数値統合 – ウィキペディア、無料​​百科事典

数値統合 – 数値方法 ^[初め] マークされた積分の近似計算で構成されています。締め切り 数値的四肢 、多くの場合 Quadratura 、特に1次元積分に関連して、数値積分と同義です。 2次元および多次元の統合と呼ばれることもあります 立方体 、名前ですが Quadratura また、高次元での統合にも適用されます。

単純な数値積分方法は、いくつかのポイントでの積分関数の加重値の適切な合計と積分を近似することに構成されています。より正確な近似を取得するために、統合間の統合は小さなフラグメントに分割されます。最終結果は、個々のサポートの完全な推定値の合計です。ほとんどの場合、コンパートメントは平等なサポートに分割されますが、より洗練されたアルゴリズムは、関数の変動速度にステップを適合させることができます。

Quadraturメソッドの最も単純な方法は、パターンを使用することです

${displaystyle int _ {x_ {0}}^{x_ {n}} !! !! f（x）hsum _ {i = 0}^{n-1} f（x_ {i}+alpha h）、quad h = {tfrac {x_ {n} -x_ {} {0}}}}}}}$

そこに

${displaystyle n}$

長さの多くのサポートです

${displaystyle h。}$

この方法には3つのバリエーションがあります。

• 左の長方形
  ${displaystyle alpha = 0、}$

  

• 中程度の長方形
  ${displaystyle alpha = {tfrac {1} {2}}}$

  – このバリアントは最適な近似を与えます、

• 正しい長方形がいつ
  ${displaystyle alpha = 1。}$

  

もちろん、一般的なバリアントがあります

${[0、1]のdisplaystyle alpha。}$

台形法は、各サポートの積分関数に近似していることです

${displaystyle x_ {i+1} ,, x_ {i}、; i = 0 、、 1、、dots、n-1}$

長さで

${displaystyle h = {tfrac {x_ {n} -x_ {0}} {n}}}}}}$

これにより、マーキングを入力した後に受け取ります

${displaystyle f_ {i} equiv f（x_ {i}）}$

${displaystyle int _ {x_ {0}}^{x_ {n}} !! f（x）dxapprox sum _ {i = 0}^{n-1} {tfrac {h} {2}}}}} [f（x_ {i+1}）+f（x_ {{i}）}}}}}}}） _ {0}+f_ {1}+f_ {2}+、ドット、+f_ {n-1}+{tfrac {1} {2}} f_ {n}）。}}$

この方法のエラーの推定はです

${displaystyle r_ {n} = left | int limits _ {a}^{b} f（x）dx-s_ {n}右| leqslant {frac {（b-a）^{3} m ‘{‘}} {12n^{2}}}}}}}$

どこ：

${displaystyle m ‘{‘} = max _ {langle a、brangle} | f ‘{‘} |。}$

別の記事：Simpsonメソッド。

この方法では、偶数に統合の分割が必要です

${displaystyle 2n}$

サポート、つまり

${displaystyle h = {frac {x_ {2n} -x_ {0}} {2n}}、}$

${displaystyle f_ {i} = f（x_ {i}）、quad x_ {i} = x_ {0}+ih、quad i = 0、1、、dots、2n。}$

2つの隣接するサポートにラグランジュの正方形の補間を使用すると、

${displaystyle int _ {x_ {i}}^{x_ {i+2}} f（x）dxapprox {tfrac {h} {3}} [f_ {i}+4f_ {i+1}+f_ {i+2}]、}$

${displaystyle int _ {x_ {0}}^{x_ {2n}} f（x）dxapprox {tfrac {h} {3}} [f_ {0}+f_ {2n} +4（f_ {1}+f_ {2n-1} {2n-1}+ {4}+、ドット、f_ {2n-2}）]。}$

