LebesgueのMiara-ウィキペディア、無料​​百科事典

Miara Lebesgue’a （「lebega」を読む） – 長さ、表面、および体積フィールドの概念を一般化する理論を測定するという概念（例えば、ヨルダンによる）。歴史的に、測定の概念（今日と呼ばれます ルベーグの尺度 ）アンリ・ルベスゲの作品から来ています ^[初め] 、閉じたコンパートメント以外のコレクションで指定された機能のクラスへの積分の概念の拡張（SO -COLLED LEBESGUE INTECTAL）についても拡張されています。

ルベーグの尺度は、唯一の完全で、内部的に規則的で不変のシフトです（参照 プロパティ ）（ユニット）多次元キューブにはユニットメジャーがある（ユニットの空間のすべての開いたサブセットを含むσ項目で指定）ボレロワメジャー。

ユークリド空間のサブセットのファミリーは、レベジュの測定を決定することが感覚であるため、公然と説明することはできません。このファミリーの要素はσシネムで作られています σ-Iは、レベーゼの意味で測定可能でした 。 Lebesgueの意味での非根元のコレクションの存在の可能性は、理論性の背景を持っています。簡単に言えば、それはザーメル・フレーンケルの公理の採用された拡張に依存します（参照 非根元のコレクション ）。

対策は、表面の長さ、フィールド、および体積を一般化すると同時に、3次元ユークリッド空間のコンパートメントやボールよりも抽象的で不規則なコレクションを測定するのに役立つことが判明します。測定理論がもたらした最初の問題の1つは、測定があったかどうかの問題でした

${displaystyle m}$

次のプロパティについて：

1. 
   ${displaystyle m}$

   シンプルな本物のサブセット、つまりフィールドのすべてのサブセットに決定されます

   ${displaystyle m}$

   一連の実数のパワーコレクションがあります、

2. 実数の範囲
   ${displaystyle [a、b]}$

   測定値があります

   ${displaystyle b-a、}$

   

3. 固定ベクトル（右または左）でサブセットをシフトする尺度は、スライドしている収穫の尺度と同じです（言い換えれば、測定
   ${displaystyle m}$

   シフトは変わらない）。

選択公理の仮定（またはその弱い形の一部、たとえば理想に関する主張）の下では、尺度はありません

${displaystyle m}$

これらの条件を満たす1. 2.および3。

使用 外部lebesgueの測定 （すなわち、非陰性、σpostditic関数

${displaystyle m^{*}、}$

条件2および3）を満たすすべての植物で指定された、それは（カラテオドリーからの方法によって）完全な尺度（すなわち、このプロパティに関する非陰性関数σ-アドディンティウェイ、この関数が値0を測定可能であることを測定可能である）を構築することができます。 ルベーグの尺度 ）。

カラテオドリー定理を使用した建設

させて

${displaystyle d}$

固定された正の統合番号になります。 d – 次元ボリューム

${displaystyle d}$

– 次元コンパートメント

${displaystyle p = [a_ {1}、b_ {1}] times [a_ {2}、b_ {2}] times ldots times [a_ {d}、b_ {d}]}$

どこ

${displaystyle b_ {i} geqslant a_ {i}、}$

番号と呼ばれます

${displaystyle operatorname {vol} _ {d}（p）=（b_ {1} -a_ {1}）cdot（b_ {2} -a_ {2}）cdot ldot cdot（b_ {d} -a_ {d}）。}}}$

任意のコレクションの場合

${displaystyle asubseteq mathbb {r} ^{d}}$

外部測定を構築できます

${displaystyle lambda ^{*}（a）}$

関数によって決定されます

${displaystyle {rm {{vol} _ {d}、}}}$

呼び出されました ルベーグの外部測定 ：

${displaystyle inf {bigg {} sum _ {bin {mathcal {c}}} operatorname {vol} _ {d}（b）colon {mathcal {c}}}}}}$

合計がカバーする間隔の変換セットです

${displaystyle a {bigg}}。}$

コレクションについて

${displaystyle a}$

そうだと言われています ルベーグの意味で測定可能 、彼がカラテオドリーの意味で測定可能である場合（彼は満たします カラテオドリーの状態 ） 相対的

${displaystyle lambda ^{*}、}$

つまり、各コレクションについて

${displaystyle ssubseteq mathbb {r} ^{d}}$

発生する：

${displaystyle lambda ^{*}（s）= lambda ^{*}（scap a）+lambda ^{*} {big（} scap（mathbb {r} ^{d} {big）}}}}$

