Gleichmäßige Konvergenz – Wikipedia

In der Analysis beschreibt gleichmäßige Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

, mit einer vom Funktionsargument unabhängigen „Geschwindigkeit“ gegen eine Grenzfunktion

${displaystyle f}$

zu konvergieren.
Im Gegensatz zu punktweiser Konvergenz erlaubt der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz, wichtige Eigenschaften der Funktionen

${displaystyle f_{n}}$

wie Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit, auf die Grenzfunktion

${displaystyle f}$

zu übertragen.^[1][2]

Der Begriff wird üblicherweise Karl Weierstraß in den 1840er Jahren zugeschrieben (zuerst in einer Schrift 1841, die aber erst 1894 publiziert wurde), der ihn wiederum schon bei seinem Lehrer Christoph Gudermann (1838) angedeutet fand, und fehlte noch im ursprünglichen Aufbau der Analysis nach Augustin-Louis Cauchy. Das führte zu einigen Fehlern in Cauchys Cours d’Analyse von 1821, insbesondere beim sogenannten Cauchyschen Summensatz. Cauchy behauptete bewiesen zu haben, dass eine konvergente Reihe stetiger Funktionen stetig ist, wozu aber schon bald darauf 1826 Niels Henrik Abel ein Gegenbeispiel gab. Dass der Satz gilt, wenn punktweise Konvergenz durch gleichmäßige Konvergenz ersetzt wird (nach heutigem Verständnis), bewiesen unabhängig Philipp Ludwig Seidel (unendlich langsame Konvergenz)^[3] und George Gabriel Stokes 1847^[4] (infinitely slow convergence, Punkte mit non uniform convergence). Seidel knüpfte dabei direkt an Cauchy und an Peter Gustav Lejeune Dirichlet an, der Beispiele von Fourierreihen gegeben hatte, die gegen unstetige Funktionen konvergieren. Stokes dagegen bezog sich nicht auf Cauchy, sondern auf einen Aufsatz über Potenzreihen von John Radford Young von 1846. Nach Ivor Grattan-Guinness kam möglicherweise der Schwede Emanuel G. Björling (1846/47) zu den beiden als Urheber des Konzepts hinzu. Es gab auch eine Diskussion darüber (Pierre Dugac 2003), ob Cauchy den Begriff (und den verwandten der gleichmäßigen Stetigkeit) schon wenig später 1823 in einem weiteren Lehrbuch kannte und implizit benutzte.^[5] Eine Gruppe von Mathematikhistorikern und Mathematikern wie Detlef Laugwitz und Abraham Robinson versuchte Cauchys Beweis später zu retten, indem die Idee verfolgt wurde, Cauchy, der selbst unendlich kleine Größen explizit in seinem Lehrbuch einführte, hätte eine Form von Nichtstandardanalysis benutzt, was sich aber bei den meisten Cauchy-Forschern nicht durchsetzte und als Beispiel einer aus moderner Sichtweise aufgezwungenen Interpretation der Mathematikgeschichte gewertet wurde. Klaus Viertel kam in seinem Buch^[6] zu einem differenzierteren Bild einer erst allmählichen Ausprägung der Begriffe von Stetigkeit und Konvergenz im heutigen Sinn selbst im Rahmen der Weierstraß-Schule, wo der Begriff ebenfalls im Lauf der Zeit einem Wandel unterworfen war. Anfang des 20. Jahrhunderts gab es bereits verschiedene Weiterentwicklungen des Begriffs (Quasi-Konvergenz bei Godfrey Harold Hardy 1918, William Henry Young 1903, 1907).

Gegeben seien eine Funktionenfolge

${displaystyle left(f_{n}colon D_{f}subseteq mathbb {R} to mathbb {R} right)_{nin mathbb {N} }}$

,

die jeder natürlichen Zahl

${displaystyle n}$

eine reellwertige Funktion zuordnet, und eine Funktion

${displaystyle f}$

. Alle

${displaystyle f_{n}}$

sowie

${displaystyle f}$

seien auf derselben Definitionsmenge

${displaystyle D_{f}}$

definiert. Die Folge

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

konvergiert genau dann gleichmäßig gegen

${displaystyle f}$

, wenn

${displaystyle lim _{nrightarrow infty },sup _{xin D_{f}}left|f_{n}(x)-f(x)right|=0.}$

Man betrachtet hier die absolute Differenz von

${displaystyle f_{n}left(xright)}$

und

${displaystyle fleft(xright)}$

für alle

${displaystyle x}$

aus dem Definitionsbereich. Die Menge dieser Differenzen ist entweder unbeschränkt oder hat eine kleinste obere Schranke, ein Supremum. Gleichmäßige Konvergenz von

${displaystyle f_{n}}$

gegen

${displaystyle f}$

bedeutet, dass dieses Supremum für fast alle

${displaystyle n}$

existiert und gegen Null geht, wenn

${displaystyle n}$

gegen unendlich strebt.

