Tetration – Wikipedia

Wiederholte oder wiederholte Exponentiation

Informationen zum Verfahren zur Bestimmung der Konzentration in der Chemie finden Sie unter Titration.

${ displaystyle {} ^ {n} x}$

, zum n = 2, 3, 4, …Dies zeigt die Konvergenz zum unendlich iterierten Exponential zwischen den beiden Punkten

In Mathematik, Tetration (oder Hyper-4) ist eine Operation, die auf iterierter oder wiederholter Potenzierung basiert. Es ist die nächste Hyperoperation nach der Potenzierung, aber vor der Pentation. Das Wort wurde von Reuben Louis Goodstein aus Tetra- (vier) und Iteration geprägt.

Unter der Definition als wiederholte Exponentiation die Notation

${ displaystyle {^ {n} a}}$

meint

${ displaystyle {a ^ {a ^ { cdot ^ { cdot ^ {a}}}}}$

, wo n Kopien von ein werden durch Exponentiation von rechts nach links iteriert, dh durch Anwendung von Exponentiation

${ displaystyle n-1}$

mal. n heißt das “Höhe” der Funktion, während ein heißt das “Base,” analog zur Potenzierung. Es würde als gelesen werden “das nth tetration von ein“.

Tetration wird auch rekursiv definiert als

${ displaystyle {^ {n} a}: = { begin {case} 1 & { text {if}} n = 0 \ a ^ { left (^ {(n-1)} a right)} & { text {if}} n> 0 end {case}}}$

Table of Contents

Einführung[edit]

Die ersten vier Hyperoperationen werden hier gezeigt, wobei die Tetration als die vierte in der Reihe betrachtet wird. Die unäre Operationsfolge, definiert als

wird als die nullte Operation angesehen.

1. Zusatz

   ${ displaystyle a + n = a + underbrace {1 + 1 + cdots +1} _ {n}}$

   

   n Kopien von 1 hinzugefügt zu ein.

2. Multiplikation

   ${ displaystyle a times n = underbrace {a + a + cdots + a} _ {n}}$

   

   n Kopien von ein durch Zugabe kombiniert.

3. Potenzierung

   ${ displaystyle a ^ {n} = underbrace {a times a times cdots times a} _ {n}}$

   

   n Kopien von ein kombiniert durch Multiplikation.

4. Tetration

   ${ displaystyle {^ {n} a} = underbrace {a ^ {a ^ { cdot ^ { cdot ^ {a}}}} _ {n}}$

   

   n Kopien von ein kombiniert durch Potenzierung von rechts nach links.^[1]

Nachfolge, ((ein’ = ein + 1)ist die grundlegendste Operation; während der Zugabe (ein + n) ist eine primäre Operation, für die Addition natürlicher Zahlen kann sie als verkettete Folge von angesehen werden n Nachfolger von ein;; Multiplikation ((ein× n) ist auch eine primäre Operation, obwohl sie für natürliche Zahlen analog als verkettete Addition angesehen werden kann n Anzahl von ein. Exponentiation kann als verkettete Multiplikation betrachtet werden n Anzahl von ein und Tetration (

) als verkettete Kraft mit n Zahlen ein. Jede der oben genannten Operationen wird durch Iteration der vorherigen definiert.^[2] Im Gegensatz zu den vorherigen Operationen ist die Tetration jedoch keine elementare Funktion.

Der Parameter ein wird als bezeichnet Base, während der Parameter n kann als bezeichnet werden Höhe. In der ursprünglichen Definition von Tetration muss der Höhenparameter eine natürliche Zahl sein. Zum Beispiel wäre es unlogisch zu sagen “drei erhöhten sich fünfmal negativ” oder “vier hoben sich eine halbe Zeit vor sich hin.” Genauso wie Addition, Multiplikation und Exponentiation so definiert werden können, dass Erweiterungen auf reelle und komplexe Zahlen möglich sind, wurden mehrere Versuche unternommen, die Tetration auf negative Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen zu verallgemeinern. Eine Möglichkeit hierfür ist die Verwendung einer rekursiven Definition für die Tetration. für jeden positiven real

können wir definieren

rekursiv als:^[2]

${ displaystyle {^ {n} a}: = { begin {case} 1 & { text {if}} n = 0 \ a ^ { left (^ {(n-1)} a right)} & { text {if}} n> 0 end {case}}}$

${ displaystyle ^ {0} a}$

,

${ displaystyle ^ {- 1} a}$

, und

${ displaystyle ^ {i} a}$

Auch viele dieser Erweiterungen sind Bereiche aktiver Forschung.

Terminologie[edit]

Es gibt viele Begriffe für Tetration, von denen jeder eine Logik hat, aber einige wurden aus dem einen oder anderen Grund nicht allgemein verwendet. Hier ist ein Vergleich jedes Begriffs mit seiner Begründung und Gegenbegründung.

• Der Begriff Tetration, vorgestellt von Goodstein in seiner Arbeit von 1947 Transfinite Ordnungszahlen in der rekursiven Zahlentheorie^[3] (Verallgemeinerung der rekursiven Basisdarstellung, die in Goodsteins Theorem verwendet wird, um höhere Operationen zu verwenden), hat an Dominanz gewonnen. Es wurde auch in Rudy Ruckers populär gemacht Unendlichkeit und der Geist .
• Der Begriff Überexponentiation wurde von Bromer in seiner Arbeit veröffentlicht Überexponentiationim Jahr 1987.^[4] Es wurde früher von Ed Nelson in seinem Buch Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986 verwendet.
• Der Begriff Hyperkraft ^[5] ist eine natürliche Kombination von hyperund Leistung , was treffend die Tetration beschreibt. Das Problem liegt in der Bedeutung von hyper in Bezug auf die Hyperoperationssequenz. Bei der Betrachtung von Hyperoperationen wird der Begriff verwendet hyper bezieht sich auf alle Ränge und den Begriff Super bezieht sich auf Rang 4 oder Tetration. Also unter diesen Überlegungen Hyperkraftist irreführend, da es sich nur um Tetration handelt.
• Der Begriff Kraftturm ^[6] wird gelegentlich in der Form verwendet “der Kraftturm der Ordnung n” zum
  ${ displaystyle { atop {}} {{ underbrace {a ^ {a ^ { cdot ^ { cdot ^ {a}}}} atop n}}$

  . Dies ist jedoch eine Fehlbezeichnung, da die Tetration nicht iteriert ausgedrückt werden kann Leistung Funktionen (siehe oben), da es sich um eine Iteration handelt exponentiellFunktion.

