[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki9\/2020\/12\/26\/moment-mathematik-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki9\/2020\/12\/26\/moment-mathematik-wikipedia\/","headline":"Moment (Mathematik) – Wikipedia","name":"Moment (Mathematik) – Wikipedia","description":"In der Mathematik ist die Momente einer Funktion sind quantitative Ma\u00dfe, die sich auf die Form des Funktionsgraphen beziehen. 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Das Konzept wird sowohl in der Mechanik als auch in der Statistik verwendet.  Wenn die Funktion Masse darstellt, ist das nullte Moment die Gesamtmasse, das erste Moment geteilt durch die Gesamtmasse ist der Schwerpunkt und das zweite Moment ist die Rotationstr\u00e4gheit.  Wenn die Funktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, ist das nullte Moment die Gesamtwahrscheinlichkeit (dh eins), das erste Moment ist der erwartete Wert, das zweite zentrale Moment ist die Varianz, das dritte standardisierte Moment ist die Schiefe und das vierte standardisierte Moment ist die Kurtosis.  Das mathematische Konzept ist eng mit dem Konzept des Moments in der Physik verwandt.  F\u00fcr eine Verteilung der Masse oder Wahrscheinlichkeit in einem begrenzten Intervall wird die Sammlung aller Momente (aller Ordnungen, aus 0 zu \u221e) bestimmt eindeutig die Verteilung (Hausdorff-Momentproblem).  Gleiches gilt nicht f\u00fcr unbegrenzte Intervalle (Hamburger Momentproblem).Table of ContentsBedeutung der Momente[edit]Bedeuten[edit]Varianz[edit]Standardisierte Momente[edit]Schiefe[edit]Kurtosis[edit]Gemischte Momente[edit]H\u00f6here Momente[edit]Eigenschaften von Momenten[edit]Transformation des Zentrums[edit]Momente der Faltung von Funktionen[edit]Kumulanten[edit]Beispielmomente[edit]Problem der Momente[edit]Teilmomente[edit]Zentrale Momente in metrischen R\u00e4umen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]Externe Links[edit]Bedeutung der Momente[edit]Das n-th Moment einer reellen stetigen Funktion f((x) einer reellen Variablen \u00fcber einen Wert c ist  \u03bcn=\u222b– –\u221e\u221e((x– –c)nf((x)dx.{ displaystyle  mu _ {n} =  int _ {-  infty} ^ { infty} (xc) ^ {n} , f (x) ,  mathrm {d} x.}Es ist m\u00f6glich, Momente f\u00fcr Zufallsvariablen allgemeiner zu definieren als Momente f\u00fcr reale Werte – siehe Momente in metrischen R\u00e4umen.  Der Moment einer Funktion bezieht sich ohne weitere Erkl\u00e4rung normalerweise auf den obigen Ausdruck mit c = 0.F\u00fcr den zweiten und h\u00f6heren Moment den zentralen Moment (Momente um den Mittelwert, mit c (Mittelwert) werden normalerweise anstelle der Momente um Null verwendet, da sie klarere Informationen \u00fcber die Form der Verteilung liefern.Es k\u00f6nnen auch andere Momente definiert werden.  Zum Beispiel die n-th inverses Moment um Null ist   E.\u2061[X\u2212n]{ displaystyle  operatorname {E}  left[X^{-n}right]}}  und die n-th logarithmisches Moment um Null ist E.\u2061[lnn\u2061(X)].{ displaystyle  operatorname {E}  left[ln ^{n}(X)right].}Das n-th Moment um Null einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f((x) ist der erwartete Wert von X.n  und hei\u00dft a roher Moment oder roher Moment.[1]  Die Momente \u00fcber seinen Mittelwert \u03bc werden genannt zentral Momente;  Diese beschreiben die Form der Funktion unabh\u00e4ngig von der \u00dcbersetzung.Wenn f ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, dann wird der Wert des obigen Integrals als bezeichnet n-th Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung.  Allgemeiner, wenn F. ist eine kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilung, die m\u00f6glicherweise keine Dichtefunktion hat, dann die n-th Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch das Riemann-Stieltjes-Integral gegeben\u03bcn‘=E.\u2061[Xn]=\u222b– –\u221e\u221exndF.