Man kann diesen Sachverhalt auch anders definieren: Alle Bezeichnungen seien wie oben. Dann konvergiert

${displaystyle f_{n}}$

gleichmäßig gegen

${displaystyle f}$

genau dann, wenn für alle

${displaystyle varepsilon >0}$

${displaystyle Nin mathbb {N} }$

existiert, so dass für alle

${displaystyle ngeq N}$

und für alle

${displaystyle xin D_{f}}$

gilt:

${displaystyle left|f_{n}(x)-f(x)right|$

Es sei

${displaystyle 0$

eine reelle Zahl.
Die Funktionenfolge

${displaystyle left(f_{n}colon left[0,qright]to mathbb {R} ;,xmapsto x^{n}right)_{nin mathbb {N} }}$

konvergiert für

${displaystyle nto infty }$

gleichmäßig gegen die Nullfunktion

${displaystyle fcolon left[0,qright]to mathbb {R} ;,xmapsto 0}$

.
Dafür ist zu zeigen, dass

${displaystyle lim _{nto infty },sup _{xin [0,q]}|f_{n}(x)|=0}$

.

Jedes der

${displaystyle f_{n}}$

ist auf

${displaystyle [0,q]}$

nicht-negativ und monoton steigend, also

${displaystyle textstyle sup _{xin [0,q]}|f_{n}(x)|=q^{n}}$

und wegen

${displaystyle q<1}$

geht dies gegen

${displaystyle 0}$

.

Die Angabe des Konvergenzbereiches ist hierbei unerlässlich:
Die Folge

${displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$

konvergiert auf dem rechtsoffenen Einheitsintervall

${displaystyle [0,1)}$

zwar immer noch punktweise gegen die Nullfunktion, jedoch nicht mehr gleichmäßig.
Es gilt nun

${displaystyle textstyle sup _{xin [0,1)}|f_{n}(x)|=1}$

, insbesondere ist also

${displaystyle lim _{nto infty }sup _{xin [0,1)}|f_{n}(x)|=1neq 0}$

.

Vergleich zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wahl von

${displaystyle N}$

bei gleichmäßiger Konvergenz hängt nur von

${displaystyle varepsilon }$

ab. Im Gegensatz dazu hängt bei punktweiser Konvergenz

${displaystyle N}$

sowohl von

${displaystyle varepsilon }$

als auch von

${displaystyle x}$

ab. Formuliert man beide Konvergenzbegriffe mithilfe von Quantoren, so sieht man, dass sie sich in der Reihenfolge der „Einführung“ von

${displaystyle x}$

und

${displaystyle N}$

und damit der Abhängigkeit der zwei Variablen voneinander unterscheiden (siehe das Unterstrichene):

punktweise Konvergenz:	${displaystyle forall varepsilon >0 {underline {forall xin D_{f} exists Nin mathbb {N} }} forall ngeq N:quad left|f_{n}(x)-f(x)right|$ und
gleichmäßige Konvergenz:	${displaystyle forall varepsilon >0 {underline {exists Nin mathbb {N} forall xin D_{f}}} forall ngeq N:quad left|f_{n}(x)-f(x)right|$

d. h., für punktweise Konvergenz muss es für jedes

${displaystyle x}$

und für jedes

${displaystyle varepsilon >0}$

${displaystyle N}$

geben, so dass für alle

${displaystyle ngeq N}$

gilt:

${displaystyle left|f_{n}(x)-f(x)right|$

.

Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt. Beispielsweise konvergiert die Funktionenfolge

${displaystyle F=(f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

definiert durch

${displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}0,&xleq n\1,&x>nend{cases}}}$

${displaystyle fequiv 0}$

für jedes

${displaystyle xin mathbb {R} }$

, ist aber keine gleichmäßig konvergente Folge.

