Teilchenpfade in der Schwarzschild-Lösung zu Einsteins Feldgleichungen

Im Allgemeinen Relativitätstheorie, Schwarzschild Geodäten beschreiben die Bewegung von Teilchen infinitesimaler Masse im Gravitationsfeld einer zentralen festen Masse

. Die Schwarzschild-Geodäten waren ausschlaggebend für die Validierung von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie. Zum Beispiel liefern sie genaue Vorhersagen über die anomale Präzession der Planeten im Sonnensystem und über die Ablenkung des Lichts durch die Schwerkraft.

Die Schwarzschild-Geodäten beziehen sich nur auf die Bewegung von Teilchen mit infinitesimaler Masse

dh Teilchen, die selbst nicht zum Gravitationsfeld beitragen. Sie sind jedoch sehr genau, vorausgesetzt, dass

ist um ein Vielfaches kleiner als die zentrale Masse

zB für Planeten, die ihre Sonne umkreisen. Die Schwarzschild-Geodäten sind auch eine gute Annäherung an die Relativbewegung zweier Körper beliebiger Masse, vorausgesetzt, die Schwarzschild-Masse

wird gleich der Summe der beiden Einzelmassen gesetzt

und

. Dies ist wichtig für die Vorhersage der Bewegung von Doppelsternen in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Historischer Zusammenhang[edit]

Die Schwarzschild-Metrik wurde zu Ehren ihres Entdeckers Karl Schwarzschild benannt, der die Lösung 1915 fand, nur etwa einen Monat nach der Veröffentlichung von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie. Es war die erste exakte Lösung der Einstein-Feldgleichungen außer der trivialen Flachraumlösung.

Schwarzschild-Metrik[edit]

Eine exakte Lösung für die Einstein-Feldgleichungen ist die Schwarzschild-Metrik, die dem äußeren Gravitationsfeld eines ungeladenen, nicht rotierenden, sphärisch symmetrischen Massenkörpers entspricht

. Die Schwarzschild-Lösung kann wie folgt geschrieben werden^[1]

${ displaystyle c ^ {2} {d tau} ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} dt ^ {2} – { frac {dr ^ {2}} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} – r ^ {2} d theta ^ {2} – r ^ {2} sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2}}$

wo

${ displaystyle tau}$

ist die richtige Zeit (Zeit gemessen von einer Uhr, die sich mit dem Teilchen bewegt) in Sekunden,

${ displaystyle c}$

ist die Lichtgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde,

${ displaystyle t}$

ist die Zeitkoordinate (Zeit gemessen von einer stationären Uhr im Unendlichen) in Sekunden,

${ displaystyle r}$

ist die Radialkoordinate (Umfang eines Kreises, der am Stern zentriert ist, geteilt durch

${ displaystyle 2 pi}$

) in Metern,

${ displaystyle theta}$

ist die Kolatitude (Winkel von Norden) im Bogenmaß,

${ displaystyle varphi}$

ist die Länge im Bogenmaß und

${ displaystyle r_ {s}}$

ist der Schwarzschild-Radius des massiven Körpers (in Metern), der mit seiner Masse zusammenhängt

${ textstyle M}$

durch

${ displaystyle r _ { rm {s}} = { frac {2GM} {c ^ {2}}},}$

wo

${ textstyle G}$

ist die Gravitationskonstante. Die klassische Newtonsche Gravitationstheorie wird in der Grenze als Verhältnis wiederhergestellt

${ textstyle { frac {r_ {s}} {r}}}$

geht auf Null. In dieser Grenze kehrt die Metrik zu der durch die spezielle Relativitätstheorie definierten zurück.

In der Praxis ist dieses Verhältnis fast immer extrem klein. Zum Beispiel der Schwarzschild-Radius

der Erde ist ungefähr 9 mm (³⁄₈ Zoll); An der Erdoberfläche betragen die Korrekturen der Newtonschen Schwerkraft nur einen Teil einer Milliarde. Der Schwarzschild-Radius der Sonne ist viel größer, ungefähr 2953 Meter, aber an seiner Oberfläche das Verhältnis

ist ungefähr 4 Teile in einer Million. Ein weißer Zwergstern ist viel dichter, aber selbst hier beträgt das Verhältnis an seiner Oberfläche ungefähr 250 Teile in einer Million. Das Verhältnis wird nur in der Nähe von ultradichten Objekten wie Neutronensternen (wo das Verhältnis ungefähr 50% beträgt) und Schwarzen Löchern groß.

Bahnen von Testpartikeln[edit]

Vergleich zwischen der Umlaufbahn eines Testteilchens in der Raumzeit nach Newton (links) und Schwarzschild (rechts); Beachten Sie die Apsidenpräzession rechts.

Wir können das Problem vereinfachen, indem wir Symmetrie verwenden, um eine Variable von der Betrachtung auszuschließen. Da die Schwarzschild-Metrik etwa symmetrisch ist

Jede Geodät, die sich in dieser Ebene zu bewegen beginnt, bleibt auf unbestimmte Zeit in dieser Ebene (die Ebene ist vollständig geodätisch). Daher richten wir das Koordinatensystem so aus, dass die Umlaufbahn des Partikels in dieser Ebene liegt, und fixieren das

koordinieren zu sein

so dass sich die Metrik (dieser Ebene) vereinfacht

${ displaystyle c ^ {2} d tau ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} dt ^ {2 } – { frac {dr ^ {2}} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} – r ^ {2} d varphi ^ {2}.}$

Zwei Bewegungskonstanten (Werte, die sich im Laufe der Zeit nicht ändern

) identifiziert werden können (vgl. die unten angegebene Ableitung). Eins ist die Gesamtenergie

::

${ displaystyle left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { frac {dt} {d tau}} = { frac {E} {mc ^ {2}}}.}$

und der andere ist der spezifische Drehimpuls:

${ displaystyle h = { frac {L} { mu}} = r ^ {2} { frac {d varphi} {d tau}},}$

wobei L der Gesamtdrehimpuls der beiden Körper ist und

ist die reduzierte Masse. Wann

ist die reduzierte Masse ungefähr gleich

. Manchmal wird das angenommen

. Im Fall des Planeten Merkur führt diese Vereinfachung zu einem Fehler, der mehr als doppelt so groß ist wie der relativistische Effekt. Bei der Diskussion über Geodäten

kann als fiktiv angesehen werden, und was zählt, sind die Konstanten

und

. Um alle möglichen Geodäten abzudecken, müssen wir Fälle berücksichtigen, in denen

ist unendlich (Trajektorien von Photonen) oder imaginär (für tachyonische Geodäten). Für den photonischen Fall müssen wir auch eine Zahl angeben, die dem Verhältnis der beiden Konstanten entspricht, nämlich

, die Null oder eine reelle Zahl ungleich Null sein kann.

