Liei Algebra-ウィキペディア、無料​​百科事典

Posted on by
before-content-x4

代数リエゴ – これは、実際の数字または統一された数字の本体と同時に代数のベクトル空間であり、呼ばれる要素の乗算を定義しました ボンネットによって （見下ろす）。リーの代数は嘘グループに関連付けられています。

代数データベースの要素が呼び出されます Generatorami LIIグループ – 出展者を介して嘘グループの任意の要素を計算できます。嘘の各グループは、代数リーイに対応しており、その逆も同様です。この対応により、代数Lieを使用してLieグループを研究することができます。

Lii代数の寸法 独立した発電機の数に等しくなります。

本当の代数嘘 これは、実数の本体の上に指定されたベクトル空間である場合、Liiの代数と呼ばれます（同じことが定義されています Liiの組み合わせ代数 ）。

嘘の各代数は、正方形のマトリックスの収穫によって表されることができます。与えられたマトリックスの選択が呼び出されます Liei代数の表現 。同時に、代数とその表現の間には明確な対応があります 同性愛： これは、加算と乗算の作用を維持しながら、問題に対する代数要素の相互に明確な割り当てです。マトリックスの寸法の選択は何ですか – したがって、特定の代数の多くの可能な表現があります。 Liei代数とその表現は、特に量子力学と基本的な粒子物理学で物理学で使用されます。また、非線形方程式などの解を探すことにも適用されます。

Algebrという名前は、Sophus Lieに由来します。それらはグループと呼ばれるために使用されていました Infinitezymalnymi 。

代数リエゴ 体の上

k {displaystyle k}

（いつもの

k = c {displaystyle k = mathbb {c}}

k = r {displaystyle k = mathbb {r}}

）線形空間です

バツ {displaystyle x}

体の上

k {displaystyle k}

2つのrgrute効果がさらに定義されています

[ de 、 de ] ： バツ × バツ → バツ 、 {displaystyle [cdot、cdot] colon xtimes xto x、}

呼び出されました ボンネットによって 、どんなものでも充実しています

バツ 、 と 、 と ∈ バツ {displaystyle x、y、zin x}

私

a 、 b ∈ k {displaystyle alpha、beta in k}

次の条件：

  • 2つのライム：
  • 対照的：
  • ヤコビのアイデンティティ：

ベクトル空間 [ 編集 | コードを編集します ]

  • スペースベクトル
  • 正方行列

フルライングループの嘘代数を形成します

g l （ n 、 r ）） {displaystyle gl（n、mathbf {r}）}
after-content-x4

可逆的な問題（すなわち、決定因子の問題

≠ 0 {displaystyle neq 0}

））

  • Antihermit Matrices寸法

再生 [ 編集 | コードを編集します ]

  • 一般的な線形代数で

実際のマトリックスグループ [ 編集 | コードを編集します ]

各グループ

g {displaystyle g}

嘘のリンクされた代数を定義します

g = l 私 そうです （ g ）） 。 {displaystyle g = lie（g）。}

全体的な依存性はやや複雑ですが、実際の /提出された事項の場合、マトリックスの出展者：代数嘘によって策定できます

g {displaystyle g}

それらはこれらのマトリックスを形成します

バツ 、 {displaystyle x、}

どれの

exp ⁡ （ t バツ ）） {displaystyle exp（TX）}

グループに属するマトリックスです

after-content-x4
g {displaystyle g}

すべての数字について

t {displaystylet}

リアル /コンプレックス。

ゼロに等しいブラケット [ 編集 | コードを編集します ]

すべての要素のバランスをゼロに等しいと定義するベクトル空間、つまり

彼は嘘の代数です。そのような代数の嘘はそうです 交互（アベロワ） 。

ベクトル製品 [ 編集 | コードを編集します ]

ベクトル空間のボンネットとして

r 3 {displaystyle mathbb {r} ^{3}}

ベクトル要素の積、つまり

ベクター製品が嘘括弧の定義の条件を満たしていることを確認するのは簡単です。

整流子 [ 編集 | コードを編集します ]

嘘の代数は、接続代数と、嘘のブラケットが整流子として定義されているもの、つまり

整流子は、嘘の括弧の定義のためのすべての条件を満たしています。

実際のマトリックスグループの代数 [ 編集 | コードを編集します ]

Matrixグループで指定されたLii代数の場合、昼寝

[ A1、 A2] = a 初め a 2 – a 2 a 初め 。 {displaystyle left [a_ {1}、a_ {2}右] = a_ {1} a_ {2} -a_ {2} a_ {1}。}

整流子は寸法nのマトリックスでもあることに注意してください。

代数を形成するマトリックスグループ：

1）代数
– 寸法のすべての正方行列を収穫します
2）代数
– ゼロに等しいトレイルを備えた複雑な問題のセット。ポダルラ代表
3）代数
-anthermit Matrixコレクション。ポダルラ代表
4）代数
-Podalgebra Algebry
5）代数
– 抗ジメトリックな四角マトリックス寸法の代数

代数ジェネレーターとその寸法。永久構造 [ 編集 | コードを編集します ]