Zum Teil aufgrund einer gemeinsamen Terminologie und einer ähnlichen Notationssymbolik wird die Tetration häufig mit eng verwandten Funktionen und Ausdrücken verwechselt. Hier sind einige verwandte Begriffe:

Begriffe im Zusammenhang mit Tetration

Terminologie	Bilden
Tetration	${ displaystyle a ^ {a ^ { cdot ^ { cdot ^ {a ^ {a}}}}}$
Iterierte Exponentiale	${ displaystyle a ^ {a ^ { cdot ^ { cdot ^ {a ^ {x}}}}}$
Verschachtelte Exponentiale (auch Türme)	${ displaystyle a_ {1} ^ {a_ {2} ^ { cdot ^ { cdot ^ {a_ {n}}}}}$
Unendliche Exponentiale (auch Türme)	${ displaystyle a_ {1} ^ {a_ {2} ^ {a_ {3} ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot}}}}}$

In den ersten beiden Ausdrücken ein ist der Base und die Anzahl der Male ein erscheint ist die Höhe(füge eins hinzu für x). Im dritten Ausdruck n ist der Höhe , aber jede der Basen ist anders.

Bei der Bezugnahme auf iterierte Exponentiale ist Vorsicht geboten, da Ausdrücke dieser Form häufig als iterierte Exponentiation bezeichnet werden, was nicht eindeutig ist, da dies entweder iterierte Potenzen oder iterierte Exponentiale bedeuten kann.

Notation[edit]

Es gibt viele verschiedene Notationsstile, mit denen die Tetration ausgedrückt werden kann. Einige Notationen können auch zur Beschreibung anderer Hyperoperationen verwendet werden, während andere auf die Tetration beschränkt sind und keine unmittelbare Erweiterung haben.

Notationsstile für die Tetration

Name	Bilden	Beschreibung
Rudy Rucker Notation	${ displaystyle , {} ^ {n} a}$	Wird von Maurer verwendet [1901] und Goodstein [1947];; Rudy Ruckers Buch Unendlichkeit und der Geist popularisierte die Notation.[nb 1]
Knuths Aufwärtspfeilnotation	${ displaystyle a { uparrow uparrow} n}$	Ermöglicht die Erweiterung, indem mehr Pfeile oder, noch stärker, ein indizierter Pfeil eingefügt werden.
Conway verkettete Pfeilnotation	${ displaystyle a rightarrow n rightarrow 2}$	Ermöglicht die Verlängerung durch Erhöhen der Zahl 2 (entspricht den obigen Erweiterungen), aber noch leistungsfähiger durch Erweitern der Kette
Ackermann-Funktion	${ displaystyle {} ^ {n} 2 = operatorname {A} (4, n-3) +3}$	Ermöglicht den Sonderfall ${ displaystyle a = 2}$ in Bezug auf die Ackermann-Funktion geschrieben werden.
Iterierte Exponentialschreibweise	${ displaystyle exp _ {a} ^ {n} (1)}$	Ermöglicht die einfache Erweiterung iterierter Exponentiale von anderen Anfangswerten als 1.
Hooshmand-Notationen[7]	${ displaystyle { begin {align} & operatorname {uxp} _ {a} n \[2pt]& a ^ { frac {n} {}} end {align}}}$	Wird von MH Hooshmand verwendet [2006].
Hyperoperationsnotationen	${ displaystyle { begin {align} & a[4]n \[2pt]& H_ {4} (a, n) end {align}}}$	Ermöglicht die Erweiterung durch Erhöhen der Zahl 4; Dies gibt die Familie der Hyperoperationen.
Doppelte Caret-Notation	a^^n	Da der Aufwärtspfeil identisch mit dem Caret verwendet wird (^), tetration kann geschrieben werden als (^^); praktisch für ASCII.

Eine obige Notation verwendet eine iterierte Exponentialnotation. Dies ist im Allgemeinen wie folgt definiert:

${ displaystyle exp _ {a} ^ {n} (x) = a ^ {a ^ { cdot ^ { cdot ^ {a ^ {x}}}}}$

mit n eins.

Es gibt nicht so viele Notationen für iterierte Exponentiale, aber hier einige:

Notationsstile für iterierte Exponentiale

Name	Bilden	Beschreibung
Standardnotation	${ displaystyle exp _ {a} ^ {n} (x)}$	Euler prägte die Notation ${ displaystyle exp _ {a} (x) = a ^ {x}}$ und Iterationsnotation ${ displaystyle f ^ {n} (x)}$ gibt es schon ungefähr so ​​lange.
Knuths Aufwärtspfeilnotation	${ displaystyle (a { uparrow}) ^ {n} (x)}$	Ermöglicht Superkräfte und Super-Exponentialfunktionen durch Erhöhen der Anzahl der Pfeile. im Artikel auf große Zahlen verwendet.
Textnotation	exp_a^n(x)	Basierend auf Standardnotation; praktisch für ASCII.
J Notation	x^^:(n-1)x	Wiederholt die Potenzierung. Siehe J (Programmiersprache)[8]

Beispiele[edit]

Aufgrund des extrem schnellen Wachstums der Tetration sind die meisten Werte in der folgenden Tabelle zu groß, um in wissenschaftlicher Notation geschrieben zu werden. In diesen Fällen wird die iterierte Exponentialschreibweise verwendet, um sie in Basis 10 auszudrücken. Die Werte, die einen Dezimalpunkt enthalten, sind ungefähr.

