[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/10\/quadratwurfelgesetz-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/10\/quadratwurfelgesetz-wikipedia\/","headline":"Quadratw\u00fcrfelgesetz – Wikipedia","name":"Quadratw\u00fcrfelgesetz – Wikipedia","description":"before-content-x4 Mathematisches Prinzip Dieser Artikel handelt vom wissenschaftlichen Recht. 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Informationen zum Vorschlag zur Aufteilung des US-Kongresses finden Sie unter Kubikwurzelregel.  Das Quadratw\u00fcrfelgesetz wurde erstmals in erw\u00e4hnt Zwei neue Wissenschaften (1638).  Das Quadrat-W\u00fcrfel-Gesetz (oder W\u00fcrfel-Quadrat-Gesetz) ist ein mathematisches Prinzip, das auf verschiedenen wissenschaftlichen Gebieten angewendet wird und die Beziehung zwischen dem Volumen und der Oberfl\u00e4che beschreibt, wenn die Gr\u00f6\u00dfe einer Form zunimmt oder abnimmt.  Es wurde erstmals 1638 von Galileo Galilei in seinem beschrieben Zwei neue Wissenschaften da das “… Verh\u00e4ltnis zweier Volumina gr\u00f6\u00dfer ist als das Verh\u00e4ltnis ihrer Oberfl\u00e4chen”.[1]Dieses Prinzip besagt, dass mit zunehmender Gr\u00f6\u00dfe einer Form ihr Volumen schneller w\u00e4chst als ihre Oberfl\u00e4che.  In der realen Welt hat dieses Prinzip viele Auswirkungen, die in Bereichen vom Maschinenbau bis zur Biomechanik wichtig sind.  Es hilft, Ph\u00e4nomene zu erkl\u00e4ren, darunter, warum gro\u00dfe S\u00e4ugetiere wie Elefanten es schwerer haben, sich abzuk\u00fchlen als kleine wie M\u00e4use, und warum es immer schwieriger wird, immer gr\u00f6\u00dfere Wolkenkratzer zu bauen.  Table of ContentsBeschreibung[edit]Anwendungen[edit]Maschinenbau[edit]Technische Beispiele[edit]Biomechanik[edit]Stoff- und W\u00e4rme\u00fcbertragung[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Beschreibung[edit]  Diagramme der Oberfl\u00e4che, EIN gegen Volumen, V. der platonischen K\u00f6rper und einer Kugel, was zeigt, dass das Verh\u00e4ltnis von Oberfl\u00e4che zu Volumen mit zunehmendem Volumen abnimmt.  Ihre Abschnitte mit den gestrichelten Linien zeigen, dass die Oberfl\u00e4che 4 (2\u00b2) Mal zunimmt, wenn sich das Volumen um das 8 (2\u00b3) -fache erh\u00f6ht.Das Quadratw\u00fcrfelgesetz kann wie folgt angegeben werden:Wenn ein Objekt proportional gr\u00f6\u00dfer wird, ist seine neue Oberfl\u00e4che proportional zum Quadrat des Multiplikators und sein neues Volumen proportional zum W\u00fcrfel des Multiplikators.Mathematisch dargestellt:[2]  EIN2=EIN1((\u21132\u21131)2{ displaystyle A_ {2} = A_ {1}  left ({ frac { ell _ {2}} { ell _ {1}}}  right) ^ {2}}wo EIN1{ displaystyle A_ {1}}  ist die urspr\u00fcngliche Oberfl\u00e4che und EIN2{ displaystyle A_ {2}}  ist die neue Oberfl\u00e4che.V.2=V.1((\u21132\u21131)3{ displaystyle V_ {2} = V_ {1}  left ({ frac { ell _ {2}} { ell _ {1}}}  right) ^ {3}}wo V.1{ displaystyle V_ {1}}  ist das Originalvolumen, V.2{ displaystyle V_ {2}}  ist das neue Volumen, \u21131{ displaystyle  ell _ {1}}  ist die urspr\u00fcngliche L\u00e4nge und \u21132{ displaystyle  ell _ {2}}  ist die neue L\u00e4nge.Beispielsweise hat ein W\u00fcrfel mit einer Seitenl\u00e4nge von 1 Meter eine Oberfl\u00e4che von 6 m2 und ein Volumen von 1 m3.  