[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki64\/2022\/02\/12\/soliton-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki64\/2022\/02\/12\/soliton-wikipedia\/","headline":"Soliton \u2013 Wikipedia","name":"Soliton \u2013 Wikipedia","description":"Ein Soliton ist ein Wellenpaket, das sich ohne \u00c4nderung seiner Form durch ein dispersives und zugleich nichtlineares Medium bewegt. 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Beim Zusammensto\u00df mit gleichartigen Wellenpaketen kommt es nicht zu einer Wechselwirkung; tritt dagegen eine Wechselwirkung auf, bei der Energie ausgetauscht wird, so handelt es sich um eine solit\u00e4re Welle.Allgemein enth\u00e4lt ein Wellenpaket, wie mit Hilfe der Fourieranalyse gezeigt werden kann, harmonische Wellen mehrerer Frequenzen. Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium bei verschiedenen Frequenzen unterschiedlich, so ver\u00e4ndert das Paket mit der Zeit seine Form. Man nennt dies die Dispersion der Phasengeschwindigkeit.Nichtlineare Effekte k\u00f6nnen nun die einzelnen Frequenzen, aus denen ein Wellenpaket besteht, ineinander umwandeln. Geschieht dies derart, dass die schnelleren Frequenzkomponenten in langsamere umgewandelt werden und langsamere in schnellere, so kann sich ein dynamisches Gleichgewicht ausbilden: ein formstabiles Soliton.  Das Ph\u00e4nomen der Solitonen wurde erstmals 1834 von dem jungen Ingenieur John Scott Russell beschrieben. Russell ritt mehrere Kilometer neben einer etwa 10 Meter langen und etwa einen halben Meter hohen Wasserwelle, die sich in einem engen schottischen Kanal ausbreitete, und beobachtete, dass sich deren Wellenform nur wenig ver\u00e4nderte.Er erforschte das Ph\u00e4nomen weiter mit Hilfe eines Tanks in seiner Werkstatt. Dabei entdeckte er einige Schl\u00fcsseleigenschaften dieser Wellen:Die Wellen k\u00f6nnen sich stabil \u00fcber lange Distanzen fortsetzen.Die Geschwindigkeit der Wellen h\u00e4ngt von der Gr\u00f6\u00dfe der Welle und der Wassertiefe ab.Anders als normale Wellen vereinigen sie sich nicht. Eine kleine Welle wird von einer gr\u00f6\u00dferen \u00fcberholt.Wenn eine Welle zu gro\u00df f\u00fcr die Wassertiefe ist, teilt sie sich in zwei Wellen: eine gro\u00dfe und eine kleine.Es dauerte bis 1895, bis das Ph\u00e4nomen auch theoretisch durch die Korteweg-de-Vries-Gleichung erkl\u00e4rt werden konnte, jedoch wurde erst in den 1960ern die Bedeutung der Entdeckung erkannt. 1973 wurde die Existenz von optischen Solitonen in Lichtwellenleitern theoretisch vorausgesagt und 1980 erstmals experimentell nachgewiesen.Im Lichtwellenleiter sind Lichtimpulse geringer Intensit\u00e4t Wellenpakete in einem linearen Medium. Sie werden aufgrund von Dispersion mit der Zeit breiter. In der Anwendung zur Signal\u00fcbertragung verschlechtert sich dadurch die Signalqualit\u00e4t, weil es zu Intersymbolinterferenz kommen kann. Infolgedessen ist die maximal m\u00f6gliche \u00dcbertragungsstrecke bzw. die \u00dcbertragungsrate beschr\u00e4nkt. Ein Soliton ist dagegen ein Lichtimpuls, der sich bei der Ausbreitung nicht ver\u00e4ndert. Damit ist theoretisch eine Nachrichten\u00fcbertragung \u00fcber beliebig weite Strecken m\u00f6glich, bei gen\u00fcgend kurzen Lichtimpulsen kann eine sehr hohe Daten\u00fcbertragungsrate erreicht werden.In Lichtwellenleitern lassen sich Solitonen im Bereich anomaler Dispersion (die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist hier bei h\u00f6heren Frequenzen gr\u00f6\u00dfer) erzeugen \u2013 also bei herk\u00f6mmlichen Glasfasern bei Wellenl\u00e4ngen von \u03bb\u00a0>\u00a01,3\u00a0\u00b5m. Hierzu ist nur eine Leistung von wenigen Milliwatt erforderlich. Die Pulsdauer betr\u00e4gt einige Pikosekunden, was \u00dcbertragungsraten im Bereich von Terabits\/Sekunde (1012\u00a0bit\/s) \u00fcber weite Strecken erm\u00f6glicht. In realen Medien existieren D\u00e4mpfung und Streuverluste, was zu einer Abnahme der Energie f\u00fchrt. Dies zerst\u00f6rt das Gleichgewicht zwischen Dispersion und Nichtlinearit\u00e4t, so dass sich das Soliton aufl\u00f6st. In realen Daten\u00fcbertragungssystemen muss man folglich die Solitonen immer wieder (etwa alle 20\u00a0km) nachverst\u00e4rken.Bei Versuchen in speziellen Glasfaserringen wurden Solitonen bereits \u00fcber 180 Millionen Kilometer ohne merkliche Pulsverbreiterung \u00fcbertragen. Mit Lasern lassen sich durch Modenkopplung Solitonen erzeugen, die Voraussetzung zum Betrieb eines Frequenzkammes sind. Dabei beobachtet man auch nach Stunden kein Zerflie\u00dfen eines einmal gespeichertenPulses.