Für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

, die gegen

${displaystyle f}$

strebt, wird meistens eine der folgenden Bezeichnungen verwendet^[7][8]

${displaystyle f_{n}{underset {n }{Rightarrow }}f,}$

oder

${displaystyle f_{n}{underset {n }{rightrightarrows }}f,}$

oder

${displaystyle lim _{nto infty }f_{n}=f.}$

Eine Funktionenfolge

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

heißt in dem Punkt

${displaystyle xi }$

gegen

${displaystyle f}$

gleichmäßig konvergent, wenn

${displaystyle forall varepsilon >0 exists Nin mathbb {N} exists delta >0 forall xin (D_{f}cap {ymid |y-xi |$

Wenn statt für alle

${displaystyle n}$

die Gültigkeit der Ungleichung

${displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|$

für mindestens ein

${displaystyle n}$

verlangt wird, dann heißt die Konvergenz uniform. Gleichmäßig konvergente Folgen sind auch uniform konvergent. Die uniforme Konvergenz impliziert keine punktweise Konvergenz.^[9]

Sei

• 
  ${displaystyle {mathfrak {G}},}$

  die Klasse der gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen,

• 
  ${displaystyle {mathfrak {J}},}$

  die Klasse der in jedem Punkt gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen und

• 
  ${displaystyle {mathfrak {P}},}$

  die Klasse der in jedem Punkt punktweise konvergenten Funktionenfolgen.

Damit gilt:

${displaystyle {mathfrak {G}}varsubsetneq {mathfrak {J}}varsubsetneq {mathfrak {P}}}$

.

Die oben erwähnte Funktionenfolge

${displaystyle F}$

liegt in

${displaystyle {mathfrak {J}}setminus {mathfrak {G}}}$

, ist also in jedem Punkt gleichmäßig konvergent, aber nicht global.

Ein Beispiel für eine Funktionenfolge aus

${displaystyle {mathfrak {P}}setminus {mathfrak {J}}}$

ist

${displaystyle (h_{n})_{nin mathbb {N} }}$

definiert durch

${displaystyle h_{n}(x)={begin{cases}0,&xin textstyle A_{n}:=(mathbb {R} setminus mathbb {Q} )cup {yin mathbb {Q} mid y={tfrac {p}{q}},pin mathbb {Z} ,qin mathbb {N} ,0$

Die Funktionenfolge

${displaystyle (h_{n})_{nin mathbb {N} }}$

konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl

${displaystyle y}$

liegt in allen

${displaystyle A_{n}}$

, deren

${displaystyle n}$

gleich oder größer ist als der Nenner in der vollständig gekürzten Darstellung des Bruches

${displaystyle y}$

. Andererseits liegen im Schnitt einer

${displaystyle A_{n}}$

und einem beliebigen Intervall immer nur endlich viele rationale Zahlen. Daher gibt es zu jedem

${displaystyle n}$

und jeder Zahl

${displaystyle zin A_{n}}$

stets (unendlich viele rationale) Zahlen, deren Abstand zu

${displaystyle z}$

beliebig klein ist und die nicht in

${displaystyle A_{n}}$

liegen. Also konvergiert die Folge

${displaystyle textstyle (h_{n})_{nin mathbb {N} }}$

in keinem Punkt gleichmäßig.

Wie schon erwähnt, ermöglicht der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz ausgehend von Eigenschaften der Folge Aussagen über die Grenzfunktion, was bei punktweiser Konvergenz nicht möglich ist.
Im Folgenden seien die Bezeichnungen wie bei der Definition oben,

${displaystyle I}$

sei ein reelles Intervall. Es ergeben sich folgende Sätze:

Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion ergibt sich kein derart starkes Resultat wie für die Stetigkeit. Es seien die

${displaystyle f_{n}}$

differenzierbar auf

${displaystyle I}$

und gleichmäßig konvergent gegen

${displaystyle f}$

. Im Allgemeinen braucht die Grenzfunktion nicht einmal differenzierbar zu sein, und wenn sie es ist, muss ihre Ableitung keineswegs gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Folge sein. So konvergiert z. B. die durch

${displaystyle textstyle f_{n}(x)={frac {sin(nx)}{n}}}$

definierte Funktionenfolge gleichmäßig gegen 0, die Folge der Ableitungen

${displaystyle (f’_{n})_{nin mathbb {N} }}$

aber nicht.

