[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki7\/2020\/12\/03\/schwarzschild-geodaten-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki7\/2020\/12\/03\/schwarzschild-geodaten-wikipedia\/","headline":"Schwarzschild Geod\u00e4ten – Wikipedia","name":"Schwarzschild Geod\u00e4ten – Wikipedia","description":"Teilchenpfade in der Schwarzschild-L\u00f6sung zu Einsteins Feldgleichungen Im Allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie, Schwarzschild Geod\u00e4ten beschreiben die Bewegung von Teilchen infinitesimaler Masse im","datePublished":"2020-12-03","dateModified":"2020-12-03","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki7\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki7\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/913ace920108f7552777e36ac0b7ee3f5093a088","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/913ace920108f7552777e36ac0b7ee3f5093a088","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki7\/2020\/12\/03\/schwarzschild-geodaten-wikipedia\/","wordCount":59388,"articleBody":"Teilchenpfade in der Schwarzschild-L\u00f6sung zu Einsteins FeldgleichungenIm Allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie, Schwarzschild Geod\u00e4ten beschreiben die Bewegung von Teilchen infinitesimaler Masse im Gravitationsfeld einer zentralen festen Masse M.{ textstyle M}. Die Schwarzschild-Geod\u00e4ten waren ausschlaggebend f\u00fcr die Validierung von Einsteins allgemeiner Relativit\u00e4tstheorie. Zum Beispiel liefern sie genaue Vorhersagen \u00fcber die anomale Pr\u00e4zession der Planeten im Sonnensystem und \u00fcber die Ablenkung des Lichts durch die Schwerkraft.Die Schwarzschild-Geod\u00e4ten beziehen sich nur auf die Bewegung von Teilchen mit infinitesimaler Masse m{ textstyle m}dh Teilchen, die selbst nicht zum Gravitationsfeld beitragen. Sie sind jedoch sehr genau, vorausgesetzt, dass m{ textstyle m} ist um ein Vielfaches kleiner als die zentrale Masse M.{ textstyle M}zB f\u00fcr Planeten, die ihre Sonne umkreisen. Die Schwarzschild-Geod\u00e4ten sind auch eine gute Ann\u00e4herung an die Relativbewegung zweier K\u00f6rper beliebiger Masse, vorausgesetzt, die Schwarzschild-Masse M.{ textstyle M} wird gleich der Summe der beiden Einzelmassen gesetzt m1{ textstyle m_ {1}} und m2{ textstyle m_ {2}}. Dies ist wichtig f\u00fcr die Vorhersage der Bewegung von Doppelsternen in der allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie.Historischer Zusammenhang[edit]Die Schwarzschild-Metrik wurde zu Ehren ihres Entdeckers Karl Schwarzschild benannt, der die L\u00f6sung 1915 fand, nur etwa einen Monat nach der Ver\u00f6ffentlichung von Einsteins allgemeiner Relativit\u00e4tstheorie. Es war die erste exakte L\u00f6sung der Einstein-Feldgleichungen au\u00dfer der trivialen Flachrauml\u00f6sung.Schwarzschild-Metrik[edit]Eine exakte L\u00f6sung f\u00fcr die Einstein-Feldgleichungen ist die Schwarzschild-Metrik, die dem \u00e4u\u00dferen Gravitationsfeld eines ungeladenen, nicht rotierenden, sph\u00e4risch symmetrischen Massenk\u00f6rpers entspricht M.{ textstyle M}. Die Schwarzschild-L\u00f6sung kann wie folgt geschrieben werden[1]c2d\u03c42=(1– –rsr)c2dt2– –dr21– –rsr– –r2d\u03b82– –r2S\u00fcnde2\u2061\u03b8d\u03c62{ displaystyle c ^ {2} {d tau} ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} dt ^ {2} – { frac {dr ^ {2}} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} – r ^ {2} d theta ^ {2} – r ^ {2} sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2}}wo\u03c4{ displaystyle tau} ist die richtige Zeit (Zeit gemessen von einer Uhr, die sich mit dem Teilchen bewegt) in Sekunden,c{ displaystyle c} ist die Lichtgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde,t{ displaystyle t} ist die Zeitkoordinate (Zeit gemessen von einer station\u00e4ren Uhr im Unendlichen) in Sekunden,r{ displaystyle r} ist die Radialkoordinate (Umfang eines Kreises, der am Stern zentriert ist, geteilt durch 2\u03c0{ displaystyle 2 pi}) in Metern,\u03b8{ displaystyle theta} ist die Kolatitude (Winkel von Norden) im Bogenma\u00df,\u03c6{ displaystyle varphi} ist die L\u00e4nge im Bogenma\u00df undrs{ displaystyle r_ {s}} ist der Schwarzschild-Radius des massiven K\u00f6rpers (in Metern), der mit seiner Masse zusammenh\u00e4ngt M.{ textstyle M} durchrs=2GM.c2,{ displaystyle r _ { rm {s}} = { frac {2GM} {c ^ {2}}},}wo G{ textstyle G} ist die Gravitationskonstante. Die klassische Newtonsche Gravitationstheorie wird in der Grenze als Verh\u00e4ltnis wiederhergestellt rsr{ textstyle { frac {r_ {s}} {r}}} geht auf Null. In dieser Grenze kehrt die Metrik zu der durch die spezielle Relativit\u00e4tstheorie definierten zur\u00fcck.In der Praxis ist dieses Verh\u00e4ltnis fast immer extrem klein. Zum Beispiel der Schwarzschild-Radius rs{ textstyle r_ {s}} der Erde ist ungef\u00e4hr 9 mm (3\u20448 Zoll); An der Erdoberfl\u00e4che betragen die Korrekturen der Newtonschen Schwerkraft nur einen Teil einer Milliarde. Der Schwarzschild-Radius der Sonne ist viel gr\u00f6\u00dfer, ungef\u00e4hr 2953 Meter, aber an seiner Oberfl\u00e4che das Verh\u00e4ltnis rsr{ textstyle { frac {r_ {s}} {r}}} ist ungef\u00e4hr 4 Teile in einer Million. Ein wei\u00dfer Zwergstern ist viel dichter, aber selbst hier betr\u00e4gt das Verh\u00e4ltnis an seiner Oberfl\u00e4che ungef\u00e4hr 250 Teile in einer Million. Das Verh\u00e4ltnis wird nur in der N\u00e4he von ultradichten Objekten wie Neutronensternen (wo das Verh\u00e4ltnis ungef\u00e4hr 50% betr\u00e4gt) und Schwarzen L\u00f6chern gro\u00df.Bahnen von Testpartikeln[edit] Vergleich zwischen der Umlaufbahn eines Testteilchens in der Raumzeit nach Newton (links) und Schwarzschild (rechts); Beachten Sie die Apsidenpr\u00e4zession rechts.Wir k\u00f6nnen das Problem vereinfachen, indem wir Symmetrie verwenden, um eine Variable von der Betrachtung auszuschlie\u00dfen. Da die Schwarzschild-Metrik etwa symmetrisch ist \u03b8=\u03c02{ textstyle theta = { frac { pi} {2}}}Jede Geod\u00e4t, die sich in dieser Ebene zu bewegen beginnt, bleibt auf unbestimmte Zeit in dieser Ebene (die Ebene ist vollst\u00e4ndig geod\u00e4tisch). Daher richten wir das Koordinatensystem so aus, dass die Umlaufbahn des Partikels in dieser Ebene liegt, und fixieren das \u03b8{ textstyle theta} koordinieren zu sein \u03c02{ textstyle { frac { pi} {2}}} so dass sich die Metrik (dieser Ebene) vereinfachtc2d\u03c42=(1– –rsr)c2dt2– –dr21– –rsr– –r2d\u03c62.{ displaystyle c ^ {2} d tau ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} dt ^ {2 } – { frac {dr ^ {2}} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} – r ^ {2} d varphi ^ {2}.}Zwei Bewegungskonstanten (Werte, die sich im Laufe der Zeit nicht \u00e4ndern \u03c4{ displaystyle tau}) identifiziert werden k\u00f6nnen (vgl. die unten angegebene Ableitung). Eins ist die Gesamtenergie E.{ textstyle E}::(1– –rsr)dtd\u03c4=E.mc2.{ displaystyle left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { frac {dt} {d tau}} = { frac {E} {mc ^ {2}}}.}und der andere ist der spezifische Drehimpuls:h=L.\u03bc=r2d\u03c6d\u03c4,{ displaystyle h = { frac {L} { mu}} = r ^ {2} { frac {d varphi} {d tau}},}wobei L der Gesamtdrehimpuls der beiden K\u00f6rper ist und \u03bc{ textstyle mu} ist die reduzierte Masse. Wann M.\u226bm{ textstyle M gg m}ist die reduzierte Masse ungef\u00e4hr gleich m{ textstyle m}. Manchmal wird das angenommen m=\u03bc{ textstyle m = mu}. Im Fall des Planeten Merkur f\u00fchrt diese Vereinfachung zu einem Fehler, der mehr als doppelt so gro\u00df ist wie der relativistische Effekt. Bei der Diskussion \u00fcber Geod\u00e4ten m{ textstyle m} kann als fiktiv angesehen werden, und was z\u00e4hlt, sind die Konstanten E.m{ textstyle { frac {E} {m}}} und h{ textstyle h}. Um alle m\u00f6glichen Geod\u00e4ten abzudecken, m\u00fcssen wir F\u00e4lle ber\u00fccksichtigen, in denen E.m{ textstyle { frac {E} {m}}} ist unendlich (Trajektorien von Photonen) oder imagin\u00e4r (f\u00fcr tachyonische Geod\u00e4ten). F\u00fcr den photonischen Fall m\u00fcssen wir auch eine Zahl angeben, die dem Verh\u00e4ltnis der beiden Konstanten entspricht, n\u00e4mlich mhE.{ textstyle { frac {mh} {E}}}, die Null oder eine reelle Zahl ungleich Null sein kann.Einsetzen dieser Konstanten in die Definition der Schwarzschild-Metrikc2=(1– –rsr)c2(dtd\u03c4)2– –11– –rsr(drd\u03c4)2– –r2(d\u03c6d\u03c4)2,{ displaystyle c ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} left ({ frac {dt} {d tau}} right) ^ {2} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} left ({ frac {dr} { d tau}} right) ^ {2} -r ^ {2} left ({ frac {d varphi} {d tau}} right) ^ {2},}ergibt eine Bewegungsgleichung f\u00fcr den Radius als Funktion der richtigen Zeit \u03c4{ textstyle tau}::(drd\u03c4)2=E.2m2c2– –(1– –rsr)(c2+h2r2).