Beispiele für Tetration

${ displaystyle x}$	${ displaystyle {} ^ {2} x}$	${ displaystyle {} ^ {3} x}$	${ displaystyle {} ^ {4} x}$	${ displaystyle {} ^ {5} x}$
1	1	1	1	1
2	4	16	65.536	265.536 oder (2,0035 × 1019.728)
3	27	7,625,597,484,987	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (1.09902)}$ (3,68 × 1012 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (1.09902)}$
4	256	1,34078 × 10154	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (2.18726)}$ (8,1 × 10153 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (2.18726)}$
5	3,125	1,91101 × 102,184	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (3.33928)}$ (1,3 × 102,184 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (3.33928)}$
6	46.656	2,65912 × 1036.305	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (4.55997)}$ (2,1 × 1036.305 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (4.55997)}$
7	823.543	3,75982 × 10695.974	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (5.84259)}$ (3,2 × 10695.974 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (5.84259)}$
8	16.777.216	6,01452 × 1015.151.335	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (7.18045)}$ (5,4 × 1015.151.335 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (7.18045)}$
9	387,420,489	4,28125 × 10369.693.099	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (8.56784)}$ (4,1 × 10369.693.099 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (8.56784)}$
10	10.000.000.000	1010.000.000.000	${ displaystyle exp _ {10} ^ {3} (10)}$ (1010.000.000.000 + 1 Ziffern)	${ displaystyle exp _ {10} ^ {4} (10)}$

Eigenschaften[edit]

Die Tetration hat mehrere Eigenschaften, die der Potenzierung ähnlich sind, sowie Eigenschaften, die für die Operation spezifisch sind und durch die Potenzierung verloren gehen oder gewonnen werden. Da die Potenzierung nicht pendelt, haben die Produkt- und Leistungsregeln kein Analogon zur Tetration. die Aussagen

${ textstyle {} ^ {a} left ({} ^ {b} x right) = left ({} ^ {ab} x right)}$

und

${ textstyle {} ^ {a} left (xy right) = {} ^ {a} x {} ^ {a} y}$

sind nicht unbedingt für alle Fälle wahr.^[9]

Die Tetration folgt jedoch einer anderen Eigenschaft, bei der

${ textstyle {} ^ {a} x = x ^ { left ({} ^ {a-1} x right)}}$

. Diese Tatsache wird am deutlichsten anhand der rekursiven Definition gezeigt. Aus dieser Eigenschaft folgt ein Beweis

${ displaystyle left ({} ^ {b} a right) ^ { left ({} ^ {c} a right)} = left ({} ^ {c + 1} a right) ^ { left ({} ^ {b-1} a right)}}$

, was das Umschalten ermöglicht b und c in bestimmten Gleichungen. Der Beweis lautet wie folgt:

${ displaystyle { begin {align} & left ({} ^ {b} a right) ^ { left ({} ^ {c} a right)} \ = {} & left (a ^ {{} ^ {b-1} a} rechts) ^ { links ({} ^ {c} a rechts)} \ = {} & a ^ { links ({} ^ {b-1} a rechts) links ({} ^ {c} a rechts)} \ = {} & a ^ { links ({} ^ {c} a rechts) links ({} ^ {b-1} a right)} \ = {} & left ({} ^ {c + 1} a right) ^ { left ({} ^ {b-1} a right)} end {align}}}$

Wenn eine Nummer x und 10 sind Koprime, es ist möglich, die letzte zu berechnen m Dezimalstellen von

${ displaystyle , ! ^ {a} x}$

unter Verwendung des Euler-Theorems für jede ganze Zahl m.

Bewertungsrichtung[edit]

Bei der Bewertung der Tetration ausgedrückt als “Potenzierungsturm”Die serielle Potenzierung erfolgt zuerst auf der tiefsten Ebene (in der Notation am Scheitelpunkt).^[1] Zum Beispiel:

${ displaystyle , ! ^ {4} 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ { left (2 ^ { left (2 ^ {2} right)} rechts)} = 2 ^ { left (2 ^ {4} right)} = 2 ^ {16} = 65, ! 536}$

Diese Reihenfolge ist wichtig, da die Potenzierung nicht assoziativ ist und die Auswertung des Ausdrucks in umgekehrter Reihenfolge zu einer anderen Antwort führt:

${ displaystyle , ! 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} neq left ({ left (2 ^ {2} right)} ^ {2} right) ^ {2} = 4 ^ {2 cdot 2} = 256}$

Die Bewertung des Ausdrucks von links nach rechts wird als weniger interessant angesehen. Auswertung von links nach rechts, jeder Ausdruck

${ displaystyle ^ {n} a !}$

kann vereinfacht werden

${ displaystyle a ^ { left (a ^ {n-1} right)} ! !}$

.^[10] Aus diesem Grund müssen die Türme von rechts nach links (oder von oben nach unten) bewertet werden. Computerprogrammierer bezeichnen diese Wahl als rechtsassoziativ.

