Misura di Haar – Wikipedia

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Nell’analisi matematica, la misura di Haar è un modo per assegnare un “volume invariante” ai sottoinsiemi di un gruppo topologico localmente compatto e di conseguenza definire un integrale per le funzioni su tale gruppo.

Questa misura venne introdotta da Alfréd Haar, matematico ungherese, intorno al 1932. Le misure di Haar sono usate in molte aree dell’analisi e della teoria dei numeri.

Sia

G {DisplayStyle G}

un gruppo topologico localmente compatto. Nel seguito la σ-algebra generata da tutti i sottoinsiemi aperti di

G {DisplayStyle G}

è detta algebra di Borel. Un elemento dell’algebra di Borel è detto insieme di Borel .
Lui stesso

UN {DisplayStyle a}

è un elemento di

G {DisplayStyle G}

È

S {DisplayStyle S}

è un sottoinsieme di

G {DisplayStyle G}

, allora si indicano le traslate sinistre e destre come segue:

UN S = { UN ⋅ S : S ∈ S } {DisplayStyle as = {acdot s: sin s}}

S UN = { S ⋅ UN : S ∈ S } {DisplayStyle SA = {SCDOT A: sin s}}

Le traslate sinistre e destre mandano insiemi di Borel in insiemi di Borel.

Una misura

M {DisplayStyle Mu}

sui sottoinsiemi di Borel di

G {DisplayStyle G}

è detta invariante per traslazioni sinistre se e solo se
per tutti i sottoinsiemi di Borel

S {DisplayStyle S}

di

G {DisplayStyle G}

e tutte le

UN {DisplayStyle a}

In

G {DisplayStyle G}

Sì HA:

M ( UN S ) = M ( S ) {DisplayStyle mu (as) = ​​mu (s)}

Nella definizione dell’invarianza per traslazioni destre si ricorre a una definizione simile.

Si vede che, a meno di una costante moltiplicativa positiva, esiste solo una misura

M {DisplayStyle Mu}

definita sui sottoinsiemi di Borel di

G {DisplayStyle G}

, invariante per traslazioni sinistre, numerabilmente additiva e regolare, tale che

M ( IN ) > 0 {DisplayStyle Mu (u)> 0}

IN {DisplayStyle u}

. Si dice che

M {DisplayStyle Mu}

è regolare se: [Primo]


  • M ( K ) {DisplayStyle Mu (k)}

    è finita per ogni insieme compatto K {DisplayStyle K}

    .
  • Ogni insieme di Borel
    E {DisplayStyle e}

    è esternamente regolare:
M ( E ) = inf { M ( IN ) : E ⊆ IN , IN  aperto e boreliano} {DisplayStyle mu (e) = inf {mu (u): esubseteq u, u {mbox {aperto e boreliano}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

  • Lui stesso
    E {DisplayStyle e}

    è boreliano, allora E {DisplayStyle e}

    è internamente regolare:
M ( E ) = sup { M ( K ) : K ⊆ E , K  compatto } {displaystyle mu (E)=sup{mu (K):Ksubseteq E,K{mbox{ compatto }}}}

Risulta utile notare che in alcuni casi patologici un insieme può essere aperto senza essere di Borel. Per questa ragione, nella proprietà della regolarità esterna, si specifica che l’estremo inferiore si estende solo sugli insiemi aperti e di Borel. Queste patologie non si incontrano se

G {DisplayStyle G}

è un gruppo localmente compatto la cui topologia sottostante è una metrica separabile; in questo caso la struttura di Borel è quella generata da tutti gli insiemi aperti.

Può essere dimostrato che esiste essenzialmente un’unica misura di Borel invariante per traslazioni destre

N {DisplayStyle not}

, ma non coincide necessariamente con la misura invariante per traslazioni sinistre

M {DisplayStyle Mu}

. Queste misure sono le stesse solo per i cosiddetti gruppi unimodulari . È tuttavia facile trovare una relazione fra

M {DisplayStyle Mu}

È

N {DisplayStyle not}

.

Infatti, per un insieme di Borel

S {DisplayStyle S}

, sia

S – Primo {DisplayStyle S^{-1}}

l’insieme degli inversi degli elementi di

S {DisplayStyle S}

. Se si definisce:

M −1( S ) = M ( S −1) {DisplayStyle Mu _ {-1} (s) = mu (s^{-1})}

allora questa è una misura di Haar destra. Per mostrare l’invarianza destra, si applica la definizione:

M −1( S UN ) = M ( ( S UN ) −1) = M ( UN −1S −1) = M ( S −1) = M −1( S ) {DisplayStyle mu _ {-1} (sa) = mu ((sa)^{-1}) = mu (a^{-1} s^{-1}) = mu (s^{-1}) = mu _ {-1} (s)}

Poiché la misura destra è unica, segue che

M – Primo {DisplayStyle Mu _ {-1}}

è un multiplo di

N {DisplayStyle not}

e quindi:

M ( S −1) = K N ( S ) {DisplayStyle mu (s^{-1}) = knu (s)}

per tutti gli insiemi di Borel

S {DisplayStyle S}

, dove

K {DisplayStyle K}

è una costante positiva.

