[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki61\/2022\/02\/12\/buckinghamsches-%cf%80-theorem-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki61\/2022\/02\/12\/buckinghamsches-%cf%80-theorem-wikipedia\/","headline":"Buckinghamsches \u03a0-Theorem \u2013 Wikipedia","name":"Buckinghamsches \u03a0-Theorem \u2013 Wikipedia","description":"Das Buckinghamsche \u03a0-Theorem (sprich: Pi-Theorem) nach Edgar Buckingham (1867\u20131940) ist ein grundlegendes Theorem der \u00c4hnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse. Es beschreibt,","datePublished":"2022-02-12","dateModified":"2022-02-12","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki61\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki61\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d6\/Pendel_PT.svg\/180px-Pendel_PT.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d6\/Pendel_PT.svg\/180px-Pendel_PT.svg.png","height":"281","width":"180"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki61\/2022\/02\/12\/buckinghamsches-%cf%80-theorem-wikipedia\/","wordCount":8688,"articleBody":"Das Buckinghamsche \u03a0-Theorem (sprich: Pi-Theorem) nach Edgar Buckingham (1867\u20131940) ist ein grundlegendes Theorem der \u00c4hnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse.Es beschreibt, wie eine physikalisch sinnvolle Gleichung mit n dimensionsbehafteten Gr\u00f6\u00dfen in eine Gleichung mit n-m dimensionslosen Gr\u00f6\u00dfen umgeschrieben werden kann, wobei m die Anzahl der verwendeten unabh\u00e4ngigen Grundgr\u00f6\u00dfen ist. Weiterhin ist es durch das Buckinghamsche \u03a0-Theorem m\u00f6glich, dimensionslose Kennzahlen zu einem Problem aus den Ausgangsgr\u00f6\u00dfen zu ermitteln, auch wenn der exakte Zusammenhang in Form einer Gleichung noch nicht bekannt ist.Offenbar machte Joseph Bertrand bei der Untersuchung von Problemen der Elektrodynamik und der Theorie der W\u00e4rmeleitung 1878 erstmals auf den Kerninhalt des \u03a0-Theorems und m\u00f6gliche Anwendungen zur Modellierung physikalischer Ph\u00e4nomene aufmerksam.[1] Die neuen Methoden der Dimensionsanalyse wurden 1892 besonders bekannt durch Rayleighs Arbeiten zum Druckabfall in einer Rohrleitung mit Anwendung des verallgemeinerten \u03a0-Theorems.[2] Die formalisierte Verallgemeinerung des \u03a0-Theorems auf den Fall einer beliebigen Zahl von physikalischen Gr\u00f6\u00dfen erfolgte erstmals 1892 durch Aim\u00e9 Vaschy,[3][4] dann offenbar unabh\u00e4ngig davon durch A. Federman[5] und Dmitri Pawlowitsch Rjabuschinski[6] 1911 und schlie\u00dflich 1914 durch Edgar Buckingham.[7] 1926 befasste sich Hermann Weyl mit dem \u03a0-Theorem.Die Ermittlung der Einflussgr\u00f6\u00dfen, die ein physikalisches Problem beschreiben, stellt die Schwierigkeit bei der Anwendung des Buckinghamschen \u03a0-Theorems dar. In dieser Phase ist Intuition und\/oder physikalischer Sachverstand erforderlich. Bei einer konsistenten Wahl der Einflussgr\u00f6\u00dfen ist eine Umwandlung in n \u2212 m dimensionslose Gr\u00f6\u00dfen jedoch immer m\u00f6glich. Dabei k\u00f6nnen auch Naturkonstanten (bspw. die Lichtgeschwindigkeit) eine Rolle spielen.Eine Umwandlung