[1]Solitonartige Anregungen gibt es, zus\u00e4tzlich zu den \u00fcblichen Spinwellen, auch in niederdimensionalen Magneten. Sie werden sowohl theoretisch als auch experimentell seit langem ausf\u00fchrlich untersucht.Weitere Beispiele f\u00fcr SolitonenFolgende Gleichungen sind einige Beispiele von Gleichungen der mathematischen Physik mit Solitonenl\u00f6sungen:Es gibt noch einige weitere Beispiele, wie die modifizierte Korteweg-de-Vries-Gleichung sowie ganze Hierarchien von Gleichungen, die aus diesen abgeleitet werden. Sie sind h\u00e4ufig durch die Methode der Inversen Streutransformation exakt l\u00f6sbar. Weitere L\u00f6sungsmethoden sind die direkte Methode von Ry\u014dgo Hirota und B\u00e4cklund-Transformationen.Eindimensionale (1D) FDTD-Simulation eines Solitons mit Kraftwirkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das folgende Video zeigt eine FDTD-Simulation zweier ruhender Solitonen laut Sinus-Gordon-Gleichung (siehe unten). Beide senden zus\u00e4tzlich Druck-Geschwindigkeit-Felder mit unterschiedlicher Polarit\u00e4t aus. Weil die Enden des Raumes nicht korrekt terminiert sind, treten auch Reflexionen auf.Die Simulation soll im Folgenden erkl\u00e4rt werden.Sinus-Gordon-Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Sinus-Gordon-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung und lautet:\u03c6tt\u2212\u03c6xx+sin\u2061(\u03c6)=0{displaystyle varphi _{tt}-varphi _{xx}+sin(varphi )=0}(Der Subindex bezeichnet die partielle Ableitung nach der betreffenden Variablen.)Ihr Name entstand nicht ganz ernst gemeint daraus, dass sie die Form einer Klein-Gordon-Gleichung hat, bei der die Masse durch die Sinus-Funktion \u201eersetzt\u201c ist (die Form der Klein-Gordon-Gleichung ergibt sich auch als erster Term der Reihenentwicklung des Sinus). Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Zeit t{displaystyle t}, der Position x{displaystyle x} und der Anregung in einem eindimensionalen Raum. Der Sachverhalt kann veranschaulicht werden als eine Kette von transversal schwingenden Pendeln, wobei sich zwischen den Pendeln Federn befinden, die den Drehwinkel \u03c6{displaystyle varphi } der Pendel untereinander koppelt. In dem Beispiel ist weiter die Ortskoordinate x{displaystyle x} durch die Anzahl der Pendel und t{displaystyle t} die verstrichene Zeit.[2] L\u00f6sungen der DGL sind unter anderem zwei entgegengesetzt aufgebaute Solitonen, bezeichnet als Kink und Antikink. F\u00fcr kleine Winkel \u03c6{displaystyle varphi } beschreibt die Gleichung au\u00dferdem fortschreitende Wellen. Ein Soliton kann ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Es ist dadurch gekennzeichnet, dass die Winkelunterschiede innerhalb des Solitons insgesamt einen Vollkreis ergeben. Das Soliton hat eine feste Gr\u00f6\u00dfe und kann nur als ganzes existieren. Gegen St\u00f6rungen eines einzelnen Pendels ist es unempfindlich, es reagiert dann elastisch.Simulation mit diskreter Zeit und diskretem Raum \u2013 FDTD[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Finite-Differenzen-Methode im Zeitbereich (FDTD) wird haupts\u00e4chlich eingesetzt, um die Ausbreitung elektromagnetische Felder im dreidimensionalen Raum zu simulieren. Der Raum wird dabei in ein rechtwinkliges Gitter aus winzigen W\u00fcrfeln eingeteilt. Das Verhalten der Felder simuliert man durch Nahwirkung zwischen direkten Nachbarw\u00fcrfeln mit Differenzengleichungen. Die Berechnungen werden oft von Grafikprozessoren (GPUs) durchgef\u00fchrt, da die Art der verwendeten Algorithmen bzw. Rechenoperationen hier meist effektiver umgesetzt werden k\u00f6nnen und in diesem Bereich leistungsst\u00e4rker sind als auf konventionellen Hauptprozessoren (CPU). In Pseudocode hier zwei zyklisch hintereinander ausgef\u00fchrte Rechenschritte:Schritt 1SELF(VAR1) += RIGHT(VAR2) - LEFT(VAR2)Schritt 2SELF(VAR2) += RIGHT(VAR1) - LEFT(VAR1)Diese Rechenvorschrift verwendet eine Art Doppelpuffertechnik und erm\u00f6glicht die Ausbreitung sinusf\u00f6rmiger Wellen.Erzeugung des obigen Videos[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Video stellt einen 1D-FDTD-Raum mit der Sinus-Gordon-Gleichung zwischen den Raumpunkten bereit (Iterator). Zus\u00e4tzlich wird eine zweite Nachbarschaftsbeziehung implementiert welche Druck-Geschwindigkeitswellen erm\u00f6glicht.