{ displaystyle left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} = { frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left (c ^ {2} + { frac {h ^ {2}} {r ^ {2} }}richtig).}Die formale L\u00f6sung hierf\u00fcr ist\u03c4=\u222bdr\u00b1E.2m2c2– –(1– –rsr)(c2+h2r2).{ displaystyle tau = int { frac {dr} { pm { sqrt {{ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} – left (1- { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left (c ^ {2} + { frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} right) }}}}.}Beachten Sie, dass die Quadratwurzel f\u00fcr die tachyonische Geod\u00e4sie imagin\u00e4r ist.Verwenden Sie die Beziehung h\u00f6her zwischen dtd\u03c4{ textstyle { frac {dt} {d tau}}} und E.{ textstyle E}k\u00f6nnen wir auch schreibent=\u222bdr\u00b1c(1– –rsr)1– –(1– –rsr)(c2+h2r2)m2c2E.2.{ displaystyle t = int { frac {dr} { pm c left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { sqrt {1- left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) left (c ^ {2} + { frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} right) { frac {m ^ {2} c ^ {2}} {E ^ {2}}}}}}.}Da asymptotisch ist der Integrand umgekehrt proportional zu r– –rs{ textstyle r-r _ { rm {s}}}Dies zeigt, dass in der r,\u03b8,\u03c6,t{ textstyle r, theta, varphi, t} Bezugsrahmen wenn r{ textstyle r} n\u00e4hert sich rs{ textstyle r_ {s}} es tut dies exponentiell, ohne es jemals zu erreichen. In Abh\u00e4ngigkeit von \u03c4{ textstyle tau}, r{ textstyle r} erreicht rs{ textstyle r_ {s}}.Die obigen L\u00f6sungen sind g\u00fcltig, solange der Integrand endlich ist, aber eine Gesamtl\u00f6sung kann zwei oder unendlich viele Teile umfassen, die jeweils durch das Integral beschrieben werden, jedoch mit abwechselnden Vorzeichen f\u00fcr die Quadratwurzel.Wann E.=mc2{ textstyle E = mc ^ {2}} und h=0{ textstyle h = 0}k\u00f6nnen wir l\u00f6sen f\u00fcr t{ textstyle t} und \u03c4{ textstyle tau} ausdr\u00fccklich:t=Konstante\u00b1rsc(23(rrs)32+2rrs+ln\u2061|rrs– –1|rrs+1)\u03c4=Konstante\u00b123rsc(rrs)32{ displaystyle { begin {align} t & = { text {constante}} pm { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ({ frac {2} {3}} left ({ frac {r} {r _ { rm {s}}} right) ^ { frac {3} {2}} + 2 { sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}}} + ln { frac { left | { sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}} – 1 right |} {{ sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}} + 1}} right) \\ tau & = { text {Konstante}} pm { frac {2} {3}} { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ({ frac {r} {r _ { rm {s}}} right) ^ { frac {3} {2}} Ende {ausgerichtet}}}und f\u00fcr die photonische Geod\u00e4ten (m=0{ textstyle m = 0}) mit einem Drehimpuls von Nullt=Konstante\u00b11c(r+rsln\u2061|rrs– –1|)\u03c4=Konstante.{ displaystyle { begin {align} t & = { text {constante}} pm { frac {1} {c}} left (r + r _ { rm {s}} ln left | { frac {r} {r _ { rm {s}}}} – 1 right | right) \\ tau & = { text {Konstante}}. end {align}}}(Obwohl die richtige Zeit im photonischen Fall trivial ist, kann man einen affinen Parameter definieren \u03bb{ textstyle lambda}und dann ist die L\u00f6sung f\u00fcr die geod\u00e4tische Gleichung r=c1\u03bb+c2{ textstyle r = c_ {1} lambda + c_ {2}}.)Ein anderer l\u00f6sbarer Fall ist der, in dem E.=0{ textstyle E = 0} und t{ textstyle t} und \u03c6{ textstyle varphi} sind konstant. In dem Band wo rrsc(arcsin\u2061rrs– –rrs(1– –rrs)).{ displaystyle tau = { text {Konstante}} pm { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ( arcsin { sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}}} – { sqrt {{ frac {r} {r _ { rm {s}}} left (1 – { frac {r} {r _ { rm {s}} }}richtig richtig).}Dies ist nah an L\u00f6sungen mit E.2m2{ textstyle { frac {E ^ {2}} {m ^ {2}}}} klein und positiv. Au\u00dferhalb rs{ textstyle r_ {s}} das E.=0{ textstyle E = 0} L\u00f6sung ist tachyonisch und die “richtige Zeit” ist raumartig:\u03c4=Konstante\u00b1ichrsc(ln\u2061(rrs+rrs– –1)+rrs(rrs– –1)).{ displaystyle tau = { text {Konstante}} pm i { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ( ln left ({ sqrt { frac {r}) {r _ { rm {s}}}} + { sqrt {{ frac {r} {r _ { rm {s}}} – 1}} right) + { sqrt {{ frac { r} {r _ { rm {s}}}} left ({ frac {r} {r _ { rm {s}}} – 1 right)}} right).}Dies ist nah an anderen tachyonischen L\u00f6sungen mit E.2m2{ textstyle { frac {E ^ {2}} {m ^ {2}}}} klein und negativ. Die Konstante t{ textstyle t} tachyonische geod\u00e4tische Au\u00dfenseite rs{ textstyle r_ {s}} wird nicht durch eine Konstante fortgesetzt t{ textstyle t} geod\u00e4tisch im Inneren rs{ textstyle r_ {s}}, sondern geht weiter in eine “parallele Au\u00dfenregion” (siehe Kruskal-Szekeres-Koordinaten). Andere tachyonische L\u00f6sungen k\u00f6nnen in ein Schwarzes Loch eintreten und in den parallelen Au\u00dfenbereich zur\u00fcckkehren. Die Konstante t L\u00f6sung innerhalb des Ereignishorizonts (rs{ textstyle r_ {s}}) wird durch eine Konstante fortgesetzt t L\u00f6sung in einem wei\u00dfen Loch.Wenn der Drehimpuls nicht Null ist, k\u00f6nnen wir die Abh\u00e4ngigkeit von der richtigen Zeit durch eine Abh\u00e4ngigkeit vom Winkel ersetzen \u03c6{ textstyle varphi} unter Verwendung der Definition von h{ textstyle h}(drd\u03c6)2=(drd\u03c4)2(d\u03c4d\u03c6)2=(drd\u03c4)2(r2h)2,{ displaystyle left ({ frac {dr} {d varphi}} right) ^ {2} = left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} left ({ frac {d tau} {d varphi}} right) ^ {2} = left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} left ({ frac {r ^ {2}} {h}} right) ^ {2},}was die Gleichung f\u00fcr die Umlaufbahn ergibt(drd\u03c6)2=r4b2– –(1– –rsr)(r4ein2+r2){ displaystyle left ({ frac {dr} {d varphi}} right) ^ {2} = { frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} – left (1- { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} right) }}wo der K\u00fcrze halber zwei L\u00e4ngenskalen, ein{ textstyle a} und b{ textstyle b}wurden definiert durchein=hc,b=cL.E.=hmcE..{ displaystyle { begin {align} a & = { frac {h} {c}}, \\ b & = { frac {cL} {E}} = { frac {hmc} {E}}. end {ausgerichtet}}}Beachten Sie, dass im tachyonischen Fall ein{ textstyle a} wird imagin\u00e4r sein und b{ textstyle b} real oder unendlich.Die gleiche Gleichung kann auch unter Verwendung eines Lagrange-Ansatzes abgeleitet werden[2] oder die Hamilton-Jacobi-Gleichung[3] (siehe unten). Die L\u00f6sung der Bahngleichung ist\u03c6=\u222bdr\u00b1r21b2– –(1– –rsr)(1ein2+1r2).{ displaystyle varphi = int { frac {dr} { pm r ^ {2} { sqrt {{ frac {1} {b ^ {2}}} – left (1 – { frac { r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {r ^ {2}}} right )}}}}.}Dies kann in Form der elliptischen Funktion von Weierstrass ausgedr\u00fcckt werden \u2118{ textstyle wp}.[4]Lokale und verz\u00f6gerte Geschwindigkeiten[edit]Anders als in der klassischen Mechanik in Schwarzschild-Koordinaten drd\u03c4{ textstyle { frac {{ rm {d}} r} {{ rm {d}} tau}}} und r d\u03c6d\u03c4{ textstyle r { frac {{ rm {d}} varphi} {{ rm {d}} tau}}} sind nicht die radialen v\u2225{ textstyle v _ { parallel}} und quer v\u22a5{ textstyle v _ { perp}} Komponenten der lokalen Geschwindigkeit v{ textstyle v} (relativ zu einem station\u00e4ren Beobachter), stattdessen geben sie die Komponenten f\u00fcr die Geschwindigkeit an, die sich darauf beziehen v{ textstyle v} durchdrd\u03c4=v\u22251– –rsr \u03b3{ displaystyle { frac {{ rm {d}} r} {{ rm {d}} tau}} = v _ { parallel} { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s }}} {r}}}} gamma}f\u00fcr die radiale undd\u03c6d\u03c4=v\u22a5r \u03b3{ displaystyle { frac {{ rm {d}} varphi} {{ rm {d}} tau}} = { frac {v _ { perp}} {r}} gamma}f\u00fcr die Querkomponente der Bewegung mit v2=v\u22252+v\u22a52{ textstyle v ^ {2} = v _ { parallel} ^ {2} + v _ { perp} ^ {2}}. Der Koordinatenbuchhalter weit weg von der Szene beobachtet die Shapiro-verz\u00f6gerte Geschwindigkeit v^{ textstyle { hat {v}}}, was durch die Beziehung gegeben istv^\u22a5=v\u22a51– –rsr{ displaystyle { hat {v}} _ { perp} = v _ { perp} { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}}} und v^\u2225=v\u2225(1– –rsr){ displaystyle { hat {v}} _ { parallel} = v _ { parallel} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right)}.Der Zeitdilatationsfaktor zwischen dem Buchhalter und dem sich bewegenden Testteilchen kann ebenfalls in die Form gebracht werdend\u03c4dt=1– –rsr\u03b3{ displaystyle { frac {{ rm {d}} tau} {{ rm {d}} t}} = { frac { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}} } {r}}}} { gamma}}}Dabei ist der Z\u00e4hler die Gravitation und der Nenner die kinematische Komponente der Zeitdilatation. F\u00fcr ein Teilchen, das aus dem Unendlichen hereinf\u00e4llt, entspricht der linke Faktor dem rechten Faktor, da die Einfallsgeschwindigkeit v{ textstyle v} entspricht der Fluchtgeschwindigkeit crsr{ textstyle c { sqrt { frac {r _ { rm {s}}} {r}}}} in diesem Fall.Die beiden Konstanten Drehimpuls L.