[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/24\/goldene-spirale-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/24\/goldene-spirale-wikipedia\/","headline":"Goldene Spirale – Wikipedia","name":"Goldene Spirale – Wikipedia","description":"Goldene Spiralen sind sich selbst \u00e4hnlich. Die Form wird bei Vergr\u00f6\u00dferung unendlich oft wiederholt. 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Die Form wird bei Vergr\u00f6\u00dferung unendlich oft wiederholt.In der Geometrie a goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale, deren Wachstumsfaktor ist \u03c6, der goldene Schnitt.[1]  Das hei\u00dft, eine goldene Spirale wird um einen Faktor von breiter (oder weiter von ihrem Ursprung entfernt) \u03c6 f\u00fcr jede viertel Umdrehung macht es.  Table of ContentsAnn\u00e4herungen an die goldene Spirale[edit]Spiralen in der Natur[edit]Mathematik[edit]Polare Neigung[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Ann\u00e4herungen an die goldene Spirale[edit]    Ungef\u00e4hre und wahre goldene Spiralen: die Gr\u00fcn Die Spirale besteht aus Viertelkreisen, die das Innere jedes Quadrats tangieren, w\u00e4hrend die rot Spirale ist eine goldene Spirale, eine spezielle Art von logarithmischer Spirale.  \u00dcberlappende Teile werden angezeigt Gelb.  Die L\u00e4nge der Seite eines gr\u00f6\u00dferen Quadrats zum n\u00e4chst kleineren Quadrat liegt im goldenen Schnitt.  F\u00fcr ein Quadrat mit Seitenl\u00e4nge 1ist das n\u00e4chst kleinere Quadrat 1 \/ \u03c6 breit.  Die n\u00e4chste Breite ist 1 \/ \u03c6\u00b2, dann 1 \/ \u03c6\u00b3, und so weiter.Es gibt mehrere vergleichbare Spiralen, die einer goldenen Spirale nahe kommen, aber nicht genau gleich sind.[2]Zum Beispiel kann eine goldene Spirale angen\u00e4hert werden, indem zuerst mit einem Rechteck begonnen wird, f\u00fcr das das Verh\u00e4ltnis zwischen L\u00e4nge und Breite der goldene Schnitt ist.  Dieses Rechteck kann dann in ein Quadrat und ein \u00e4hnliches Rechteck unterteilt werden, und dieses neueste Rechteck kann dann auf die gleiche Weise geteilt werden.  Nachdem Sie diesen Vorgang f\u00fcr eine beliebige Anzahl von Schritten fortgesetzt haben, wird das Rechteck fast vollst\u00e4ndig in Quadrate unterteilt.  Die Ecken dieser Quadrate k\u00f6nnen durch Viertelkreise verbunden werden.  Das Ergebnis ist zwar keine echte logarithmische Spirale, kommt aber einer goldenen Spirale sehr nahe.[2]Eine weitere Ann\u00e4herung ist eine Fibonacci-Spirale, die etwas anders aufgebaut ist.  Eine Fibonacci-Spirale beginnt mit einem Rechteck, das in zwei Quadrate unterteilt ist.  In jedem Schritt wird dem Rechteck ein Quadrat mit der L\u00e4nge der l\u00e4ngsten Seite des Rechtecks \u200b\u200bhinzugef\u00fcgt.  Da sich das Verh\u00e4ltnis zwischen aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt n\u00e4hert, wenn sich die Fibonacci-Zahlen der Unendlichkeit n\u00e4hern, wird auch diese Spirale der vorherigen N\u00e4herung \u00e4hnlicher, je mehr Quadrate hinzugef\u00fcgt werden, wie das Bild zeigt.Spiralen in der Natur[edit]In der Natur k\u00f6nnen ungef\u00e4hre logarithmische Spiralen auftreten, beispielsweise die Arme von Spiralgalaxien[3]  – Goldene Spiralen sind ein Sonderfall dieser logarithmischen Spiralen, obwohl es keine Hinweise darauf gibt, dass eine allgemeine Tendenz zu diesem Fall besteht.  Die Phyllotaxis ist mit dem goldenen Schnitt verbunden, da aufeinanderfolgende Bl\u00e4tter oder Bl\u00fctenbl\u00e4tter durch den goldenen Winkel getrennt werden.  