((x){ displaystyle  mu ‘_ {n} =  operatorname {E}  left[X^{n}right]=  int _ {-  infty} ^ { infty} x ^ {n} ,  mathrm {d} F (x) ,}wo X. ist eine Zufallsvariable mit dieser kumulativen Verteilung F., und E. ist der Erwartungsoperator oder Mittelwert.WannE.\u2061[|Xn|]=\u222b– –\u221e\u221e|xn|dF.((x)=\u221e,{ displaystyle  operatorname {E}  left[left|X^{n}right|right]=  int _ {-  infty} ^ { infty}  left | x ^ {n}  right | ,  mathrm {d} F (x) =  infty,}dann soll der Moment nicht existieren.  Wenn die n-th Moment \u00fcber jeden Punkt existiert, so auch die ((n – 1)-th Moment (und damit alle Momente niedrigerer Ordnung) \u00fcber jeden Punkt.Das nullte Moment einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist 1, da die Fl\u00e4che unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gleich eins sein muss.Bedeutung von Momenten (roh, zentral, normalisiert) und Kumulanten (roh, normalisiert) in Verbindung mit benannten Eigenschaften von VerteilungenMoment Ordinal-MomentKumulativRohZentralStandardisiertRohNormalisiert1Bedeuten00BedeutenN \/ A2– –Varianz1Varianz13– –– –Schiefe– –Schiefe4– –– –(Nicht \u00fcbersch\u00fcssige oder historische) Kurtosis– –\u00dcberm\u00e4\u00dfige Kurtosis5– –– –Hyperskewness– –– –6– –– –Hypertailedness– –– –7+– –– –– –– –– –Bedeuten[edit]Der erste rohe Moment ist der Mittelwert, der normalerweise bezeichnet wird \u03bc\u2261E.\u2061[X].{ displaystyle  mu  equiv  operatorname {E} [X].}Varianz[edit]Das zweite zentrale Moment ist die Varianz.  Die positive Quadratwurzel der Varianz ist die Standardabweichung \u03c3\u2261((E.\u2061[(x\u2212\u03bc)2])12.{ displaystyle  sigma  equiv  left ( operatorname {E}  left[(x-mu )^{2}right] right) ^ { frac {1} {2}}.}Standardisierte Momente[edit]Das normalisiert n-th zentrales Moment oder standardisiertes Moment ist das n-th zentrales Moment geteilt durch \u03c3n;;  das normalisierte n-th zentrales Moment der Zufallsvariablen X. ist \u03bcn\u03c3n=E.\u2061[(X\u2212\u03bc)n]\u03c3n.{ displaystyle { frac { mu _ {n}} { sigma ^ {n}}} = { frac { operatorname {E}  left[(X-mu )^{n}right]} { sigma ^ {n}}}.}Diese normalisierten zentralen Momente sind dimensionslose Gr\u00f6\u00dfen, die die Verteilung unabh\u00e4ngig von einer linearen \u00c4nderung des Ma\u00dfstabs darstellen.Bei einem elektrischen Signal ist das erste Moment der Gleichstrompegel und das zweite Moment proportional zur Durchschnittsleistung.[2][3]Schiefe[edit]Das dritte zentrale Moment ist das Ma\u00df f\u00fcr die Einseitigkeit der Verteilung;  Jede symmetrische Verteilung hat, falls definiert, ein drittes zentrales Moment von Null.  Das normalisierte dritte zentrale Moment wird oft als Schiefe bezeichnet \u03b3.  Eine Verteilung, die nach links geneigt ist (der Schwanz der Verteilung ist links l\u00e4nger), weist eine negative Schiefe auf.  Eine Verteilung, die nach rechts geneigt ist (der Schwanz der Verteilung ist rechts l\u00e4nger), weist eine positive Schiefe auf.Bei Verteilungen, die sich nicht zu stark von der Normalverteilung unterscheiden, liegt der Median in der N\u00e4he \u03bc – – \u03b3\u03c3\/ 6;;  der Modus \u00fcber \u03bc – – \u03b3\u03c3\/ 2.Kurtosis[edit]Das vierte zentrale Moment ist ein Ma\u00df f\u00fcr die Schwere des Schwanzes der Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung derselben Varianz.  Da es sich um die Erwartung einer vierten Potenz handelt, ist das vierte zentrale Moment, wo es definiert ist, immer nicht negativ;  und bis auf eine Punktverteilung ist sie immer streng positiv.  Das vierte zentrale Moment einer Normalverteilung ist 3\u03c34.Die Kurtosis \u03ba ist definiert als das standardisierte vierte zentrale Moment (Entsprechend ist wie im n\u00e4chsten Abschnitt die \u00fcbersch\u00fcssige Kurtosis das vierte Kumulans geteilt durch das Quadrat des zweiten Kumulanten.)