Wenn die Abmessungen des W\u00fcrfels mit 2 multipliziert w\u00fcrden, w\u00fcrde seine Oberfl\u00e4che mit dem multipliziert Quadrat von 2 und werden 24 m2.  Sein Volumen w\u00fcrde mit dem multipliziert werden W\u00fcrfel von 2 und werden 8 m3.Der urspr\u00fcngliche W\u00fcrfel (1 m Seiten) hat ein Verh\u00e4ltnis von Oberfl\u00e4che zu Volumen von 6: 1.  Der gr\u00f6\u00dfere W\u00fcrfel (2 m Seiten) hat ein Verh\u00e4ltnis von Oberfl\u00e4che zu Volumen von (24\/8) 3: 1.  Mit zunehmenden Abmessungen w\u00e4chst das Volumen weiterhin schneller als die Oberfl\u00e4che.  Also das Quadratw\u00fcrfelgesetz.  Dieses Prinzip gilt f\u00fcr alle Feststoffe.[3]Anwendungen[edit]Maschinenbau[edit]Wenn ein physikalisches Objekt die gleiche Dichte beibeh\u00e4lt und vergr\u00f6\u00dfert wird, werden sein Volumen und seine Masse um den W\u00fcrfel des Multiplikators vergr\u00f6\u00dfert, w\u00e4hrend seine Oberfl\u00e4che nur um das Quadrat des Multiplikators zunimmt.  Dies w\u00fcrde bedeuten, dass, wenn die gr\u00f6\u00dfere Version des Objekts mit der gleichen Geschwindigkeit wie das Original beschleunigt wird, mehr Druck auf die Oberfl\u00e4che des gr\u00f6\u00dferen Objekts ausge\u00fcbt w\u00fcrde.Betrachten Sie ein einfaches Beispiel eines Massenk\u00f6rpers M mit einer Beschleunigung a und einer Oberfl\u00e4che A der Oberfl\u00e4che, auf die die Beschleunigungskraft wirkt.  Die Kraft aufgrund der Beschleunigung, F.=M.ein{ displaystyle F = Ma}  und der Schubdruck,  T.=F.EIN=M.einEIN{ displaystyle T = { frac {F} {A}} = M { frac {a} {A}}}.Betrachten Sie nun, dass das Objekt um einen Multiplikatorfaktor = x \u00fcbertrieben ist, so dass es eine neue Masse hat. M.‘=x3M.{ displaystyle M ‘= x ^ {3} M}und die Oberfl\u00e4che, auf die die Kraft wirkt, hat eine neue Oberfl\u00e4che, EIN‘=x2EIN{ displaystyle A ‘= x ^ {2} A}.Die neue Kraft durch Beschleunigung F.‘=x3M.ein{ displaystyle F ‘= x ^ {3} Ma}  und der resultierende Schubdruck,T.‘=F.‘EIN‘=x3x2\u00d7M.einEIN=x\u00d7M.einEIN=x\u00d7T.{ displaystyle { begin {align} T ‘& = { frac {F’} {A ‘}} \\ & = { frac {x ^ {3}} {x ^ {2}}}  times M. { frac {a} {A}} \\ & = x  mal M { frac {a} {A}} \\ & = x  mal T \\ end {align}}}Wenn Sie also nur die Gr\u00f6\u00dfe eines Objekts vergr\u00f6\u00dfern, das gleiche Konstruktionsmaterial (Dichte) und die gleiche Beschleunigung beibehalten, wird der Schub um den gleichen Skalierungsfaktor erh\u00f6ht.  Dies w\u00fcrde darauf hinweisen, dass das Objekt weniger widerstandsf\u00e4hig gegen Stress ist und beim Beschleunigen eher zum Kollabieren neigt.Aus diesem Grund schneiden gro\u00dfe Fahrzeuge bei Crashtests schlecht ab und es gibt Grenzen, wie hohe Geb\u00e4ude gebaut werden k\u00f6nnen.  Je gr\u00f6\u00dfer ein Objekt ist, desto weniger andere Objekte w\u00fcrden seiner Bewegung widerstehen und seine Verz\u00f6gerung verursachen.Technische Beispiele[edit]Dampfmaschine: James Watt, der als Instrumentenbauer an der Universit\u00e4t von Glasgow arbeitete, erhielt eine Newcomen-Dampfmaschine im Ma\u00dfstab 1: 10.  