（ 初め ）） Generatorami Algebry 嘘は、直線的に独立した要素のラインと呼ばれます

g a 、 a = 初め 、 2 、 … 、 n 、 {displaystyle g_ {a}、a = 1,2、dots、n、}

すべての要素のように

バツ {displaystyle x}

アルゲブリーは、発電機の線形結合、つまり

バツ = ∑ a = 初め n バツ a g a 。 {displaystyle x = sum _ {a = 1}^{n} x^{a} g_ {a}。}

発電機は線形空間ベースを作成します。ジェネレーターは、展示会を計算することにより、嘘の代数に関連する嘘グループの任意の要素を作成することもできます。

（ 2 ）） 寸法 Liei代数は、直線的に独立した発電機の最大数に等しくなります。

（ 3 ）発電機のセットは特徴づけられます 彗星の条件、 、つまり、任意の2つのジェネレーターの整流子は、すべての発電機の線形の組み合わせです

係数

f 私 j k {displaystyle f_ {ijk}}

彼らは数字です – 彼らは呼ばれています 永久構造 リーの代数。次元の代数

n {displaystyle n}

と

n 3 {displaystyle n^{3}}

永久構造。

（ 4 ）発電機の選択は一意ではありません（ベクトル空間ベースの選択と同じです）。特定の代数の独自性は、永久構造によって明確に特徴付けられます。

（ 5 ）すべての整流子がゼロの場合、代数はグループです アベロワ （ 交互） 。

代数の嘘とその発電機の例 [ 編集 | コードを編集します ]

代数Heisenberga H3（R） [ 編集 | コードを編集します ]

（a）ジェネレーターを備えた3次元のliei algeraです

バツ 、 と 、 と {displaystyle x、y、z}

次のように定義されている嘘の括弧：

（b）3×3マトリックス空間では、代数がこれを表しています アッパークランピーママー ：

そして、嘘の括弧はマトリックス整流子によって与えられます。

代数のこの表現に対応する嘘グループの要素嘘

– このマトリックスは、ジェネレーターマトリックスの展示を掛けることで取得できます

a バツ 、 {displaystyle ax、}

b と {displaystyle by}

と

c と 、 {disspastyle cz、}

TJ。

注意： ここでは、展示物の乗算の順序が重要です

そうです b と 、 そうです c と 、 そうです a バツ 、 {displaystyle e^{by}、e^{cz}、e^{ax}、}

彼らは一般的に変化していないマトリックスを提示するためです。

3次元空間における代数翻訳 [ 編集 | コードを編集します ]

3次元スペースの翻訳グループには3つのジェネレーターがあります

バツ 、 と 、 と 、 {displaystyle x、y、z、}

軸に向かって適切に翻訳を生成することができます

o バツ 、 {displaystyle ox、}

o と {displaystyle oy}

私

o と 。 {displaystyle oz。}

これらのジェネレーターは、整流子と一緒に嘘代数を形成します。

したがって、これは変更です。

速度グループの代数SO（3） [ 編集 | コードを編集します ]

（ 初め ）回転グループ

s o （ 3 ）） {displaystyle so（3）}

3つの次元空間に3つの発電機があります

t 初め 、 {displaystyle t^{1}、}

t 2 、 {displaystyle t^{2}、}

t 3 、 {displaystyle t^{3}、}

これにより、軸の周りの回転を生成できます

o バツ 、 {displaystyle ox、}

o と {displaystyle oy}

私

o と 、 {displaystyle oz、}

TJ。

これらのジェネレーターは、代数嘘のデータベースを形成します

s o （ 3 ）） 。 {displaystyle so（3）。}

発電機の整流子には値があります

TJ。

したがって、代数の永続的な構造に続きます

s o （ 3 ）） {displaystyle so（3）}

それらは、レヴィーの象徴のシンボルによって決定されます

（ 2 ）速度グループの任意の要素

s o （ 3 ）） {displaystyle so（3）}

展示物を使用することができます：

どこ

ϕ 初め 、 ϕ 2 、 ϕ 3 {displaystyle phi _ {1}、phi _ {2}、phi _ {3}}

– 回転パラメーター。

代数

（ 初め ）代数

それは （ 2 ）） {displaystyle {text {su}}（2）}

これは、採算されていない隠者マトリックスの助けを借りて表される3次元代数です。

（ 2 ）ディメンションマトリックスで表現された表現のベース

2 × 2 {displaystyle 2Times 2}

それらは例えば

（これらはパウリのマトリックスを2で割ったものです）。

（ 3 ）発電機間の整流関係

永久代数構造を決定します

それは （ 2 ）） {displaystyle {text {su}}（2）}

（ 4 ）この代数は、特別なユニタリーの嘘su（2）グループを生成します。ボディユニタルマトリックス

それは （ 2 ）） {displaystyle {text {su}}（2）}

寸法

n × n {displaystyle n}

展示を使用して取得します。

どこ：

（ 5 ）SU（2）の定数構造は、3次元空間のSO（3）速度グループと同一であることがわかります。したがって、代数su（2）はSo -Calledです回転グループをカバーする代数、回転の各マトリックスは、SU（2）によって生成された2つのマトリックスに相互に対応します。

  • J. Komorowski、 ユニット数からテンソル、スピナー、アージボン、正方形まで 、State Wydawnictwo naukowe、1978年ワルシャワ。
  • J.モズルジマス、 現代物理学におけるグループ理論の適用 、PWN、ワルシャワ1967。
  • ジャンピエールセール、 代数と嘘のグループ 、第2版、Springer、2006、ISBN 3-540-55008-9 。
after-content-x4