Quadratwürfelgesetz – Wikipedia

Mathematisches Prinzip

Das Quadratwürfelgesetz wurde erstmals in erwähnt Zwei neue Wissenschaften (1638).

Das Quadrat-Würfel-Gesetz (oder Würfel-Quadrat-Gesetz) ist ein mathematisches Prinzip, das auf verschiedenen wissenschaftlichen Gebieten angewendet wird und die Beziehung zwischen dem Volumen und der Oberfläche beschreibt, wenn die Größe einer Form zunimmt oder abnimmt. Es wurde erstmals 1638 von Galileo Galilei in seinem beschrieben Zwei neue Wissenschaften da das “… Verhältnis zweier Volumina größer ist als das Verhältnis ihrer Oberflächen”.[1]

Dieses Prinzip besagt, dass mit zunehmender Größe einer Form ihr Volumen schneller wächst als ihre Oberfläche. In der realen Welt hat dieses Prinzip viele Auswirkungen, die in Bereichen vom Maschinenbau bis zur Biomechanik wichtig sind. Es hilft, Phänomene zu erklären, darunter, warum große Säugetiere wie Elefanten es schwerer haben, sich abzukühlen als kleine wie Mäuse, und warum es immer schwieriger wird, immer größere Wolkenkratzer zu bauen.

Beschreibung[edit]

Diagramme der Oberfläche, EIN gegen Volumen, V. der platonischen Körper und einer Kugel, was zeigt, dass das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen mit zunehmendem Volumen abnimmt. Ihre Abschnitte mit den gestrichelten Linien zeigen, dass die Oberfläche 4 (2²) Mal zunimmt, wenn sich das Volumen um das 8 (2³) -fache erhöht.

Das Quadratwürfelgesetz kann wie folgt angegeben werden:

Wenn ein Objekt proportional größer wird, ist seine neue Oberfläche proportional zum Quadrat des Multiplikators und sein neues Volumen proportional zum Würfel des Multiplikators.

Mathematisch dargestellt:[2]

wo

EIN1{ displaystyle A_ {1}}

ist die ursprüngliche Oberfläche und

EIN2{ displaystyle A_ {2}}

ist die neue Oberfläche.

wo

V.1{ displaystyle V_ {1}}

ist das Originalvolumen,

V.2{ displaystyle V_ {2}}

ist das neue Volumen,

1{ displaystyle ell _ {1}}

ist die ursprüngliche Länge und

2{ displaystyle ell _ {2}}

ist die neue Länge.

Beispielsweise hat ein Würfel mit einer Seitenlänge von 1 Meter eine Oberfläche von 6 m2 und ein Volumen von 1 m3. Wenn die Abmessungen des Würfels mit 2 multipliziert würden, würde seine Oberfläche mit dem multipliziert Quadrat von 2 und werden 24 m2. Sein Volumen würde mit dem multipliziert werden Würfel von 2 und werden 8 m3.

Der ursprüngliche Würfel (1 m Seiten) hat ein Verhältnis von Oberfläche zu Volumen von 6: 1. Der größere Würfel (2 m Seiten) hat ein Verhältnis von Oberfläche zu Volumen von (24/8) 3: 1. Mit zunehmenden Abmessungen wächst das Volumen weiterhin schneller als die Oberfläche. Also das Quadratwürfelgesetz. Dieses Prinzip gilt für alle Feststoffe.[3]

Anwendungen[edit]

Maschinenbau[edit]

Wenn ein physikalisches Objekt die gleiche Dichte beibehält und vergrößert wird, werden sein Volumen und seine Masse um den Würfel des Multiplikators vergrößert, während seine Oberfläche nur um das Quadrat des Multiplikators zunimmt. Dies würde bedeuten, dass, wenn die größere Version des Objekts mit der gleichen Geschwindigkeit wie das Original beschleunigt wird, mehr Druck auf die Oberfläche des größeren Objekts ausgeübt würde.