機能でいっぱいの場合

${displaystyle f（x）in c^{（4）}}$

コンパートメント内

${displaystyle [a ,, b]}$

メソッドの方法はです

${displaystyle r = – {tfrac {（b-a）h^{4}} {180}} f^{iv}（x）、quad xin [a ,, b]。}}$

別の記事：ガウス象限。

Gaussメソッドを使用すると、四角設計の精度の大幅な増加を取得できます ^[初め] 。その本質は、ノードの位置を最適に選択することにより、正方形エラーを最小化することにあります

${displaystyle xi _ {i}}$

および重量値

${displaystyle {overline {w}} _ {i}}$

象限パターン

${displaystyle I(f)=int _{a}^{b}!!f(x)dx={tfrac {b-a}{2}}int _{-1}^{1}F(xi )dxi ={tfrac {b-a}{2}}sum _{i=1}^{n}{overline {w}}_{i}F(xi _{i}),}$

（a）

そこに

${displaystyle f（xi）= f（{tfrac {a+b} {2} {2}}+{tfrac {b-a} {2}} xi）、quad dx = {tfrac {b-a} {2}} dxi。}}}$

フォーミュラで使用されているデザインのおかげで（a）

${displaystyle x = {tfrac {a+b} {2}}+{tfrac {b-a} {2}} xi}$

任意のコンパートメント

${displaystyle（a ,, b）}$

標準コンパートメント用

${displaystyle（-1、1）、}$

このパターンは、一意の値のため普遍的です

${displaystyle {overline {w}} _ {i} ,, xi _ {i}}$

あなたは完全に安定することができます。

値の計算

${displaystyle {overline {w}} _ {i} ,, xi _ {i}、; i = 1 、、 2 、、 dots ,, n}$

シングルのガウス手順の統合を要求することで実行できます

${displaystyle x^{k}、; k = 0、1 、、 dots、2n-1}$

正確な結果を出しました

${displaystyle sum _{i=1}^{n}{overline {w}}_{i}xi _{i}^{k}equiv int _{-1}^{1}!!xi ^{k}dxi }$

（b）

つまり、そのためのものです

${displaystyle k = 0 、、 1 、、 dots、2n-1}$

${Displaystyle {overline {w}} _ {1} xi _ {1}^{k}+{overline {w}} _ {2} xi _ {2}^{k}+{Overline {w}} _ {N} xi} } = {tfrac {1-(-1)^{k+1}} {k+1}}.}.$

書いた後、私たちは解決するのが難しい、非線形システムを取得します

${displaystyle 2n}$

方程式

${displaystyle {overline {w}}_{1}+{overline {w}}_{2}+dots +{overline {w}}_{n}=2,}$ ${displaystyle {overline {w}}_{1}xi _{1}+{overline {w}}_{2}xi _{2}+dots +{overline {w}}_{n}xi _{n}=0,}$ ${displaystyle {overline {w}}_{1}xi _{1}^{2}+{overline {w}}_{2}xi _{2}^{2}+dots +{overline {w}}_{n}xi _{n}^{2}={tfrac {2}{3}},}$ ${displaystyle {overline {w}}_{1}xi _{1}^{3}+{overline {w}}_{2}xi _{2}^{3}+dots +{overline {w}}_{n}xi _{n}^{3}=0,}$ ${displaystyle ………………………..}$ ${displaystyle {overline {w}}_{1}xi _{1}^{k}+{overline {w}}_{2}xi _{2}^{k}+dots +{overline {w}}_{n}xi _{n}^{k}={begin{cases}{tfrac {2}{k+1}};;{text{gdy}};;k;;{text{jest parzyste}}\;;0quad {text{gdy}};;k;;{text{jest nieparzyste}}end{cases}}}$ ${displaystyle ………………………..}$ ${displaystyle {overline {w}}_{1}xi _{1}^{2n-2}+{overline {w}}_{2}xi _{2}^{2n-2}+dots +{overline {w}}_{n}xi _{n}^{2n-2}={tfrac {2}{2n-1}},}$ ${displaystyle {overline {w}}_{1}xi _{1}^{2n-1}+{overline {w}}_{2}xi _{2}^{2n-1}+dots +{overline {w}}_{n}xi _{n}^{2n-1}=0,}$

