いつ
関数を再現する特定のオペレーターとして扱うことができます
機能内
この演算子には3つのプロパティがあります
式（1）はそれを示しています
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オペレーターの治療
象徴的な乗数として、書くことができます
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（2）
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（3）
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ニュートンの2つのブロンズパターンを使用すると、
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（4）
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そして、その事実のおかげです
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（5）
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我々は書ける
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![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{n}f(x)&={big [}(1+Delta )-1{big ]}^{n}f(x)\[1ex]&=(1+Delta )^{n}f(x)\[1ex]&quad -C_{n}^{1}(1+Delta )^{n-1}f(x)\[1ex]&quad +C_{n}^{2}(1+Delta )^{n-2}f(x)\[1ex]&quad -dots \[1ex]&quad +(-1)^{n-1}C;!_{n}^{n-1}(1+Delta )f(x)\[1ex]&quad +(-1)^{n}f(x),end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8fb41c037624d57978604f35020832bfce17b6)
（3）を使用する
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![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{n}f(x)&=f(x+nDelta x)\[1ex]&quad -C_{n}^{1}f{big [}x+(n-1)Delta x{big ]}\[1ex]&quad +C_{n}^{2}f{big [}x+(n-2)Delta x{big ]}\[1ex]&quad -dots \[1ex]&quad +(-1)^{n-1}C;!_{n}^{n-1}f(x+Delta x)\[1ex]&quad +(-1)^{n}f(x).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0bf5af37a48b7aa343c415990ed2861c19152e) |
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（6）
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関数の場合
連続導関数があります
エピソードで
実証できます [初め] 、 それか
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（7）
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それに続きます
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関数補間の問題
誰の普通
等しいポイントのデータがあります
違いが使用されます
他の平等については、私たちは得ます
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2つのサイズのニュートンパターンに感謝します
-
![{displaystyle {begin{aligned}y_{i+n}&=y_{i}\[1ex]&quad +C_{n}^{1}Delta y_{i}\[1ex]&quad +C_{n}^{2}Delta ^{2}y_{i}\[1ex]&quad dots \[1ex]&quad +Delta ^{n}y_{i},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42cb441b3c368bd4e70d8554828195fdc216ffd)
-
![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{n}y_{i}&={big [}(1+Delta )-1{big ]}^{n}\[1ex]&=(1+Delta )^{n}y_{i}\[1ex]&quad -C_{n}^{1}(1+Delta )^{n-1}y_{i}\[1ex]&quad +dots \[1ex]&quad +C;!_{n}^{n-1}(1+Delta )y_{i},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bd9cf3bcb28a8202b3c7a758a489fc108cea64)
-
![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{n}y_{i}&=y_{n+i}\[1ex]&quad -C_{n}^{1}y_{n+i-1}\[1ex]&quad +C_{n}^{2}y_{n+i-2}\[1ex]&quad +dots \[1ex]&quad +(-1)^{n-1}C;!_{n}^{n-1}y_{i+1}\[1ex]&quad +(-1)^{n}y_{i}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794809b05d1440d1945c0ce848b8b18377f1a773)
例えば
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-
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デザイン（8）を使用すると、キャラクターに関する有限の違いのテーブルを作成できます
たとえば、多項式の場合
ステップで取得されます
および初期値
補間の問題では、一般化された力の概念を導入するのが便利です
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![{displaystyle x^{[n]}=x(x-h)(x-2h)dots ,{big [}x-(n-1)h{big ]},quad x^{[0]}=1,quad 0^{[0]}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5687b554038705bb6298c9a84117ed2eaf569309) |
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（9）
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どこ：
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固定ステップです。
式（1）はそれを示しています
-
![{displaystyle x^{[n]}=x^{n},;;mathrm {gdy} ;h=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf01f8f86dfccc94157ed6f762be825784b4d70)
完成した一般化電力の最初の違いは、考慮された後（9）、パターンで表されます
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![{displaystyle Delta x^{[n]}=(x+h)^{[n]}-x^{[n]}=nhx^{[n-1]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c92aabed1f09ea6cb8c87775ba306203bee4a0) |
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（十）