Einsetzen dieser Konstanten in die Definition der Schwarzschild-Metrik

${ displaystyle c ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} left ({ frac {dt} {d tau}} right) ^ {2} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} left ({ frac {dr} { d tau}} right) ^ {2} -r ^ {2} left ({ frac {d varphi} {d tau}} right) ^ {2},}$

ergibt eine Bewegungsgleichung für den Radius als Funktion der richtigen Zeit

::

${ displaystyle left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} = { frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left (c ^ {2} + { frac {h ^ {2}} {r ^ {2} }}richtig).}$

Die formale Lösung hierfür ist

${ displaystyle tau = int { frac {dr} { pm { sqrt {{ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} – left (1- { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left (c ^ {2} + { frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} right) }}}}.}$

Beachten Sie, dass die Quadratwurzel für die tachyonische Geodäsie imaginär ist.

Verwenden Sie die Beziehung höher zwischen

und

können wir auch schreiben

${ displaystyle t = int { frac {dr} { pm c left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) { sqrt {1- left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) left (c ^ {2} + { frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} right) { frac {m ^ {2} c ^ {2}} {E ^ {2}}}}}}.}$

Da asymptotisch ist der Integrand umgekehrt proportional zu

Dies zeigt, dass in der

Bezugsrahmen wenn

nähert sich

es tut dies exponentiell, ohne es jemals zu erreichen. In Abhängigkeit von

,

erreicht

.

Die obigen Lösungen sind gültig, solange der Integrand endlich ist, aber eine Gesamtlösung kann zwei oder unendlich viele Teile umfassen, die jeweils durch das Integral beschrieben werden, jedoch mit abwechselnden Vorzeichen für die Quadratwurzel.

Wann

und

können wir lösen für

und

ausdrücklich:

${ displaystyle { begin {align} t & = { text {constante}} pm { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ({ frac {2} {3}} left ({ frac {r} {r _ { rm {s}}} right) ^ { frac {3} {2}} + 2 { sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}}} + ln { frac { left | { sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}} – 1 right |} {{ sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}} + 1}} right) \ tau & = { text {Konstante}} pm { frac {2} {3}} { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ({ frac {r} {r _ { rm {s}}} right) ^ { frac {3} {2}} Ende {ausgerichtet}}}$

und für die photonische Geodäten (

) mit einem Drehimpuls von Null

${ displaystyle { begin {align} t & = { text {constante}} pm { frac {1} {c}} left (r + r _ { rm {s}} ln left | { frac {r} {r _ { rm {s}}}} – 1 right | right) \ tau & = { text {Konstante}}. end {align}}}$

(Obwohl die richtige Zeit im photonischen Fall trivial ist, kann man einen affinen Parameter definieren

und dann ist die Lösung für die geodätische Gleichung

.)

Ein anderer lösbarer Fall ist der, in dem

und

und

sind konstant. In dem Band wo

das gibt für die richtige Zeit

${ displaystyle tau = { text {Konstante}} pm { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ( arcsin { sqrt { frac {r} {r _ { rm {s}}}}} – { sqrt {{ frac {r} {r _ { rm {s}}} left (1 – { frac {r} {r _ { rm {s}} }}richtig richtig).}$

Dies ist nah an Lösungen mit

klein und positiv. Außerhalb

das

Lösung ist tachyonisch und die „richtige Zeit“ ist raumartig:

${ displaystyle tau = { text {Konstante}} pm i { frac {r _ { rm {s}}} {c}} left ( ln left ({ sqrt { frac {r}) {r _ { rm {s}}}} + { sqrt {{ frac {r} {r _ { rm {s}}} – 1}} right) + { sqrt {{ frac { r} {r _ { rm {s}}}} left ({ frac {r} {r _ { rm {s}}} – 1 right)}} right).}$

Dies ist nah an anderen tachyonischen Lösungen mit

klein und negativ. Die Konstante

tachyonische geodätische Außenseite

wird nicht durch eine Konstante fortgesetzt

geodätisch im Inneren

, sondern geht weiter in eine „parallele Außenregion“ (siehe Kruskal-Szekeres-Koordinaten). Andere tachyonische Lösungen können in ein Schwarzes Loch eintreten und in den parallelen Außenbereich zurückkehren. Die Konstante t Lösung innerhalb des Ereignishorizonts (

) wird durch eine Konstante fortgesetzt t Lösung in einem weißen Loch.

Wenn der Drehimpuls nicht Null ist, können wir die Abhängigkeit von der richtigen Zeit durch eine Abhängigkeit vom Winkel ersetzen

unter Verwendung der Definition von

${ displaystyle left ({ frac {dr} {d varphi}} right) ^ {2} = left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} left ({ frac {d tau} {d varphi}} right) ^ {2} = left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} left ({ frac {r ^ {2}} {h}} right) ^ {2},}$

was die Gleichung für die Umlaufbahn ergibt

${ displaystyle left ({ frac {dr} {d varphi}} right) ^ {2} = { frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} – left (1- { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} right) }}$

wo der Kürze halber zwei Längenskalen,

und

wurden definiert durch

${ displaystyle { begin {align} a & = { frac {h} {c}}, \ b & = { frac {cL} {E}} = { frac {hmc} {E}}. end {ausgerichtet}}}$

Beachten Sie, dass im tachyonischen Fall

wird imaginär sein und

real oder unendlich.