der dimensionsbehafteten Einflussgr\u00f6\u00dfen in dimensionslose Kenngr\u00f6\u00dfen ist nur m\u00f6glich, wenn jede Basisdimension in mindestens zwei dimensionsbehafteten Einflussgr\u00f6\u00dfen des physikalischen Systems vorkommt. Diese Voraussetzung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Falls sich herausstellt, dass eine Umwandlung nicht m\u00f6glich ist, bedeutet dies, dass entweder zu viele, zu wenige oder die falschen Einflussgr\u00f6\u00dfen gew\u00e4hlt wurden. Ungeachtet dessen k\u00f6nnen bei einer gegl\u00fcckten Umwandlung jedoch auch wichtige Einflussgr\u00f6\u00dfen vergessen und \u00fcberfl\u00fcssige Gr\u00f6\u00dfen verwendet worden sein.Reibungsfreies Pendel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]  Man kann f\u00fcr kleine Auslenkungen die Pendell\u00e4nge l, die Erdbeschleunigung g, sowie die Masse m als die drei wesentlichen beschreibenden Gr\u00f6\u00dfen f\u00fcr die Schwingungsdauer t eines Pendels annehmen (n=4). Es sollen die GrunddimensionenL L\u00e4nge (SI-Einheit: m),M Masse (SI-Einheit: kg) undT Zeit (SI-Einheit: s)verwendet werden (m=3). Die Dimensionen der Einflussgr\u00f6\u00dfen k\u00f6nnen als Potenzprodukt der Grunddimensionen ausgedr\u00fcckt werden:l: Dimension L;g: Dimension L\/T2;m: Dimension M;t: Dimension T.Der Produktansatz(1) \u03a0=lx1\u22c5gx2\u22c5mx3\u22c5tx4{displaystyle Pi =l^{x_{1}}cdot g^{x_{2}}cdot m^{x_{3}}cdot t^{x_{4}}}kann nur dimensionslos werden, wenn(2) Lx1\u22c5(L\/T2)x2\u22c5Mx3\u22c5Tx4=1{displaystyle L^{x_{1}}cdot (L\/{T^{2}})^{x_{2}}cdot M^{x_{3}}cdot T^{x_{4}}=1}und somit(3) L\u00e4nge: x1+x2=0{displaystyle x_{1}+x_{2};=;0}(4) Masse: x3=0{displaystyle x_{3};=;0}(5) Zeit: \u22122\u22c5x2+x4=0{displaystyle -2cdot x_{2}+x_{4}=0}gilt. Wegen (1) und (4) ist die Masse entgegen der obigen Annahme ohne Bedeutung f\u00fcr die Schwingungsdauer. Dies ist ein erstes Ergebnis des Buckinghamschen \u03a0-Theorems. Da x1{displaystyle x_{1}}, x2{displaystyle x_{2}} und x4{displaystyle x_{4}} lediglich durch die zwei Gleichungen (3) und (5) bestimmt werden, kann eine beliebige der drei Unbekannten frei (aber ungleich 0) gew\u00e4hlt werden (bspw. x4=1{displaystyle x_{4}=1}). Dann gilt:(6) x4=1{displaystyle x_{4}=1}, x2=1\/2{displaystyle x_{2}=1\/2} und x1=\u22121\/2{displaystyle x_{1}=-1\/2}.Zur Beschreibung des gesuchten Zusammenhangs gen\u00fcgt wegen n-m = 1 eine einzige und dimensionslose Gr\u00f6\u00dfe. Diese wird mit (1) und (6) zu:(7) \u03a0=g\/l\u22c5m0\u22c5t=g\/l\u22c5t{displaystyle Pi ={sqrt {g\/l}}cdot m^{0}cdot t={sqrt {g\/l}}cdot t}.Da keine weiteren dimensionslosen Gr\u00f6\u00dfen beteiligt sind, muss als Ergebnis des Buckinghamschen \u03a0-Theorems(8) g\/l\u22c5t=const.{displaystyle {sqrt {g\/l}}cdot t={text{const.}}}gelten. Die unbekannte Proportionalit\u00e4tskonstante kann mit einem einzigen Versuch zu const.=6,283…{displaystyle {text{const.}}=6{,}283…} bestimmt werden, und man erh\u00e4lt(9) t=6,283…\u22c5l\/g{displaystyle t=6{,}283…cdot {sqrt {l\/g}}}als Schwingungsdauer. Man beachte, dass dieser Zusammenhang ohne Verwendung der zugrunde liegenden Differentialgleichung der Bewegung des Pendels ermittelt wurde. Eine L\u00f6sung dieser Differentialgleichungen liefert das analoge Ergebnis(10) t=2\u22c5\u03c0\u22c5l\/g{displaystyle t=2cdot pi cdot {sqrt {l\/g}}}.Die Deutung der Proportionalit\u00e4tskonstante als const.