Watt erkannte das Problem als mit dem Quadratw\u00fcrfelgesetz verbunden an, da das Verh\u00e4ltnis von Oberfl\u00e4che zu Volumen des Zylinders des Modells gr\u00f6\u00dfer war als das der viel gr\u00f6\u00dferen kommerziellen Motoren, was zu einem \u00fcberm\u00e4\u00dfigen W\u00e4rmeverlust f\u00fchrte.[4]    Experimente mit diesem Modell f\u00fchrten zu Watt’s ber\u00fchmten Verbesserungen an der Dampfmaschine.  Eine Boeing 737-500 vor einem Airbus A380Airbus A380: Die Hub- und Steuerfl\u00e4chen (Tragfl\u00e4chen, Ruder und Aufz\u00fcge) sind im Vergleich zum Rumpf des Flugzeugs relativ gro\u00df.  Wenn Sie beispielsweise eine Boeing 737 nehmen und ihre Abmessungen lediglich auf die Gr\u00f6\u00dfe eines A380 vergr\u00f6\u00dfern, werden die Fl\u00fcgel aufgrund der Quadratw\u00fcrfel-Regel zu klein f\u00fcr das Flugzeuggewicht.Expander-Raketentriebwerke leiden unter dem Quadratw\u00fcrfelgesetz.  Ihre Gr\u00f6\u00dfe und damit ihr Schub sind durch die W\u00e4rme\u00fcbertragungseffizienz begrenzt, da die Oberfl\u00e4che der D\u00fcse langsamer zunimmt als das durch die D\u00fcse flie\u00dfende Kraftstoffvolumen.Ein Clipper ben\u00f6tigt relativ mehr Segeloberfl\u00e4che als eine Schaluppe, um die gleiche Geschwindigkeit zu erreichen, was bedeutet, dass zwischen diesen Fahrzeugen ein h\u00f6heres Verh\u00e4ltnis von Segeloberfl\u00e4che zu Segeloberfl\u00e4che besteht als ein Verh\u00e4ltnis von Gewicht zu Gewicht.Aerostate profitieren im Allgemeinen vom Quadratw\u00fcrfelgesetz.  Wie der Radius (r{ displaystyle r}) eines Ballons erh\u00f6ht wird, steigen die Kosten in der Oberfl\u00e4che quadratisch (r2{ displaystyle r ^ {2}}), aber der aus dem Volumen erzeugte Auftrieb nimmt kubisch zu (r3{ displaystyle r ^ {3}}).Tragwerksplanung: Materialien, die im kleinen Ma\u00dfstab arbeiten, funktionieren m\u00f6glicherweise nicht im gr\u00f6\u00dferen Ma\u00dfstab.  Beispielsweise skaliert die Druckspannung am Boden einer kleinen freistehenden S\u00e4ule mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Gr\u00f6\u00dfe der S\u00e4ule.  Daher gibt es f\u00fcr ein bestimmtes Material und eine bestimmte Dichte eine Gr\u00f6\u00dfe, bei der eine S\u00e4ule auf sich selbst kollabiert.Biomechanik[edit]Wenn ein Tier isometrisch um einen betr\u00e4chtlichen Betrag vergr\u00f6\u00dfert w\u00fcrde, w\u00fcrde seine relative Muskelkraft stark verringert, da der Querschnitt seiner Muskeln um die Gr\u00f6\u00dfe zunehmen w\u00fcrde Quadrat des Skalierungsfaktors, w\u00e4hrend seine Masse um die zunehmen w\u00fcrde W\u00fcrfel des Skalierungsfaktors.  Infolgedessen w\u00fcrden die Herz-Kreislauf- und Atmungsfunktionen stark belastet.Im Fall von fliegenden Tieren w\u00fcrde sich die Fl\u00fcgelbelastung erh\u00f6hen, wenn sie isometrisch vergr\u00f6\u00dfert w\u00fcrden, und sie m\u00fcssten daher schneller fliegen, um den gleichen Auftrieb zu erhalten.  Der Luftwiderstand pro Masseneinheit ist auch bei kleineren Tieren h\u00f6her (Verringerung der Endgeschwindigkeit), weshalb ein kleines Tier wie eine Ameise nicht ernsthaft durch Aufprall auf den Boden verletzt werden kann, nachdem es aus irgendeiner H\u00f6he fallen gelassen wurde.Wie von JBS Haldane angegeben, sehen gro\u00dfe Tiere nicht wie kleine Tiere aus: Ein Elefant kann nicht mit einer Maus verwechselt werden, deren Gr\u00f6\u00dfe vergr\u00f6\u00dfert ist.  