{ textstyle L} und Gesamtenergie E.{ textstyle E} eines Testteilchens mit Masse m{ textstyle m} sind in Bezug auf v{ textstyle v}L.=m v\u22a5 r \u03b3{ displaystyle L = m v _ { perp} r gamma}undE.=mc2 1– –rsr \u03b3{ displaystyle E = mc ^ {2} { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} gamma}woE.=E.rest+E.kichn+E.p\u00d6t{ displaystyle E = E _ { rm {rest}} + E _ { rm {kin}} + E _ { rm {pot}}}undE.rest=mc2 , E.kichn=(\u03b3– –1)mc2 , E.p\u00d6t=(1– –rsr– –1) \u03b3 mc2{ displaystyle E _ { rm {rest}} = mc ^ {2} , E _ { rm {kin}} = ( gamma -1) mc ^ {2} , E _ { rm { pot}} = left ({ sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} – 1 right) gamma mc ^ {2}}F\u00fcr massive Testpartikel \u03b3{ textstyle gamma} ist der Lorentz-Faktor \u03b3=1\/.1– –v2\/.c2{ textstyle gamma = 1 \/ { sqrt {1-v ^ {2} \/ c ^ {2}}} und \u03c4{ textstyle tau} ist die richtige Zeit, w\u00e4hrend f\u00fcr masselose Teilchen wie Photonen \u03b3{ textstyle gamma} ist eingestellt auf 1{ textstyle 1} und \u03c4{ textstyle tau} \u00fcbernimmt die Rolle eines affinen Parameters. Wenn das Teilchen masselos ist E.rest{ textstyle E _ { rm {rest}}} wird ersetzt durch E.kichn{ textstyle E _ { rm {kin}}} und mc2{ textstyle mc ^ {2}} mit hf{ textstyle hf}, wo h{ textstyle h} ist die Planck-Konstante und f{ textstyle f} die lokal beobachtete Frequenz.Genaue L\u00f6sung mit elliptischen Funktionen[edit]Die Grundgleichung der Umlaufbahn ist leichter zu l\u00f6sen[note 1] wenn es als inverser Radius ausgedr\u00fcckt wird u=1r{ textstyle u = { frac {1} {r}}}(dud\u03c6)2=1b2– –(1– –urs)(1ein2+u2){ displaystyle left ({ frac {du} {d varphi}} right) ^ {2} = { frac {1} {b ^ {2}}} – left (1-ur _ { rm {s}} right) left ({ frac {1} {a ^ {2}}} + u ^ {2} right)}Die rechte Seite dieser Gleichung ist ein kubisches Polynom mit drei Wurzeln, die hier als bezeichnet werden u1, u2, und u3(dud\u03c6)2=rs(u– –u1)(u– –u2)(u– –u3){ displaystyle left ({ frac {du} {d varphi}} right) ^ {2} = r _ { rm {s}} left (u-u_ {1} right) left (u -u_ {2} rechts) links (u-u_ {3} rechts)}Die Summe der drei Wurzeln entspricht dem Koeffizienten der u2 Begriffu1+u2+u3=1rs{ displaystyle u_ {1} + u_ {2} + u_ {3} = { frac {1} {r _ { rm {s}}}}Ein kubisches Polynom mit reellen Koeffizienten kann entweder drei reelle Wurzeln oder eine reelle Wurzel und zwei komplexe konjugierte Wurzeln haben. Wenn alle drei Wurzeln reelle Zahlen sind, werden die Wurzeln so beschriftet u1 < u2 < u3. Wenn es stattdessen nur eine echte Wurzel gibt, wird diese als bezeichnet u3;; Die komplexen konjugierten Wurzeln sind markiert u1 und u2. Nach der Descartes-Zeichenregel kann es h\u00f6chstens eine negative Wurzel geben. u1 ist genau dann negativ, wenn b < ein. Wie unten diskutiert, sind die Wurzeln n\u00fctzlich, um die Arten m\u00f6glicher Umlaufbahnen zu bestimmen.Angesichts dieser Markierung der Wurzeln ist die L\u00f6sung der fundamentalen Orbitalgleichungu=u1+(u2– –u1)sn2(12\u03c6rs(u3– –u1)+\u03b4){ displaystyle u = u_ {1} + left (u_ {2} -u_ {1} right) , mathrm {sn} ^ {2} left ({ frac {1} {2}} varphi { sqrt {r _ { rm {s}} left (u_ {3} -u_ {1} right)}} + delta right)}wobei sn das darstellt Sinus Amplitudinus Funktion (eine der elliptischen Jacobi-Funktionen) und \u03b4 ist eine Integrationskonstante, die die Ausgangsposition widerspiegelt. Der elliptische Modul k dieser elliptischen Funktion ist durch die Formel gegebenk=u2– –u1u3– –u1{ displaystyle k = { sqrt { frac {u_ {2} -u_ {1}} {u_ {3} -u_ {1}}}}Newtonsche Grenze[edit]Um die Newtonsche L\u00f6sung f\u00fcr die Planetenbahnen wiederzugewinnen, nimmt man die Grenze als Schwarzschild-Radius rs geht auf Null. In diesem Fall die dritte Wurzel u3 wird grob 1rs{ textstyle { frac {1} {r _ { text {s}}}}und viel gr\u00f6\u00dfer als u1 oder u2. Daher ist der Modul k neigt zu Null; In dieser Grenze wird sn zur trigonometrischen Sinusfunktionu=u1+(u2– –u1)S\u00fcnde2\u2061(12\u03c6+\u03b4){ displaystyle u = u_ {1} + left (u_ {2} -u_ {1} right) , sin ^ {2} left ({ frac {1} {2}} varphi + Delta rechts)}In \u00dcbereinstimmung mit Newtons L\u00f6sungen f\u00fcr Planetenbewegungen beschreibt diese Formel einen fokalen Kegel der Exzentrizit\u00e4t ee=u2– –u1u2+u1{ displaystyle e = { frac {u_ {2} -u_ {1}} {u_ {2} + u_ {1}}}}Wenn u1 ist eine positive reelle Zahl, dann ist die Umlaufbahn eine Ellipse, wo u1 und u2 stellen die Entfernungen der am weitesten bzw. am n\u00e4chsten gelegenen Ann\u00e4herung dar. Wenn u1 ist Null oder eine negative reelle Zahl, die Umlaufbahn ist eine Parabel bzw. eine Hyperbel. In diesen beiden letztgenannten F\u00e4llen u2 stellt die Entfernung der n\u00e4chsten Ann\u00e4herung dar; da die Umlaufbahn ins Unendliche geht (u = 0) gibt es keine Entfernung von der am weitesten entfernten Ann\u00e4herung.Wurzeln und \u00dcberblick \u00fcber m\u00f6gliche Umlaufbahnen[edit]Eine Wurzel repr\u00e4sentiert einen Punkt der Umlaufbahn, an dem die Ableitung verschwindet, dh wo dud\u03d5=0{ textstyle { frac {du} {d phi}} = 0}. An einem solchen Wendepunkt u erreicht ein Maximum, ein Minimum oder einen Wendepunkt, abh\u00e4ngig vom Wert der zweiten Ableitung, die durch die Formel gegeben istd2ud\u03c62=rs2[(u\u2212u2)(u\u2212u3)+(u\u2212u1)(u\u2212u3)+(u\u2212u1)(u\u2212u2)]{ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {d varphi ^ {2}}} = { frac {r _ { rm {s}}} {2}} left[left(u-u_{2}right)left(u-u_{3}right)+left(u-u_{1}right)left(u-u_{3}right)+left(u-u_{1}right)left(u-u_{2}right)right]}}Wenn alle drei Wurzeln unterschiedliche reelle Zahlen sind, ist die zweite Ableitung bei, positiv, negativ und positiv u1,u2, und u3, beziehungsweise. Daraus folgt ein Graph von u gegen \u03c6 kann entweder zwischen schwingen u1 und u2, oder es kann sich von weg bewegen u3 gegen unendlich (was entspricht r auf Null gehen). Wenn u1 negativ ist, tritt tats\u00e4chlich nur ein Teil einer “Schwingung” auf. Dies entspricht dem Teilchen, das aus dem Unendlichen kommt, sich der zentralen Masse n\u00e4hert und sich dann wieder in Richtung Unendlichkeit bewegt, wie die hyperbolische Flugbahn in der klassischen L\u00f6sung.Wenn das Teilchen genau die richtige Energiemenge f\u00fcr seinen Drehimpuls hat, u2 und u3 wird zusammengef\u00fchrt. In diesem Fall gibt es drei L\u00f6sungen. Die Umlaufbahn kann sich zu drehen r=1u2=1u3{ textstyle r = { frac {1} {u_ {2}}} = { frac {1} {u_ {3}}}Ann\u00e4herung an diesen Radius als (asymptotisch) abnehmendes Exponential in \u03c6, \u03c4 oder t. Oder man kann eine Kreisbahn in diesem Radius haben. Oder man kann eine Umlaufbahn haben, die sich von diesem Radius zum Mittelpunkt hinunter windet. Der betreffende Radius wird als Innenradius bezeichnet und liegt dazwischen 32{ textstyle { frac {3} {2}}} und 3 mal rs. Eine Kreisbahn ergibt sich auch dann, wenn u2 entspricht u1und dies wird der \u00e4u\u00dfere Radius genannt. Diese verschiedenen Arten von Umlaufbahnen werden unten diskutiert.Kommt das Teilchen mit ausreichender Energie und ausreichend geringem Drehimpuls an die Zentralmasse, dann nur u1 wird echt sein. Dies entspricht dem Partikel, das in ein Schwarzes Loch f\u00e4llt. Die Umlaufbahn dreht sich mit einer endlichen \u00c4nderung von \u03c6.Pr\u00e4zession der Umlaufbahnen[edit]Die Funktion sn und ihr Quadrat sn2 haben Perioden von 4K. und 2K.jeweils wo K. wird durch die Gleichung definiert[note 2]K.