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ガンマ関数 （エウルラガンマとも呼ばれます） – 強い概念を拡張する特別な機能 ^[初め] 実際の数字と複雑な数字のコレクション。複雑な数の実際の部分 と それはポジティブであり、それは完全です（オイレラの積分）：

${displaystyleガンマ（z）= int limits _ {0}^{+infty} t^{z-1}、e^{ – t}、dt}$

それは容赦なく収束しています。部品を介して統合することにより、次のことを示すことができます。

${displaystyleガンマ（z+1）= zcdotガンマ（z）。}$

γ（1）= 1を考慮すると、上記のパターンはγ（ n +1）= n ！すべての自然数のために n 。

γ関数を決定する2番目の方法（任意の複雑な数字）は次のとおりです。

${displaystyle gamma（z）= lim _ {nrightarrow+infty} {frac {n！n^{z}} {z（z+1）（z+2）ldots（z+n）}} = {frac {1} {z}}} {frac {n} {z} {z}}}}}}}}} {Z}} {Z} {Z} {Z} {Z} {Z}}}}} {z} {n}}}}}}。}$

また、ガンマ関数の反対を次のように決定することもできます（γはEulera-Mascheroniの定数です）：

${displaystyle {frac {1} {gamma（z）}}} = ze^{gamma z} prod _ {n = 1}^{infty}左[1+ {frac {z} {n}}右）e^{ – {z} {n}}}}}}$

ガンマ関数にはゼロの場所がありません。

それは完全なポイントで不連続であり、左右のこれらの地点で左右に採用されています。 ^[必要] 。

${displaystyleガンマ（z+1）= zcdotガンマ（z）}$

${displaystyleガンマ（z）CDOTガンマ左（z+{frac {1} {2}}右）= {frac {sqrt {pi}} {2^{2cdot z -1}}} cdotガンマ（2z）}}$

分母がゼロでない場合、次の2つの設計が発生します。

${displaystyleガンマ（z）cdotガンマ（1-z）= {frac {pi} {sin {pi z}}}、}$

${displaystyle gamma左（z+{frac {1} {2}}右）cdotガンマ左（{frac {1} {2} {2}} – zright）= {frac {pi} {cos {pi z}}}。}}}$

もしも

${displaystyle -1$

に：

${displaystyle gamma（z）= {frac {1} {sin {{frac {pi} {2} z}}}} int _ {0}^{infty} t^{z-1} sin {t} dt。}}$

もしも

${displaystyle 0$

に：

${displaystyle gamma（z）= {frac {1} {cos {frac {pi} {2} z}}} int _ {0}^{infty} t^{z-1} cos {t} dt。}}$

ガウスの製品パターン：

${displaystyle gamma（nz）= {frac {n^{nz}} {sqrt {（2pi）^{n-1}}}} cdotガンマ左（z+{frac {1} {n}}右右右nd {nz {n}} cdotガンマ左（z+{frac {2 frac {frac {frac {frac）{frac {frac {frac {frac）左（z+{frac {n-1} {n}}右）。}$

ために n 合計、ポジティブ：

${displaystyleガンマ（n）=（n-1）！}$

${displaystyleガンマ左（n+{frac {1} {2}}右）= {frac {（2n-1）!!} {2^{n}}} {sqrt {pi}}、}$

${displaystyleガンマ（n+1/p）=ガンマ（1/p）{frac {（pn-（p-1））！^{（p）}} {p^{n}}}、}$

どこ

${displaystyle x！^{（p）}}$

意味があります複数のp-これは強い。

フィールドカラーリング技術 [ 編集 | コードを編集します ]

引数で色付けされたモジュールの空間投影 [ 編集 | コードを編集します ]

ガンマ関数の選択された値 [ 編集 | コードを編集します ]

${displayStyle {begin {array} {lll} gamma（-2）＆ – ＆\ gamma（-3/2）＆= {frac {4 {sqrt {pi}}}}＆comprx 2 {、} 363271801 \ gamma（}＆\ gamma（-1）＆\ f.-1/2） i}}＆compx -3 {、} 544907702 \ gamma（0）＆ – ＆\ gamma（1/7）&& artix 6 {、} 548062940 \ gamma（1/6）&& && 5 {、} 566316002 /4）&& amptx 3 {、} 625609908 \ gamma（1/3）&& rule somma（1/2）＆= {sqrt {pi}}＆cortx 1 {、} 772453851 \ gamma（1）\ gamma（1） 0 {、} 885603194 \ gamma（3/2）＆= {frac {sqrt {pi}} {2}}＆compx 0 {、} 886226925 \ gamma（2）＆= 1！＆= 1 \ gamma（5/2）＆= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = }＆compx 1 {、} 329340388 \ gamma（3）＆= 2！＆= 2 \ gamma（7/2）＆= {frac {15 {sqrt {pi}} {8}}＆cortx 3 {、} 323350970 \ gamma（4）3！$

${displaystyle x_ {min}}$

これはγ関数のそのような議論であり、局所的な最小値を採用します バツ > 0、

${displayStyle X_ {min}約1 {、} 461632145。}$

関数γ（ と ）に指定されていません と 0、-1、-2、…（ma boeguny oh restuum

${displaystyle（-1）^{n}/n！}$

）。

ガンマ関数の対数微分 [ 編集 | コードを編集します ]

関数を定義できます

${displaystyle psi（z）、}$

私たちが呼んでいます ガンマ関数の対数微分 また digamma関数 ：

${displaystyle psi（z）= {frac {gamma ‘（z）} {gamma（z）}}、}$

どこ

${displaystyle zneq 0、-1、-2、dots}$

関係があります（

${displaystyleガンマ}$

-Eulera-Mascheroniをstawしました）：

${displaystyle psi（z）= -mamma+sum _ {n = 0}^{infty}左（{frac {1} {n+1}} – {frac {1} {n+z}}右）、}$

${displaystyle psi ‘（z）= sum _ {k = 0}^{infty} {frac {1} {left（z+kright）^{2}}}。}}}$

さらに、大きなものの場合 バツ 近似を使用できます。

${displaystyle psi（x）art rn x- {frac {1} {2x}}。}}}$

関数も定義されています。

${dissispastyle psi^{（n）}（z）= {frac {d^{n} psi（z）} {dz^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}^{n+1} lnガンマ（Z）、}}$

私たちが呼んでいます ポリガンマ関数 n -y注文 。次に、Digamma関数は次​​のように定義できます。

${distrastaStyle psi（z）= psi ^{（0）}（z）。}$

機能

${displaystyle psi ^{（1）}}$

TrigammaまたはTri -Hall関数と呼ばれることもあります。

• Piebhammerのシンボルはガンマ関数に基づいています ^[2] 。
• N次元の高次元体積のパターン：
  ${displaystyle s_ {n} =（2*pi ^{n/2}）/（gamma（1/2n））}$

  ^[3] 。