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel eines Massenkörpers M mit einer Beschleunigung a und einer Oberfläche A der Oberfläche, auf die die Beschleunigungskraft wirkt. Die Kraft aufgrund der Beschleunigung,

F.=M.ein{ displaystyle F = Ma}

und der Schubdruck,

T.=F.EIN=M.einEIN{ displaystyle T = { frac {F} {A}} = M { frac {a} {A}}}

.

Betrachten Sie nun, dass das Objekt um einen Multiplikatorfaktor = x übertrieben ist, so dass es eine neue Masse hat.

M.=x3M.{ displaystyle M ‘= x ^ {3} M}

und die Oberfläche, auf die die Kraft wirkt, hat eine neue Oberfläche,

EIN=x2EIN{ displaystyle A ‘= x ^ {2} A}

.

Die neue Kraft durch Beschleunigung

F.=x3M.ein{ displaystyle F ‘= x ^ {3} Ma}

und der resultierende Schubdruck,

Wenn Sie also nur die Größe eines Objekts vergrößern, das gleiche Konstruktionsmaterial (Dichte) und die gleiche Beschleunigung beibehalten, wird der Schub um den gleichen Skalierungsfaktor erhöht. Dies würde darauf hinweisen, dass das Objekt weniger widerstandsfähig gegen Stress ist und beim Beschleunigen eher zum Kollabieren neigt.

Aus diesem Grund schneiden große Fahrzeuge bei Crashtests schlecht ab und es gibt Grenzen, wie hohe Gebäude gebaut werden können. Je größer ein Objekt ist, desto weniger andere Objekte würden seiner Bewegung widerstehen und seine Verzögerung verursachen.

Technische Beispiele[edit]

  • Dampfmaschine: James Watt, der als Instrumentenbauer an der Universität von Glasgow arbeitete, erhielt eine Newcomen-Dampfmaschine im Maßstab 1: 10. Watt erkannte das Problem als mit dem Quadratwürfelgesetz verbunden an, da das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen des Zylinders des Modells größer war als das der viel größeren kommerziellen Motoren, was zu einem übermäßigen Wärmeverlust führte.[4] Experimente mit diesem Modell führten zu Watt’s berühmten Verbesserungen an der Dampfmaschine.

Eine Boeing 737-500 vor einem Airbus A380
  • Airbus A380: Die Hub- und Steuerflächen (Tragflächen, Ruder und Aufzüge) sind im Vergleich zum Rumpf des Flugzeugs relativ groß. Wenn Sie beispielsweise eine Boeing 737 nehmen und ihre Abmessungen lediglich auf die Größe eines A380 vergrößern, werden die Flügel aufgrund der Quadratwürfel-Regel zu klein für das Flugzeuggewicht.
  • Expander-Raketentriebwerke leiden unter dem Quadratwürfelgesetz. Ihre Größe und damit ihr Schub sind durch die Wärmeübertragungseffizienz begrenzt, da die Oberfläche der Düse langsamer zunimmt als das durch die Düse fließende Kraftstoffvolumen.
  • Ein Clipper benötigt relativ mehr Segeloberfläche als eine Schaluppe, um die gleiche Geschwindigkeit zu erreichen, was bedeutet, dass zwischen diesen Fahrzeugen ein höheres Verhältnis von Segeloberfläche zu Segeloberfläche besteht als ein Verhältnis von Gewicht zu Gewicht.
  • Aerostate profitieren im Allgemeinen vom Quadratwürfelgesetz. Wie der Radius (
  • Tragwerksplanung: Materialien, die im kleinen Maßstab arbeiten, funktionieren möglicherweise nicht im größeren Maßstab. Beispielsweise skaliert die Druckspannung am Boden einer kleinen freistehenden Säule mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Größe der Säule. Daher gibt es für ein bestimmtes Material und eine bestimmte Dichte eine Größe, bei der eine Säule auf sich selbst kollabiert.

Biomechanik[edit]

Wenn ein Tier isometrisch um einen beträchtlichen Betrag vergrößert würde, würde seine relative Muskelkraft stark verringert, da der Querschnitt seiner Muskeln um die Größe zunehmen würde Quadrat des Skalierungsfaktors, während seine Masse um die zunehmen würde Würfel des Skalierungsfaktors. Infolgedessen würden die Herz-Kreislauf- und Atmungsfunktionen stark belastet.