Allgemein kann man sagen: Es seien alle

${displaystyle f_{n}}$

differenzierbar. Wenn

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

in einem Punkt konvergiert und die Folge der Ableitungen

${displaystyle (f_{n}’)_{nin mathbb {N} }}$

gleichmäßig gegen

${displaystyle g}$

konvergiert, dann konvergiert

${displaystyle f_{n}}$

punktweise (sogar lokal gleichmäßig) gegen ein

${displaystyle f}$

und

${displaystyle f}$

ist differenzierbar mit der Ableitung

${displaystyle g}$

.

Integrierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Riemann-Integral auf Intervallen kann bei gleichmäßiger Konvergenz Integration und Grenzwertbildung vertauscht werden:

Es seien alle

${displaystyle f_{n}}$

(Riemann-)integrierbar. Wenn

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

gleichmäßig gegen

${displaystyle f}$

konvergiert, dann ist

${displaystyle f}$

Riemann-integrierbar, und das Integral von

${displaystyle f}$

ist der Grenzwert der Integrale der

${displaystyle f_{n}}$

.

Ein Beispiel für eine punktweise, jedoch nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolge, bei der das Integral nicht mit dem Grenzwert vertauscht werden kann, liefert diese Funktionenfolge:
Für jedes

${displaystyle nin mathbb {N} }$

ist die Funktion

${displaystyle f_{n}colon [0,2]to mathbb {R} }$

definiert durch

${displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}n^{2}x&0leq xleq 1/n\2n-n^{2}x&1/nleq xleq 2/n\0&xgeq 2/nend{cases}}}$

stetig und daher Riemann-integrierbar. Für das Integral gilt

${displaystyle int _{0}^{2}f_{n}(x),mathrm {d} x=1}$

.

Die Funktionenfolge

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} };}$

konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion

${displaystyle f(x)=0}$

für alle

${displaystyle xin [0,2]}$

. Somit ist

${displaystyle 1=lim _{nto infty }int _{0}^{2}f_{n}(x),mathrm {d} xneq int _{0}^{2}lim _{nto infty }f_{n}(x),mathrm {d} x=0.}$

Punktweise Konvergenz reicht also nicht aus, damit Grenzwert und Integralzeichen vertauscht werden dürfen.

Satz von Dini[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn

${displaystyle I}$

ein kompaktes Intervall und

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

eine monotone Folge stetiger Funktionen ist (d. h.

${displaystyle f_{n+1}(x)}$

≥

${displaystyle f_{n}(x)}$

oder

${displaystyle f_{n+1}(x)}$

≤

${displaystyle f_{n}(x)}$

für jedes

${displaystyle n}$

und beliebiges

${displaystyle x}$

), die punktweise gegen eine ebenfalls stetige Funktion

${displaystyle f}$

konvergiert, dann konvergiert

${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$

auch gleichmäßig.

Gleichmäßige Konvergenz komplexer Funktionenfolgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gleichmäßige Konvergenz für komplexe Funktionenfolgen wird genau so wie im Falle von reellen Funktionenfolgen definiert. Eine Funktionenfolge

${displaystyle F=(f_{n}colon D_{f}subseteq mathbb {C} to mathbb {C} )_{nin mathbb {N} }}$

heißt gegen

${displaystyle fcolon D_{f}subseteq mathbb {C} to mathbb {C} }$

gleichmäßig konvergent, wenn

${displaystyle forall varepsilon in mathbb {R} _{+} exists Nin mathbb {N} forall zin D_{f} forall ngeq N:left|f_{n}(z)-f(z)right|$

Chordal gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${displaystyle F}$

heißt chordal gleichmäßig konvergent, wenn

${displaystyle forall varepsilon in mathbb {R} _{+} exists Nin mathbb {N} forall zin D_{f} forall ngeq N:chi (f_{n}(z),f(z))$

wobei

${displaystyle chi (w,z)={frac {|w-z|}{sqrt {(1+|w|^{2})(1+|z|^{2})}}}}$

die Bezeichnung für chordalen Abstand ist.

Sei

Es gilt

${displaystyle {mathfrak {H}}(D)cap {mathfrak {B}}(D)subset {mathfrak {K}}(D)varsubsetneq {mathfrak {H}}(D),}$

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnlich wie bei der gleichmäßigen Konvergenz reeller Funktionenfolgen können auch im Komplexen der gleichmäßige Grenzwert mit dem Differential oder dem Kurvenintegral vertauscht werden.

Gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall ist eine maßtheoretische Abwandlung der gleichmäßigen Konvergenz. Sie fordert die gleichmäßige Konvergenz nur auf fast allen Punkten. Auf einer Nullmenge muss also keine gleichmäßige Konvergenz oder sogar überhaupt keine Konvergenz vorliegen. Die gleichmäßige Konvergenz entspricht der Konvergenz im p-ten Mittel für den Grenzfall

${displaystyle pto infty }$

und kann damit über die entsprechenden Integralnormen mittels des wesentlichen Supremums in die Theorie der Lp-Räume eingebettet werden. Man spricht dann auch von der Konvergenz in

${displaystyle {mathcal {L}}^{infty }}$

.

Fast gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie auch die gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall ist die fast gleichmäßige Konvergenz eine Maßtheoretische Variante der gleichmäßigen Konvergenz. Sie fordert, dass auf dem Komplement einer Menge beliebig kleinen Maßes gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Dies ist eine echte Verschärfung der gleichmäßigen Konvergenz μ-fast überall.

Gleichmäßige Konvergenz in metrischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

${displaystyle S}$

eine Menge,

${displaystyle (M,d)}$

ein metrischer Raum und

${displaystyle (f_{n}colon Sto M)_{nin mathbb {N} }}$

eine Funktionenfolge. Diese Funktionenfolge heißt gleichmäßig konvergent gegen

${displaystyle f}$

, wenn für alle

${displaystyle varepsilon >0}$

${displaystyle Nin mathbb {N} }$

existiert, so dass

${displaystyle forall ngeq N}$

${displaystyle sup _{xin S} d(f_{n}(x),f(x))$

gilt.

Gleichmäßige Konvergenz in uniformen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Völlig analog lässt sich gleichmäßige Konvergenz für Funktionen in einen uniformen Raum

${displaystyle Y}$

mit einem System von Nachbarschaften

${displaystyle Phi }$

definieren: Ein Filter (oder allgemeiner eine Filterbasis)

${displaystyle {mathcal {F}}}$

auf der Menge der Funktionen

${displaystyle Xto Y}$

für eine Menge

${displaystyle X}$

konvergiert genau dann gegen eine Funktion

${displaystyle fcolon Xto Y}$

, wenn für jede Nachbarschaft

${displaystyle Ein Phi }$

ein

${displaystyle Fin {mathcal {F}}}$

existiert, sodass

${displaystyle left{left(f(x),g(x)right)mid xin X, gin Fright}subseteq E}$

.

• Klaus Viertel: Geschichte der gleichmäßigen Konvergenz. Springer 2014

1. ↑ St. Goebbels, St. Ritter: Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Spektrum, Heidelberg 2011. ISBN 978-3-8274-2761-8, S. 360–369.
2. ↑ Anton Deitmar: Analysis. 2. Auflage. Springer Spektrum, Tübingen, S. 147. 
3. ↑ Seidel: Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen. In: Abhandlungen der Mathem.-Physikalische Classe der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 5, 1847, S. 381–394. Von Heinrich Liebmann 1900 in der Reihe Ostwalds Klassiker mit einem Aufsatz von Dirichlet (1837) neu herausgegeben.
4. ↑ Stokes: On the critical values of sums of periodic series. 1847. In: Stokes, Mathematical and Physical Papers, Band 1, Cambridge UP, 1880, S. 237, archive.org
5. ↑ In dem Buch von Klaus Viertel wird das bezweifelt, ebenso wie die Schlussfolgerung von Alfred Pringsheim in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften (1899) Cauchy hätte 1853 den Begriff gleichmäßige Konvergenz scharf definiert und unabhängig von Seidel und Stokes gefunden.
6. ↑ Klaus Viertel: Geschichte der gleichmäßigen Konvergenz. Springer, 2014
7. ↑ ^abc H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. B. G. Teubner, Stuttgart 1984, ISBN 3-519-22221-3, Teil 1, XIII., 103., 106.
8. ↑ V. Zorich: Analysis II. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-46231-6.
9. ↑ ^abc F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. 1914, Chelsea Publishing Co., New York 1949, Kap. IX, § 4.