\u03c6tt\u2212\u03c6xx+sin\u2061(\u03c6)=0{displaystyle varphi _{tt}-varphi _{xx}+sin(varphi )=0}pt=vx;vt=px{displaystyle p_{t}=v_{x};v_{t}=p_{x}}Beide Beziehungen sind untereinander gekoppelt (Soliton sendet p{displaystyle p} ab und v{displaystyle v} wird zur Winkelgeschwindigkeit addiert).Untereinander sind in dem Video zu sehen:cos\u2061(\u03c6){displaystyle cos(varphi )}sin\u2061(\u03c6){displaystyle sin(varphi )}\u03c6t{displaystyle varphi _{t}}p{displaystyle p}v{displaystyle v}Beim Start sind zuerst zwei entgegengesetzte Solitonen (erkennbar als wei\u00dfe Balken in der ersten Zeile, mit entgegengesetztem Verlauf des Sinus-Anteils in der zweiten Zeile) initialisiert (Generator). Da das keine station\u00e4re L\u00f6sung der Gl. (1) ist, wird \u00fcberfl\u00fcssige Energie als Welle abgesendet. Dann senden die Solitonen ein p\/v-Feld ab (siehe vierte und f\u00fcnfte Zeile). Wenn das p\/v-Feld das jeweils andere Soliton erreicht, setzen sich die Solitonen in Bewegung. Weil der Einfachheit halber die Enden des Raumes nicht perfekt terminiert sind, werden dort Wellen reflektiert. Schlie\u00dflich treffen sich die Solitonen in der Mitte und werden durch Annihilation zerst\u00f6rt. \u00dcbrig bleibt die Energie in Form von Wellen.Zweck des Videos[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es modelliert die Sachverhalte Teilchen, Kraft und Welle im Raum sowie deren Zusammenhang. Somit sind spezielle Solitonen eine M\u00f6glichkeit von Teilchen, die bereits mehrere Eigenschaften zeigen: Antiteilchen, Bewegung, Energie, Elastizit\u00e4t, Gr\u00f6\u00dfe und Stetigkeit.Alan C. Newell: Solitons in Mathematics and Physics. SIAM 1985Mark J. Ablowitz, P. A. Clarkson: Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. Cambridge University Press, 1991George L. Lamb: Elements of Soliton Theory. Wiley, 1980A. C. Scott, F. Y. F. Chu, D. W. McLaughlin: Soliton: A new concept in applied science. In: Proceedings of the IEEE, 61, 1973, Nr. 10, S. 1443\u20131482.Hans-J\u00fcrgen Mikeska, M. Steiner: Solitary excitations in one-dimensional magnets. In: Advances in Physics, 40, 1991, Nr. 3, S. 191\u2013356, doi:10.1080\/00018739100101492.A. V. Buryak, P. Di Trapani, D. V. Skryabin, S. Trillo: Optical solitons due to quadratic nonlinearities: From basic physics to futuristics applications. In: Physics Reports, 370, 2002, Nr. 2, S. 63\u2013235.Reinhard Meinel, Gernot Neugebauer, Heinz Steudel: Solitonen \u2013 Nichtlineare Strukturen. Akademie Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500710-7.Philip G. Drazin et al.: Solitons \u2013 an introduction. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-33389-X.Thierry Dauxois, Michel Peyrard: Physics of solitons. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-85421-0.R.Rajaraman: Solitons and instantons \u2013 an introduction to solitons and instantons in quantum field theory. Elsevier, Amsterdam 2005, ISBN 0-444-87047-4.\u2191 Thomas Udem: Die Messung der Frequenz von Licht mit modengekoppelten Lasern. Habilitationsschrift. 2002, S. 16 (mpg.de [PDF; abgerufen am 27.\u00a0Februar 2018]).\u00a0\u2191 Markus Dietrich, Hans-Josef Patt: Wellenmaschine zur Demonstration und Messung harmonischer und anharmonischer Wellenphhaenomene (Solitonen), uni-saarland.de (PDF; 3,1\u00a0MB) "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki64\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki64\/2022\/02\/12\/soliton-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Soliton \u2013 Wikipedia"}}]}]