=2\u03c0{displaystyle {text{const.}}=2pi } (\u22486,283…{displaystyle approx 6{,}283…}) kann weder das Buckinghamsche \u03a0-Theorem noch der Versuch liefern.ZusammenfassungVerfahrenErgebnisseBuckinghamsches \u03a0-Theoremt=const.\u22c5l\/g{displaystyle t={text{const.}}cdot {sqrt {l\/g}}}Buckinghamsches \u03a0-Theorem und Versucht=6,283…\u22c5l\/g{displaystyle t=6{,}283…cdot {sqrt {l\/g}}}L\u00f6sung der Differentialgleichungt=2\u22c5\u03c0\u22c5l\/g{displaystyle t=2cdot pi cdot {sqrt {l\/g}}}Federpendel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]  Geht man zur Berechnung der Schwingungsdauer t eines Federpendels von der Masse m und der Federkonstante c als wesentlichen Parameter aus, kann der folgende Ansatz verwendet werden:\u03a0=mx1\u22c5cx2\u22c5tx3{displaystyle Pi =m^{x_{1}}cdot c^{x_{2}}cdot t^{x_{3}}}Da in diesem Ansatz nur die Dimensionen Masse M und Zeit T vorkommen,Mx1\u22c5(MT2)x2\u22c5Tx3=1{displaystyle M^{x_{1}}cdot {left({frac {M}{T^{2}}}right)}^{x_{2}}cdot {T}^{x_{3}}=1}lassen sich lediglich zwei Gleichungen:(1) Masse: x1+x2=0{displaystyle x_{1}+x_{2};=0}(2) Zeit: \u22122\u22c5x2+x3=0{displaystyle -2cdot x_{2}+x_{3}=0}f\u00fcr die drei Unbekannten x1,x2,x3{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} ableiten. Mit der Annahme x3=1{displaystyle x_{3};=1} folgen x2=x3\/2=1\/2{displaystyle x_{2}=x_{3}\/2=;1\/2} und x1=\u2212x2=\u22121\/2{displaystyle x_{1}=;-x_{2}=;-1\/2}. Setzt man die Ergebnisse f\u00fcr x1,x2,x3{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} in den Ansatz ein, erh\u00e4lt man\u03a0=t\u22c5c\/m=const.{displaystyle Pi =tcdot {sqrt {c\/m}}={text{const.}}}und damitt\u223cm\/c{displaystyle tsim {sqrt {m\/c}}}.Rotierender Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]  F\u00fcr die Spannungen \u03c3, die in einem rotierenden Ring entstehen, wird eine Abh\u00e4ngigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit \u03c9, dem Radius r und der Dichte \u03c1 angenommen (n=4). Der sich daraus ergebende Ansatz\u03a0=\u03c3x1\u22c5\u03c1x2\u22c5\u03c9x3\u22c5rx4{displaystyle Pi =sigma ^{x_{1}}cdot rho ^{x_{2}}cdot omega ^{x_{3}}cdot r^{x_{4}}}kann nur dimensionslos werden, wenn f\u00fcr die hier verwendeten m=3 Grunddimensionen (L L\u00e4nge, M Masse, T Zeit)(MT2L)x1\u22c5(ML3)x2\u22c5(1T)x3\u22c5Lx4=1{displaystyle {left({frac {M}{T^{2},L}}right)}^{x_{1}}cdot {left({frac {M}{L^{3}}}right)}^{x_{2}}cdot {left({frac {1}{T}}right)}^{x_{3}}cdot L^{x_{4}}=1}und somit(1) Masse: x1+x2=0{displaystyle x_{1}+x_{2};=;0}(2) Zeit: \u22122x1\u2212x3=0{displaystyle -2x_{1}-x_{3};=;0}(3) L\u00e4nge: \u2212x1\u22123x2+x4=0{displaystyle -x_{1}-3x_{2}+x_{4};=;0}gilt. F\u00fcr die vier Unbekannten (x1,x2,x3,x4{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}) stehen nur 3 Gleichungen zur Verf\u00fcgung. Das Gleichungssystem wird mit der willk\u00fcrlichen Annahme x1=1{displaystyle x_{1}=1} eindeutig. Aus (1) und (2) folgen x2=\u22121{displaystyle x_{2}=-1} und x3=\u22122{displaystyle x_{3}=-2}. Mit (3) kann x4=\u22122{displaystyle x_{4}=-2} bestimmt werden.Das \u03a0-Theorem besagt also:\u03c31\u22c5\u03c1\u22121\u22c5\u03c9\u22122\u22c5r\u22122=const.