Carathéodoryによると、それはそれを示しています

${displaystyle lambda ^{*}}$

コレクションの家族にカットされたカラテオドリーは、完全な尺度です – この尺度は宇宙のレベスグの尺度と呼ばれます

${displaystyle mathbb {r} ^{d}。}$

ルベーグの建設

Lebesgueとそのバリアントの元の設計と、必要な変化（およびその中で、上記のカラテオドリー構造）に加えて、統合理論は使用されません。これは、パワーコレクションのサブセットで指定された機能関数でのみ動作し、機能の統合理論の尺度でのみ、自由に構築されています。

代表的な建設

クレームの証明は、別のアプローチによって示唆されています。それは、積分のより単純な理論（通常はリーマナの積分）から始まります。これにより、特に単純なクラスの機能、コンパクト媒体上の連続関数の統合が可能になります。これらの機能から始めて、オープンコレクションの尺度は、キューボイドよりも豊富なセットのクラスですが、ボレロウコレクションよりも小さい。次に、この測定理論は、ルベーグの証拠と同じように、レベジグの意味でσ測定可能なコレクションに拡張されますが、技術的には簡単です。メジャーからの一般的な積分のさらなる構築は、以前の構造と同じように同一に実行されます。

Young-Daniella Construction

参照：Caiss Daniel-Stone。

ウィリアム・H・ヤングによって開始され、パーシー・ダニエルによって再開された3番目のアプローチは、一般的な測定理論に頼ることなく、レベジグの統合理論の構築、すなわち、機能の関連ファミリー（半ストレッチ機能）に指定された機能を動作させ、その後、積極的な構築の尺度の構築を獲得することによって構成されています。

測定の定義による：

• もしも
  ${displaystyle a}$

  測定可能であり、測定可能です。

• 
  ${displaystyle lambda（a）geqslant 0}$

  測定可能なセットごとに

  ${displaystyle a;}$

  

• もしも
  ${displaystyle a}$

  ルベーグの意味で測定可能な多くの個別の字幕への変換の合計、それは

  ${displaystyle a}$

  それはまた、レベンゲの意味で測定可能です

  ${displaystyle lambda（a）}$

  これらの測定可能なコレクションの合計（完成または無限の）測定に等しくなります。

• もしも
  ${displaystyle a}$

  と

  ${displaystyle b}$

  それらは、レベンゲの意味での測定可能なコレクションです。

  ${displaystyle a}$

  彼はサブセットです

  ${displaystyle b、}$

  に

  ${displaystyle lambda（a）leqslant lambda（b）}$

  （上記の一貫性）;

• ルベーグの意味での測定可能なコレクションの変換合計と交差セクションは、ルベーグの意味で測定可能です。これは、上記の特性によるものではありません。なぜなら、家族は補完と変換のために閉鎖されているため 明確 コンバージョンの合計のために閉じる必要はありません：
  ${displaystyle {big {} varnothing、{1,2,3,4}、{1,2}、{3,4}、{1,3}、{2,4} {big}}。}}$

  

構造から：

• もしも
  ${displaystyle a}$

  コンパートメントのデカルト製品です

  ${displayStyle i_ {1}倍のi_ {2}倍のドット時間i_ {d}}$

  （言い換えれば：それは多次元のコンパートメントです）、それ

  ${displaystyle a}$

  Lebesgueの意味で測定可能です

  ${displaystyle lambda（a）= | i_ {1} | cdot | i_ {2} | dots | i_ {n} |、}$

  どこ

  ${displaystyle | i |}$

  コンパートメントの長さを意味します

  ${displaystyle i;}$

  

• ユクライドスペースの各Borelowskiコレクション（特に、開いた収穫またはセットが閉じられている）は、レベシグの意味で測定可能です。
• ルベーグの尺度は地元で完成し、内部的に定期的であるため、ラドンの尺度です。
• ゼロレベングの測定値の各サブセットは測定可能です（したがってゼロも測定します）。言い換えれば、ルベーグの尺度は完全な尺度です。
• もしも
  ${displaystyle a}$

  測定可能なコレクションです

  ${displaystyledelta> 0}$

  

  ${displaystyle x_ {0}}$

  どんなポイントでも、それは収穫です

  ${displaystyle delta a = {delta xcolon please a}}$

  私

  ${displaystyle a+x_ {0} = {a+x_ {0} colon ain a}}}$

  また、それぞれ測定可能であり、それぞれ測定値です、

  ${displaystyle delta ^{d} lambda（a）}$

  私

  ${displaystyle lambda（a）。}$

  より一般的には

  ${displaystyle tcolon mathbb {r} ^{d} to mathbb {r} ^{d}}$

  線形変換であり、絵です

  ${displaystylet（a）}$

  測定可能であり、測定値があります

  ${displaystyle | det t | lambda（a）。}$

  