Die gleiche Gleichung kann auch unter Verwendung eines Lagrange-Ansatzes abgeleitet werden^[2] oder die Hamilton-Jacobi-Gleichung^[3] (siehe unten). Die Lösung der Bahngleichung ist

${ displaystyle varphi = int { frac {dr} { pm r ^ {2} { sqrt {{ frac {1} {b ^ {2}}} – left (1 – { frac { r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {r ^ {2}}} right )}}}}.}$

Dies kann in Form der elliptischen Funktion von Weierstrass ausgedrückt werden

.^[4]

Lokale und verzögerte Geschwindigkeiten[edit]

Anders als in der klassischen Mechanik in Schwarzschild-Koordinaten

und

sind nicht die radialen

und quer

Komponenten der lokalen Geschwindigkeit

(relativ zu einem stationären Beobachter), stattdessen geben sie die Komponenten für die Geschwindigkeit an, die sich darauf beziehen

durch

${ displaystyle { frac {{ rm {d}} r} {{ rm {d}} tau}} = v _ { parallel} { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s }}} {r}}}} gamma}$

für die radiale und

${ displaystyle { frac {{ rm {d}} varphi} {{ rm {d}} tau}} = { frac {v _ { perp}} {r}} gamma}$

für die Querkomponente der Bewegung mit

. Der Koordinatenbuchhalter weit weg von der Szene beobachtet die Shapiro-verzögerte Geschwindigkeit

, was durch die Beziehung gegeben ist

${ displaystyle { hat {v}} _ { perp} = v _ { perp} { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}}}$

und

${ displaystyle { hat {v}} _ { parallel} = v _ { parallel} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right)}$

.

Der Zeitdilatationsfaktor zwischen dem Buchhalter und dem sich bewegenden Testteilchen kann ebenfalls in die Form gebracht werden

${ displaystyle { frac {{ rm {d}} tau} {{ rm {d}} t}} = { frac { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}} } {r}}}} { gamma}}}$

Dabei ist der Zähler die Gravitation und der Nenner die kinematische Komponente der Zeitdilatation. Für ein Teilchen, das aus dem Unendlichen hereinfällt, entspricht der linke Faktor dem rechten Faktor, da die Einfallsgeschwindigkeit

entspricht der Fluchtgeschwindigkeit

in diesem Fall.

Die beiden Konstanten Drehimpuls

und Gesamtenergie

eines Testteilchens mit Masse

sind in Bezug auf

${ displaystyle L = m v _ { perp} r gamma}$

und

${ displaystyle E = mc ^ {2} { sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} gamma}$

wo

${ displaystyle E = E _ { rm {rest}} + E _ { rm {kin}} + E _ { rm {pot}}}$

und

${ displaystyle E _ { rm {rest}} = mc ^ {2} , E _ { rm {kin}} = ( gamma -1) mc ^ {2} , E _ { rm { pot}} = left ({ sqrt {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} – 1 right) gamma mc ^ {2}}$

Für massive Testpartikel

ist der Lorentz-Faktor

und

ist die richtige Zeit, während für masselose Teilchen wie Photonen

ist eingestellt auf

und

übernimmt die Rolle eines affinen Parameters. Wenn das Teilchen masselos ist

wird ersetzt durch

und

mit

, wo

ist die Planck-Konstante und

die lokal beobachtete Frequenz.

Genaue Lösung mit elliptischen Funktionen[edit]

Die Grundgleichung der Umlaufbahn ist leichter zu lösen^{[note 1]} wenn es als inverser Radius ausgedrückt wird

${ displaystyle left ({ frac {du} {d varphi}} right) ^ {2} = { frac {1} {b ^ {2}}} – left (1-ur _ { rm {s}} right) left ({ frac {1} {a ^ {2}}} + u ^ {2} right)}$

Die rechte Seite dieser Gleichung ist ein kubisches Polynom mit drei Wurzeln, die hier als bezeichnet werden u₁, u₂, und u₃

${ displaystyle left ({ frac {du} {d varphi}} right) ^ {2} = r _ { rm {s}} left (u-u_ {1} right) left (u -u_ {2} rechts) links (u-u_ {3} rechts)}$

Die Summe der drei Wurzeln entspricht dem Koeffizienten der u² Begriff

${ displaystyle u_ {1} + u_ {2} + u_ {3} = { frac {1} {r _ { rm {s}}}}$

Ein kubisches Polynom mit reellen Koeffizienten kann entweder drei reelle Wurzeln oder eine reelle Wurzel und zwei komplexe konjugierte Wurzeln haben. Wenn alle drei Wurzeln reelle Zahlen sind, werden die Wurzeln so beschriftet u₁ < u₂ < u₃. Wenn es stattdessen nur eine echte Wurzel gibt, wird diese als bezeichnet u₃;; Die komplexen konjugierten Wurzeln sind markiert u₁ und u₂. Nach der Descartes-Zeichenregel kann es höchstens eine negative Wurzel geben. u₁ ist genau dann negativ, wenn b < ein. Wie unten diskutiert, sind die Wurzeln nützlich, um die Arten möglicher Umlaufbahnen zu bestimmen.

Angesichts dieser Markierung der Wurzeln ist die Lösung der fundamentalen Orbitalgleichung

${ displaystyle u = u_ {1} + left (u_ {2} -u_ {1} right) , mathrm {sn} ^ {2} left ({ frac {1} {2}} varphi { sqrt {r _ { rm {s}} left (u_ {3} -u_ {1} right)}} + delta right)}$

wobei sn das darstellt Sinus Amplitudinus Funktion (eine der elliptischen Jacobi-Funktionen) und δ ist eine Integrationskonstante, die die Ausgangsposition widerspiegelt. Der elliptische Modul k dieser elliptischen Funktion ist durch die Formel gegeben

${ displaystyle k = { sqrt { frac {u_ {2} -u_ {1}} {u_ {3} -u_ {1}}}}$

Newtonsche Grenze[edit]

Um die Newtonsche Lösung für die Planetenbahnen wiederzugewinnen, nimmt man die Grenze als Schwarzschild-Radius r_s geht auf Null. In diesem Fall die dritte Wurzel u₃ wird grob

und viel größer als u₁ oder u₂. Daher ist der Modul k neigt zu Null; In dieser Grenze wird sn zur trigonometrischen Sinusfunktion

${ displaystyle u = u_ {1} + left (u_ {2} -u_ {1} right) , sin ^ {2} left ({ frac {1} {2}} varphi + Delta rechts)}$

In Übereinstimmung mit Newtons Lösungen für Planetenbewegungen beschreibt diese Formel einen fokalen Kegel der Exzentrizität e

${ displaystyle e = { frac {u_ {2} -u_ {1}} {u_ {2} + u_ {1}}}}$

Wenn u₁ ist eine positive reelle Zahl, dann ist die Umlaufbahn eine Ellipse, wo u₁ und u₂ stellen die Entfernungen der am weitesten bzw. am nächsten gelegenen Annäherung dar. Wenn u₁ ist Null oder eine negative reelle Zahl, die Umlaufbahn ist eine Parabel bzw. eine Hyperbel. In diesen beiden letztgenannten Fällen u₂ stellt die Entfernung der nächsten Annäherung dar; da die Umlaufbahn ins Unendliche geht (u = 0) gibt es keine Entfernung von der am weitesten entfernten Annäherung.

