs Parameter, die eine r\u00e4umliche Verschiebung definieren, auch durch drei Euler-Winkel angegeben werden, die die Drehung und die drei Komponenten des Translationsvektors definieren.Schraube[edit]Eine Schraube ist ein sechsdimensionaler Vektor, der aus einem Paar dreidimensionaler Vektoren wie Kr\u00e4ften und Drehmomenten sowie linearer und Winkelgeschwindigkeit besteht, die bei der Untersuchung der r\u00e4umlichen Starrk\u00f6rperbewegung auftreten.  Die Komponenten der Schraube definieren die Pl\u00fccker-Koordinaten einer Linie im Raum und die Gr\u00f6\u00dfen des Vektors entlang der Linie und des Moments um diese Linie.Schl\u00fcssel[edit]Die Kraft- und Drehmomentvektoren, die bei der Anwendung der Newtonschen Gesetze auf einen starren K\u00f6rper entstehen, k\u00f6nnen zu einer Schraube namens a zusammengesetzt werden Schl\u00fcssel.  Eine Kraft hat einen Angriffspunkt und eine Wirkungslinie, definiert daher die Pl\u00fccker-Koordinaten einer Linie im Raum und hat eine Steigung von Null.  Ein Drehmoment hingegen ist ein reiner Moment, der nicht an eine Linie im Raum gebunden ist und eine Schraube mit unendlicher Steigung ist.  Das Verh\u00e4ltnis dieser beiden Gr\u00f6\u00dfen definiert die Steigung der Schraube.Twist[edit]EIN Twist repr\u00e4sentiert die Geschwindigkeit eines starren K\u00f6rpers als Winkelgeschwindigkeit um eine Achse und als lineare Geschwindigkeit entlang dieser Achse.  Alle Punkte im K\u00f6rper haben die gleiche Geschwindigkeitskomponente entlang der Achse. Je gr\u00f6\u00dfer der Abstand von der Achse ist, desto gr\u00f6\u00dfer ist jedoch die Geschwindigkeit in der Ebene senkrecht zu dieser Achse.  Somit wird das durch die Geschwindigkeitsvektoren in einem sich bewegenden starren K\u00f6rper gebildete Helikoidfeld abgeflacht, je weiter die Punkte radial von der Verdrehungsachse entfernt sind.Die Punkte in einem K\u00f6rper, die einer konstanten Schraubenbewegung unterliegen, verfolgen Helices im festen Rahmen.  Wenn diese Schraubenbewegung eine Steigung von Null hat, zeichnen die Trajektorien Kreise und die Bewegung ist eine reine Drehung.  Wenn die Schraubenbewegung eine unendliche Steigung aufweist, sind die Trajektorien alle gerade Linien in derselben Richtung.Algebra der Schrauben[edit]Lassen Sie a Schraube ein bestelltes Paar seinS.=((S.,V.),{ displaystyle { mathsf {S}} = ( mathbf {S},  mathbf {V}),}wo S. und V. sind dreidimensionale reelle Vektoren.  Die Summe und Differenz dieser geordneten Paare wird komponentenweise berechnet.  Schrauben werden oft genannt duale Vektoren.F\u00fchren Sie nun das geordnete Paar reeller Zahlen ein \u00e2 = (ein, b) genannt dualer Skalar.  Die Addition und Subtraktion dieser Zahlen sei komponentenweise und definiere die Multiplikation alsein^c^=((ein,b)((c,d)=((einc,eind+bc).{ displaystyle { hat {a}} { hat {c}} = (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc). !}Die Multiplikation einer Schraube S. = (S., V.) durch den dualen Skalar \u00e2 = (ein, b) wird komponentenweise berechnet als,ein^S.=((ein,b)((S.,V.)=((einS.,einV.+bS.).{ displaystyle { hat {a}} { mathsf {S}} = (a, b) ( mathbf {S},  mathbf {V}) = (a  mathbf {S}, a  mathbf {V. } + b  mathbf {S}). !}F\u00fchren Sie abschlie\u00dfend die Punkt- und Kreuzprodukte der Schrauben anhand der folgenden Formeln ein:S.\u22c5T.=((S.,V.)\u22c5((T.,W.)=((S.\u22c5T.,S.\u22c5W.+V.\u22c5T.),{ displaystyle { mathsf {S}}  cdot { mathsf {T}} = ( mathbf {S},  mathbf {V})  cdot ( mathbf {T},  mathbf {W}) = (  mathbf {S}  cdot  mathbf {T}, , ,  mathbf {S}  cdot  mathbf {W} +  mathbf {V}  cdot  mathbf {T}),}das ist ein dualer Skalar, undS.\u00d7T.=((S.,V.)\u00d7((T.,W.)=((S.\u00d7T.,S.\u00d7W.+V.\u00d7T.).