Erweiterungen[edit]

Die Tetration kann auf zwei verschiedene Arten erweitert werden. in der Gleichung

${ displaystyle ^ {n} a !}$

, sowohl die Basis ein und die Höhe n kann unter Verwendung der Definition und der Eigenschaften der Tetration verallgemeinert werden. Obwohl die Basis und die Höhe über die nicht negativen ganzen Zahlen hinaus auf verschiedene Domänen ausgedehnt werden können, einschließlich

${ displaystyle {^ {n} 0}}$

, komplexe Funktionen wie

${ displaystyle {} ^ {n} i}$

und Höhen von unendlich nDie eingeschränkteren Eigenschaften der Tetration verringern die Fähigkeit, die Tetration zu verlängern.

Erweiterung der Domain für Basen[edit]

Basis Null[edit]

Das Exponential

${ displaystyle 0 ^ {0}}$

ist nicht konsequent definiert. Also die Tetrationen

${ displaystyle , {^ {n} 0}}$

sind durch die zuvor angegebene Formel nicht klar definiert. Jedoch,

${ displaystyle lim _ {x rightarrow 0} {} ^ {n} x}$

ist gut definiert und existiert:^[11]

${ displaystyle lim _ {x rightarrow 0} {} ^ {n} x = { begin {case} 1, & n { text {gerade}} \ 0, & n { text {ungerade}} end {Fälle}}}$

So konnten wir konsequent definieren

${ displaystyle {} ^ {n} 0 = lim _ {x rightarrow 0} {} ^ {n} x}$

. Dies ist analog zur Definition

${ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$

.

Unter dieser Erweiterung

${ displaystyle {} ^ {0} 0 = 1}$

, so die Regel

${ displaystyle {^ {0} a} = 1}$

von der ursprünglichen Definition gilt noch.

Komplexe Basen[edit]

Da komplexe Zahlen zu Potenzen erhoben werden können, kann Tetration angewendet werdenBasen der Form z = ein+Bi (wo ein und b sind real). Zum Beispiel in ⁿz mit z=ichDie Tetration wird unter Verwendung des Hauptzweigs des natürlichen Logarithmus erreicht. Mit der Euler-Formel erhalten wir die Beziehung:

${ displaystyle i ^ {a + bi} = e ^ {{ frac {1} {2}} { pi i} (a + bi)} = e ^ {- { frac {1} {2}} { pi b}} left ( cos { frac { pi a} {2}} + i sin { frac { pi a} {2}} right)}$

Dies legt eine rekursive Definition für nahe ^{n +1} ich = ein’+Bi gegeben irgendwelche ⁿ ich = ein+Bi ::

${ displaystyle { begin {align} a ‘& = e ^ {- { frac {1} {2}} { pi b}} cos { frac { pi a} {2}} \[2pt]b ‘& = e ^ {- { frac {1} {2}} { pi b}} sin { frac { pi a} {2}} end {align}}}$

Die folgenden ungefähren Werte können abgeleitet werden:

Das Lösen der umgekehrten Beziehung wie im vorherigen Abschnitt ergibt die erwartete ⁰ich = 1 und ⁻¹ich= 0mit negativen Werten von n unendliche Ergebnisse auf der imaginären Achse geben. In der komplexen Ebene ist die gesamte Sequenz bis zur Grenze gewunden 0,4383 + 0,3606ich, was als der Wert interpretiert werden könnte, wo n ist unendlich.

Solche Tetrationssequenzen wurden seit der Zeit von Euler untersucht, sind jedoch aufgrund ihres chaotischen Verhaltens kaum bekannt. Die meisten veröffentlichten Forschungen haben sich historisch auf die Konvergenz der unendlich iterierten Exponentialfunktion konzentriert. Die aktuelle Forschung hat stark vom Aufkommen leistungsfähiger Computer mit fraktaler und symbolischer Mathematik-Software profitiert. Vieles, was über Tetration bekannt ist, stammt aus dem allgemeinen Wissen über komplexe Dynamiken und der spezifischen Erforschung der Exponentialkarte.^{[citation needed]}

Erweiterungen der Domain für unterschiedliche Höhen[edit]

Unendliche Höhen[edit]

${ displaystyle textstyle lim _ {n rightarrow infty} {} ^ {n} x}$

der unendlich iterierten Exponentialkonvergenz für die Basen

${ displaystyle textstyle left (e ^ {- 1} right) ^ {e} leq x leq e ^ { left (e ^ {- 1} right)}}$

Die Funktion

${ displaystyle left | { frac { mathrm {W} (- ln {z})} {- ln {z}}} right |}$

auf der komplexen Ebene mit der realwertigen unendlich iterierten Exponentialfunktion (schwarze Kurve)

Die Tetration kann auf unendliche Höhen ausgedehnt werden.^[12] dh mit Sicherheit ein und n Werte in

${ displaystyle {} ^ {n} a}$

gibt es ein genau definiertes Ergebnis für eine Unendlichkeit n. Dies liegt daran, dass für Basen innerhalb eines bestimmten Intervalls die Tetration gegen einen endlichen Wert konvergiert, wenn die Höhe gegen unendlich tendiert. Zum Beispiel,

${ displaystyle { sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot}}}}}$

konvergiert gegen 2 und kann daher als gleich 2 bezeichnet werden. Der Trend zu 2 kann durch die Bewertung eines kleinen endlichen Turms gesehen werden:

${ displaystyle { begin {align} { sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2 }} ^ {1.414}}}} & approx { sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {1.63 }}}} \ & approx { sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {1.76}}} \ & approx { sqrt {2 }} ^ {{ sqrt {2}} ^ {1.84}} \ & ca. { sqrt {2}} ^ {1.89} \ & ca. 1.93 end {align}}}$

Im Allgemeinen ist das unendlich iterierte Exponential

${ displaystyle x ^ {x ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot}}}} ! !}$

, definiert als die Grenze von

${ displaystyle {} ^ {n} x}$

wie n geht ins Unendliche, konvergiert für e^{– – e} ≤ x≤e^{1 /e} , ungefähr das Intervall von 0,066 bis 1,44, ein Ergebnis, das von Leonhard Euler gezeigt wurde.^[13] Die Grenze, sollte sie existieren, ist eine positive reale Lösung der Gleichung y=x^y . So, x=y^{1 /y} . Die Grenze, die die unendliche Tetration von definiert x konvergiert nicht für x>e^{1 /e} weil das Maximum von y^{1 /y} ist e^{1 /e} .