es f\u00fchrt auch zur Entstehung von Spiralen, obwohl wiederum keine von ihnen (notwendigerweise) goldene Spiralen sind.  Es wird manchmal behauptet, dass Spiralgalaxien und Nautilusschalen im Muster einer goldenen Spirale breiter werden und daher mit beiden verwandt sind \u03c6 und die Fibonacci-Serie.[4]  In Wahrheit weisen Spiralgalaxien und Nautilusschalen (und viele Molluskenschalen) ein logarithmisches Spiralwachstum auf, jedoch in einer Vielzahl von Winkeln, die sich normalerweise deutlich von denen der goldenen Spirale unterscheiden.[5][6][7]    Dieses Muster erm\u00f6glicht es dem Organismus zu wachsen, ohne seine Form zu \u00e4ndern.[citation needed]Mathematik[edit]  Eine Fibonacci-Spirale approximiert die goldene Spirale unter Verwendung von Viertelkreisb\u00f6gen, die in Quadrate eingeschrieben sind, die aus der Fibonacci-Sequenz abgeleitet sind.Eine goldene Spirale mit dem Anfangsradius 1 ist der Ort der Punkte der Polarkoordinaten ((r,\u03b8){ displaystyle (r,  theta)}  befriedigendr=\u03c6\u03b82\u03c0{ displaystyle r =  varphi ^ { theta { frac {2} { pi}}} ,}Die polare Gleichung f\u00fcr eine goldene Spirale ist dieselbe wie f\u00fcr andere logarithmische Spiralen, jedoch mit einem speziellen Wert des Wachstumsfaktors b::[8]r=eineb\u03b8{ displaystyle r = ae ^ {b  theta} ,}oder\u03b8=1bln\u2061((r\/.ein),{ displaystyle  theta = { frac {1} {b}}  ln (r \/ a),}mit e die Basis nat\u00fcrlicher Logarithmen sein, ein der Anfangsradius der Spirale ist, und b so dass wenn \u03b8 ist ein rechter Winkel (eine viertel Umdrehung in beide Richtungen):eb\u03b8richGht=\u03c6{ displaystyle e ^ {b  theta _ { mathrm {right}}} , =  varphi}Deshalb, b ist gegeben durchb=ln\u2061\u03c6\u03b8richGht.{ displaystyle b = { ln { varphi}  over  theta _ { mathrm {right}}}.}  Die Lucas-Spirale n\u00e4hert sich der goldenen Spirale an, wenn ihre Begriffe gro\u00df sind, aber nicht, wenn sie klein sind.  10 Begriffe von 2 bis 76 sind enthalten.Der numerische Wert von b h\u00e4ngt davon ab, ob der rechte Winkel als 90 Grad oder als gemessen wird \u03c02{ displaystyle  textstyle { frac { pi} {2}}}  Bogenma\u00df;  und da der Winkel in beide Richtungen sein kann, ist es am einfachsten, die Formel f\u00fcr den absoluten Wert von zu schreiben b{ displaystyle b}  (das ist, b kann auch das Negative dieses Wertes sein):|b|=ln\u2061\u03c690\u22500,0053468{ displaystyle | b | = { ln { varphi}  over 90}  doteq 0.0053468 ,}  zum \u03b8 in Grad;|b|=ln\u2061\u03c6\u03c0\/.2\u22500,3063489{ displaystyle | b | = { ln { varphi}  over  pi \/ 2}  doteq 0.3063489 ,}  zum \u03b8 im Bogenma\u00df. OEIS: A212225Eine alternative Formel f\u00fcr eine logarithmische und goldene Spirale lautet:[9]r=einc\u03b8{ displaystyle r = ac ^ { theta} ,}wo die Konstante c ist gegeben durch:c=eb{ displaystyle c = e ^ {b} ,}was f\u00fcr die goldene Spirale gibt c Werte von:c=\u03c6190\u22501.0053611{ displaystyle c =  varphi ^ { frac {1} {90}}  doteq 1.0053611}wenn \u03b8 wird in Grad gemessen undc=\u03c62\u03c0\u22501,358456.{ displaystyle c =  varphi ^ { frac {2} { pi}}  doteq 1.358456.} OEIS: A212224wenn \u03b8 wird im Bogenma\u00df gemessen.In Bezug auf logarithmische Spiralen hat die goldene Spirale die unterscheidende Eigenschaft, dass f\u00fcr vier kollineare Spiralpunkte A, B, C, D zu Argumenten geh\u00f6ren\u03b8, \u03b8 + \u03c0, \u03b8 + 2\u03c0, \u03b8 + 3\u03c0der Punkt C ist das projektive harmonische Konjugat von B in Bezug auf A, D, dh das Kreuzverh\u00e4ltnis (A, D; B, C) hat den Singularwert \u22121.  