[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/24\/gleichungen-fur-einen-fallenden-korper\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/24\/gleichungen-fur-einen-fallenden-korper\/","headline":"Gleichungen f\u00fcr einen fallenden K\u00f6rper","name":"Gleichungen f\u00fcr einen fallenden K\u00f6rper","description":"Mathematische Beschreibung eines K\u00f6rpers im freien Fall Eine Menge von Gleichungen beschreiben die resultierenden Trajektorien, wenn sich Objekte aufgrund einer","datePublished":"2020-12-24","dateModified":"2020-12-24","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/0\/02\/Falling_ball.jpg\/250px-Falling_ball.jpg","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/0\/02\/Falling_ball.jpg\/250px-Falling_ball.jpg","height":"840","width":"250"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/24\/gleichungen-fur-einen-fallenden-korper\/","wordCount":2705,"articleBody":"Mathematische Beschreibung eines K\u00f6rpers im freien Fall  Eine Menge von Gleichungen beschreiben die resultierenden Trajektorien, wenn sich Objekte aufgrund einer konstanten Gravitationskraft unter normalen erdgebundenen Bedingungen bewegen.  Zum Beispiel vereinfacht sich Newtons Gesetz der universellen Gravitation zu F. = mg, wo m ist die Masse des K\u00f6rpers.  Diese Annahme ist vern\u00fcnftig f\u00fcr Objekte, die \u00fcber die relativ kurzen vertikalen Entfernungen unserer t\u00e4glichen Erfahrung auf die Erde fallen, ist jedoch \u00fcber gr\u00f6\u00dfere Entfernungen, wie z. B. Flugbahnen von Raumfahrzeugen, nicht wahr.Table of ContentsGeschichte[edit]\u00dcberblick[edit]Gleichungen[edit]Beispiel[edit]Beschleunigung relativ zur rotierenden Erde[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Geschichte[edit]Galileo war der erste, der diese Gleichungen demonstrierte und dann formulierte.  Er benutzte eine Rampe, um rollende B\u00e4lle zu untersuchen. Die Rampe verlangsamte die Beschleunigung genug, um die Zeit zu messen, die der Ball brauchte, um eine bekannte Strecke zu rollen.[1][2]  Er ma\u00df die verstrichene Zeit mit einer Wasseruhr, wobei er eine “\u00e4u\u00dferst genaue Waage” verwendete, um die Wassermenge zu messen.[note 1]  Die Gleichungen ignorieren den Luftwiderstand, was sich dramatisch auf Objekte auswirkt, die eine nennenswerte Entfernung in die Luft fallen, wodurch sie sich schnell einer Endgeschwindigkeit n\u00e4hern.  Der Effekt des Luftwiderstands variiert enorm in Abh\u00e4ngigkeit von der Gr\u00f6\u00dfe und Geometrie des fallenden Objekts. Beispielsweise sind die Gleichungen f\u00fcr eine Feder, die eine geringe Masse hat, aber einen gro\u00dfen Widerstand gegen die Luft bietet, hoffnungslos falsch.  (In Abwesenheit einer Atmosph\u00e4re fallen alle Objekte mit der gleichen Geschwindigkeit, wie der Astronaut David Scott demonstrierte, indem er einen Hammer und eine Feder auf die Oberfl\u00e4che des Mondes fallen lie\u00df.)Die Gleichungen ignorieren auch die Rotation der Erde und beschreiben beispielsweise nicht den Coriolis-Effekt.  Trotzdem sind sie normalerweise genau genug f\u00fcr dichte und kompakte Objekte, die \u00fcber H\u00f6hen fallen, die die h\u00f6chsten k\u00fcnstlichen Strukturen nicht \u00fcberschreiten.\u00dcberblick[edit]  Ein anf\u00e4nglich station\u00e4res Objekt, das unter der Schwerkraft frei fallen darf, f\u00e4llt um eine Entfernung proportional zum Quadrat der verstrichenen Zeit.  