Dies kann auf komplexe Zahlen ausgedehnt werden z mit der Definition:

${ displaystyle {} ^ { infty} z = z ^ {z ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot}}} = { frac { mathrm {W} (- ln {z}) } {- ln {z}}} ~,}$

wo W. repräsentiert Lamberts W-Funktion.

Als Grenze y= ^∞x (falls vorhanden, dh für e^{– – e} < x<e^{1 /e}) muss befriedigen x ^y =y wir sehen das x ↦y= ^∞x ist (der untere Zweig von) die Umkehrfunktion von y ↦ x=y^{1 /y} .

Negative Höhen[edit]

Wir können die rekursive Regel für die Tetration verwenden,

${ displaystyle {^ {k + 1} a} = a ^ { left ({^ {k} a} right)},}$

beweisen

${ displaystyle {} ^ {- 1} a}$

::

${ displaystyle ^ {k} a = log _ {a} left (^ {k + 1} a right);}$

Ersetzen von -1 für k gibt

${ displaystyle {} ^ {- 1} a = log _ {a} left ({} ^ {0} a right) = log _ {a} 1 = 0}$

.^[10]

Kleinere negative Werte können auf diese Weise nicht gut definiert werden. Ersetzen von −2 für k in der gleichen Gleichung gibt

${ displaystyle {} ^ {- 2} a = log _ {a} left ({} ^ {- 1} a right) = log _ {a} 0}$

das ist nicht gut definiert. Sie können jedoch manchmal als Mengen betrachtet werden.^[10]

Zum

${ displaystyle n = 1}$

, jede Definition von

${ displaystyle , ! {^ {- 1} 1}}$

stimmt mit der Regel überein, weil

${ displaystyle {^ {0} 1} = 1 = 1 ^ {n}}$

für jeden

${ displaystyle , ! n = {^ {- 1} 1}}$

.

Echte Höhen[edit]

Derzeit gibt es keine allgemein akzeptierte Lösung für das allgemeine Problem der Ausweitung der Tetration auf die realen oder komplexen Werte von n. Es gab jedoch mehrere Ansätze in Bezug auf das Problem, und im Folgenden werden verschiedene Ansätze beschrieben.

Im Allgemeinen ist das Problem zu finden – für jeden echten ein > 0 – einsuperexponentielle Funktion

${ displaystyle , f (x) = {} ^ {x} a}$

über real x > −2 das befriedigt

• 
  ${ displaystyle , {} ^ {- 1} a = 0}$

  

• 
  ${ displaystyle , {} ^ {0} a = 1}$

  

• 
  ${ displaystyle , {} ^ {x} a = a ^ { left ({} ^ {x-1} a right)}}$

  für alle echt

  ${ displaystyle x> -1.}$

  [14]

Um eine natürlichere Erweiterung zu finden, sind normalerweise eine oder mehrere zusätzliche Anforderungen erforderlich. Dies ist normalerweise eine Sammlung der folgenden:

• EIN Kontinuität Anforderung (normalerweise nur das
  ${ displaystyle {} ^ {x} a}$

  ist in beiden Variablen für stetig

  ${ displaystyle x> 0}$

  k mal oder unendlich differenzierbar in x).

• EIN Regelmäßigkeit Anforderung (impliziert zweimal differenzierbar in x) Das:

${ displaystyle left ({ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x)> 0 right)}$

${ displaystyle x> 0}$

${ displaystyle , {} ^ {x} a}$

Wird für ein Intervall der Länge eins definiert, folgt die gesamte Funktion leicht für alle x > −2.

Lineare Approximation für reale Höhen[edit]

${ displaystyle , {} ^ {x} e}$

unter Verwendung der linearen Approximation

Eine lineare Annäherung (Lösung der Kontinuitätsanforderung, Annäherung an die Differenzierbarkeitsanforderung) ist gegeben durch:

${ displaystyle {} ^ {x} a approx { begin {case} log _ {a} left (^ {x + 1} a right) & x leq -1 \ 1 + x & -1$

daher:

Lineare Approximationswerte

Annäherung	Domain
${ textstyle {} ^ {x} a approx x + 1}$	zum −1 x <0
${ textstyle {} ^ {x} a approx a ^ {x}}$	zum 0 x <1
${ textstyle {} ^ {x} a approx a ^ {a ^ {(x-1)}}}$	zum 1x <2

und so weiter. Es ist jedoch nur stückweise differenzierbar; bei ganzzahligen Werten von x Die Ableitung wird mit multipliziert

${ displaystyle ln {a}}$

. Es ist kontinuierlich differenzierbar für

${ displaystyle x> -2}$

${ displaystyle a = e}$

. Zum Beispiel mit diesen Methoden

${ displaystyle {} ^ { frac { pi} {2}} e ca. 5.868 …}$

und

${ displaystyle {} ^ {- 4.3} 0.5 ca. 4.03335 …}$

Ein Hauptsatz in Hooshmands Arbeit^[7] Staaten: Let

${ displaystyle 0$

. Wenn

${ displaystyle f: (- 2, + infty) rightarrow mathbb {R}}$

ist kontinuierlich und erfüllt die Bedingungen:

• 
  ${ displaystyle f (x) = a ^ {f (x-1)} ; ; { text {für alle}} ; ; x> -1, ; f (0) = 1,}$