=\u222b01dy(1– –y2)(1– –k2y2){ displaystyle K = int _ {0} ^ {1} { frac {dy} { sqrt { left (1-y ^ {2} right) left (1-k ^ {2} y ^ {2} right)}}}}Daher ist die \u00c4nderung von \u03c6 \u00fcber eine Schwingung von u (oder \u00e4quivalent eine Schwingung von r) gleich[5]\u0394\u03c6=4K.rs(u3– –u1){ displaystyle Delta varphi = { frac {4K} { sqrt {r _ { text {s}} left (u_ {3} -u_ {1} right)}}}}In der klassischen Grenze, u3 n\u00e4hert sich 1rs{ textstyle { frac {1} {r _ { text {s}}}} und ist viel gr\u00f6\u00dfer als u1 oder u2. Daher, k2 ist ungef\u00e4hrk2=u2– –u1u3– –u1\u2248rs(u2– –u1)\u226a1{ displaystyle k ^ {2} = { frac {u_ {2} -u_ {1}} {u_ {3} -u_ {1}}} approx r _ { text {s}} left (u_ { 2} -u_ {1} right) ll 1}Aus den gleichen Gr\u00fcnden ist der Nenner von \u0394\u03c6 ungef\u00e4hr1rs(u3– –u1)=11– –rs(2u1+u2)\u22481+12rs(2u1+u2){ displaystyle { frac {1} { sqrt {r _ { text {s}} left (u_ {3} -u_ {1} right)}} = { frac {1} { sqrt { 1-r _ { text {s}} left (2u_ {1} + u_ {2} right)}} ca. 1 + { frac {1} {2}} r _ { text {s}} left (2u_ {1} + u_ {2} right)}Da der Modul k ist nahe Null, die Periode K. kann in Befugnissen von erweitert werden k;; zur niedrigsten Ordnung ergibt diese ExpansionK.\u2248\u222b01dy1– –y2(1+12k2y2)=\u03c02(1+k24){ displaystyle K approx int _ {0} ^ {1} { frac {dy} { sqrt {1-y ^ {2}}} left (1 + { frac {1} {2} } k ^ {2} y ^ {2} right) = { frac { pi} {2}} left (1 + { frac {k ^ {2}} {4}} right)}Das Einsetzen dieser N\u00e4herungen in die Formel f\u00fcr \u0394\u03c6 ergibt eine Formel f\u00fcr den Winkelvorschub pro radialer Schwingung\u03b4\u03c6=\u0394\u03c6– –2\u03c0\u224832\u03c0rs(u1+u2){ displaystyle delta varphi = Delta varphi -2 pi approx { frac {3} {2}} pi r _ { text {s}} left (u_ {1} + u_ {2} richtig)}F\u00fcr eine elliptische Umlaufbahn u1 und u2 stellen die Umkehrungen der l\u00e4ngsten bzw. k\u00fcrzesten Entfernungen dar. Diese k\u00f6nnen als Semi-Major-Achse der Ellipse ausgedr\u00fcckt werden EIN und seine Exzentrizit\u00e4t der Umlaufbahn e,rmax=1u1=EIN(1+e)rMindest=1u2=EIN(1– –e){ displaystyle { begin {align} r _ { text {max}} & = { frac {1} {u_ {1}}} = A (1 + e) \u200b\u200b\\ r _ { text {min}} & = { frac {1} {u_ {2}}} = A (1-e) end {align}}}gebenu1+u2=2EIN(1– –e2){ displaystyle u_ {1} + u_ {2} = { frac {2} {A left (1-e ^ {2} right)}}}Ersetzen der Definition von rs gibt die endg\u00fcltige Gleichung an\u03b4\u03c6\u22486\u03c0GM.c2EIN(1– –e2){ displaystyle delta varphi approx { frac {6 pi GM} {c ^ {2} A left (1-e ^ {2} right)}}}Biegen von Licht durch Schwerkraft[edit] Ablenkung des Lichts (gesendet von der blau dargestellten Stelle) in der N\u00e4he eines kompakten K\u00f6rpers (grau dargestellt)In der Grenze als Partikelmasse m geht auf Null (oder \u00e4quivalent, wenn das Licht direkt auf die zentrale Masse gerichtet ist, als L\u00e4ngenskala ein geht ins Unendliche), wird die Gleichung f\u00fcr die Umlaufbahn\u03c6=\u222bdrr21b2– –(1– –rsr)1r2{ displaystyle varphi = int { frac {dr} {r ^ {2} { sqrt {{ frac {1} {b ^ {2}}} – left (1 – { frac {r_ { rm {s}}} {r}} right) { frac {1} {r ^ {2}}}}}}Erweiterung der Befugnisse von rsr{ textstyle { frac {r _ { text {s}}} {r}}}Der Term f\u00fchrender Ordnung in dieser Formel gibt die ungef\u00e4hre Winkelauslenkung \u03b4 an\u03c6 f\u00fcr ein masseloses Teilchen, das aus dem Unendlichen hereinkommt und wieder ins Unendliche zur\u00fcckkehrt:\u03b4\u03c6\u22482rsb=4GM.c2b.{ displaystyle delta varphi approx { frac {2r _ { rm {s}}} {b}} = { frac {4GM} {c ^ {2} b}}.}Hier, b ist der Aufprallparameter, etwas gr\u00f6\u00dfer als die Entfernung der n\u00e4chsten Ann\u00e4herung, r3::[6]b=r3r3r3– –rs{ displaystyle b = r_ {3} { sqrt { frac {r_ {3}} {r_ {3} -r _ { rm {s}}}}}Obwohl diese Formel ungef\u00e4hr ist, ist sie aufgrund der geringen Gr\u00f6\u00dfe des Verh\u00e4ltnisses f\u00fcr die meisten Messungen der Gravitationslinse genau rsr{ textstyle { frac {r _ { text {s}}} {r}}}. F\u00fcr Licht, das die Oberfl\u00e4che der Sonne streift, betr\u00e4gt die ungef\u00e4hre Winkelablenkung ungef\u00e4hr 1,75 Bogensekunden, ungef\u00e4hr ein Millionstel eines Kreises.Beziehung zur Newtonschen Physik[edit]Effektive radiale potentielle Energie[edit]Die oben abgeleitete Bewegungsgleichung f\u00fcr das Teilchen(drd\u03c4)2=E.2m2c2– –c2+rsc2r– –L.2m\u03bcr2+rsL.2m\u03bcr3{ displaystyle left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} = { frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} – c ^ {2} + { frac {r _ { rm {s}} c ^ {2}} {r}} – { frac {L ^ {2}} {m mu r ^ {2}}} + { frac {r _ { rm {s}} L ^ {2}} {m mu r ^ {3}}}kann mit der Definition des Schwarzschild-Radius umgeschrieben werden rs wie12m(drd\u03c4)2=[E22mc2\u221212mc2]+GM.mr– –L.22\u03bcr2+G(M.+m)L.2c2\u03bcr3,{ displaystyle { frac {1} {2}} m left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} = left[{frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{frac {1}{2}}mc^{2}right]+ { frac {GMm} {r}} – { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}} + { frac {G (M + m) L ^ {2}} {c ^ {2} mu r ^ {3}}},}Dies entspricht einem Teilchen, das sich in einem eindimensionalen effektiven Potential bewegtV.(r)=– –GM.mr+L.22\u03bcr2– –G(M.+m)L.2c2\u03bcr3{ displaystyle V (r) = – { frac {GMm} {r}} + { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}} – { frac {G (M + m) L ^ {2}} {c ^ {2} mu r ^ {3}}}}Die ersten beiden Begriffe sind bekannte klassische Energien, wobei der erste die attraktive Newtonsche Gravitationspotentialenergie ist und der zweite der absto\u00dfenden “zentrifugalen” potentiellen Energie entspricht; Der dritte Term ist jedoch eine attraktive Energie, die nur f\u00fcr die allgemeine Relativit\u00e4tstheorie gilt. Wie unten und anderswo gezeigt, bewirkt diese invers-kubische Energie, dass elliptische Bahnen allm\u00e4hlich um einen Winkel \u03b4\u03c6 pro Umdrehung vorr\u00fccken\u03b4\u03c6\u22486\u03c0G(M.+m)c2EIN(1– –e2){ displaystyle delta varphi approx { frac {6 pi G (M + m)} {c ^ {2} A left (1-e ^ {2} right)}}}wo EIN ist die Semi-Major-Achse und e ist die Exzentrizit\u00e4t.Der dritte Begriff ist attraktiv und dominiert bei kleinen r Werte, die einen kritischen Innenradius ergeben rinnere bei dem ein Teilchen unaufhaltsam nach innen gezogen wird r = 0; Dieser innere Radius ist eine Funktion des Drehimpulses des Teilchens pro Masseneinheit oder \u00e4quivalent des ein oben definierte L\u00e4ngenskala.Kreisbahnen und ihre Stabilit\u00e4t[edit] Effektives radiales Potential f\u00fcr verschiedene Drehimpulse. Bei kleinen Radien f\u00e4llt die Energie steil ab, wodurch das Teilchen unaufhaltsam nach innen gezogen wird r = 0. Wenn jedoch der normalisierte Drehimpuls einrs=L.mcrs{ textstyle { frac {a} {r _ { text {s}}} = { frac {L} {mcr _ { text {s}}}} gleich der Quadratwurzel von drei ist eine metastabile Kreisbahn in dem mit einem gr\u00fcnen Kreis hervorgehobenen Radius m\u00f6glich. Bei h\u00f6heren Drehimpulsen gibt es eine signifikante Zentrifugalbarriere (orange Kurve) und einen instabilen Innenradius, der rot hervorgehoben ist.Das effektive Potenzial V. kann in Bezug auf die L\u00e4nge neu geschrieben werden ein=hc{ textstyle a = { frac {h} {c}}}.V.(r)=\u03bcc22[\u2212rsr+a2r2\u2212rsa2r3]{ displaystyle V (r) = { frac { mu c ^ {2}} {2}} left[-{frac {r_{rm {s}}}{r}}+{frac {a^{2}}{r^{2}}}-{frac {r_{rm {s}}a^{2}}{r^{3}}}right]}}Kreisbahnen sind m\u00f6glich, wenn die effektive Kraft Null istF.=– –dV.dr=– –\u03bcc22r4[rsr2\u22122a2r+3rsa2]=0{ displaystyle F = – { frac {dV} {dr}} = – { frac { mu c ^ {2}} {2r ^ {4}}} left[r_{rm {s}}r^{2}-2a^{2}r+3r_{rm {s}}a^{2}right]= 0}dh wenn die beiden Anziehungskr\u00e4fte – die Newtonsche Schwerkraft (erster Term) und die f\u00fcr die allgemeine Relativit\u00e4tstheorie einzigartige Anziehungskraft (dritter Term) – durch die absto\u00dfende Zentrifugalkraft (zweiter Term) genau ausgeglichen werden. Es gibt zwei Radien, bei denen dieser Ausgleich auftreten kann, hier bezeichnet als rinnere und r\u00e4u\u00dferer\u00e4u\u00dfere=ein2rs(1+1– –3rs2ein2)rinnere=ein2rs(1– –1– –3rs2ein2)=3ein2r\u00e4u\u00dfere{ displaystyle { begin {align} r _ { text {\u00e4u\u00dfere}} & = { frac {a ^ {2}} {r _ { rm {s}}} left (1 + { sqrt {1 – { frac {3r _ { rm {s}} ^ {2}} {a ^ {2}}}} right) \\[3pt]r _ { text {inner}} & = { frac {a ^ {2}} {r _ { rm {s}}} left (1 – { sqrt {1 – { frac {3r _ { rm {s}} ^ {2}} {a ^ {2}}}} right) = { frac {3a ^ {2}} {r _ { text {\u00e4u\u00dfere}}} end {align}} }}die mit der quadratischen Formel erhalten werden. Der innere Radius rinnere ist instabil, weil sich die anziehende dritte Kraft viel schneller verst\u00e4rkt als die beiden anderen Kr\u00e4fte, wenn r wird klein; wenn das Partikel leicht nach innen rutscht rinnere (wo alle drei Kr\u00e4fte im Gleichgewicht sind), dominiert die dritte Kraft die beiden anderen und zieht das Teilchen unaufhaltsam nach innen r = 0. Am Au\u00dfenradius sind die Kreisbahnen jedoch stabil; Der dritte Term ist weniger wichtig und das System verh\u00e4lt sich eher wie das nicht-relativistische Kepler-Problem.Wann ein ist viel gr\u00f6\u00dfer als rs (der klassische Fall) werden diese Formeln ungef\u00e4hrr\u00e4u\u00dfere\u22482ein2rsrinnere\u224832rs{ displaystyle { begin {align} r _ { text {\u00e4u\u00dfere}} & approx { frac {2a ^ {2}} {r _ { rm {s}}} \\[3pt]r _ { text {inner}} & approx { frac {3} {2}} r _ { rm {s}} end {align}}} Die stabilen und instabilen Radien sind gegen den normalisierten Drehimpuls aufgetragen einrs=L.mcrs{ textstyle { frac {a} {r _ { text {s}}} = { frac {L} {mcr _ { text {s}}}} in blau bzw. rot. Diese Kurven treffen sich auf einer einzigartigen Kreisbahn (gr\u00fcner Kreis), wenn der normalisierte Drehimpuls der Quadratwurzel von drei entspricht. Zum Vergleich ist der klassische Radius, der aus der Zentripetalbeschleunigung und dem Newtonschen Gravitationsgesetz vorhergesagt wird, schwarz dargestellt.Ersetzen der Definitionen von ein und rs in r\u00e4u\u00dfere ergibt die klassische Formel f\u00fcr ein Massenteilchen m einen Massenk\u00f6rper umkreisen M..r\u00d6uter3=G(M.