Pettis Integral -Wikipedia、無料百科事典

ペティス積分 a。 Gelfanda-Pettisa – 検討中の一定の線形関数を持つ絡み合った関数の問題にもたらすことにより、線形トピカルスペース内の値を持つ積分の概念の拡張。この場合、ペティスの意味での相互作用の問題は、3つの要因に依存します。関数が指定されている尺度、値自体の値の所有権、および連続線形関数の形式を伴う空間の所有。ペティスの意味での統合は、ベクトル値を持つ関数の統合性の一般化の可能性の1つにすぎないことに留意する必要があります。他のそのような一般化には、とりわけが含まれますBirkhoffの積分、McShaneの積分、Dunfordの積分、またはBochnerの積分。概念の名前は、数学者I. M. GelfandaとB.J.の名前に由来しています。ペティサ。

させて

${displaystyle（omega、{mathcal {a}}、mu）}$

それは尺度の尺度になり、

${displaystyle x}$

それは、自明でないカップル空間を備えた線形トピカル空間になります

${displaystyle x^{*}。}$

関数について

${displaystyle fcolon omegaからx}$

そうだと言われています ペティスの意味で統合可能 各コレクションの場合

${displaystyle ain {mathcal {a}}}$

すべての機能

${displaystyle x^{*} in x^{*}}}$

そのような要素があります

${displaystyle x_ {a}}$

空

${displaystyle x、}$

それか

${displaystyle langle x^{*}、x_ {a} rangle = int _ {a} langle x^{*}、f（t）rangle mu（{mbox {d}}、t）。}}$

点

${displaystyle x_ {a}、}$

上記のパターンでは、呼ばれます ペティス積分 関数から

${displaystyle f}$

コレクションに

${displaystyle a}$

測定に対して

${displaystyle mu}$

シンボルでマークされています

${displaystyle x_ {a} =（p）int _ {a} f {mbox {d}} mu。}$

各関数

${displaystyle f}$

ペティスの意味で統合可能な測定も不十分です。つまり、誰にとっても

${displaystyle x^{*} in x^{*}}}$

関数

${displaystyle x^{*} circ f}$

スカラーの本体で測定可能です。

もしも

${displaystyle x}$

バナッハの空間、機能です

$mこのylepent Yatine Patiney Male Foys Supe（Fri）Malm Male Mjoy Mjoy Mjoy Mjoy Mjoy Mjoy Mjoy Mjoy Chemeについて話し合う$

呼ばれる包括的な包括的なベクターです マークのないペティス 関数から

${displaystyle f。}$

反射空間に値を持つ機能の場合、ペティスの意味とダンフォードの意味で絡み合った概念が一致します。

ペティスの意味での完全な機能の例。その標準が統合できない。

させて

${displaystyle x}$

ヒルベルトのスペースになります

${displaystyle {e_ {n}コロン、nin mathbb {n}}}$

これは、この空間のポイントのオルソーマルポイントになります。関数

${displaystyle fcolon [0、infty）からx}$

与えられたパターン

$CleglesのMM奴隷））M 1 Mafines Mjoy、Kubate、Mmbm MM MMM HMMQuámMámememötubkmb）mmm mmb）$

ペティスの意味では、レベーゼの測定に激しいですが、

${displaystyle int _ {0}^{infty} | f（t）| dt = infty。}}$

不完全な関数の例

関数

${displaystyle fcolon [0,1]からc_ {0}、}$

与えられたパターン

${displaystyle f（t）= left（ncdot mathbf {1} _ {（0、{tfrac {1} {n}}]}（t）_ {nin mathbb {n}}}}$

ペティスの意味では統合できません。確かに、させてください

${displaystyle x^{*} in c_ {0}^{*}}$

とさせてください

${displaystyle y =（t_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

空間から対応する要素になります

${displaystyle ell ^{1}}$

（スペースの請求を参照してください

${displaystyle c_ {0}}$

）。

${displaystyle int _ {0}^{1} | x^{*} f（t）| dt = int _ {0}^{1} left | sum _ {n = 1}^{infty} lant int _ {0}^{1} sum _ {n = 1}^{infty} | t_ {n} | nmathbf {1} _ {（0、{tfrac {1} {n}}]}}（t）、dt = sum _ {n = 1} {nc} {nc} {nc} } {n}} = sum _ {n = 1}^{infty} | t_ {n} |$