  
  ${ displaystyle f}$

  ist differenzierbar auf (-1, 0),

• 
  ${ displaystyle f ^ { prime}}$

  ist eine nicht abnehmende oder nicht zunehmende Funktion auf (-1, 0),

• 
  ${ displaystyle f ^ { prime} left (0 ^ {+} right) = ( ln a) f ^ { prime} left (0 ^ {-} right) { text {or}} f ^ { prime} left (-1 ^ {+} right) = f ^ { prime} left (0 ^ {-} right).}$

  

dann

${ displaystyle f}$

wird durch die Gleichung eindeutig bestimmt

${ displaystyle f (x) = exp _ {a} ^ {[x]} left (a ^ {(x)} right) = exp _ {a} ^ {[x+1]} ((x)) quad { text {für alle}} ; ; x> -2,}$

${ displaystyle (x) = x-[x]}}$

bezeichnet den Bruchteil von x und

${ displaystyle exp _ {a} ^ {[x]}}$

ist der

${ displaystyle [x]}}$

-iterierte Funktion der Funktion

${ displaystyle exp _ {a}}$

.

Der Beweis ist, dass die zweite bis vierte Bedingung dies trivial implizieren f ist eine lineare Funktion auf [−1, 0].

Die lineare Annäherung an die natürliche Tetrationsfunktion

${ displaystyle {} ^ {x} e}$

ist kontinuierlich differenzierbar, aber seine zweite Ableitung existiert nicht bei ganzzahligen Werten seines Arguments. Hooshmand hat dafür einen anderen Eindeutigkeitssatz abgeleitet, der besagt:

Wenn

${ displaystyle f: (- 2, + infty) rightarrow mathbb {R}}$

ist eine kontinuierliche Funktion, die erfüllt:

• 
  ${ displaystyle f (x) = e ^ {f (x-1)} ; ; { text {für alle}} ; ; x> -1, ; f (0) = 1,}$

  
  ${ displaystyle f}$

  ist konvex auf (-1, 0),

• 
  ${ displaystyle f ^ { prime} left (0 ^ {-} right) leq f ^ { prime} left (0 ^ {+} right).}$

  

dann

${ displaystyle f = { text {uxp}}}$

. [Here

${displaystyle f={text{uxp}}}$

is Hooshmand’s name for the linear approximation to the natural tetration function.]

Der Beweis ist ähnlich wie zuvor; Die Rekursionsgleichung stellt dies sicher

${ displaystyle f ^ { prime} (- 1 ^ {+}) = f ^ { prime} (0 ^ {+}),}$

und dann impliziert die Konvexitätsbedingung dies

${ displaystyle f}$

ist linear auf (-1, 0).

Daher ist die lineare Annäherung an die natürliche Tetration die einzige Lösung der Gleichung

${ displaystyle f (x) = e ^ {f (x-1)} ; ; (x> -1)}$

${ displaystyle f (0) = 1}$

das ist konvex auf (−1, + ∞). Alle anderen ausreichend differenzierbaren Lösungen müssen einen Wendepunkt im Intervall haben (-1, 0).

Näherungen höherer Ordnung für reale Höhen[edit]

Ein Vergleich der linearen und quadratischen Näherungen (in rot bzw. blau) der Funktion

${ displaystyle ^ {x} 0.5}$

, von x = –2 zu x= 2

Über lineare Approximationen hinaus ist eine quadratische Approximation (zur Differenzierbarkeitsanforderung) gegeben durch:

${ displaystyle {} ^ {x} a approx { begin {case} log _ {a} left ({} ^ {x + 1} a right) & x leq -1 \ 1 + { frac {2 ln (a)} {1 ; + ; ln (a)}} x – { frac {1 ; – ; ln (a)} {1 ; + ; ln (a)}} x ^ {2} & – 10 end {Fälle}}}$

${ displaystyle x> 0}$

${ displaystyle {} ^ { frac {1} {2}} 2 ca. 1.45933 …}$

Wenn

${ displaystyle a = e}$

Dies entspricht der linearen Approximation.^[2]

Aufgrund der Art und Weise, wie es berechnet wird, funktioniert diese Funktion nicht “aufheben”im Gegensatz zu Exponenten, wo

${ displaystyle left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {n} = a}$

. Nämlich,

${ displaystyle {} ^ {n} left ({} ^ { frac {1} {n}} a right) = underbrace { left ({} ^ { frac {1} {n}} a right) ^ { left ({} ^ { frac {1} {n}} a right) ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot ^ { left ({} ^ { frac {1} {n}} a right)}}}}} _ {n} neq a}$

.

Ebenso wie es eine quadratische Näherung gibt, kubische Näherungen und Methoden zur Verallgemeinerung auf Gradnäherungen n existieren auch, obwohl sie viel unhandlicher sind.^[2][15]

Komplexe Höhen[edit]

Zeichnung der analytischen Erweiterung

${ displaystyle f = F (x + { rm {i}} y)}$

der Tetration auf die komplexe Ebene. Ebenen

${ displaystyle | f | = 1, e ^ { pm 1}, e ^ { pm 2}, ldots}$

und Ebenen

${ displaystyle arg (f) = 0, pm 1, pm 2, ldots}$

sind mit dicken Kurven dargestellt.