• すべての分析的およびコールサイドサブセットは、レベシグの意味で測定可能です。
• 宇宙でのルベーグの尺度
  ${displaystyle mathbb {r} ^{d}}$

  たとえば、彼女はσskiingです

${displaystyle mathbb {r}^{d} = bigcup _ {n = 1}^{infty}〜[-n、n]^{d}。}$

任意のコレクションの場合

${displaystyle asubset mathbb {r}}$

文は真実です：

これらは、密度ポイントを持つLebesgueの定理の次元バージョンです。

選択の公理の仮定の下で、計り知れないまっすぐなサブセットがあります。 Giuseppe Vitaliは1905年に証明されました ^[2] 選択の公理の仮定の下では、単純な（SO -CALLED VITALI COLLECTION）のサブセット（Lebesgueの意味で）があります。バーンスタインのコレクションは別の「例」です ^[3] 。より一般的な文も当てはまります。正の尺度のユークリッド空間のすべての測定可能なサブセットには、非測定サブセットが含まれています。計り知れないコレクションの存在と性質は、多数の記述理論における研究の一般的なテーマです。次の2つの主張は、この文脈で考慮された質問の例です。

定理（Sierpiński、1920）

そのようなサブセットがあります

${displaystyle x}$

私

${displaystyle y}$

コレクションの実数のセット

${displaystyle x+y = {x+yolon、x、yin y}}}}$

それは計り知れません。

Theorem（Cichoń-Morayne-rałowski-ryll-nardzewski-ofserski、2001年）

そのようなサブセットがあります

${displaystylet}$

Cantorのコレクション

${displaystyle c}$

範囲に含まれています

${displaystyle [0.1]、}$

そのコレクション

${displaystylet+c}$

それは計り知れません。

Stefan Banachは、実数のセットのすべてのサブセットのファミリーにルベーグの測定を拡張する可能性の問題を検討しました。特に、バナッハは次の質問をしました ^[必要] ：

すべてのサブセットを測定する回心 – アクセル測定はありますか

${displaystyle mathbb {r}}$

ポイントで消えます。つまり、単一の要素コレクションの尺度が0になるようになりますか？

1929年、Kazimierz Kuratowskiとともに ^[4] 。一方、StanisławUlamは、ZF理論に基づいて、本当に測定可能な数がある場合、すべてのサブセットのファミリーに指定された尺度に対するLebesgueの測定値の拡張もあるという選択の公理を証明しました。 ^[5] 。この拡張機能は変化することはありません（つまり、条件3を満たしていません）

ロバート・M・ソロベイ ^[6] 測定可能な数がある場合、それはポーシングの特定の概念であることを証明しました

${displaystyle mathbb {p}}$

彼はバナッハの質問（すなわち、適切な尺度の存在）に肯定的な答えを押し進めます。さらに、彼は、多数のZFの理論が失敗した場合、すべてのストレートサブセットがあるモデルがあることを示しました。 ルベーグの意味で測定可能 ^[7] 。

選択の公理がなければ、計り知れないコレクションの存在を証明することはできず、いくつかの代替の仮定があると、すべてのストレートサブセットが測定可能になります。 1962年、ポーランドの数学者ヤン・ミシエルスキーとヒューゴ・スタインハウス ^[8] 彼らは、決定の公理（AD）に関する研究を提案しました。 Jan MycielskiとStanisławświerczkowski ^[9] 彼らは、すべてのコレクションがLebesgueの意味で測定可能であると仮定することを示しました。

達成不可能な数がある場合、ストレートサブセットのすべての投影がレベーゼの意味で測定可能である多数理論のモデルがあります。 ^[7] サハロン・ゼラッハ ^[十] 彼は、達成不可能な数の存在の仮定が必要であることを示しました：すべてのクラスコレクションの測定

${displaystyle sigma _ {3}^{1}}$

ことを意味します

${displaystyle omega _ {1}}$

これは、構築可能なコレクション（KurtGödla）の宇宙では達成不可能な数字です。

ジョーダンゴー

別の記事：ヨルダンの尺度。

最初に、導入手段は、多くの分離されたコレクションの終わりの合計であるコレクションの尺度が、紹介で提示された直感によると、それらの測定の合計であることが必要でした（ヨルダンの尺度は尺度ではありません）。このタイプの測定を構築することは、平面の直線サブセットとサブセットの両方にとって比較的簡単です：この測定は、 ヨルダンの尺度 、時には学校で教えられている基本的な幾何学を紹介します。