Wurzeln und Überblick über mögliche Umlaufbahnen[edit]

Eine Wurzel repräsentiert einen Punkt der Umlaufbahn, an dem die Ableitung verschwindet, dh wo

. An einem solchen Wendepunkt u erreicht ein Maximum, ein Minimum oder einen Wendepunkt, abhängig vom Wert der zweiten Ableitung, die durch die Formel gegeben ist

${ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {d varphi ^ {2}}} = { frac {r _ { rm {s}}} {2}} left[left(u-u_{2}right)left(u-u_{3}right)+left(u-u_{1}right)left(u-u_{3}right)+left(u-u_{1}right)left(u-u_{2}right)right]}}$

Wenn alle drei Wurzeln unterschiedliche reelle Zahlen sind, ist die zweite Ableitung bei, positiv, negativ und positiv u₁,u₂, und u₃, beziehungsweise. Daraus folgt ein Graph von u gegen φ kann entweder zwischen schwingen u₁ und u₂, oder es kann sich von weg bewegen u₃ gegen unendlich (was entspricht r auf Null gehen). Wenn u₁ negativ ist, tritt tatsächlich nur ein Teil einer „Schwingung“ auf. Dies entspricht dem Teilchen, das aus dem Unendlichen kommt, sich der zentralen Masse nähert und sich dann wieder in Richtung Unendlichkeit bewegt, wie die hyperbolische Flugbahn in der klassischen Lösung.

Wenn das Teilchen genau die richtige Energiemenge für seinen Drehimpuls hat, u₂ und u₃ wird zusammengeführt. In diesem Fall gibt es drei Lösungen. Die Umlaufbahn kann sich zu drehen

Annäherung an diesen Radius als (asymptotisch) abnehmendes Exponential in φ, τ oder t. Oder man kann eine Kreisbahn in diesem Radius haben. Oder man kann eine Umlaufbahn haben, die sich von diesem Radius zum Mittelpunkt hinunter windet. Der betreffende Radius wird als Innenradius bezeichnet und liegt dazwischen

und 3 mal r_s. Eine Kreisbahn ergibt sich auch dann, wenn u₂ entspricht u₁und dies wird der äußere Radius genannt. Diese verschiedenen Arten von Umlaufbahnen werden unten diskutiert.

Kommt das Teilchen mit ausreichender Energie und ausreichend geringem Drehimpuls an die Zentralmasse, dann nur u₁ wird echt sein. Dies entspricht dem Partikel, das in ein Schwarzes Loch fällt. Die Umlaufbahn dreht sich mit einer endlichen Änderung von φ.

Präzession der Umlaufbahnen[edit]

Die Funktion sn und ihr Quadrat sn² haben Perioden von 4K. und 2K.jeweils wo K. wird durch die Gleichung definiert^{[note 2]}

${ displaystyle K = int _ {0} ^ {1} { frac {dy} { sqrt { left (1-y ^ {2} right) left (1-k ^ {2} y ^ {2} right)}}}}$

Daher ist die Änderung von φ über eine Schwingung von u (oder äquivalent eine Schwingung von r) gleich^[5]

${ displaystyle Delta varphi = { frac {4K} { sqrt {r _ { text {s}} left (u_ {3} -u_ {1} right)}}}}$

In der klassischen Grenze, u₃ nähert sich

und ist viel größer als u₁ oder u₂. Daher, k² ist ungefähr

${ displaystyle k ^ {2} = { frac {u_ {2} -u_ {1}} {u_ {3} -u_ {1}}} approx r _ { text {s}} left (u_ { 2} -u_ {1} right) ll 1}$

Aus den gleichen Gründen ist der Nenner von Δφ ungefähr

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {r _ { text {s}} left (u_ {3} -u_ {1} right)}} = { frac {1} { sqrt { 1-r _ { text {s}} left (2u_ {1} + u_ {2} right)}} ca. 1 + { frac {1} {2}} r _ { text {s}} left (2u_ {1} + u_ {2} right)}$

Da der Modul k ist nahe Null, die Periode K. kann in Befugnissen von erweitert werden k;; zur niedrigsten Ordnung ergibt diese Expansion

${ displaystyle K approx int _ {0} ^ {1} { frac {dy} { sqrt {1-y ^ {2}}} left (1 + { frac {1} {2} } k ^ {2} y ^ {2} right) = { frac { pi} {2}} left (1 + { frac {k ^ {2}} {4}} right)}$

Das Einsetzen dieser Näherungen in die Formel für Δφ ergibt eine Formel für den Winkelvorschub pro radialer Schwingung

${ displaystyle delta varphi = Delta varphi -2 pi approx { frac {3} {2}} pi r _ { text {s}} left (u_ {1} + u_ {2} richtig)}$

Für eine elliptische Umlaufbahn u₁ und u₂ stellen die Umkehrungen der längsten bzw. kürzesten Entfernungen dar. Diese können als Semi-Major-Achse der Ellipse ausgedrückt werden EIN und seine Exzentrizität der Umlaufbahn e,

${ displaystyle { begin {align} r _ { text {max}} & = { frac {1} {u_ {1}}} = A (1 + e) ​​\ r _ { text {min}} & = { frac {1} {u_ {2}}} = A (1-e) end {align}}}$

geben

${ displaystyle u_ {1} + u_ {2} = { frac {2} {A left (1-e ^ {2} right)}}}$

Ersetzen der Definition von r_s gibt die endgültige Gleichung an

${ displaystyle delta varphi approx { frac {6 pi GM} {c ^ {2} A left (1-e ^ {2} right)}}}$

Biegen von Licht durch Schwerkraft[edit]

Ablenkung des Lichts (gesendet von der blau dargestellten Stelle) in der Nähe eines kompakten Körpers (grau dargestellt)

In der Grenze als Partikelmasse m geht auf Null (oder äquivalent, wenn das Licht direkt auf die zentrale Masse gerichtet ist, als Längenskala ein geht ins Unendliche), wird die Gleichung für die Umlaufbahn

${ displaystyle varphi = int { frac {dr} {r ^ {2} { sqrt {{ frac {1} {b ^ {2}}} – left (1 – { frac {r_ { rm {s}}} {r}} right) { frac {1} {r ^ {2}}}}}}$

Erweiterung der Befugnisse von

Der Term führender Ordnung in dieser Formel gibt die ungefähre Winkelauslenkung δ anφ für ein masseloses Teilchen, das aus dem Unendlichen hereinkommt und wieder ins Unendliche zurückkehrt:

${ displaystyle delta varphi approx { frac {2r _ { rm {s}}} {b}} = { frac {4GM} {c ^ {2} b}}.}$

Hier, b ist der Aufprallparameter, etwas größer als die Entfernung der nächsten Annäherung, r₃::^[6]

Obwohl diese Formel ungefähr ist, ist sie aufgrund der geringen Größe des Verhältnisses für die meisten Messungen der Gravitationslinse genau

. Für Licht, das die Oberfläche der Sonne streift, beträgt die ungefähre Winkelablenkung ungefähr 1,75 Bogensekunden, ungefähr ein Millionstel eines Kreises.