（c）

決定

${displaystyle 2n}$

値

${displaystyle {overline {w}} _ {i} ,, xi _ {i}。}$

下の表にはコンパイルされています ^[2] 計算されたパラメーター値

${displaystyle {overline {w}} _ {i} ,, xi _ {i}}$

ステップの多項式の場合

${displaystyle nleqslant 8.}$

${displaystyle {}; n; {}}$	${displaystyle xi _ {1};、xi _ {n}}$	${displaystyle xi _ {2};、xi _ {n-1}}}}$	${displaystyle xi _ {3};、xi _ {n-2}}}}$	${displaystyle xi _ {4};、xi _ {n-3}}}}$
初め	0
2	${displaystyle mp 0 {、} 57735027}$
3	${displaystyle mp 0 {、} 77459667}$	0
4	${displaystyle mp 0 {、} 86113631}$	${displaystyle mp 0 {、} 33998104}$
5	${displaystyle mp 0 {、} 90617985}$	${displaystyle mp 0 {、} 53846931}$	0
6	${displaystyle mp 0 {、} 93246951}$	${displaystyle mp 0 {、} 66120939}$	${displaystyle mp 0 {、} 23861919}$
7	${displaystyle mp 0 {、} 94910791}$	${displaystyle mp 0 {、} 74153119}$	${displaystyle mp 0 {、} 40584515}$	0
8	${displaystyle mp 0 {、} 96028986}$	${displaystyle mp 0 {、} 79666648}$	${displaystyle mp 0 {、} 52553242}$	${displaystyle mp 0 {、} 18343464}$

${displaystyle {}; n; {}}$	${displaystyle {overline {w}} _ {1};、{overline {w}} _ {n}}}$	${displaystyle {overline {w}} _ {2};、{overline {w}} _ {n-1}}$	${displaystyle {overline {w}} _ {3};、{overline {w}} _ {n-2}}$	${displaystyle {overline {w}} _ {4};、{overline {w}} _ {n-3}}$
初め	${displaystyle 2}$
2	${displaystyle1}$
3	${displaystyle 0 {、} 555556}$	${displaystyle 0 {、} 8888889}$
4	${displaystyle 0 {、} 34785484}$	${displaystyle 0 {、} 65214516}$
5	${displaystyle 0 {、} 23692688}$	${displaystyle 0 {、} 47862868}$	${displaystyle 0 {、} 56888889}$
6	${displaystyle 0 {、} 17132450}$	${displaystyle 0 {、} 36076158}$	${displaystyle 0 {、} 46791394}$
7	${displaystyle 0 {、} 12948496}$	${displaystyle 0 {、} 27970540}$	${displaystyle 0 {、} 38183006}$	${displaystyle 0 {、} 41795918}$
8	${displaystyle 0 {、} 10122854}$	${displaystyle 0 {、} 22238104}$	${displaystyle 0 {、} 31370664}$	${displaystyle 0 {、} 36268378}$

文学で引用 ^[初め] 方程式のシステムを解く方法（c）は、任意の番号の数値の値についてそれを観察することで構成されています

${displaystyle xi _ {1}$

係数のマトリックス

${displaystyle xi _ {i}^{k}、}$

初め

${displaystyle n}$

このシステムの方程式は、Vandermondeマトリックスです。これのおかげで、明確に定義された解決策があることが知られています

${displaystyle w_ {i}、; i = 1、、2、、dots、n。}$

ただし、最適な値の決定は未解決の問題のままです

${displaystyle xi _ {i}。}$

この目的のために、条件（b）は多項式の程度結合の形式に変更します

${displaystyle n = n+k、k = 0、1、dots、n-1。}$

${displaystyle sum _{i=1}^{n}w_{i}xi _{i}^{k}P_{n}(xi _{i})equiv int _{-1}^{1}!!xi ^{k}P_{n}(xi )dxi ,quad k=0,,1,,dots ,n-1,}$