Dies liegt an der allometrischen Skalierung: Die Knochen eines Elefanten sind notwendigerweise proportional viel gr\u00f6\u00dfer als die Knochen einer Maus, weil sie ein proportional h\u00f6heres Gewicht tragen m\u00fcssen.  Haldane illustriert dies in seinem wegweisenden Aufsatz von 1928 Auf die richtige Gr\u00f6\u00dfe in Bezug auf allegorische Riesen: “… betrachten Sie einen Mann 60 Fu\u00df hoch … Riesenpapst und Riesenheide in der Abbildung Pilgerfortschritt: … Diese Monster … wogen 1000-mal so viel wie Christian.  Jeder Quadratzentimeter eines riesigen Knochens musste das Zehnfache des Gewichts tragen, das ein Quadratzentimeter menschlicher Knochen tr\u00e4gt.  Da der durchschnittliche menschliche Oberschenkelknochen unter dem Zehnfachen des menschlichen Gewichts bricht, h\u00e4tten sich Papst und Heide jedes Mal, wenn sie einen Schritt machten, die Oberschenkel gebrochen. “[5]    Folglich zeigen die meisten Tiere eine allometrische Skalierung mit zunehmender Gr\u00f6\u00dfe, sowohl zwischen Arten als auch innerhalb einer Art.  Die riesigen Kreaturen, die in Monsterfilmen zu sehen sind (z. B. Godzilla, King Kong und Them!), Sind ebenfalls unrealistisch, da ihre schiere Gr\u00f6\u00dfe sie zum Zusammenbruch zwingen w\u00fcrde.Der Auftrieb von Wasser negiert jedoch in gewissem Ma\u00dfe die Auswirkungen der Schwerkraft.  Daher k\u00f6nnen Meerestiere ohne die gleichen muskuloskelettalen Strukturen, die f\u00fcr \u00e4hnlich gro\u00dfe Landtiere erforderlich w\u00e4ren, sehr gro\u00df werden, und es ist kein Zufall, dass die gr\u00f6\u00dften Tiere, die jemals auf der Erde existieren, Wassertiere sind.Die Stoffwechselrate von Tieren skaliert nach einem mathematischen Prinzip, das als Viertelskalierung bezeichnet wird[6]  nach der metabolischen Theorie der \u00d6kologie.Stoff- und W\u00e4rme\u00fcbertragung[edit]Der Massentransfer wie die Diffusion zu kleineren Objekten wie lebenden Zellen ist schneller als die Diffusion zu gr\u00f6\u00dferen Objekten wie ganzen Tieren.  Daher ist bei chemischen Prozessen, die auf einer Oberfl\u00e4che stattfinden – und nicht in der Masse – feinteiliges Material aktiver.  Beispielsweise ist die Aktivit\u00e4t eines heterogenen Katalysators h\u00f6her, wenn er in feinere Teilchen aufgeteilt wird.Die W\u00e4rmeerzeugung aus einem chemischen Prozess skaliert mit dem W\u00fcrfel der linearen Dimension (H\u00f6he, Breite) des Gef\u00e4\u00dfes, aber die Gef\u00e4\u00dfoberfl\u00e4che skaliert nur mit dem Quadrat der linearen Dimension.  Folglich sind gr\u00f6\u00dfere Gef\u00e4\u00dfe viel schwieriger zu k\u00fchlen.  Auch gro\u00dffl\u00e4chige Rohrleitungen zur \u00dcbertragung hei\u00dfer Fl\u00fcssigkeiten sind in kleinem Ma\u00dfstab schwer zu simulieren, da W\u00e4rme schneller aus kleineren Rohren \u00fcbertragen wird.  Wenn dies bei der Prozessplanung nicht ber\u00fccksichtigt wird, kann dies zu einem katastrophalen thermischen Durchgehen f\u00fchren.Siehe auch[edit]Verweise[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/10\/quadratwurfelgesetz-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Quadratw\u00fcrfelgesetz – Wikipedia"}}]}]