+m)\u03c9\u03c62{ displaystyle r _ { mathrm {\u00e4u\u00dfere}} ^ {3} = { frac {G (M + m)} { omega _ { varphi} ^ {2}}}}wo \u03c9\u03c6 ist die Umlaufwinkelgeschwindigkeit des Partikels. Diese Formel wird in der nicht-relativistischen Mechanik erhalten, indem die Zentrifugalkraft gleich der Newtonschen Gravitationskraft eingestellt wird:GM.mr2=\u03bc\u03c9\u03c62r{ displaystyle { frac {GMm} {r ^ {2}}} = mu omega _ { varphi} ^ {2} r}Wo \u03bc{ textstyle mu} ist die reduzierte Masse.In unserer Notation ist die klassische Umlaufwinkelgeschwindigkeit gleich\u03c9\u03c62\u2248GM.r\u00d6uter3=(rsc22r\u00d6uter3)=(rsc22)(rs38ein6)=c2rs416ein6{ displaystyle omega _ { varphi} ^ {2} approx { frac {GM} {r _ { mathrm {\u00e4u\u00dfere}} ^ {3}}} = left ({ frac {r _ { rm { s}} c ^ {2}} {2r _ { mathrm {\u00e4u\u00dfere}} ^ {3}}} rechts) = links ({ frac {r _ { rm {s}} c ^ {2}} { 2}} rechts) links ({ frac {r _ { rm {s}} ^ {3}} {8a ^ {6}}} rechts) = { frac {c ^ {2} r _ { rm {s}} ^ {4}} {16a ^ {6}}}Im anderen Extrem, wenn ein2 Ans\u00e4tze 3rs2 von oben konvergieren die beiden Radien zu einem einzigen Wertr\u00d6uter\u2248richnner\u22483rs{ displaystyle r _ { mathrm {\u00e4u\u00dfere}} ca. r _ { mathrm {innere}} ca. 3r _ { rm {s}}}Die obigen quadratischen L\u00f6sungen stellen dies sicher r\u00e4u\u00dfere ist immer gr\u00f6\u00dfer als 3rs, wohingegen rinnere liegt dazwischen3\u20442 rs und 3rs. Kreisbahnen kleiner als3\u20442 rs sind nicht m\u00f6glich. F\u00fcr masselose Partikel, ein geht ins Unendliche, was bedeutet, dass es eine kreisf\u00f6rmige Umlaufbahn f\u00fcr Photonen bei gibt rinnere =3\u20442\u202frs. Die Kugel dieses Radius wird manchmal als Photonenkugel bezeichnet.Pr\u00e4zession elliptischer Bahnen[edit] Im nicht-relativistischen Kepler-Problem folgt ein Teilchen ewig derselben perfekten Ellipse (rote Umlaufbahn). Die allgemeine Relativit\u00e4tstheorie f\u00fchrt eine dritte Kraft ein, die das Teilchen etwas st\u00e4rker anzieht als die Newtonsche Schwerkraft, insbesondere bei kleinen Radien. Diese dritte Kraft bewirkt, dass die elliptische Umlaufbahn des Partikels in Richtung seiner Drehung voranschreitet (Cyan-Umlaufbahn); Dieser Effekt wurde in Merkur, Venus und Erde gemessen. Der gelbe Punkt innerhalb der Umlaufbahnen stellt das Anziehungszentrum dar, z. B. die Sonne.Die Orbitalpr\u00e4zessionsrate kann unter Verwendung dieses radialen effektiven Potentials abgeleitet werden V.. Eine kleine radiale Abweichung von einer Kreisbahn mit Radius r\u00e4u\u00dfere schwingt stabil mit einer Winkelfrequenz\u03c9r2=1m[d2Vdr2]r=r\u00d6uter{ displaystyle omega _ {r} ^ {2} = { frac {1} {m}} left[{frac {d^{2}V}{dr^{2}}}right]_ {r = r _ { mathrm {\u00e4u\u00dfere}}}}was gleich ist\u03c9r2=(c2rs2r\u00d6uter4)(r\u00d6uter– –richnner)=\u03c9\u03c621– –3rs2ein2{ displaystyle omega _ {r} ^ {2} = left ({ frac {c ^ {2} r _ { rm {s}}} {2r _ { mathrm {\u00e4u\u00dfere}} ^ {4}}} rechts) links (r _ { mathrm {\u00e4u\u00dfere}} -r _ { mathrm {innere}} rechts) = omega _ { varphi} ^ {2} { sqrt {1 – { frac {3r_ { rm {s}} ^ {2}} {a ^ {2}}}}}Nehmen Sie die Quadratwurzel beider Seiten und f\u00fchren Sie eine Taylorreihen-Expansionsausbeute durch\u03c9r=\u03c9\u03c6[1\u22123rs24a2+O(rs4a4)]{ displaystyle omega _ {r} = omega _ { varphi} left[1-{frac {3r_{rm {s}}^{2}}{4a^{2}}}+{mathcal {O}}left({frac {r_{rm {s}}^{4}}{a^{4}}}right)right]}}Mit dem Zeitraum multiplizieren T. einer Umdrehung ergibt die Pr\u00e4zession der Umlaufbahn pro Umdrehung\u03b4\u03c6=T.(\u03c9\u03c6– –\u03c9r)\u22482\u03c0(3rs24ein2)=3\u03c0m2c22L.2rs2{ displaystyle delta varphi = T left ( omega _ { varphi} – omega _ {r} right) ca. 2 pi left ({ frac {3r _ { rm {s}} ^ {2}} {4a ^ {2}}} right) = { frac {3 pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} r _ { rm {s}} ^ {2}}wo wir verwendet haben \u03c9\u03c6T. = 2\u043f und die Definition der L\u00e4ngenskala ein. Ersetzen der Definition des Schwarzschild-Radius rs gibt\u03b4\u03c6\u22483\u03c0m2c22L.2(4G2M.2c4)=6\u03c0G2M.2m2c2L.2{ displaystyle delta varphi approx { frac {3 pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} left ({ frac {4G ^ {2} M ^ { 2. }}Dies kann unter Verwendung der Halbachse der elliptischen Umlaufbahn vereinfacht werden EIN und Exzentrizit\u00e4t e verwandt durch die Formelh2G(M.+m)=EIN(1– –e2){ displaystyle { frac {h ^ {2}} {G (M + m)}} = A left (1-e ^ {2} right)}den Pr\u00e4zessionswinkel geben\u03b4\u03c6\u22486\u03c0G(M.+m)c2EIN(1– –e2){ displaystyle delta varphi approx { frac {6 pi G (M + m)} {c ^ {2} A left (1-e ^ {2} right)}}}Mathematische Ableitungen der Orbitalgleichung[edit]Christoffel Symbole[edit]Die nicht verschwindenden Christoffel-Symbole f\u00fcr die Schwarzschild-Metrik sind:[7]\u0393rtt=– –\u0393rrr=rs2r(r– –rs)\u0393ttr=rs(r– –rs)2r3\u0393\u03d5\u03d5r=(rs– –r)S\u00fcnde2\u2061(\u03b8)\u0393\u03b8\u03b8r=rs– –r\u0393r\u03b8\u03b8=\u0393r\u03d5\u03d5=1r\u0393\u03d5\u03d5\u03b8=– –S\u00fcnde\u2061(\u03b8)cos\u2061(\u03b8)\u0393\u03b8\u03d5\u03d5=Kinderbett\u2061(\u03b8){ displaystyle { begin {align} Gamma _ {rt} ^ {t} = – Gamma _ {rr} ^ {r} & = { frac {r _ { rm {s}}} {2r (r -r _ { rm {s}})}} \\[3pt] Gamma _ {tt} ^ {r} & = { frac {r _ { rm {s}} (r-r _ { rm {s}})} {2r ^ {3}}} \\[3pt] Gamma _ { phi phi} ^ {r} & = (r _ { rm {s}} – r) sin ^ {2} ( theta) \\[3pt] Gamma _ { theta theta} ^ {r} & = r _ { rm {s}} – r \\[3pt] Gamma _ {r theta} ^ { theta} = Gamma _ {r phi} ^ { phi} & = { frac {1} {r}} \\[3pt] Gamma _ { phi phi} ^ { theta} & = – sin ( theta) cos ( theta) \\[3pt] Gamma _ { theta phi} ^ { phi} & = cot ( theta) end {align}}}Geod\u00e4tische Gleichung[edit]Nach Einsteins allgemeiner Relativit\u00e4tstheorie bewegen sich Teilchen vernachl\u00e4ssigbarer Masse in der Raumzeit entlang der Geod\u00e4ten. In der flachen Raumzeit, weit entfernt von einer Schwerkraftquelle, entsprechen diese Geod\u00e4ten geraden Linien; Sie k\u00f6nnen jedoch von geraden Linien abweichen, wenn die Raumzeit gekr\u00fcmmt ist. Die Gleichung f\u00fcr die geod\u00e4tischen Linien lautet[8]d2x\u03bbdq2+\u0393\u03bc\u03bd\u03bbdx\u03bcdqdx\u03bddq=0{ displaystyle { frac {d ^ {2} x ^ { lambda}} {dq ^ {2}}} + Gamma _ { mu nu} ^ { lambda} { frac {dx ^ { mu}} {dq}} { frac {dx ^ { nu}} {dq}} = 0}Dabei steht \u0393 f\u00fcr das Christoffel-Symbol und die Variable q{ textstyle q} parametrisiert den Weg des Teilchens durch die Raumzeit, seine sogenannte Weltlinie. Das Christoffel-Symbol h\u00e4ngt nur vom metrischen Tensor ab G\u03bc\u03bd{ textstyle g _ { mu nu}}oder vielmehr dar\u00fcber, wie es sich mit der Position \u00e4ndert. Die Variable q{ textstyle q} ist ein konstantes Vielfaches der richtigen Zeit \u03c4{ textstyle tau} f\u00fcr zeit\u00e4hnliche Umlaufbahnen (die von massiven Partikeln zur\u00fcckgelegt werden) und wird normalerweise als gleich angesehen. F\u00fcr licht\u00e4hnliche (oder Null-) Umlaufbahnen (die von masselosen Teilchen wie dem Photon zur\u00fcckgelegt werden) ist die richtige Zeit Null und kann streng genommen nicht als Variable verwendet werden q{ textstyle q}. Trotzdem k\u00f6nnen licht\u00e4hnliche Bahnen als ultrarelativistische Grenze zeitlicher Bahnen abgeleitet werden, dh als Grenze als Partikelmasse m geht auf Null, w\u00e4hrend die Gesamtenergie festgehalten wird.Um die Bewegung eines Teilchens zu l\u00f6sen, ist es daher am einfachsten, die geod\u00e4tische Gleichung zu l\u00f6sen, ein Ansatz, den Einstein gew\u00e4hlt hat[9] und andere.