[4][5]  Wenn eine Verteilung schwere Schw\u00e4nze hat, ist die Kurtosis hoch (manchmal als leptokurtisch bezeichnet);  Umgekehrt weisen Verteilungen mit leichtem Schwanz (z. B. begrenzte Verteilungen wie die Uniform) eine niedrige Kurtosis auf (manchmal auch als platykurtisch bezeichnet).Die Kurtosis kann aber unbegrenzt positiv sein \u03ba muss gr\u00f6\u00dfer oder gleich sein \u03b32 + 1;;  Gleichheit gilt nur f\u00fcr bin\u00e4re Verteilungen.  F\u00fcr unbegrenzte Schr\u00e4gverteilungen, die nicht zu weit vom Normalwert entfernt sind, \u03ba neigt dazu, irgendwo in der Gegend von zu sein \u03b32  und 2\u03b32.Die Ungleichung kann durch Ber\u00fccksichtigung nachgewiesen werdenE.\u2061[(T2\u2212aT\u22121)2]{ displaystyle  operatorname {E}  left[left(T^{2}-aT-1right)^{2}right]}}wo T. = ((X. – – \u03bc) \/\u03c3.  Dies ist die Erwartung eines Quadrats, daher ist es f\u00fcr alle nicht negativ ein;;  es ist jedoch auch ein quadratisches Polynom in ein.  Seine Diskriminante darf nicht positiv sein, was die erforderliche Beziehung ergibt.Gemischte Momente[edit]Gemischte Momente sind Momente mit mehreren Variablen.Einige Beispiele sind Kovarianz, Coskewness und Kokurtose.  W\u00e4hrend es eine einzigartige Kovarianz gibt, gibt es mehrere Co-Skewnesses und Co-Kurtoses.H\u00f6here Momente[edit]Momente hoher Ordnung sind Momente jenseits von Momenten 4. Ordnung.  Wie bei Varianz, Schiefe und Kurtosis handelt es sich hierbei um Statistiken h\u00f6herer Ordnung, die nichtlineare Kombinationen der Daten umfassen und zur Beschreibung oder Sch\u00e4tzung weiterer Formparameter verwendet werden k\u00f6nnen.  Je h\u00f6her der Moment, desto schwieriger ist die Sch\u00e4tzung in dem Sinne, dass gr\u00f6\u00dfere Stichproben erforderlich sind, um Sch\u00e4tzungen von \u00e4hnlicher Qualit\u00e4t zu erhalten.  Dies ist auf die \u00fcberm\u00e4\u00dfigen Freiheitsgrade zur\u00fcckzuf\u00fchren, die die h\u00f6heren Ordnungen verbrauchen.  Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen sie subtil zu interpretieren sein und werden oft am einfachsten anhand von Momenten niedrigerer Ordnung verstanden – vergleichen Sie die h\u00f6heren Ableitungen von Ruck und Sprung in der Physik.  So wie beispielsweise das Moment 4. Ordnung (Kurtosis) als “relative Bedeutung von Schw\u00e4nzen gegen\u00fcber Schultern f\u00fcr die Verursachung von Dispersion” interpretiert werden kann (f\u00fcr eine gegebene Dispersion entspricht eine hohe Kurtosis schweren Schw\u00e4nzen, w\u00e4hrend eine niedrige Kurtosis breiten Schultern entspricht). Das Moment 5. Ordnung kann so interpretiert werden, dass es die “relative Bedeutung der Schw\u00e4nze gegen\u00fcber der Mitte (Modus, Schultern) bei der Verursachung von Schr\u00e4glauf” misst (f\u00fcr einen gegebenen Versatz entspricht das hohe 5. Moment einem schweren Schwanz und einer geringen Bewegung des Modus, w\u00e4hrend das niedrige 5. Moment entspricht zu mehr Ver\u00e4nderung in den Schultern).Eigenschaften von Momenten[edit]Transformation des Zentrums[edit]Schon seit:((x– –b)n=((x– –ein+ein– –b)n=\u2211ich=0n((nich)((x– –ein)ich((ein– –b)n– –ich{ displaystyle (xb) ^ {n} = (x-a + ab) ^ {n} =  sum _ {i = 0} ^ {n} {n  w\u00e4hle i} (xa) ^ {i} (ab ) ^ {ni}}wo ((nich){ displaystyle { dbinom {n} {i}}}  Ist der Binomialkoeffizient, folgt daraus, dass die Momente ungef\u00e4hr b kann aus den Momenten \u00fcber berechnet werden ein durch:E.[(x\u2212b)n]=\u2211ich=0n((nich)E.[(x\u2212a)i]((ein– –b)n– –ich{ displaystyle E  left[(x-b)^{n}right]=  sum _ {i = 0} ^ {n} {n  w\u00e4hle i} E  left[(x-a)^{i}right](ab) ^ {ni}}Momente der Faltung von Funktionen[edit]Der Moment einer Faltung "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki9\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki9\/2020\/12\/26\/moment-mathematik-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Moment (Mathematik) – Wikipedia"}}]}]