\u21d2\u03c3=const.\u22c5\u03c1\u22c5\u03c92\u22c5r2{displaystyle sigma ^{1}cdot rho ^{-1}cdot omega ^{-2}cdot r^{-2}={text{const.}}quad Rightarrow quad sigma ={text{const.}}cdot rho cdot omega ^{2}cdot r^{2}}.Die Spannung \u03c3 h\u00e4ngt also linear von der Dichte und quadratisch von der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius ab. Die unbekannte Proportionalit\u00e4tskonstante kann nicht mit dem \u03a0-Theorem bestimmt werden.E. Buckingham: The principle of similitude. In: Nature. 96, 1915, S. 396\u2013397.E. Buckingham: Model experiments and the forms of empirical equations. In: Trans. A.S.M.E. 37, 1915, S. 263\u2013296.J. H. Spurk: Dimensionsanalyse in der Str\u00f6mungslehre. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-54959-5.\u2191 Bertrand J.: Sur l’homog\u00e9n\u00e9t\u00e9 dans les formules de physique. In: Comptes rendus. Band\u00a086, Nr.\u00a015, 1878, S.\u00a0916\u2013920.\u00a0\u2191 Rayleigh: On the question of the stability of the flow of liquids. In: Philosophical Magazine. Band\u00a034, 1892, S.\u00a059\u201370.\u00a0\u2191 Vaschy A.: Sur les lois de similitude en physique. In: Annales T\u00e9l\u00e9graphiques. Band\u00a019, 1892, S.\u00a025\u201328.\u00a0\u2191 Macagno E. O.: Historico-critical review of dimensional analysis. In: Journal of the Franklin Institute. Band\u00a0292, Nr.\u00a06, 1971, S.\u00a0391\u2013402.\u00a0\u2191 \u0424\u0435\u0434\u0435\u0440\u043c\u0430\u043d \u0410.: \u041e \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043e\u0431\u0449\u0438\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0441 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430. In: \u0418\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438\u044f \u0421\u0430\u043d\u043a\u0442-\u041f\u0435\u0442\u0435\u0440\u0431\u0443\u0440\u0433\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u0438\u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0441\u0442\u0438\u0442\u0443\u0442\u0430 \u0438\u043c\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u041f\u0435\u0442\u0440\u0430 \u0412\u0435\u043b\u0438\u043a\u043e\u0433\u043e. \u041e\u0442\u0434\u0435\u043b \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u043a\u0438, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438. Band\u00a016, Nr.\u00a01, 1911, S.\u00a097\u2013155.\u00a0\u2191 Riabouchinsky D.: \u041c\u00e9thode des variables de dimension z\u00e9ro et son application en a\u00e9rodynamique. In: L\u2019A\u00e9rophile. 1911, S.\u00a0407\u2013408.\u00a0\u2191 Buckingham E.: On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations. In: Physical Review. Band\u00a04, Nr.\u00a04, 1914, S.\u00a0345\u2013376.\u00a0"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki61\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki61\/2022\/02\/12\/buckinghamsches-%cf%80-theorem-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Buckinghamsches \u03a0-Theorem \u2013 Wikipedia"}}]}]