Dieses Bild, das sich \u00fcber eine halbe Sekunde erstreckte, wurde mit einem Stroboskopblitz mit 20 Blitzen pro Sekunde aufgenommen.  W\u00e4hrend der ersten 0,05 s f\u00e4llt der Ball um eine Distanzeinheit (ca. 12 mm), um 0,10 s um insgesamt 4 Einheiten, um 0,15 s um 9 Einheiten und so weiter.In der N\u00e4he der Erdoberfl\u00e4che die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft G = 9,807 m \/ s2 (Quadratmeter pro Sekunde, was als “Meter pro Sekunde pro Sekunde” oder 32,18 ft \/ s angesehen werden kann2 als “Fu\u00df pro Sekunde pro Sekunde”) ungef\u00e4hr.  Eine zusammenh\u00e4ngende Reihe von Einheiten f\u00fcr G, d, t  und v  ist bedeutsam.  Angenommene SI-Einheiten, G  wird in Metern pro Sekunde im Quadrat gemessen, also d  muss in Metern gemessen werden, t  in Sekunden und v  in Metern pro Sekunde.  In allen F\u00e4llen wird angenommen, dass der K\u00f6rper aus der Ruhe kommt und der Luftwiderstand vernachl\u00e4ssigt wird.  Im Allgemeinen sind in der Erdatmosph\u00e4re alle folgenden Ergebnisse nach nur 5 Sekunden Fall ziemlich ungenau (zu diesem Zeitpunkt liegt die Geschwindigkeit eines Objekts etwas unter dem Vakuumwert von 49 m \/ s (9,8 m \/ s)2 \u00d7 5 s) aufgrund von Luftwiderstand).  Der Luftwiderstand induziert eine Widerstandskraft auf jeden K\u00f6rper, der durch eine andere Atmosph\u00e4re als ein perfektes Vakuum f\u00e4llt, und diese Widerstandskraft nimmt mit der Geschwindigkeit zu, bis sie der Gravitationskraft entspricht, so dass das Objekt mit einer konstanten Endgeschwindigkeit fallen kann.Die Endgeschwindigkeit h\u00e4ngt vom Luftwiderstand, dem Luftwiderstandsbeiwert f\u00fcr das Objekt, der (momentanen) Geschwindigkeit des Objekts und der dem Luftstrom pr\u00e4sentierten Fl\u00e4che ab.Abgesehen von der letzten Formel nehmen diese Formeln auch dies an G  variiert vernachl\u00e4ssigbar mit der H\u00f6he w\u00e4hrend des Sturzes (dh sie nehmen eine konstante Beschleunigung an).  Die letzte Gleichung ist genauer, wenn signifikante \u00c4nderungen der Bruchentfernung vom Zentrum des Planeten w\u00e4hrend des Sturzes signifikante \u00c4nderungen in verursachen G.  Diese Gleichung kommt in vielen Anwendungen der Grundphysik vor.Gleichungen[edit]  Gemessene Fallzeit einer kleinen Stahlkugel, die aus verschiedenen H\u00f6hen f\u00e4llt.  Die Daten stimmen gut mit der vorhergesagten Abfallzeit von \u00fcberein 2h\/.G{ displaystyle { sqrt {2h \/ g}}}, wo h  ist die H\u00f6he und G  ist die Beschleunigung der Schwerkraft.Beispiel[edit]Die erste Gleichung zeigt, dass ein Objekt nach einer Sekunde eine Strecke von 1\/2 \u00d7 9,8 \u00d7 1 gefallen ist2 = 4,9 m.  Nach zwei Sekunden ist es 1\/2 \u00d7 9,8 \u00d7 2 gefallen2 = 19,6 m;  und so weiter.  Die vorletzte Gleichung wird bei gro\u00dfen Entfernungen grob ungenau.  Wenn ein Objekt gefallen ist 10\u2009000 m zur Erde, dann unterscheiden sich die Ergebnisse beider Gleichungen nur um 0,08\u2009%;  wenn es jedoch aus der geosynchronen Umlaufbahn fiel, die 42 ist\u2009164 km, dann \u00e4ndert sich der Unterschied auf fast 64\u2009%.Basierend auf dem Windwiderstand betr\u00e4gt die Endgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers in einer frei fallenden Position von Bauch zu Erde (dh mit dem Gesicht nach unten) etwa 195 km \/ h (122 mph oder 54 m \/ s).  Diese Geschwindigkeit ist der asymptotische Grenzwert des Beschleunigungsprozesses, da sich die effektiven Kr\u00e4fte auf den K\u00f6rper mit Ann\u00e4herung an die Endgeschwindigkeit immer enger ausgleichen.  