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誘導に基づいて、あなたはそれを証明することができます
-
![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{k}x^{[n]}&=n(n-1)dots {big [}n-(k-1){big ]} h^{k}x^{[n-k]}\[1ex]&={frac {n!}{(n-k)!}} h^{k}x^{[n-k]},qquad k=1,2,dots ,n.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eeef1328d4050693f2f4eb11b29ba629209b398)
なぜなら
![{displaystyle x^{[n]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11cdb7e5828f04d15acd4fe13cb86aedc16e68e)
彼はもちろんこの多項式です
![{displaystyle Delta ^{k}x^{[n]}=0,;;mathrm {gdy} ;k>n.}”></span> </p>
<p>データは値です <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358b8a9406ee16e0a829cd607ef5488c70d3d908)
関数
等しいポイントのセットで
補間多項式を構築する必要があります
条件を満たすもの
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（11）
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これらの条件は条件に相当します
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ニュートン多項式の概念によると
フォームで検索します
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![{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})\[1ex]&+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})\[1ex]&dots \[1ex]&+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})dots (x-x_{n-1})end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a009d9eabd08cc68dee0dbfeb9d842d2e338405f)
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![{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})^{[1]}\[1ex]&+a_{2}(x-x_{0})^{[2]}\[1ex]&ldots \[1ex]&+a_{n}(x-x_{0})^{[n]}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb8db5f7d8391da8577b51bde8e76383ce3e2e4) |
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（12番目）
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パターン（10）を使用することで、書くことができます
-
![{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})^{[1]}\&+a_{2}(x-x_{0})^{[2]}\&dots \&+a_{n}(x-x_{0})^{[n]},\\Delta P_{n}(x)=0&+a_{1}Delta (x-x_{0})^{[1]}\&+a_{2}Delta (x-x_{0})^{[2]}\&dots \&+a_{n}Delta (x-x_{0})^{[n]}\[4px]=a_{1}h&+2a_{2}(x-x_{0})^{[1]}h\&+3a_{3}(x-x_{0})^{[2]}h\&dots \&+na_{n}(x-x_{0})^{[n-1]}h,\\Delta ^{2}P_{n}(x)=0&+1cdot 2h^{2}a_{2}\&+2cdot 3h^{2}a_{3}(x-x_{0})^{[1]}\&dots \&+(n-1)nh^{2}(x-x_{0})^{[n-1]}\[4px]=1cdot 2a_{2}h^{2}&+2cdot 3a_{3}(x-x_{0})h^{2}\&dots \&+(n-1)n(x-x_{0})^{[n-2]}h^{2},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd62f684407634317ede4590b97bee27b5fccde)
-
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![{displaystyle Delta ^{m}P_{n}(x)=sum _{i=m}^{n}{frac {i!}{(i-m)!}}a_{i}(x-x_{0})^{[i-m]}h^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40db8c304262c7779805301f24240d5d674cd55) |
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（13）
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式（13）はそれを示しています
![{displaystyle m=0,1,2,dots ,n;;mathrm {i} ;;0^{[0]}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fa08ec87699b34d564d4a239b155f3a2b63906)
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![{displaystyle Delta ^{m}P_{n}(x_{0})=sum _{i=m}^{n}{frac {i!}{(i-m)!}}a_{i}(x_{0}-x_{0})^{[i-m]}h^{m}=m!h^{m}a_{m}quad to quad a_{m}={frac {Delta ^{m}P_{n}(x_{0})}{m!h^{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11762facaf2f6d4cc43a2a8138c02933b5ab163) |
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（14）
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（12）と（14）に基づいて、形のニュートン多項式の補間が得られます
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![{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)=y_{0}+{}&{frac {Delta y_{0}}{1!h}}(x-x_{0})^{[1]}\[1ex]+ &{frac {Delta ^{2}y_{0}}{2!h^{2}}}(x-x_{0})^{[2]}\[1ex]cdots &\[1ex]+ &{frac {Delta ^{n}y_{0}}{n!h^{n}}}(x-x_{0})^{[n]}\[1ex]=sum _{i=0}^{n}&{frac {Delta ^{i}y_{0}}{i!h^{i}}}(x-x_{0})^{[i]},quad Delta ^{0}=1,end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4f3634acdcde12cc663f5dd4d142d79fe14de7) |
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（15）
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どこ：
-
式（15）に基づいて、値を計算できます