Es wurde jetzt bewiesen^[16] dass es eine einzigartige Funktion gibt F. Das ist eine Lösung der Gleichung F. ((z+ 1) = exp (F.((z)) und erfüllt die zusätzlichen Bedingungen, die F.(0) = 1 und F.((z) nähert sich den Fixpunkten des Logarithmus (ungefähr 0,318 ± 1,337ich) wie z nähert sich ±ich ∞ und das F. ist im gesamten Komplex holomorph z-Ebene, außer dem Teil der realen Achse bei z≤ −2. Dieser Beweis bestätigt eine frühere Vermutung.^[17] Der Aufbau einer solchen Funktion wurde ursprünglich 1950 von Kneser demonstriert.^[18] Die komplexe Karte dieser Funktion ist in der Abbildung rechts dargestellt. Der Beweis funktioniert auch für andere Basene, solange die Basis größer ist als

${ displaystyle e ^ { frac {1} {e}} ca. 1.445}$

. Nachfolgende Arbeiten erweiterten den Bau auf alle komplexen Basen. Die komplexe Approximation mit doppelter Genauigkeit dieser Funktion ist online verfügbar.^[19]

Das Erfordernis, dass die Tetration holomorph ist, ist wichtig für ihre Einzigartigkeit. Viele Funktionen S. kann konstruiert werden als

${ displaystyle S (z) = F ! left (~ z ~ + sum _ {n = 1} ^ { infty} sin (2 pi nz) ~ alpha _ {n} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { Big (} 1- cos (2 pi nz) { Big)} ~ beta _ {n} right)}$

wo α und β sind reale Sequenzen, die schnell genug zerfallen, um die Konvergenz der Reihe zumindest bei moderaten Werten von zu erreichen Ich binz.

Die Funktion S. erfüllt die Tetrationsgleichungen S. ((z+ 1) = exp (S.((z)), S.(0) = 1, und wenn α_n und β_n Nähern Sie sich 0 schnell genug, um eine Nachbarschaft der positiven realen Achse zu analysieren. Wenn jedoch einige Elemente von {α}} oder {β}} sind nicht Null, dann Funktion S. hat aufgrund des exponentiellen Wachstums von sin und cos entlang der imaginären Achse eine Vielzahl zusätzlicher Singularitäten und Schnittlinien in der komplexen Ebene; je kleiner die Koeffizienten { α}} und { β}} sind, je weiter diese Singularitäten von der realen Achse entfernt sind.

Die Ausdehnung der Tetration in die komplexe Ebene ist daher für die Einzigartigkeit wesentlich; Die realanalytische Tetration ist nicht eindeutig.

Nicht elementare Rekursivität[edit]

Tetration (beschränkt auf

${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$

) ist keine elementare rekursive Funktion. Man kann durch Induktion beweisen, dass für jede elementare rekursive Funktion fgibt es eine Konstante c so dass

${ displaystyle f (x) leq underbrace {2 ^ {2 ^ { cdot ^ { cdot ^ {x}}}} _ {c}.}$

Wir bezeichnen die rechte Seite mit

${ displaystyle g (c, x)}$

. Nehmen wir im Gegenteil an, dass die Tetration elementar rekursiv ist.

${ displaystyle g (x, x) +1}$

ist auch elementar rekursiv. Durch die obige Ungleichung gibt es eine Konstante c so dass

${ displaystyle g (x, x) +1 leq g (c, x)}$

. Indem man

${ displaystyle x = c}$

, wir haben das

${ displaystyle g (c, c) +1 leq g (c, c)}$

ein Widerspruch.

Inverse Operationen[edit]

Die Potenzierung hat zwei inverse Operationen; Wurzeln und Logarithmen. Analog werden die Umkehrungen der Tetration oft als die bezeichnet Superwurzel , und die Superlogarithmus(Tatsächlich haben alle Hyperoperationen größer oder gleich 3 analoge Inversen); zB in der Funktion

${ displaystyle {^ {3}} y = x}$

sind die beiden Inversen die Würfel-Superwurzel von y und die Superlogarithmusbasis y von x.

Superwurzel[edit]

Die Superwurzel ist die inverse Operation der Tetration in Bezug auf die Basis: if

${ displaystyle ^ {n} y = x}$

, dann y ist ein nDie Superwurzel von x ((

${ displaystyle { sqrt[{n}]{x}} _ {s}}$

oder

${ displaystyle { sqrt[{n}]{x}} _ {4}}$

).

Zum Beispiel,

${ displaystyle ^ {4} 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 65 {,} 536}$

2 ist also die 4. Superwurzel von 65.536.

Quadratische Superwurzel[edit]

Der Graph

${ displaystyle y = { sqrt {x}} _ {s}}$

Das Superwurzel 2. Ordnung,quadratische Superwurzel , oderSuper Quadratwurzel hat zwei äquivalente Notationen,

${ displaystyle mathrm {ssrt} (x)}$

und

${ displaystyle { sqrt {x}} _ {s}}$

. Es ist das Gegenteil von

${ displaystyle ^ {2} x = x ^ {x}}$

und kann mit der Lambert W-Funktion dargestellt werden:^[20]

${ displaystyle mathrm {ssrt} (x) = e ^ {W ( ln x)} = { frac { ln x} {W ( ln x)}}}$

Die Funktion veranschaulicht auch die Reflexion der Wurzel- und Logarithmusfunktionen, da die folgende Gleichung nur dann gilt, wenn

${ displaystyle y = mathrm {ssrt} (x)}$

::

${ displaystyle { sqrt[{y}]{x}} = log _ {y} x}$

Wie Quadratwurzeln die Quadratwurzel von x hat möglicherweise keine einzige Lösung. Im Gegensatz zu Quadratwurzeln wird die Anzahl der Quadrat-Superwurzeln von bestimmt x kann schwierig sein. Im Allgemeinen, wenn

${ displaystyle e ^ {- 1 / e}$

, dann x hat zwei positive quadratische Superwurzeln zwischen 0 und 1; und wenn

${ displaystyle x> 1}$

x hat eine positive quadratische Superwurzel größer als 1. Wenn x ist positiv und weniger als

${ displaystyle e ^ {- 1 / e}}$

es hat keine echten quadratischen Superwurzeln, aber die oben angegebene Formel liefert unendlich viele komplexe für jede endliche x ungleich 1.^[20] Die Funktion wurde verwendet, um die Größe von Datenclustern zu bestimmen.^[21]