{ displaystyle { mathsf {S}}  times { mathsf {T}} = ( mathbf {S},  mathbf {V})  times ( mathbf {T},  mathbf {W}) = (  mathbf {S}  times  mathbf {T}, , ,  mathbf {S}  times  mathbf {W} +  mathbf {V}  times  mathbf {T}).}Das ist eine Schraube.  Die Punkt- und Kreuzprodukte von Schrauben erf\u00fcllen die Identit\u00e4ten der Vektoralgebra und erm\u00f6glichen Berechnungen, die direkt parallel zu Berechnungen in der Vektoralgebra sind.Sei der duale Skalar \u1e91 = (\u03c6, d) definieren a Doppelwinkeldann ergeben die unendlichen Reihendefinitionen von Sinus und Cosinus die BeziehungenS\u00fcnde\u2061z^=((S\u00fcnde\u2061\u03c6,dcos\u2061\u03c6),cos\u2061z^=((cos\u2061\u03c6,– –dS\u00fcnde\u2061\u03c6),{ displaystyle  sin { hat {z}} = ( sin  varphi, d  cos  varphi), , , ,  cos { hat {z}} = ( cos  varphi, -d  sin  varphi), !}Das sind auch duale Skalare.  Im Allgemeinen wird die Funktion einer dualen Variablen als definiert f(\u1e91) = (f((\u03c6), df‘(\u03c6)), wo f‘(\u03c6) ist die Ableitung von f((\u03c6).Diese Definitionen erm\u00f6glichen die folgenden Ergebnisse:|S.|=S.\u22c5S.=1;;{ displaystyle | { mathsf {S}} | = { sqrt {{ mathsf {S}}  cdot { mathsf {S}}} = 1;}Sei \u1e91 = \u200b\u200b(\u03c6, d) sei der Doppelwinkel, wo \u03c6 ist der Winkel zwischen den Achsen von S. und T. um ihre gemeinsame Normalit\u00e4t, und d ist dann der Abstand zwischen diesen Achsen entlang der gemeinsamen NormalenS.\u22c5T.=|S.||T.|cos\u2061z^;;{ displaystyle { mathsf {S}}  cdot { mathsf {T}} = | { mathsf {S}} || { mathsf {T}} |  cos { hat {z}};}Sei N die Einheitsschraube, die die gemeinsame Normale zu den Achsen von definiert S. und T.und \u1e91 = (\u03c6, d) ist also der Doppelwinkel zwischen diesen AchsenS.\u00d7T.=|S.||T.|S\u00fcnde\u2061z^N..{ displaystyle { mathsf {S}}  times { mathsf {T}} = | { mathsf {S}} || { mathsf {T}} |  sin { hat {z}} { mathsf {N}}.}Ein h\u00e4ufiges Beispiel f\u00fcr eine Schraube ist die Schl\u00fcssel verbunden mit einer Kraft, die auf einen starren K\u00f6rper wirkt.  Lassen P. der Angriffspunkt der Kraft sein F. und lass P. sei der Vektor, der diesen Punkt in einem festen Rahmen lokalisiert.  Der Schraubenschl\u00fcssel W. = (F., P.\u00d7F.) ist eine Schraube.  Die resultierende Kraft und das resultierende Moment, die aus allen Kr\u00e4ften erhalten werden F.ich, ich = 1, …,nEinwirken auf einen starren K\u00f6rper ist einfach die Summe der einzelnen Schraubenschl\u00fcssel W.ich, das istR.=\u2211ich=1nW.ich=\u2211ich=1n((F.ich,P.ich\u00d7F.ich).{ displaystyle { mathsf {R}} =  sum _ {i = 1} ^ {n} { mathsf {W}} _ {i} =  sum _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {F} _ {i},  mathbf {P} _ {i}  times  mathbf {F} _ {i}).}Beachten Sie, dass der Fall von zwei gleichen, aber entgegengesetzten Kr\u00e4ften F. und –F. an Punkten handeln EIN und B. ergibt jeweils das ErgebnisR.=((F.– –F.,EIN\u00d7F.– –B.\u00d7F.)=((0,((EIN– –B.)\u00d7F.).{ displaystyle { mathsf {R}} = ( mathbf {F} –  mathbf {F},  mathbf {A}  times  mathbf {F} –  mathbf {B}  times  mathbf {F}) = (0, ( mathbf {A} –  mathbf {B})  times  mathbf {F}).}Dies zeigt, dass Schrauben der FormM.=((0,M.),{ displaystyle { mathsf {M}} = (0,  mathbf {M}),}kann als reine Momente interpretiert werden.Um die zu definieren Twist eines starren K\u00f6rpers m\u00fcssen wir seine Bewegung betrachten, die durch die parametrisierte Menge der r\u00e4umlichen Verschiebungen definiert ist, DDie Geschwindigkeit von P. istwo v ist die Geschwindigkeit des Ursprungs des sich bewegenden Rahmens, dh dd\/ dt.  Jetzt ersetzen p =  [AT]((P. – – d) in diese Gleichung zu erhalten,"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki6\/2020\/12\/02\/schraubentheorie-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Schraubentheorie – Wikipedia"}}]}]