Beziehung zur Newtonschen Physik[edit]

Effektive radiale potentielle Energie[edit]

Die oben abgeleitete Bewegungsgleichung für das Teilchen

${ displaystyle left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} = { frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} – c ^ {2} + { frac {r _ { rm {s}} c ^ {2}} {r}} – { frac {L ^ {2}} {m mu r ^ {2}}} + { frac {r _ { rm {s}} L ^ {2}} {m mu r ^ {3}}}$

kann mit der Definition des Schwarzschild-Radius umgeschrieben werden r_s wie

${ displaystyle { frac {1} {2}} m left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} = left[{frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{frac {1}{2}}mc^{2}right]+ { frac {GMm} {r}} – { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}} + { frac {G (M + m) L ^ {2}} {c ^ {2} mu r ^ {3}}},}$

Dies entspricht einem Teilchen, das sich in einem eindimensionalen effektiven Potential bewegt

${ displaystyle V (r) = – { frac {GMm} {r}} + { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}} – { frac {G (M + m) L ^ {2}} {c ^ {2} mu r ^ {3}}}}$

Die ersten beiden Begriffe sind bekannte klassische Energien, wobei der erste die attraktive Newtonsche Gravitationspotentialenergie ist und der zweite der abstoßenden „zentrifugalen“ potentiellen Energie entspricht; Der dritte Term ist jedoch eine attraktive Energie, die nur für die allgemeine Relativitätstheorie gilt. Wie unten und anderswo gezeigt, bewirkt diese invers-kubische Energie, dass elliptische Bahnen allmählich um einen Winkel δφ pro Umdrehung vorrücken

${ displaystyle delta varphi approx { frac {6 pi G (M + m)} {c ^ {2} A left (1-e ^ {2} right)}}}$

wo EIN ist die Semi-Major-Achse und e ist die Exzentrizität.

Der dritte Begriff ist attraktiv und dominiert bei kleinen r Werte, die einen kritischen Innenradius ergeben r_innere bei dem ein Teilchen unaufhaltsam nach innen gezogen wird r = 0; Dieser innere Radius ist eine Funktion des Drehimpulses des Teilchens pro Masseneinheit oder äquivalent des ein oben definierte Längenskala.

Kreisbahnen und ihre Stabilität[edit]

Effektives radiales Potential für verschiedene Drehimpulse. Bei kleinen Radien fällt die Energie steil ab, wodurch das Teilchen unaufhaltsam nach innen gezogen wird r = 0. Wenn jedoch der normalisierte Drehimpuls

${ textstyle { frac {a} {r _ { text {s}}} = { frac {L} {mcr _ { text {s}}}}$

gleich der Quadratwurzel von drei ist eine metastabile Kreisbahn in dem mit einem grünen Kreis hervorgehobenen Radius möglich. Bei höheren Drehimpulsen gibt es eine signifikante Zentrifugalbarriere (orange Kurve) und einen instabilen Innenradius, der rot hervorgehoben ist.

Das effektive Potenzial V. kann in Bezug auf die Länge neu geschrieben werden

.

${ displaystyle V (r) = { frac { mu c ^ {2}} {2}} left[-{frac {r_{rm {s}}}{r}}+{frac {a^{2}}{r^{2}}}-{frac {r_{rm {s}}a^{2}}{r^{3}}}right]}}$

Kreisbahnen sind möglich, wenn die effektive Kraft Null ist

${ displaystyle F = – { frac {dV} {dr}} = – { frac { mu c ^ {2}} {2r ^ {4}}} left[r_{rm {s}}r^{2}-2a^{2}r+3r_{rm {s}}a^{2}right]= 0}$

dh wenn die beiden Anziehungskräfte – die Newtonsche Schwerkraft (erster Term) und die für die allgemeine Relativitätstheorie einzigartige Anziehungskraft (dritter Term) – durch die abstoßende Zentrifugalkraft (zweiter Term) genau ausgeglichen werden. Es gibt zwei Radien, bei denen dieser Ausgleich auftreten kann, hier bezeichnet als r_innere und r_äußere

${ displaystyle { begin {align} r _ { text {äußere}} & = { frac {a ^ {2}} {r _ { rm {s}}} left (1 + { sqrt {1 – { frac {3r _ { rm {s}} ^ {2}} {a ^ {2}}}} right) \[3pt]r _ { text {inner}} & = { frac {a ^ {2}} {r _ { rm {s}}} left (1 – { sqrt {1 – { frac {3r _ { rm {s}} ^ {2}} {a ^ {2}}}} right) = { frac {3a ^ {2}} {r _ { text {äußere}}} end {align}} }}$

die mit der quadratischen Formel erhalten werden. Der innere Radius r_innere ist instabil, weil sich die anziehende dritte Kraft viel schneller verstärkt als die beiden anderen Kräfte, wenn r wird klein; wenn das Partikel leicht nach innen rutscht r_innere (wo alle drei Kräfte im Gleichgewicht sind), dominiert die dritte Kraft die beiden anderen und zieht das Teilchen unaufhaltsam nach innen r = 0. Am Außenradius sind die Kreisbahnen jedoch stabil; Der dritte Term ist weniger wichtig und das System verhält sich eher wie das nicht-relativistische Kepler-Problem.