Im Fall von fliegenden Tieren würde sich die Flügelbelastung erhöhen, wenn sie isometrisch vergrößert würden, und sie müssten daher schneller fliegen, um den gleichen Auftrieb zu erhalten. Der Luftwiderstand pro Masseneinheit ist auch bei kleineren Tieren höher (Verringerung der Endgeschwindigkeit), weshalb ein kleines Tier wie eine Ameise nicht ernsthaft durch Aufprall auf den Boden verletzt werden kann, nachdem es aus irgendeiner Höhe fallen gelassen wurde.

Wie von JBS Haldane angegeben, sehen große Tiere nicht wie kleine Tiere aus: Ein Elefant kann nicht mit einer Maus verwechselt werden, deren Größe vergrößert ist. Dies liegt an der allometrischen Skalierung: Die Knochen eines Elefanten sind notwendigerweise proportional viel größer als die Knochen einer Maus, weil sie ein proportional höheres Gewicht tragen müssen. Haldane illustriert dies in seinem wegweisenden Aufsatz von 1928 Auf die richtige Größe in Bezug auf allegorische Riesen: “… betrachten Sie einen Mann 60 Fuß hoch … Riesenpapst und Riesenheide in der Abbildung Pilgerfortschritt: … Diese Monster … wogen 1000-mal so viel wie Christian. Jeder Quadratzentimeter eines riesigen Knochens musste das Zehnfache des Gewichts tragen, das ein Quadratzentimeter menschlicher Knochen trägt. Da der durchschnittliche menschliche Oberschenkelknochen unter dem Zehnfachen des menschlichen Gewichts bricht, hätten sich Papst und Heide jedes Mal, wenn sie einen Schritt machten, die Oberschenkel gebrochen. “[5] Folglich zeigen die meisten Tiere eine allometrische Skalierung mit zunehmender Größe, sowohl zwischen Arten als auch innerhalb einer Art. Die riesigen Kreaturen, die in Monsterfilmen zu sehen sind (z. B. Godzilla, King Kong und Them!), Sind ebenfalls unrealistisch, da ihre schiere Größe sie zum Zusammenbruch zwingen würde.

Der Auftrieb von Wasser negiert jedoch in gewissem Maße die Auswirkungen der Schwerkraft. Daher können Meerestiere ohne die gleichen muskuloskelettalen Strukturen, die für ähnlich große Landtiere erforderlich wären, sehr groß werden, und es ist kein Zufall, dass die größten Tiere, die jemals auf der Erde existieren, Wassertiere sind.

Die Stoffwechselrate von Tieren skaliert nach einem mathematischen Prinzip, das als Viertelskalierung bezeichnet wird[6] nach der metabolischen Theorie der Ökologie.

Stoff- und Wärmeübertragung[edit]

Der Massentransfer wie die Diffusion zu kleineren Objekten wie lebenden Zellen ist schneller als die Diffusion zu größeren Objekten wie ganzen Tieren. Daher ist bei chemischen Prozessen, die auf einer Oberfläche stattfinden – und nicht in der Masse – feinteiliges Material aktiver. Beispielsweise ist die Aktivität eines heterogenen Katalysators höher, wenn er in feinere Teilchen aufgeteilt wird.

Die Wärmeerzeugung aus einem chemischen Prozess skaliert mit dem Würfel der linearen Dimension (Höhe, Breite) des Gefäßes, aber die Gefäßoberfläche skaliert nur mit dem Quadrat der linearen Dimension. Folglich sind größere Gefäße viel schwieriger zu kühlen. Auch großflächige Rohrleitungen zur Übertragung heißer Flüssigkeiten sind in kleinem Maßstab schwer zu simulieren, da Wärme schneller aus kleineren Rohren übertragen wird. Wenn dies bei der Prozessplanung nicht berücksichtigt wird, kann dies zu einem katastrophalen thermischen Durchgehen führen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]


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