積分があった場合

${displaystyle（p）int _ {0}^{1} f（t）、dt =（x_ {n}）_ {nin mathbb {n}} in c_ {0}、}$

に

${displaystyle x_ {n} = int _ {0}^{1} x_ {n}^{*} f（t）、dt = int _ {0}^{1} ncdot mathbf {1} _ {（0、{tfrac {1} {n} {n}} {n}） }$

どこ

${displaystyle x_ {n}^{*} in c_ {0}^{*}}$

空間の要素を割り当てます

${displaystyle c_ {0}}$

彼の

${displaystyle n}$

– あなたの言葉。

させて

${displaystyle mu}$

スペースの尺度になります

${displaystyle omega。}$

バナッハのスペースが所有されていると言います

${displaystyle mu}$

-pip（ Pettis Integralプロパティ ）、各貧弱な測定可能な関数と

${displaystyle mu}$

-W.W.限られていない

${displaystyle fcolon omegaからx}$

それはペティスの意味で激しいです

${displaystyle mu。}$

特に、ルベーグ・パイプは、ユニットセクションのルベーグの測定の場合に使用されます。バナッハのスペースは、彼が所有権を持っているときにPIPが所有していると言われています

${displaystyle mu}$

– 完成の各測定のパイプ

${displaystyle mu。}$

すべてのバナッハスペースがPIPが所有しているわけではありません。たとえば、コンパクト空間で指定された連続関数の空間

${displaystyle omega _ {1}+1 = [0、omega _ {1}]、}$

どこ

${displaystyle omega _ {1}}$

最初の互換性のない注文番号を意味します、プロパティはありません

${displaystyle mu}$

– 貧弱なトポロジーの意味でBaireを所有しているサブセットのσ配節の測定値を撮影する ^[初め] 。スペースがあります

${displaystyle x}$

（例えば。 ジェームズの長いスペース ） そのような

${displaystyle x}$

私

${displaystyle x^{*}}$

彼らはラドン・ニコディマ（RNP）の財産を持っていますが、彼ら自身はPIPの特性を持っていません ^[2] 。連続性仮説（CH）または否定と公理マーティンの仮定の下で、ジェームズの長い空間にはルベーグパップの財産はありません。

ペティスの意味での統合可能な機能の空間 [ 編集 | コードを編集します ]

させて

${displaystyle（omega、{mathcal {a}}、mu）}$

有限の測定値を備えたスペースになります

${displaystyle x}$

バナッハのスペースになります。宇宙で

${displaystyle {mathcal {p}}（mu、x）}$

すべての関数（同等のクラス

${displaystyle mu}$

-P.W.）ペティスの意味で統合可能

${displaystyle fcolon omegaからx、}$

特定のパターンを機能させました

${displaystyle | f | = sup左{int _ {omega} | x^{*} f（t）|、mu（dt）コロン、x^{*} ,, | x^{*} | leqslant 1right}}}}$

標準です。定義から直接は、その場合を示しています

${displaystyle fin {mathcal {p}}（mu、x）、}$

に

${displaystyle左|（p）int _ {omega} f、dmu右| leqslant | f |。}$

もしも

${displaystyle x}$

無限の寸法空間です

${displaystyle {mathcal {p}}（mu、x）}$

完全なスペース（バナッハスペース）ではありませんが、バレルスペースです ^[6] （したがって、Banach-Steinhausのいくつかのバージョンと閉じたチャートに関する主張は、それに関連して真実です）。

• J.K.ブルックス、 バナッハ空間における弱くて強い積分の表現 、Proc。ナット。アカデミー。 SCI。 U.S.A. 63、1969、266–270。 全文
• J.ディステル、J.J。 UHL： ベクトル測定 。プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学協会、1977年
• I. M.ゲルファンド、 線形空間理論の補題について 、 コミュニケーション。インストール。 SCI。算数。それはメカン、大学Kharkoff it soc。算数。 Kharkoff、iv。 ser。 13、1936、35-40 LDL 0014.16202
• K.ミュージャル、 ペティス積分の理論のトピック 、トリエステ大学数学研究所の報告、xxiii（1991）、177-262
• K.ミュージャル、 ペティス積分 、メジャー理論I、ノースホランド2002、531-586のハンドブック
• M.タラグランド、 ペティス積分および測定理論 、AMSいいえの回顧録307（1984）