Wann ein ist viel größer als r_s (der klassische Fall) werden diese Formeln ungefähr

${ displaystyle { begin {align} r _ { text {äußere}} & approx { frac {2a ^ {2}} {r _ { rm {s}}} \[3pt]r _ { text {inner}} & approx { frac {3} {2}} r _ { rm {s}} end {align}}}$

Die stabilen und instabilen Radien sind gegen den normalisierten Drehimpuls aufgetragen

${ textstyle { frac {a} {r _ { text {s}}} = { frac {L} {mcr _ { text {s}}}}$

in blau bzw. rot. Diese Kurven treffen sich auf einer einzigartigen Kreisbahn (grüner Kreis), wenn der normalisierte Drehimpuls der Quadratwurzel von drei entspricht. Zum Vergleich ist der klassische Radius, der aus der Zentripetalbeschleunigung und dem Newtonschen Gravitationsgesetz vorhergesagt wird, schwarz dargestellt.

Ersetzen der Definitionen von ein und r_s in r_äußere ergibt die klassische Formel für ein Massenteilchen m einen Massenkörper umkreisen M..

${ displaystyle r _ { mathrm {äußere}} ^ {3} = { frac {G (M + m)} { omega _ { varphi} ^ {2}}}}$

wo ω_φ ist die Umlaufwinkelgeschwindigkeit des Partikels. Diese Formel wird in der nicht-relativistischen Mechanik erhalten, indem die Zentrifugalkraft gleich der Newtonschen Gravitationskraft eingestellt wird:

${ displaystyle { frac {GMm} {r ^ {2}}} = mu omega _ { varphi} ^ {2} r}$

Wo

ist die reduzierte Masse.

In unserer Notation ist die klassische Umlaufwinkelgeschwindigkeit gleich

${ displaystyle omega _ { varphi} ^ {2} approx { frac {GM} {r _ { mathrm {äußere}} ^ {3}}} = left ({ frac {r _ { rm { s}} c ^ {2}} {2r _ { mathrm {äußere}} ^ {3}}} rechts) = links ({ frac {r _ { rm {s}} c ^ {2}} { 2}} rechts) links ({ frac {r _ { rm {s}} ^ {3}} {8a ^ {6}}} rechts) = { frac {c ^ {2} r _ { rm {s}} ^ {4}} {16a ^ {6}}}$

Im anderen Extrem, wenn ein² Ansätze 3r_s² von oben konvergieren die beiden Radien zu einem einzigen Wert

${ displaystyle r _ { mathrm {äußere}} ca. r _ { mathrm {innere}} ca. 3r _ { rm {s}}}$

Die obigen quadratischen Lösungen stellen dies sicher r_äußere ist immer größer als 3r_s, wohingegen r_innere liegt dazwischen³⁄₂ r_s und 3r_s. Kreisbahnen kleiner als³⁄₂ r_s sind nicht möglich. Für masselose Partikel, ein geht ins Unendliche, was bedeutet, dass es eine kreisförmige Umlaufbahn für Photonen bei gibt r_innere =³⁄₂ r_s. Die Kugel dieses Radius wird manchmal als Photonenkugel bezeichnet.

Präzession elliptischer Bahnen[edit]

Im nicht-relativistischen Kepler-Problem folgt ein Teilchen ewig derselben perfekten Ellipse (rote Umlaufbahn). Die allgemeine Relativitätstheorie führt eine dritte Kraft ein, die das Teilchen etwas stärker anzieht als die Newtonsche Schwerkraft, insbesondere bei kleinen Radien. Diese dritte Kraft bewirkt, dass die elliptische Umlaufbahn des Partikels in Richtung seiner Drehung voranschreitet (Cyan-Umlaufbahn); Dieser Effekt wurde in Merkur, Venus und Erde gemessen. Der gelbe Punkt innerhalb der Umlaufbahnen stellt das Anziehungszentrum dar, z. B. die Sonne.

Die Orbitalpräzessionsrate kann unter Verwendung dieses radialen effektiven Potentials abgeleitet werden V.. Eine kleine radiale Abweichung von einer Kreisbahn mit Radius r_äußere schwingt stabil mit einer Winkelfrequenz

${ displaystyle omega _ {r} ^ {2} = { frac {1} {m}} left[{frac {d^{2}V}{dr^{2}}}right]_ {r = r _ { mathrm {äußere}}}}$

was gleich ist

${ displaystyle omega _ {r} ^ {2} = left ({ frac {c ^ {2} r _ { rm {s}}} {2r _ { mathrm {äußere}} ^ {4}}} rechts) links (r _ { mathrm {äußere}} -r _ { mathrm {innere}} rechts) = omega _ { varphi} ^ {2} { sqrt {1 – { frac {3r_ { rm {s}} ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$

Nehmen Sie die Quadratwurzel beider Seiten und führen Sie eine Taylorreihen-Expansionsausbeute durch

${ displaystyle omega _ {r} = omega _ { varphi} left[1-{frac {3r_{rm {s}}^{2}}{4a^{2}}}+{mathcal {O}}left({frac {r_{rm {s}}^{4}}{a^{4}}}right)right]}}$

Mit dem Zeitraum multiplizieren T. einer Umdrehung ergibt die Präzession der Umlaufbahn pro Umdrehung

${ displaystyle delta varphi = T left ( omega _ { varphi} – omega _ {r} right) ca. 2 pi left ({ frac {3r _ { rm {s}} ^ {2}} {4a ^ {2}}} right) = { frac {3 pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} r _ { rm {s}} ^ {2}}$

wo wir verwendet haben ω_φT. = 2п und die Definition der Längenskala ein. Ersetzen der Definition des Schwarzschild-Radius r_s gibt

${ displaystyle delta varphi approx { frac {3 pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} left ({ frac {4G ^ {2} M ^ { 2. }}$

Dies kann unter Verwendung der Halbachse der elliptischen Umlaufbahn vereinfacht werden EIN und Exzentrizität e verwandt durch die Formel

${ displaystyle { frac {h ^ {2}} {G (M + m)}} = A left (1-e ^ {2} right)}$

den Präzessionswinkel geben

${ displaystyle delta varphi approx { frac {6 pi G (M + m)} {c ^ {2} A left (1-e ^ {2} right)}}}$

Mathematische Ableitungen der Orbitalgleichung[edit]

Christoffel Symbole[edit]

Die nicht verschwindenden Christoffel-Symbole für die Schwarzschild-Metrik sind:^[7]