In diesem Beispiel eine Geschwindigkeit von 50\u2009% der Endgeschwindigkeit wird nach nur etwa 3 Sekunden erreicht, w\u00e4hrend es 8 Sekunden dauert, bis 90 erreicht sind\u2009%, 15 Sekunden, um 99 zu erreichen\u2009% und so weiter.H\u00f6here Geschwindigkeiten k\u00f6nnen erreicht werden, wenn der Fallschirmspringer an seinen Gliedern zieht (siehe auch Freifliegen).  In diesem Fall steigt die Endgeschwindigkeit auf etwa 320 km \/ h (90 mph \/ 90 m \/ s), was fast der Endgeschwindigkeit des Wanderfalken entspricht, der auf seine Beute abtaucht.  Die gleiche Endgeschwindigkeit wird f\u00fcr eine typische .30-06-Kugel erreicht, die nach unten f\u00e4llt – wenn sie zur Erde zur\u00fcckkehrt, nachdem sie nach oben abgefeuert oder von einem Turm gefallen ist – gem\u00e4\u00df einer Ordnance-Studie der US-Armee von 1920.Fallschirmspringer fliegen in der Kopf-nach-unten-Position und erreichen noch h\u00f6here Geschwindigkeiten.  Der aktuelle Weltrekord liegt bei 1\u2009357,6 km \/ h von Felix Baumgartner, der von 38 sprang\u2009969,4 m (127\u2009852,4 ft) \u00fcber der Erde am 14. Oktober 2012. Der Rekord wurde aufgrund der gro\u00dfen H\u00f6he aufgestellt, in der die geringere Dichte der Atmosph\u00e4re den Luftwiderstand verringerte.F\u00fcr andere astronomische K\u00f6rper als die Erde und f\u00fcr kurze Falldistanzen auf einer anderen als “Boden” -Niveau, G  in den obigen Gleichungen kann durch ersetzt werden G((M.+m)r2{ displaystyle { frac {G (M + m)} {r ^ {2}}}}  wo G  ist die Gravitationskonstante, M.  ist die Masse des astronomischen K\u00f6rpers, m  ist die Masse des fallenden K\u00f6rpers, und r  ist der Radius vom fallenden Objekt zum Zentrum des astronomischen K\u00f6rpers.Das Entfernen der vereinfachenden Annahme einer gleichm\u00e4\u00dfigen Gravitationsbeschleunigung liefert genauere Ergebnisse.  Wir finden aus der Formel f\u00fcr radiale elliptische Trajektorien:Die Zeit t  genommen, damit ein Objekt aus einer H\u00f6he f\u00e4llt r  zu einer H\u00f6he x, gemessen von den Zentren der beiden K\u00f6rper, ist gegeben durch:t=Arccos\u2061((xr)+xr ((1– –xr)2\u03bcr3\/.2{ displaystyle t = { frac { arccos { Big (} { sqrt { frac {x} {r}}} { Big)} + { sqrt {{ frac {x} {r}}  (1 – { frac {x} {r}})}} { sqrt {2  mu}}} , r ^ {3\/2}}wo \u03bc=G((m1+m2){ displaystyle  mu = G (m_ {1} + m_ {2})}  ist die Summe der Standard-Gravitationsparameter der beiden K\u00f6rper.  Diese Gleichung sollte immer dann verwendet werden, wenn sich die Gravitationsbeschleunigung w\u00e4hrend des Sturzes signifikant unterscheidet.Beschleunigung relativ zur rotierenden Erde[edit]Durch die Zentripetalkraft unterscheidet sich die auf der rotierenden Erdoberfl\u00e4che gemessene Beschleunigung von der f\u00fcr einen frei fallenden K\u00f6rper gemessenen Beschleunigung: Die scheinbare Beschleunigung im rotierenden Referenzrahmen ist der Gesamtgravitationsvektor abz\u00fcglich eines kleinen Vektors nach Norden. S\u00fcdachse der Erde, entsprechend dem station\u00e4ren Bleiben in diesem Bezugsrahmen.Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Wikimedia Commons hat Medien im Zusammenhang mit Freier Fall."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/24\/gleichungen-fur-einen-fallenden-korper\/#breadcrumbitem","name":"Gleichungen f\u00fcr einen fallenden K\u00f6rper"}}]}]