Die goldene Spirale ist die einzige logarithmische Spirale mit (A, D; B, C) = (A, D; C, B).Polare Neigung[edit]  Definition von Neigungswinkel und SektorIn der polaren Gleichung f\u00fcr eine logarithmische Spirale:r=eineb\u03b8{ displaystyle r = ae ^ {b  theta} ,}der Parameter b h\u00e4ngt mit dem polaren Neigungswinkel zusammen \u03b1{ displaystyle  alpha} ::br\u00e4unen\u2061\u03b1=b{ displaystyle  tan  alpha = b}.In einer goldenen Spirale sein b{ displaystyle b}  konstant und gleich |b|=ln\u2061\u03c6\u03c0\/.2{ displaystyle | b | = { ln { varphi}  over  pi \/ 2}}  (zum \u03b8 im Bogenma\u00df (wie oben definiert) der Neigungswinkel \u03b1{ displaystyle  alpha}  ist:\u03b1=Arctan\u2061((|b|)=Arctan\u2061((ln\u2061\u03c6\u03c0\/.2){ displaystyle  alpha =  arctan (| b |) =  arctan  left ({ ln { varphi}  over  pi \/ 2}  right)}, daher:\u03b1\u225017.03239113{ displaystyle  alpha  doteq 17.03239113}  wenn in Grad gemessen, oder\u03b1\u22500,2972713047{ displaystyle  alpha  doteq 0.2972713047}  wenn im Bogenma\u00df gemessen. OEIS: A335605Sein komplement\u00e4rer Winkel\u03b2=\u03c0\/.2– –\u03b1\u22501,273525022{ displaystyle  beta =  pi \/ 2-  alpha  doteq 1.273525022}  (im Bogenma\u00df) oder\u03b2=90– –\u03b1\u225073{ displaystyle  beta = 90-  alpha  doteq 73}  (in Grad)ist der Winkel, den die goldenen Spiralarme mit einer Linie von der Mitte der Spirale bilden.Siehe auch[edit]  Litauische M\u00fcnze mit der SpiraleVerweise[edit]^ Chang, Yu-sung, “Goldene Spirale Archiviert 2019-07-28 at the Wayback Machine “, Das Wolfram-Demonstrationsprojekt.^ ein b Madden, Charles B. (2005) [1999]. Fib und Phi in der Musik: Die musikalische Form des goldenen Anteils.  Hohe Kunstpresse.  S. 14\u201316.  ISBN 978-0967172767.^ Midhat Gazale (1999). Gnomon: Von Pharaonen zu Fraktalen.  Princeton University Press.  p.  3. ISBN 9780691005140.^ Zum Beispiel diese B\u00fccher:Jan CA Boeyens (2009). Chemie nach ersten Prinzipien.  Springer.  p.  261. ISBN 9781402085451.,PD Frey (2011). Grenzen der Identit\u00e4t: Die pers\u00f6nliche Erforschung eines Psychologen.  Xlibris Corporation.  ISBN 9781465355850.[self-published source],Russell Howell und James Bradley (2011). Mathematik mit den Augen des Glaubens.  HarperCollins.  p.  162. ISBN 978-0062024473.,Charles Seife (2000). Null: Die Biographie einer gef\u00e4hrlichen Idee.  Pinguin.  p. 40.  ISBN 978-0140296471.,Sandra Kynes (2008). Seemagie: Verbindung mit der Energie des Ozeans.  Llewellyn weltweit.  p.  100. ISBN 9780738713533.,Bruce Burger (1998). Esoterische Anatomie: Der K\u00f6rper als Bewusstsein.  Nordatlantische B\u00fccher.  p.  144. ISBN 9781556432248.^ David Darling (2004). Das universelle Buch der Mathematik: Von Abrakadabra zu Zenos Paradoxien.  John Wiley & Sons.  p.  188. ISBN 9780471270478.^ Devlin, Keith (Mai 2007). “Der Mythos, der nicht verschwinden wird”.^ Peterson, Ivars (01.04.2005). “Sea Shell Spirals”. Wissenschaftsnachrichten.  Gesellschaft f\u00fcr Wissenschaft und \u00d6ffentlichkeit.^ Priya Hemenway (2005). G\u00f6ttlicher Anteil: \u03a6 Phi in Kunst, Natur und Wissenschaft.  Sterling Publishing Co., S. 127\u2013129.  ISBN 1-4027-3522-7.^ Klaus Mainzer (1996). Symmetrien der Natur: Ein Handbuch f\u00fcr Natur- und Wissenschaftstheorie.  Walter de Gruyter.  S. 45, 199\u2013200.  ISBN 3-11-012990-6.[[Category:Golden ratio]l]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki8\/2020\/12\/24\/goldene-spirale-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Goldene Spirale – Wikipedia"}}]}]