ヨルダンの尺度は、ほとんどのアプリケーションに適しているリーマンの積分の定義を可能にしますが、多くの重要なケースでは不十分であることが判明しています。その中には、フーリエのランクの理論が含まれています – この分野で遭遇した困難により、レベスグが提案した尺度の現在の定義の採用が強制されました。 Lebesgueという用語は、ヨルダンの意味での測定可能なコレクションも、レーベスグの意味で測定可能であることを即座に測定します。ただし、結果は他の方法では発生しません。例は、コンパートメントからの測定可能な数字のセットになります。

${displaystyle [0.1]、}$

ヨルダンの意味では測定できないが、レベーゼの意味で測定可能な人（彼の尺度はゼロです。ディリクレの関数を参照）。

一緒にボレロフスカ

別の記事：Borelowa Measure。

Borelowaの測定値は、指定されているコレクションのLebesgueの尺度と一致します。これは、σ-okayという事実によるものです

${displaystyle {mathfrak {l}}}$

測定可能なコレクションは、rebesgueの意味でσ-Okałoとして定義されています

${displaystyle {mathfrak {b}}}$

対象空間（トポロジー）および形成σ-ideałに関連する補完的および変換の合計によって、オープン（クローズド）コレクションのファミリーによって生成されたボレロフスキーコレクション

${displaystyle {mathfrak {n}}}$

ゼロを測定します 、つまり、総量が少ないコンパートメントで覆われているコレクション。

レベシュの空間の意味で測定可能なサブセットのσ供給が示されることができます

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

それは家族と一致します

${displaystyle {mathfrak {l}}：= {big {} btriangle ncolon bin {mathfrak {b}} land nin {mathfrak {n}} {big}}、}}$

どこ

${DisplayStyle Triangle}$

対称的な違い手術を意味します。これは家族の家族だと言えます ごくわずかです Borelowskiコレクションとは異なります。また、尺度の観点からレベセグの意味で測定可能なコレクションがあることも命じられています。 ほとんど as and ほとんど 閉まっている。

それはそれを指揮しています

${displaystyle {mathfrak {l}}}$

最小（結論の意味で）σ-clawを含む

${displaystyle {mathfrak {b}}}$

と

${displaystyle {mathfrak {n}}。}$

加えて

${displaystyle {mathfrak {l}} = {big {} gtriangle lcolon lin {mathfrak {l}} land g}$

タイプgのセットです _d

${displaystyle {big}} = {big {} ftriangle lcolon lin {mathfrak {l}} land f}$

タイプfのコレクションです _a

${displaystyle {big}}。}$

Borelowskoの測定可能なコレクションよりも、レベーゼの意味では、多くの測定可能なコレクションがあります。クラス

${displaystyle {mathfrak {b}}}$

クラスよりもはるかに狭いです

${displaystyle {mathfrak {l}}、}$

スペースだから

${displaystyle mathbb {r} ^{d}}$

ゼロ連続電力のセットが含まれており、そのような収穫のすべてのサブセットのファミリーは連続体よりも高くなっています。なぜなら

${displaystyle {mathfrak {b}}}$

連続電力があります。このスペースには、非依存のサブセットゼロメジャーが含まれています（同様に、分析的またはcoanalithicではないゼロのコレクションがあると主張できます）。

ボレロワの測定値はシフトのために変化しませんが、完全ではありません。

ミアラ・ハラ

別の記事：Miara Haara。

Haarの測定は、地元のコンパクトなトポロジーグループで定義できます。それはレベジグの措置の一般化です（特に

${displaystyle mathbb {r} ^{d}}$

追加すると、ローカルコンパクトなグループがあります）。

ミアラ・ハウドルファ

別の記事：Miara Hausdorff。

Hausdorffの尺度は、サブセットの測定に役立つLebesgueの測定の一般化です

${displaystyle mathbb {r} ^{d}}$

寸法が低い

${displaystyle d、}$

旅行のように、例えば表面や曲線

${displaystyle mathbb {r} ^{3}、}$

またはフラクタル。 Hausdorffの測定値を、Hausdorffの次元の別の概念と混同しないでください。

無限に寸法ケース [ 編集 | コードを編集します ]

いつ

${displaystyle x}$

これは、無限に寸法規制スペースであり、Lebesgueの測定と同様の特性を持つ対策を構築することは不可能です。もっと正確に：そのような非スキルフルな尺度はありません

${displaystyle mu}$

特定の区画で指定されています

${displaystyle x}$

（オープンコレクションを含む）、それは次のとおりです。

${displaystyle mu（a）= mu（x+a）、}$

ある意味では、このタイプの非存在 ちゃんとした 無限の次元の場合、完成した寸法と無限の寸法のジオメトリの深い違いを反映しています。ただし、たとえば、他の自然な対策を考慮することができます。