${ displaystyle { begin {align} Gamma _ {rt} ^ {t} = – Gamma _ {rr} ^ {r} & = { frac {r _ { rm {s}}} {2r (r -r _ { rm {s}})}} \[3pt] Gamma _ {tt} ^ {r} & = { frac {r _ { rm {s}} (r-r _ { rm {s}})} {2r ^ {3}}} \[3pt] Gamma _ { phi phi} ^ {r} & = (r _ { rm {s}} – r) sin ^ {2} ( theta) \[3pt] Gamma _ { theta theta} ^ {r} & = r _ { rm {s}} – r \[3pt] Gamma _ {r theta} ^ { theta} = Gamma _ {r phi} ^ { phi} & = { frac {1} {r}} \[3pt] Gamma _ { phi phi} ^ { theta} & = – sin ( theta) cos ( theta) \[3pt] Gamma _ { theta phi} ^ { phi} & = cot ( theta) end {align}}}$

Geodätische Gleichung[edit]

Nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie bewegen sich Teilchen vernachlässigbarer Masse in der Raumzeit entlang der Geodäten. In der flachen Raumzeit, weit entfernt von einer Schwerkraftquelle, entsprechen diese Geodäten geraden Linien; Sie können jedoch von geraden Linien abweichen, wenn die Raumzeit gekrümmt ist. Die Gleichung für die geodätischen Linien lautet^[8]

${ displaystyle { frac {d ^ {2} x ^ { lambda}} {dq ^ {2}}} + Gamma _ { mu nu} ^ { lambda} { frac {dx ^ { mu}} {dq}} { frac {dx ^ { nu}} {dq}} = 0}$

Dabei steht Γ für das Christoffel-Symbol und die Variable

parametrisiert den Weg des Teilchens durch die Raumzeit, seine sogenannte Weltlinie. Das Christoffel-Symbol hängt nur vom metrischen Tensor ab

oder vielmehr darüber, wie es sich mit der Position ändert. Die Variable

ist ein konstantes Vielfaches der richtigen Zeit

für zeitähnliche Umlaufbahnen (die von massiven Partikeln zurückgelegt werden) und wird normalerweise als gleich angesehen. Für lichtähnliche (oder Null-) Umlaufbahnen (die von masselosen Teilchen wie dem Photon zurückgelegt werden) ist die richtige Zeit Null und kann streng genommen nicht als Variable verwendet werden

. Trotzdem können lichtähnliche Bahnen als ultrarelativistische Grenze zeitlicher Bahnen abgeleitet werden, dh als Grenze als Partikelmasse m geht auf Null, während die Gesamtenergie festgehalten wird.

Um die Bewegung eines Teilchens zu lösen, ist es daher am einfachsten, die geodätische Gleichung zu lösen, ein Ansatz, den Einstein gewählt hat^[9] und andere.^[10] Die Schwarzschild-Metrik kann wie folgt geschrieben werden

${ displaystyle c ^ {2} d tau ^ {2} = w (r) c ^ {2} dt ^ {2} -v (r) dr ^ {2} -r ^ {2} d theta ^ {2} -r ^ {2} sin ^ {2} theta d phi ^ {2} ,}$

wo die beiden Funktionen

und seine Gegenseitigkeit

sind der Kürze halber definiert. Aus dieser Metrik ergeben sich die Christoffel-Symbole

kann berechnet und die Ergebnisse in die geodätischen Gleichungen eingesetzt werden

${ displaystyle { begin {align} 0 & = { frac {d ^ {2} theta} {dq ^ {2}}} + { frac {2} {r}} { frac {d theta} {dq}} { frac {dr} {dq}} – sin theta cos theta left ({ frac {d phi} {dq}} right) ^ {2} \[3pt]0 & = { frac {d ^ {2} phi} {dq ^ {2}}} + { frac {2} {r}} { frac {d phi} {dq}} { frac {dr } {dq}} + 2 cot theta { frac {d phi} {dq}} { frac {d theta} {dq}} \[3pt]0 & = { frac {d ^ {2} t} {dq ^ {2}}} + { frac {1} {w}} { frac {dw} {dr}} { frac {dt} {dq }} { frac {dr} {dq}} \[3pt]0 & = { frac {d ^ {2} r} {dq ^ {2}}} + { frac {1} {2v}} { frac {dv} {dr}} left ({ frac {dr } {dq}} right) ^ {2} – { frac {r} {v}} left ({ frac {d theta} {dq}} right) ^ {2} – { frac { r sin ^ {2} theta} {v}} left ({ frac {d phi} {dq}} right) ^ {2} + { frac {c ^ {2}} {2v} } { frac {dw} {dr}} left ({ frac {dt} {dq}} right) ^ {2} end {align}}}$

Es kann überprüft werden, dass

ist eine gültige Lösung durch Substitution in die erste dieser vier Gleichungen. Aus Symmetriegründen muss die Umlaufbahn planar sein, und es steht uns frei, den Koordinatenrahmen so anzuordnen, dass die Äquatorialebene die Ebene der Umlaufbahn ist. Dies

Lösung vereinfacht die zweite und vierte Gleichung.

Um die zweite und dritte Gleichung zu lösen, reicht es aus, sie durch zu teilen

und

, beziehungsweise.

${ displaystyle { begin {align} 0 & = { frac {d} {dq}} left[ln {frac {dphi }{dq}}+ln r^{2}right]\[3pt]0 & = { frac {d} {dq}} left[ln {frac {dt}{dq}}+ln wright], end {align}}}$

was zwei Bewegungskonstanten ergibt.

Lagrange-Ansatz[edit]

Da Testpartikel der Geodäten in einer festen Metrik folgen, können die Umlaufbahnen dieser Partikel mithilfe der Variationsrechnung bestimmt werden, die auch als Lagrange-Ansatz bezeichnet wird.^[11] Geodäten in Raum-Zeit werden als Kurven definiert, für die kleine lokale Variationen ihrer Koordinaten (während ihre Endpunktereignisse festgehalten werden) keine signifikante Änderung ihrer Gesamtlänge bewirken s. Dies kann mathematisch unter Verwendung der Variationsrechnung ausgedrückt werden

${ displaystyle 0 = delta s = delta int ds = delta int { sqrt {g _ { mu nu} { frac {dx ^ { mu}} {d tau}} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}}} d tau = delta int { sqrt {2T}} d tau}$

wo τ ist die richtige Zeit, s = cτ ist die Bogenlänge in Raum-Zeit und T. ist definiert als

${ displaystyle 2T = c ^ {2} = left ({ frac {ds} {d tau}} right) ^ {2} = g _ { mu nu} { frac {dx ^ { mu }} {d tau}} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right ) c ^ {2} left ({ frac {dt} {d tau}} right) ^ {2} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}} } {r}}}} left ({ frac {dr} {d tau}} right) ^ {2} -r ^ {2} left ({ frac {d varphi} {d tau) }} right) ^ {2}}$

in Analogie zur kinetischen Energie. Wenn die Ableitung in Bezug auf die richtige Zeit der Kürze halber durch einen Punkt dargestellt wird