[10] Die Schwarzschild-Metrik kann wie folgt geschrieben werdenc2d\u03c42=w(r)c2dt2– –v(r)dr2– –r2d\u03b82– –r2S\u00fcnde2\u2061\u03b8d\u03d52{ displaystyle c ^ {2} d tau ^ {2} = w (r) c ^ {2} dt ^ {2} -v (r) dr ^ {2} -r ^ {2} d theta ^ {2} -r ^ {2} sin ^ {2} theta d phi ^ {2} ,}wo die beiden Funktionen w(r)=1– –rsr{ textstyle w (r) = 1 – { frac {r_ {s}} {r}}}und seine Gegenseitigkeit v(r)=1w(r){ textstyle v (r) = { frac {1} {w (r)}}}sind der K\u00fcrze halber definiert. Aus dieser Metrik ergeben sich die Christoffel-Symbole \u0393\u03bc\u03bd\u03bb{ textstyle Gamma _ { mu nu} ^ { lambda}}kann berechnet und die Ergebnisse in die geod\u00e4tischen Gleichungen eingesetzt werden0=d2\u03b8dq2+2rd\u03b8dqdrdq– –S\u00fcnde\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8(d\u03d5dq)20=d2\u03d5dq2+2rd\u03d5dqdrdq+2Kinderbett\u2061\u03b8d\u03d5dqd\u03b8dq0=d2tdq2+1wdwdrdtdqdrdq0=d2rdq2+12vdvdr(drdq)2– –rv(d\u03b8dq)2– –rS\u00fcnde2\u2061\u03b8v(d\u03d5dq)2+c22vdwdr(dtdq)2{ displaystyle { begin {align} 0 & = { frac {d ^ {2} theta} {dq ^ {2}}} + { frac {2} {r}} { frac {d theta} {dq}} { frac {dr} {dq}} – sin theta cos theta left ({ frac {d phi} {dq}} right) ^ {2} \\[3pt]0 & = { frac {d ^ {2} phi} {dq ^ {2}}} + { frac {2} {r}} { frac {d phi} {dq}} { frac {dr } {dq}} + 2 cot theta { frac {d phi} {dq}} { frac {d theta} {dq}} \\[3pt]0 & = { frac {d ^ {2} t} {dq ^ {2}}} + { frac {1} {w}} { frac {dw} {dr}} { frac {dt} {dq }} { frac {dr} {dq}} \\[3pt]0 & = { frac {d ^ {2} r} {dq ^ {2}}} + { frac {1} {2v}} { frac {dv} {dr}} left ({ frac {dr } {dq}} right) ^ {2} – { frac {r} {v}} left ({ frac {d theta} {dq}} right) ^ {2} – { frac { r sin ^ {2} theta} {v}} left ({ frac {d phi} {dq}} right) ^ {2} + { frac {c ^ {2}} {2v} } { frac {dw} {dr}} left ({ frac {dt} {dq}} right) ^ {2} end {align}}}Es kann \u00fcberpr\u00fcft werden, dass \u03b8=\u03c02{ textstyle theta = { frac { pi} {2}}}ist eine g\u00fcltige L\u00f6sung durch Substitution in die erste dieser vier Gleichungen. Aus Symmetriegr\u00fcnden muss die Umlaufbahn planar sein, und es steht uns frei, den Koordinatenrahmen so anzuordnen, dass die \u00c4quatorialebene die Ebene der Umlaufbahn ist. Dies \u03b8{ textstyle theta} L\u00f6sung vereinfacht die zweite und vierte Gleichung.Um die zweite und dritte Gleichung zu l\u00f6sen, reicht es aus, sie durch zu teilen d\u03d5dq{ textstyle { frac {d phi} {dq}}} und dtdq{ textstyle { frac {dt} {dq}}}, beziehungsweise.0=ddq[ln\u2061d\u03d5dq+ln\u2061r2]0=ddq[ln\u2061dtdq+ln\u2061w],{ displaystyle { begin {align} 0 & = { frac {d} {dq}} left[ln {frac {dphi }{dq}}+ln r^{2}right]\\[3pt]0 & = { frac {d} {dq}} left[ln {frac {dt}{dq}}+ln wright], end {align}}}was zwei Bewegungskonstanten ergibt.Lagrange-Ansatz[edit]Da Testpartikel der Geod\u00e4ten in einer festen Metrik folgen, k\u00f6nnen die Umlaufbahnen dieser Partikel mithilfe der Variationsrechnung bestimmt werden, die auch als Lagrange-Ansatz bezeichnet wird.[11] Geod\u00e4ten in Raum-Zeit werden als Kurven definiert, f\u00fcr die kleine lokale Variationen ihrer Koordinaten (w\u00e4hrend ihre Endpunktereignisse festgehalten werden) keine signifikante \u00c4nderung ihrer Gesamtl\u00e4nge bewirken s. Dies kann mathematisch unter Verwendung der Variationsrechnung ausgedr\u00fcckt werden0=\u03b4s=\u03b4\u222bds=\u03b4\u222bG\u03bc\u03bddx\u03bcd\u03c4dx\u03bdd\u03c4d\u03c4=\u03b4\u222b2T.d\u03c4{ displaystyle 0 = delta s = delta int ds = delta int { sqrt {g _ { mu nu} { frac {dx ^ { mu}} {d tau}} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}}} d tau = delta int { sqrt {2T}} d tau}wo \u03c4 ist die richtige Zeit, s = c\u03c4 ist die Bogenl\u00e4nge in Raum-Zeit und T. ist definiert als2T.=c2=(dsd\u03c4)2=G\u03bc\u03bddx\u03bcd\u03c4dx\u03bdd\u03c4=(1– –rsr)c2(dtd\u03c4)2– –11– –rsr(drd\u03c4)2– –r2(d\u03c6d\u03c4)2{ displaystyle 2T = c ^ {2} = left ({ frac {ds} {d tau}} right) ^ {2} = g _ { mu nu} { frac {dx ^ { mu }} {d tau}} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right ) c ^ {2} left ({ frac {dt} {d tau}} right) ^ {2} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}} } {r}}}} left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} -r ^ {2} left ({ frac {d varphi} {d tau) }} right) ^ {2}}in Analogie zur kinetischen Energie. Wenn die Ableitung in Bezug auf die richtige Zeit der K\u00fcrze halber durch einen Punkt dargestellt wirdx\u02d9\u03bc=dx\u03bcd\u03c4{ displaystyle { dot {x}} ^ { mu} = { frac {dx ^ { mu}} {d tau}}}T. kann geschrieben werden als2T.=c2=(1– –rsr)c2(t\u02d9)2– –11– –rsr(r\u02d9)2– –r2(\u03c6\u02d9)2{ displaystyle 2T = c ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} left ({ dot {t} } right) ^ {2} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} left ({ dot {r}} right) ^ {2} -r ^ {2} left ({ dot { varphi}} right) ^ {2}}Konstante Faktoren (wie z c oder die Quadratwurzel von zwei) beeinflussen die Antwort auf das Variationsproblem nicht; Daher ergibt die Variation innerhalb des Integrals das Hamilton-Prinzip0=\u03b4\u222b2T.d\u03c4=\u222b\u03b4T.2T.d\u03c4=1c\u03b4\u222bT.d\u03c4.{ displaystyle 0 = delta int { sqrt {2T}} d tau = int { frac { delta T} { sqrt {2T}}} d tau = { frac {1} {c }} delta int Td tau.}Die L\u00f6sung des Variationsproblems ergibt sich aus den Lagrange-Gleichungendd\u03c4(\u2202T.\u2202x\u02d9\u03c3)=\u2202T.\u2202x\u03c3.{ displaystyle { frac {d} {d tau}} left ({ frac { partielles T} { partielles { dot {x}} ^ { sigma}}} right) = { frac { partielles T} { partielles x ^ { sigma}}}.}Bei Anwendung auf t und \u03c6Diese Gleichungen zeigen zwei Bewegungskonstantendd\u03c4[r2d\u03c6d\u03c4]=0,dd\u03c4[(1\u2212rsr)dtd\u03c4]=0,{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {d tau}} left[r^{2}{frac {dvarphi }{dtau }}right]& = 0, \\ { frac {d} {d tau}} left[left(1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}right){frac {dt}{dtau }}right]& = 0, end {align}}}was in Form von zwei konstanten L\u00e4ngenskalen ausgedr\u00fcckt werden kann, ein{ textstyle a} und b{ textstyle b}r2d\u03c6d\u03c4=einc,(1– –rsr)dtd\u03c4=einb.{ displaystyle { begin {align} r ^ {2} { frac {d varphi} {d tau}} & = ac, \\ left (1 – { frac {r _ { rm {s} }} {r}} right) { frac {dt} {d tau}} & = { frac {a} {b}}. end {align}}}Wie oben gezeigt, ergibt die Substitution dieser Gleichungen in die Definition der Schwarzschild-Metrik die Gleichung f\u00fcr die Umlaufbahn.Hamilton-Ansatz[edit]Eine Lagrange-L\u00f6sung kann in eine \u00e4quivalente Hamilton-Form umgewandelt werden.[12] In diesem Fall der Hamiltonianer H.{ displaystyle H} ist gegeben durch2H.=c2=pt2c2(1– –rsr)– –(1– –rsr)pr2– –p\u03b82r2– –p\u03c62r2S\u00fcnde2\u2061\u03b8{ displaystyle 2H = c ^ {2} = { frac {p_ {t} ^ {2}} {c ^ {2} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r }} rechts)}} – links (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) p_ {r} ^ {2} – { frac {p _ { theta } ^ {2}} {r ^ {2}}} – { frac {p _ { varphi} ^ {2}} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}}}Auch hier kann die Umlaufbahn auf beschr\u00e4nkt sein \u03b8=\u03c02{ textstyle theta = { frac { pi} {2}}}durch Symmetrie. Schon seit t{ textstyle t} und \u03c6{ textstyle varphi} erscheinen nicht im Hamilton-Operator, ihre konjugierten Impulse sind konstant; Sie k\u00f6nnen als Lichtgeschwindigkeit ausgedr\u00fcckt werden c{ textstyle c} und zwei konstante L\u00e4ngenskalen ein{ textstyle a} und b{ textstyle b}p\u03c6=– –eincp\u03b8=0pt=einc2b{ displaystyle { begin {align} p _ { varphi} & = – ac \\ p _ { theta} & = 0 \\ p_ {t} & = { frac {ac ^ {2}} {b}} end {align}}}Die Ableitungen bez\u00fcglich der richtigen Zeit sind gegeben durchdrd\u03c4=\u2202H.\u2202pr=– –(1– –rsr)prd\u03c6d\u03c4=\u2202H.\u2202p\u03c6=– –p\u03c6r2=eincr2dtd\u03c4=\u2202H.\u2202pt=ptc2(1– –rsr)=einb(1– –rsr){ displaystyle { begin {align} { frac {dr} {d tau}} & = { frac { partielles H} { partielles p_ {r}}} = – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) p_ {r} \\ { frac {d varphi} {d tau}} & = { frac { partielles H} { partielles p _ { varphi}}} = { frac {-p _ { varphi}} {r ^ {2}}} = { frac {ac} {r ^ {2}}} \\ { frac {dt} {d tau}} & = { frac { partielles H} { partielles p_ {t}}} = { frac {p_ {t}} {c ^ {2} left (1 – { frac { r _ { rm {s}}} {r}} right)}} = { frac {a} {b left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts)}} end {align}}}Das Teilen der ersten Gleichung durch die zweite ergibt die Orbitalgleichungdrd\u03c6=– –r2einc(1– –rsr)pr{ displaystyle { frac {dr} {d varphi}} = – { frac {r ^ {2}} {ac}} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} { r}} right) p_ {r}}Der radiale Impuls pr kann ausgedr\u00fcckt werden in Form von r unter Verwendung der Konstanz des Hamiltonian H.