Beim

${ displaystyle x = 1}$

::

${ displaystyle mathrm {ssqrt} (x) = 1 + (x-1) – (x-1) ^ {2} + { frac {3} {2}} (x-1) ^ {3} – { frac {17} {6}} (x-1) ^ {4} + { frac {37} {6}} (x-1) ^ {5} – { frac {1759} {120}} (x-1) ^ {6} + { frac {13279} {360}} (x-1) ^ {7} + mathrm {O} left ((x-1) ^ {8} right) }}$

Andere Superwurzeln[edit]

Der Graph

${ displaystyle y = { sqrt[{3}]{x}} _ {s}}$

Für jede ganze Zahl n> 2, die Funktion ⁿx definiert ist und zunimmt für x≥ 1, und ⁿ 1 = 1, so, dass die nDie Superwurzel von x,

${ displaystyle { sqrt[{n}]{x}} _ {s}}$

existiert für x ≥ 1.

Eine der einfacheren und schnelleren Formeln für eine Superwurzel dritten Grades ist die rekursive Formel, wenn: “x ^ x ^ x = a”und als nächstes x (n + 1) = exp (W (W (x (n) · ln (a)))), zum Beispiel x (0) = 1.

Wenn jedoch die obige lineare Näherung verwendet wird, dann

${ displaystyle ^ {y} x = y + 1}$

wenn −1 y≤ 0, damit

${ displaystyle ^ {y} { sqrt {y + 1}} _ {s}}$

kann nicht existieren.

Ebenso wie die quadratische Superwurzel kann die Terminologie für andere Superwurzeln auf den normalen Wurzeln basieren: “Würfel Superwurzeln” kann ausgedrückt werden als

${ displaystyle { sqrt[{3}]{x}} _ {s}}$

;; das “4. Superwurzel” kann ausgedrückt werden als

${ displaystyle { sqrt[{4}]{x}} _ {s}}$

;; und die “nDie Superwurzel” ist

${ displaystyle { sqrt[{n}]{x}} _ {s}}$

. Beachten Sie, dass

${ displaystyle { sqrt[{n}]{x}} _ {s}}$

ist möglicherweise nicht eindeutig definiert, da es möglicherweise mehr als eine gibt n^th Wurzel. Zum Beispiel, x hat eine einzelne (echte) Superwurzel wenn n istseltsamund bis zu zwei wenn n ist sogar .^{[citation needed]}

Genau wie bei der Ausdehnung der Tetration auf unendliche Höhen kann die Superwurzel auf erweitert werden n = ∞, gut definiert sein, wenn 1 / e ≤x≤e. Beachten Sie, dass

${ displaystyle x = {^ { infty} y} = y ^ { left[^{infty }yright]} = y ^ {x},}$

und damit das

${ displaystyle y = x ^ {1 / x}}$

. Wenn es also gut definiert ist,

${ displaystyle { sqrt[{infty }]{x}} _ {s} = x ^ {1 / x}}$

und ist im Gegensatz zur normalen Tetration eine elementare Funktion. Zum Beispiel,

${ displaystyle { sqrt[{infty }]{2}} _ {s} = 2 ^ {1/2} = { sqrt {2}}}$

.

Aus dem Gelfond-Schneider-Theorem folgt diese Superwurzel

${ displaystyle { sqrt {n}} _ {s}}$

für jede positive ganze Zahl n ist entweder ganzzahlig oder transzendent und

${ displaystyle { sqrt[{3}]{n}} _ {s}}$

ist entweder ganzzahlig oder irrational.^[22] Es ist noch offen, ob irrationale Superwurzeln im letzteren Fall transzendent sind.

Superlogarithmus[edit]

Einmal kontinuierlich ansteigend (in x) Definition von Tetration, ^xein wird der entsprechende Superlogarithmus ausgewählt

${ displaystyle operatorname {slog} _ {a} x}$

oder

${ displaystyle log _ {a} ^ {4} x}$

ist für alle reellen Zahlen definiert x, und ein> 1.

Die Funktion Slog_ein x erfüllt:

${ displaystyle { begin {array} {lcl} operatorname {slog} _ {a} {^ {x} a} & = & x \ operatorname {slog} _ {a} a ^ {x} & = & 1+ operatorname {slog} _ {a} x \ operatorname {slog} _ {a} x & = & 1+ operatorname {slog} _ {a} log _ {a} x \ operatorname {slog} _ {a } x &> & – 2 end {array}}}$

Offene Fragen[edit]

Abgesehen von den Problemen mit den Erweiterungen der Tetration gibt es einige offene Fragen bezüglich der Tetration, insbesondere wenn es um die Beziehungen zwischen Zahlensystemen wie ganzen Zahlen und irrationalen Zahlen geht:

• Es ist nicht bekannt, ob es eine positive ganze Zahl gibt n für welche ⁿπ oder ⁿe ist eine ganze Zahl. Insbesondere ist nicht bekannt, ob einer von beiden ⁴π oder ⁵e ist eine ganze Zahl.^{[citation needed]}
• Es ist nicht bekannt, ob ⁿq ist eine Ganzzahl für jede positive Ganzzahl n und positiv nicht ganzzahlig rational q.^[22] Beispielsweise ist nicht bekannt, ob die positive Wurzel der Gleichung ⁴ x= 2 ist eine rationale Zahl.^{[citation needed]}

Siehe auch[edit]

Wikimedia Commons hat Medien im Zusammenhang mitTetration.

Verweise[edit]

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  ${ displaystyle y = x ^ {[x^{[x(cdots )]}]}}$

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• Luca Moroni, Die seltsamen Eigenschaften des unendlichen Kraftturms ((https://arxiv.org/abs/1908.05559)

Weiterführende Literatur[edit]