${ displaystyle { dot {x}} ^ { mu} = { frac {dx ^ { mu}} {d tau}}}$

T. kann geschrieben werden als

${ displaystyle 2T = c ^ {2} = left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) c ^ {2} left ({ dot {t} } right) ^ {2} – { frac {1} {1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}}} left ({ dot {r}} right) ^ {2} -r ^ {2} left ({ dot { varphi}} right) ^ {2}}$

Konstante Faktoren (wie z c oder die Quadratwurzel von zwei) beeinflussen die Antwort auf das Variationsproblem nicht; Daher ergibt die Variation innerhalb des Integrals das Hamilton-Prinzip

${ displaystyle 0 = delta int { sqrt {2T}} d tau = int { frac { delta T} { sqrt {2T}}} d tau = { frac {1} {c }} delta int Td tau.}$

Die Lösung des Variationsproblems ergibt sich aus den Lagrange-Gleichungen

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} left ({ frac { partielles T} { partielles { dot {x}} ^ { sigma}}} right) = { frac { partielles T} { partielles x ^ { sigma}}}.}$

Bei Anwendung auf t und φDiese Gleichungen zeigen zwei Bewegungskonstanten

${ displaystyle { begin {align} { frac {d} {d tau}} left[r^{2}{frac {dvarphi }{dtau }}right]& = 0, \ { frac {d} {d tau}} left[left(1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}right){frac {dt}{dtau }}right]& = 0, end {align}}}$

was in Form von zwei konstanten Längenskalen ausgedrückt werden kann,

und

${ displaystyle { begin {align} r ^ {2} { frac {d varphi} {d tau}} & = ac, \ left (1 – { frac {r _ { rm {s} }} {r}} right) { frac {dt} {d tau}} & = { frac {a} {b}}. end {align}}}$

Wie oben gezeigt, ergibt die Substitution dieser Gleichungen in die Definition der Schwarzschild-Metrik die Gleichung für die Umlaufbahn.

Hamilton-Ansatz[edit]

Eine Lagrange-Lösung kann in eine äquivalente Hamilton-Form umgewandelt werden.^[12] In diesem Fall der Hamiltonianer

ist gegeben durch

${ displaystyle 2H = c ^ {2} = { frac {p_ {t} ^ {2}} {c ^ {2} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r }} rechts)}} – links (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) p_ {r} ^ {2} – { frac {p _ { theta } ^ {2}} {r ^ {2}}} – { frac {p _ { varphi} ^ {2}} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}}}$

Auch hier kann die Umlaufbahn auf beschränkt sein

durch Symmetrie. Schon seit

und

erscheinen nicht im Hamilton-Operator, ihre konjugierten Impulse sind konstant; Sie können als Lichtgeschwindigkeit ausgedrückt werden

und zwei konstante Längenskalen

und

${ displaystyle { begin {align} p _ { varphi} & = – ac \ p _ { theta} & = 0 \ p_ {t} & = { frac {ac ^ {2}} {b}} end {align}}}$

Die Ableitungen bezüglich der richtigen Zeit sind gegeben durch

${ displaystyle { begin {align} { frac {dr} {d tau}} & = { frac { partielles H} { partielles p_ {r}}} = – left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) p_ {r} \ { frac {d varphi} {d tau}} & = { frac { partielles H} { partielles p _ { varphi}}} = { frac {-p _ { varphi}} {r ^ {2}}} = { frac {ac} {r ^ {2}}} \ { frac {dt} {d tau}} & = { frac { partielles H} { partielles p_ {t}}} = { frac {p_ {t}} {c ^ {2} left (1 – { frac { r _ { rm {s}}} {r}} right)}} = { frac {a} {b left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts)}} end {align}}}$

Das Teilen der ersten Gleichung durch die zweite ergibt die Orbitalgleichung

${ displaystyle { frac {dr} {d varphi}} = – { frac {r ^ {2}} {ac}} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} { r}} right) p_ {r}}$

Der radiale Impuls p_r kann ausgedrückt werden in Form von r unter Verwendung der Konstanz des Hamiltonian

;; Dies ergibt die grundlegende Orbitalgleichung

${ displaystyle left ({ frac {dr} {d varphi}} right) ^ {2} = { frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} – left (1- { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right) left ({ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} right) }}$

Hamilton-Jacobi-Ansatz[edit]

Biegen von Wellen in einem Gravitationsfeld. Aufgrund der Schwerkraft vergeht die Zeit unten langsamer als oben, wodurch sich die Wellenfronten (schwarz dargestellt) allmählich nach unten biegen. Der grüne Pfeil zeigt die Richtung der scheinbaren „Gravitationsanziehung“.

Die Orbitalgleichung kann aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung abgeleitet werden.^[13] Der Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass er die Bewegung des Teilchens mit der Ausbreitung einer Welle gleichsetzt und durch das Fermat-Prinzip sauber zur Ableitung der Ablenkung von Licht durch die Schwerkraft in der allgemeinen Relativitätstheorie führt. Die Grundidee ist, dass sich Teile einer Wellenfront, die näher an einer Gravitationsmasse liegen, aufgrund der Gravitationsverlangsamung der Zeit langsamer bewegen als Teile weiter entfernt, wodurch die Ausbreitungsrichtung der Wellenfront gebogen wird.

Unter Verwendung der allgemeinen Kovarianz kann die Hamilton-Jacobi-Gleichung für ein einzelnes Teilchen mit Einheitsmasse in beliebigen Koordinaten ausgedrückt werden als

${ displaystyle g ^ { mu nu} { frac { partielles S} { partielles x ^ { mu}}} { frac { partielles S} { partielles x ^ { nu}}} = c ^ {2}.}$

Dies entspricht der obigen Hamilton-Formulierung, wobei die partiellen Ableitungen der Wirkung die verallgemeinerten Impulse ersetzen. Verwendung der Schwarzschild-Metrik G^μνwird diese Gleichung

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2} left (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} right)}} left ({ frac { partielles S} { partielles t}} rechts) ^ {2} – links (1 – { frac {r _ { rm {s}}} {r}} rechts) links ({ frac { partielles S} { partielles r}} rechts) ^ {2} – { frac {1} {r ^ {2}}} links ({ frac { partielles S} { partielles varphi}} rechts) ^ {2} = c ^ {2}}$