=c22{ textstyle H = { frac {c ^ {2}} {2}}};; Dies ergibt die grundlegende Orbitalgleichung(drd\u03c6)2=r4b2– –(1– –rsr)(r4ein2+r2){ displaystyle left ({ frac {dr} {d varphi}} right) ^ {2} = { frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} – left (1- { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} right) }}Hamilton-Jacobi-Ansatz[edit] Biegen von Wellen in einem Gravitationsfeld. Aufgrund der Schwerkraft vergeht die Zeit unten langsamer als oben, wodurch sich die Wellenfronten (schwarz dargestellt) allm\u00e4hlich nach unten biegen. Der gr\u00fcne Pfeil zeigt die Richtung der scheinbaren “Gravitationsanziehung”.Die Orbitalgleichung kann aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung abgeleitet werden.[13] Der Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass er die Bewegung des Teilchens mit der Ausbreitung einer Welle gleichsetzt und durch das Fermat-Prinzip sauber zur Ableitung der Ablenkung von Licht durch die Schwerkraft in der allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie f\u00fchrt. Die Grundidee ist, dass sich Teile einer Wellenfront, die n\u00e4her an einer Gravitationsmasse liegen, aufgrund der Gravitationsverlangsamung der Zeit langsamer bewegen als Teile weiter entfernt, wodurch die Ausbreitungsrichtung der Wellenfront gebogen wird.Unter Verwendung der allgemeinen Kovarianz kann die Hamilton-Jacobi-Gleichung f\u00fcr ein einzelnes Teilchen mit Einheitsmasse in beliebigen Koordinaten ausgedr\u00fcckt werden alsG\u03bc\u03bd\u2202S.\u2202x\u03bc\u2202S.\u2202x\u03bd=c2.{ displaystyle g ^ { mu nu} { frac { partielles S} { partielles x ^ { mu}}} { frac { partielles S} { partielles x ^ { nu}}} = c ^ {2}.}Dies entspricht der obigen Hamilton-Formulierung, wobei die partiellen Ableitungen der Wirkung die verallgemeinerten Impulse ersetzen. Verwendung der Schwarzschild-Metrik G\u03bc\u03bdwird diese Gleichung1c2(1– –rsr)(\u2202S.\u2202t)2– –(1– –rsr)(\u2202S.\u2202r)2– –1r2(\u2202S.\u2202\u03c6)2=c2{ displaystyle { frac {1} {c ^ {2} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right)}} left ({ frac { partielles S} { partielles t}} rechts) ^ {2} – links (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) links ({ frac { partielles S} { partielles r}} rechts) ^ {2} – { frac {1} {r ^ {2}}} links ({ frac { partielles S} { partielles varphi}} rechts) ^ {2} = c ^ {2}}wo wir wieder das sph\u00e4rische Koordinatensystem mit der Ebene der Umlaufbahn ausrichten. Die Zeit t und Azimutwinkel \u03c6 sind zyklische Koordinaten, so dass die L\u00f6sung f\u00fcr Hamiltons Hauptfunktion S. kann geschrieben werdenS.=– –ptt+p\u03c6\u03c6+S.r(r){ displaystyle S = -p_ {t} t + p _ { varphi} varphi + S_ {r} (r) ,}wo pt und p\u03c6 sind die konstanten verallgemeinerten Impulse. Die Hamilton-Jacobi-Gleichung liefert eine integrale L\u00f6sung f\u00fcr den radialen Teil S.r(r)S.r(r)=\u222brdr1– –rsrpt2c2– –(1– –rsr)(c2+p\u03c62r2).{ displaystyle S_ {r} (r) = int ^ {r} { frac {dr} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} { sqrt {{ frac {p_ {t} ^ {2}} {c ^ {2}}} – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left (c ^ {2} + { frac {p _ { varphi} ^ {2}} {r ^ {2}}} right)}}.}Nehmen Sie die Ableitung von Hamiltons Hauptfunktion S. in Bezug auf die konservierte Dynamik p\u03c6 ergibt\u2202S.\u2202p\u03c6=\u03c6+\u2202S.r\u2202p\u03c6=c\u00d6nsteinnt{ displaystyle { frac { partielles S} { partielles p _ { varphi}} = varphi + { frac { partielles S_ {r}} { partielles p _ { varphi}} = mathrm { Konstante}}was gleich ist\u03c6– –\u222brp\u03c6drr2pt2c2– –(1– –rsr)(c2+p\u03c62r2)=c\u00d6nsteinnt{ displaystyle varphi – int ^ {r} { frac {p _ { varphi} dr} {r ^ {2} { sqrt {{ frac {p_ {t} ^ {2}} {c ^ { 2}}} – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left (c ^ {2} + { frac {p _ { varphi} ^ { 2}} {r ^ {2}}} right)}}} = mathrm {Konstante}}Nehmen Sie eine infinitesimale Variation in \u03c6 und r ergibt die fundamentale Orbitalgleichung(drd\u03c6)2=r4b2– –(1– –rsr)(r4ein2+r2).{ displaystyle left ({ frac {dr} {d varphi}} right) ^ {2} = { frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} – left (1- { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} right) .}wo die konservierten L\u00e4ngenskalen ein und b werden durch die konservierten Impulse durch die Gleichungen definiert\u2202S.\u2202\u03c6=p\u03c6=– –einc\u2202S.\u2202t=pt=einc2b{ displaystyle { begin {align} { frac { partielles S} { partielles varphi}} = p _ { varphi} & = – ac \\ { frac { partielles S} { partielles t}} = p_ {t} & = { frac {ac ^ {2}} {b}} end {align}}}Hamiltons Prinzip[edit]Das Aktionsintegral f\u00fcr ein Teilchen, das nur von der Schwerkraft beeinflusst wird, istS.=\u222b– –mc2d\u03c4=– –mc\u222bcd\u03c4dqdq=– –mc\u222b– –G\u03bc\u03bddx\u03bcdqdx\u03bddqdq{ displaystyle S = int {-mc ^ {2} d tau} = – mc int {c { frac {d tau} {dq}} dq} = – mc int {{ sqrt {- g _ { mu nu} { frac {dx ^ { mu}} {dq}} { frac {dx ^ { nu}} {dq}}} dq}}wo \u03c4{ textstyle tau} ist die richtige Zeit und q{ textstyle q} ist eine reibungslose Parametrisierung der Weltlinie des Partikels. Wenn man die Variationsrechnung darauf anwendet, erh\u00e4lt man wieder die Gleichungen f\u00fcr eine Geod\u00e4t. Um die Berechnungen zu vereinfachen, nimmt man zun\u00e4chst die Variation des Quadrats des Integranden. F\u00fcr die Metrik und Koordinaten dieses Falles und unter der Annahme, dass sich das Teilchen in der \u00c4quatorialebene bewegt \u03b8=\u03c02{ textstyle theta = { frac { pi} {2}}}ist dieses Quadrat(cd\u03c4dq)2=– –G\u03bc\u03bddx\u03bcdqdx\u03bddq=(1– –rsr)c2(dtdq)2– –11– –rsr(drdq)2– –r2(d\u03c6dq)2.{ displaystyle left (c { frac {d tau} {dq}} right) ^ {2} = – g _ { mu nu} { frac {dx ^ { mu}} {dq}} { frac {dx ^ { nu}} {dq}} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} left ({ frac {dt} {dq}} right) ^ {2} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} left ({ frac {dr} {dq}} right) ^ {2} -r ^ {2} left ({ frac {d varphi} {dq}} right) ^ {2} ,.}Eine Variation davon ergibt sich\u03b4(cd\u03c4dq)2=2c2d\u03c4dq\u03b4d\u03c4dq=\u03b4[(1\u2212rsr)c2(dtdq)2\u221211\u2212rsr(drdq)2\u2212r2(d\u03c6dq)2].{ displaystyle delta left (c { frac {d tau} {dq}} right) ^ {2} = 2c ^ {2} { frac {d tau} {dq}} delta { frac {d tau} {dq}} = delta left[left(1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}right)c^{2}left({frac {dt}{dq}}right)^{2}-{frac {1}{1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}}}left({frac {dr}{dq}}right)^{2}-r^{2}left({frac {dvarphi }{dq}}right)^{2}right],.}Bewegung in L\u00e4ngengrad[edit]Variieren Sie in Bezug auf die L\u00e4nge \u03c6{ textstyle varphi} nur um zu bekommen2c2d\u03c4dq\u03b4d\u03c4dq=– –2r2d\u03c6dq\u03b4d\u03c6dq.{ displaystyle 2c ^ {2} { frac {d tau} {dq}} delta { frac {d tau} {dq}} = – 2r ^ {2} { frac {d varphi} { dq}} delta { frac {d varphi} {dq}} ,.}Teilen durch 2cd\u03c4dq{ textstyle 2c { frac {d tau} {dq}}} um die Variation des Integranden selbst zu erhaltenc\u03b4d\u03c4dq=– –r2cd\u03c6d\u03c4\u03b4d\u03c6dq=– –r2cd\u03c6d\u03c4d\u03b4\u03c6dq.{ displaystyle c , delta { frac {d tau} {dq}} = – { frac {r ^ {2}} {c}} { frac {d varphi} {d tau}} delta { frac {d varphi} {dq}} = – { frac {r ^ {2}} {c}} { frac {d varphi} {d tau}} { frac {d delta varphi} {dq}} ,.}So0=\u03b4\u222bcd\u03c4dqdq=\u222bc\u03b4d\u03c4dqdq=\u222b– –r2cd\u03c6d\u03c4d\u03b4\u03c6dqdq.{ displaystyle 0 = delta int {c { frac {d tau} {dq}} dq} = int {c delta { frac {d tau} {dq}} dq} = int { – { frac {r ^ {2}} {c}} { frac {d varphi} {d tau}} { frac {d delta varphi} {dq}} dq} ,.}Teilintegration ergibt0=– –r2cd\u03c6d\u03c4\u03b4\u03c6– –\u222bddq[\u2212r2cd\u03c6d\u03c4]\u03b4\u03c6dq.{ displaystyle 0 = – { frac {r ^ {2}} {c}} { frac {d varphi} {d tau}} delta varphi – int {{ frac {d} {dq }}links[-{frac {r^{2}}{c}}{frac {dvarphi }{dtau }}right] delta varphi dq} ,.}Die Variation des L\u00e4ngengrads wird an den Endpunkten als Null angenommen, sodass der erste Term verschwindet. Das Integral kann durch eine perverse Wahl von ungleich Null gemacht werden \u03b4\u03c6{ textstyle delta varphi} es sei denn, der andere Faktor im Inneren ist \u00fcberall Null. Die Bewegungsgleichung lautet alsoddq[\u2212r2cd\u03c6d\u03c4]=0.