（d）

どこ

${displaystyle p_ {n}（x）}$

程度多項式です

${displaystyle n。}$

式（d）の積分は、マルチコアのときに壊れます

${displaystyle p_ {n}（x）}$

彼らはシングルミアンとの直交です

${displaystyle x^{k}}$

ために

${displaystyle k$

に

${displaystylexin（-1、、1）。}$

まさにそのプロパティ ^[3] 彼らはlegendre Multi -Multiを持っています。彼らのために（d）の代わりに持っています

${displaystyle sum _{i=1}^{n}w_{i}xi _{i}^{k}P_{n}(xi _{i})equiv 0,quad k=0,,1,,dots ,n-1.}$

（そうです）

この条件は、任意の値に対して識別されます

${displaystyle w_ {i}、}$

いつ

${displaystyle xi _ {i}}$

それらはLegendRe Polynomialの要素です

${displaystyle n}$

– この程度、次に

${displaystyle p_ {n}（xi _ {i}）equiv 0、; i = 1、2、、dots、n。}$

確率的方法は、マークされた積分の近似計算にも使用できます。ただし、このような統合の結果もランダム変数であることを覚えておく必要があります。

このアイデアは、機能チャートの下にあるフィールドのフィールドに基づいています

${displaystyle f（x）> 0}$

${displaystyle f（x）<0}$

${displaystyle int limits _ {a}^{b} f（x）dxapprox {frac {b-a} {n}} sum _ {i = 1}^{n} f（x_ {i}）、}$

${displaystyle x_ {i}}$

コンパートメントからランダムに選択されます

${displaystyle 、}$

${displaystyle n}$

サンプル番号を指定します。

例 – 長方形の方法 [ 編集 | コードを編集します ]

関数をマージしてみましょう

${displaystyle cos（x）}$

0から1の範囲では、分析的にマージできるため、正確な結果がわかっているため、さまざまな統合方法を近似するエラーを簡単に計算できます。 10小数点の正確さで、正しい結果は次のとおりです。

${displaystyle int limits _ {0}^{1} cos（x）dx = sin（1）-sin（0）= 0 {、} 8414709848。}}$

ミドルポイントの原理を使用した数値統合により、結果が得られます。

${displaystyle int limits _ {0}^{1} cos（x）dxapprox（1-0）cos left（{frac {1} {2}}右）= 0 {、} 8775825619、}$

これにより、0.0361115771（相対誤差4.3％）があります – このような単純な方法では小さいですが、もちろん多くのアプリケーションには不十分です。

より良い近似を取得するために、統合コンパートメントを分割できます。

${displaystyle int limits _ {0}^{1} cos（x）dx = int limits _ {0}^{1/2} cos（x）dx+int limits _ {1/2}^{1} cos（x）dxapprox}$

${displaystyle {} quad reft（{frac {1} {2}} -0right）cos left（{frac {1} {4}}右）+左（1- {frac {1} {2}}右）$

絶対誤差0.0088296604または相対1％。

より多くのフラグメント間で統合を分割することにより、より良い近似値を取得できます。

番号 部	結果	間違い
		絶対	相対的
初め	0.8775825619	0.0361115771	4.29％
2	0.8503006452	0.0088296604	1.05％
4	0.8436663168	0.0021953320	0.26％
8	0.8420190672	0.0005480824	0.07％
	0.8414709848	0	0％

例2 [ 編集 | コードを編集します ]

時間経過の数値統合。トライアルを統合してみましょう。

${displaystyle sin（t）}$

0から0から

${displaystyle 4cdot pi}$

[s]。サンプリングの頻度をマークしましょう

${displaystyle f_ {p}}$

[Hz]。

計算には長方形の方法を使用します。分割直径

${displaystyle t_ {p} = {frac {1} {f_ {p}}} = t_ {i+1} -t_ {i}}$

1.

${displaystyle x_ {i}（t）}$

統合後のサンプルを意味します。すべての単語

${displaystyle x_ {i}}$

部分的な合計として計算できます。

${displaystyle x_ {i} = sum _ {n = 0}^{i} x_ {i}（t）t_ {p}。}$