Usando la teoria generale dell’integrazione di Lebesgue, si può allora definire un integrale per tutte le funzioni misurabili

F {DisplayStyle f}

Sono

G {DisplayStyle G}

. Questo integrale è detto integrale di lei . Lui stesso

M {DisplayStyle Mu}

è una misura di Haar sinistra, allora:

∫ GF ( S X ) D M ( X ) = ∫ GF ( X ) D M ( X ) {DisplayStyle int _ {g} f (sx) dmu (x) = int _ {g} f (x) dmu (x)}

per ogni funzione integrabile

F {DisplayStyle f}

. Questo è immediato per le funzioni a scala, essendo fondamentalmente la definizione di invarianza sinistra.

La misura di Haar è usata per l’analisi armonica su gruppi localmente compatti generici, vedi dualità di Pontryagin. Una tecnica frequentemente usata per dimostrare l’esistenza di una misura di Haar su un gruppo localmente compatto

G {DisplayStyle G}

è mostrare l’esistenza su

G {DisplayStyle G}

di una misura di Radon invariante a sinistra.

A meno che

G {DisplayStyle G}

sia un gruppo discreto, è impossibile definire una misura invariante a destra numerabilmente additiva per tutti i sottoinsiemi di

G {DisplayStyle G}

, assumendo l’assioma della scelta (si veda insiemi non misurabili).

M ( S ) = ∫ S1|t|D T {DisplayStyle mu (s) = int _ {s} {frac {1} {| t |}}, dt}

per tutti i sottoinsiemi di Borel S {DisplayStyle S}

dei reali positivi.

Questo si generalizza al seguente:

  • Per
    G = G L ( N , R ) {DisplayStyle g = gl (n, mathbb {r})}

    le misure di Haar destra e sinistra sono proporzionali e:
M ( S ) = ∫ S1|det(X)|nD X {DisplayStyle mu (s) = int _ {s} {1 over | det (x) |^{n}}, dx}

dove D X {DisplayStyle dx}

denota la misura di Lebesgue su R n2{DisplayStyle r^{n^{2}}

, l’insieme di tutte le N × N {DisplayStyle n}

-matrici. Questo segue dalla formula di cambiamento delle variabili.
  • Più in generale, su ogni gruppo di Lie di dimensione
    D {DisplayStyle d}

    , una misura di Haar può essere associata a una D -modulo OH {DisplayStyle omega}

    non nulla e invariante per traslazioni, come misura di Lebesgue | OH | {DisplayStyle | omega |}

    ; e un risultato analogo vale per la misura di Haar destra. Questo significa inoltre che la funzione modulare può essere calcolata, come valore assoluto del determinante della rappresentazione aggiunta.

La traslata sinistra di una misura di Haar destra è una misura di Haar destra. Più in dettaglio, se

M {DisplayStyle Mu}

è una misura di Haar destra, allora anche:

UN ↦ M ( T −1UN ) {DisplayStyle AmapSto mu (t^{-1} a)}

è invariante a destra. Quindi, esiste un’unica funzione

D {DisplayStyle Delta}

, Questo funzione modulare tale che per ogni insieme di Borel

UN {DisplayStyle a}

E controlla:

M ( T −1UN ) = D ( T ) M ( UN ) {DisplayStyle mu (t^{-1} a) = Delta (t) mu (a)}

Un gruppo è unimodulare se e solo se la funzione modulare è identicamente 1. Esempi di gruppi unimodulari sono i gruppi compatti e i gruppi abeliani. Un esempio di un gruppo non unimodulare è il gruppo

UN X + B {DisplayStyle ax+b}

delle trasformazioni della forma:

X ↦ UN X + B {DisplayStyle xmapsto ax+b}

sulla retta reale.

  • ( IN ) Paul Halmos, Misurare la teoria , D. Van Nostrand and Co., 1950.
  • ( IN ) Lynn Loomis, Un’introduzione all’analisi armonica astratta , D. Van Nostrand and Co., 1953.
  • ( IN ) André Weil, Teoria dei numeri di base , Academic Press, 1971.
  • ( IN ) Conway, J. Un corso in analisi funzionale . New York: Springer-Verlag, 1990.
  • ( IN ) Feldman M. e Gilles, C. “Una nota espositiva sul rischio individuale senza incertezza aggregata.” J. Econ. Teoria 35 , 26-32, 1985.