{ displaystyle { frac {d} {dq}} left[-{frac {r^{2}}{c}}{frac {dvarphi }{dtau }}right]= 0 ,.}Bewegung in der Zeit[edit]Variieren Sie in Bezug auf die Zeit t{ textstyle t} nur um zu bekommen2c2d\u03c4dq\u03b4d\u03c4dq=2(1– –rsr)c2dtdq\u03b4dtdq.{ displaystyle 2c ^ {2} { frac {d tau} {dq}} delta { frac {d tau} {dq}} = 2 left (1 – { frac {r _ { rm { s}}} {r}} right) c ^ {2} { frac {dt} {dq}} delta { frac {dt} {dq}} ,.}Teilen durch 2cd\u03c4dq{ textstyle 2c { frac {d tau} {dq}}} um die Variation des Integranden selbst zu erhaltenc\u03b4d\u03c4dq=c(1– –rsr)dtd\u03c4\u03b4dtdq=c(1– –rsr)dtd\u03c4d\u03b4tdq.{ displaystyle c delta { frac {d tau} {dq}} = c left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { frac {dt } {d tau}} delta { frac {dt} {dq}} = c left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { frac { dt} {d tau}} { frac {d delta t} {dq}} ,.}So0=\u03b4\u222bcd\u03c4dqdq=\u222bc(1– –rsr)dtd\u03c4d\u03b4tdqdq.{ displaystyle 0 = delta int {c { frac {d tau} {dq}} dq} = int {c left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r }} right) { frac {dt} {d tau}} { frac {d delta t} {dq}} dq} ,.}Teilintegration ergibt0=c(1– –rsr)dtd\u03c4\u03b4t– –\u222bddq[c(1\u2212rsr)dtd\u03c4]\u03b4tdq.{ displaystyle 0 = c left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { frac {dt} {d tau}} delta t- int { { frac {d} {dq}} left[cleft(1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}right){frac {dt}{dtau }}right] delta tdq} ,.}Die Bewegungsgleichung lautet alsoddq[c(1\u2212rsr)dtd\u03c4]=0.{ displaystyle { frac {d} {dq}} left[cleft(1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}right){frac {dt}{dtau }}right]= 0 ,.}Erhaltene Impulse[edit]Integrieren Sie diese Bewegungsgleichungen, um die Konstanten des Integrationsabrufs zu bestimmenL.=p\u03d5=mr2d\u03c6d\u03c4,E.=– –pt=mc2(1– –rsr)dtd\u03c4.{ displaystyle { begin {align} L = p _ { phi} & = mr ^ {2} { frac {d varphi} {d tau}} ,, \\ E = -p_ {t} & = mc ^ {2} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { frac {dt} {d tau}} ,. end {ausgerichtet }}}Diese beiden Gleichungen f\u00fcr die Bewegungskonstanten L.{ textstyle L} (Drehimpuls) und E.{ textstyle E} (Energie) kann kombiniert werden, um eine Gleichung zu bilden, die selbst f\u00fcr Photonen und andere masselose Teilchen gilt, f\u00fcr die die richtige Zeit entlang einer Geod\u00e4t Null ist.d\u03c6dt=(1– –rsr)L.c2E.r2.{ displaystyle { frac {d varphi} {dt}} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { frac {L , c ^ {2}} {E , r ^ {2}}} ,.}Radiale Bewegung[edit]Ersetzend\u03c6d\u03c4=L.mr2{ displaystyle { frac {d varphi} {d tau}} = { frac {L} {m , r ^ {2}}} ,}unddtd\u03c4=E.(1– –rsr)mc2{ displaystyle { frac {dt} {d tau}} = { frac {E} { left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) m , c ^ {2}}} ,}in die metrische Gleichung (und mit \u03b8=\u03c02{ textstyle theta = { frac { pi} {2}}}) gibtc2=11– –rsrE.2m2c2– –11– –rsr(drd\u03c4)2– –1r2L.2m2,{ displaystyle c ^ {2} = { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} , { frac {E ^ {2}} { m ^ {2} c ^ {2}}} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} – { frac {1} {r ^ {2}}} , { frac {L ^ {2}} {m ^ {2}}} , ,}woraus man ableiten kann(drd\u03c4)2=E.2m2c2– –(1– –rsr)(c2+L.2m2r2),{ displaystyle { left ({ frac {dr} {d tau}} right)} ^ {2} = { frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}} } – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left (c ^ {2} + { frac {L ^ {2}} {m ^ { 2} r ^ {2}}} right) ,,}Welches ist die Bewegungsgleichung f\u00fcr r{ textstyle r}. Die Abh\u00e4ngigkeit von r{ textstyle r} auf \u03c6{ textstyle varphi} kann durch Teilen durch gefunden werden(d\u03c6d\u03c4)2=L.2m2r4{ displaystyle { left ({ frac {d varphi} {d tau}} right)} ^ {2} = { frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {4 }}}}bekommen(drd\u03c6)2=E.2r4L.2c2– –(1– –rsr)(m2c2r4L.2+r2){ displaystyle { left ({ frac {dr} {d varphi}} right)} ^ {2} = { frac {E ^ {2} r ^ {4}} {L ^ {2} c ^ {2}}} – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {m ^ {2} c ^ {2} r ^ {4}} {L ^ {2}}} + r ^ {2} right) ,}Das gilt auch f\u00fcr Partikel ohne Masse. Wenn L\u00e4ngenskalen definiert sind durchein=L.mc{ displaystyle a = { frac {L} {m , c}}}undb=L.cE.,{ displaystyle b = { frac {L , c} {E}} ,,}dann die Abh\u00e4ngigkeit von r{ textstyle r} auf \u03c6{ textstyle varphi} vereinfacht zu(drd\u03c6)2=r4b2– –(1– –rsr)(r4ein2+r2).{ displaystyle { left ({ frac {dr} {d varphi}} right)} ^ {2} = { frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} – left ( 1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} richtig),.}Siehe auch[edit]^ Diese Substitution von u zum r ist auch bei klassischen Problemen der zentralen Kraft \u00fcblich, da es diese Gleichungen auch leichter zu l\u00f6sen macht. Weitere Informationen finden Sie im Artikel zum klassischen Problem der zentralen Kraft.^ In der mathematischen Literatur K. ist bekannt als die komplettes elliptisches Integral der ersten Art;; Weitere Informationen finden Sie im Artikel \u00fcber elliptische Integrale.Verweise[edit]^ Landau und Lifshitz, S. 299\u2013301.^ Whittaker 1937.^ Landau und Lifshitz (1975), S. 306\u2013309.^ Gibbons und Vyska, “Die Anwendung elliptischer Funktionen von Weierstrass auf Schwarzschild-Null-Geod\u00e4ten”, https:\/\/arxiv.org\/abs\/1110.6508^ Synge, S. 294\u2013295.^ arXiv.org: gr-qc \/ 9907034v1.^ Sean Carroll: Vorlesungsunterlagen zur Allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie, Kapitel 7, Gl. 7.33^ Weinberg, p. 122.^ Einstein, S. 95\u201396.^ Weinberg, S. 185\u2013188; Wald, S. 138\u2013139.^ Synge, S. 290\u2013292; Adler, Bazin und Schiffer, S. 179\u2013182; Whittaker, S. 390\u2013393; Pauli, p. 167.^ Lanczos, S. 331\u2013338.^ Landau und Lifshitz, S. 306\u2013307; Misner, Thorne und Wheeler, S. 636\u2013679.Literaturverzeichnis[edit]Schwarzschild, K. (1916). \u00dcber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein’schen Theorie. Sitzungsberichte der K\u00f6niglich Preu\u00dfischen Akademie der Wissenschaften 1189\u2013196.Schwarzschild, K. (1916). \u00dcber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Handlungen. Sitzungsberichte der K\u00f6niglich Preu\u00dfischen Akademie der Wissenschaften 1424- & agr;.Flamm, L. (1916). “Beitr\u00e4ge zur Einstein’schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift. 17: 448\u2013?.Adler, R; Bazin M; Schiffer M (1965). Einf\u00fchrung in die Allgemeine Relativit\u00e4tstheorie. New York: McGraw-Hill Book Company. pp. 177\u2013193. ISBN 978-0-07-000420-7.Einstein, A (1956). Die Bedeutung der Relativit\u00e4tstheorie (5. Aufl.). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 92\u201397. ISBN 978-0-691-02352-6.Hagihara, Y (1931). “Theorie der relativistischen Trajektorien in einem Gravitationsfeld von Schwarzschild”. Japanisches Journal f\u00fcr Astronomie und Geophysik. 8: 67\u2013176. ISSN 0368-346X.Lanczos, C (1986). Die Variationsprinzipien der Mechanik (4. Aufl.). New York: Dover-Ver\u00f6ffentlichungen. S. 330\u2013338. ISBN 978-0-486-65067-8.Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). Die klassische Feldtheorie. Kurs der Theoretischen Physik. Vol. 2 (\u00fcberarbeitete 4. englische Ausgabe). New York: Pergamonpresse. S. 299\u2013309. ISBN 978-0-08-018176-9.Misner, CW; Thorne, K & amp; Wheeler, JA (1973). Gravitation. San Francisco: WH Freeman. S. Kapitel 25 (S. 636\u2013687), \u00a733.5 (S. 897\u2013901) und \u00a740.5 (S. 1110\u20131116). ISBN 978-0-7167-0344-0. (Siehe Gravitation (Buch).)Pais, A. (1982). Subtil ist der Herr: Die Wissenschaft und das Leben von Albert Einstein. Oxford University Press. pp. 253\u2013256. ISBN 0-19-520438-7.Pauli, W. (1958). Relativit\u00e4tstheorie. \u00dcbersetzt von G. Field. New York: Dover-Ver\u00f6ffentlichungen. pp. 40\u201341, 166\u2013169. ISBN 978-0-486-64152-2.Rindler, W. (1977). Wesentliche Relativit\u00e4tstheorie: Speziell, allgemein und kosmologisch (\u00fcberarbeitete 2. Aufl.). New York: Springer Verlag. pp. 143\u2013149. ISBN 978-0-387-10090-6.Roseveare, N. T. (1982). Merkurs Perihel von Leverrier bis Einstein. Oxford: Universit\u00e4tspresse. ISBN 0-19-858174-2.Externe Links[edit]Auszug von \u00dcberlegungen zur Relativit\u00e4tstheorie von Kevin Brown."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki7\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki7\/2020\/12\/03\/schwarzschild-geodaten-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Schwarzschild Geod\u00e4ten – Wikipedia"}}]}]