それを考慮に入れて
-
![{displaystyle {begin{aligned}(x_{k}-x_{0})^{[i]}&=(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})dots ,(x_{k}-x_{i-1})\[1ex]&=k(k-1)(k-2)dots ,{big [}k-(i-1){big ]}h^{i}={frac {k!}{(k-i)!}}h^{i},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e977195a6ddd657ff5cd0375ae87b1233f67c54)
-
ついに得られます
-
新しい変数を導入した後
-
![{displaystyle q={frac {x-x_{0}}{h}}quad to quad q^{[i]}={frac {(x-x_{0})^{[i]}}{h^{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3593cb5cc21eedb365a7e6768b1ffc9b92ab0503)
パターン（15）はキャラクターを取ります ニュートンの最初のフォーミュラ
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![{displaystyle P_{n}(x)=sum _{i=0}^{n}{frac {Delta ^{i}y_{0}}{i!}}q^{[i]},quad q^{[i]}=q(q-1)(q-2)dots ,{big [}q-(i-1){big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c355d1aa7d6e25ced54ae9181d6219ff213533) |
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（16）
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そこに
-
![{displaystyle {frac {q^{[i]}}{i!}}=sum _{m=1}^{i}c_{mi}lambda ^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171b31a199e5d81f36caf2074efcaf8203104a07)
係数
安定しています [2] 。
ために
受け取ります
– 線形補間の場合、
– 正方形の補間のために、
– 立方体補間用。
今回は、キャラクターに関する多項式が求められています
-
![{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)&=a_{0}\&quad +a_{1}(x-x_{n})\&quad +a_{2}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\&quad dots \&quad +a_{n}(x-x_{n})(x-x_{n-1})cdots (x-x_{1})\&=sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{n-i+1})^{[i]},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79393a67e44557af7d9de14db38be6a21ba9551f)
どこ：
-
![{displaystyle (x-x_{k})^{[i]}=(x-x_{n})(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})cdots (x-x_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30665d74354ea1ace60da476a24a19c558423bdd)
係数を計算します
後続の違いのパターンが使用されます
-
![{displaystyle {begin{aligned}Delta P_{n}(x)=0&+a_{1} h\&+a_{2} 2h(x-x_{n-1})\&+a_{3} 3h(x-x_{n-2})^{[2]}\&dots \&+a_{n} nh(x-x_{1})^{[n-1]},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d4786c37c15bc723ce662d197d8bb9117b4f0d)
-
![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{2}P_{n}(x)&=1cdot 2a_{2}h^{2}\&,+2cdot 3a_{3}h^{2}(x-x_{n-2})\&,+3cdot 4a_{4}h^{2}(x-x_{n-3})^{[2]}\&,dots \&,+n(n-1)a_{n}h^{2}(x-x_{1})^{[n-2]},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9534bd0ec3ac9759dc727d96799f181c5a34c6e)
-
![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{3}P_{n}(x)&=1cdot 2cdot 3a_{3}h^{3}\&,+2cdot 3cdot 4a_{4}h3(x-x_{n-3})\&,dots \&,+(n-2)(n-1)na_{n}h^{3}(x-x_{1})^{[n-3]},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fa973265457ec57b5bf4e0eb31e01e86191001)
-
-
![{displaystyle Delta ^{m}P_{n}(x)=sum _{i=m}^{n}{frac {i!}{(i-m)!}}a_{i}h^{m}(x-x_{n-i+1})^{[i-m]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed48415f5e9fa6ca968469905bed37850232665)
上記のデザインからそれが続きます
-
そして、これのおかげで、指名手配的多項式をフォームに保存することができます
-
![{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)&=sum _{i=0}^{n}{frac {Delta ^{i}P_{n}(x_{n-i})}{i!h^{i}}}(x-x_{n-i+1})^{[i]}\&=P_{n}(x_{n})+{frac {Delta ^{1}P_{n}(x_{n-1})}{1!h}}(x-x_{n})\&qquad qquad ;+{frac {Delta ^{2}P_{n}(x_{n-2})}{2!h^{2}}}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\[1ex]&qquad qquad ;dots \[1ex]&qquad qquad ;+{frac {Delta ^{n}P_{n}(x_{0})}{n!h^{n}}}(x-x_{n})(x-x_{n-1})cdots (x-x_{1}).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093d275b0f907d76a58b27c22d85a98a43cb8536)
新しい変数を導入した後
-
発生します ニュートンの2番目の式
-
![{displaystyle {begin{alignedat}{1}P_{n}(x)&=P_{n}(x_{n})&{}+{}qDelta P_{n}(x_{n-1})\[1ex]&&{}+{}{frac {q(q+1)}{2!}}Delta ^{2}P_{n}(x_{n-2})\&&{}+{}{frac {q(q+1)(q+2)}{3!}}Delta ^{3}P_{n}(x_{n-3})\&& dots \&&{}+{}{frac {q(q+1)cdots {big [}q+(n-1){big ]}}{n!}}Delta ^{n}P_{n}(x_{0})\&=P_{n}(x_{n})&{}+{}sum _{i=1}^{n}{frac {q^{[i]}}{i!}}Delta ^{i}P_{n}(x_{n-i}),end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e3ff3295f1eeb26be608fd1fd330e90a7a9361)
どこ：
-
![{displaystyle q^{[i]}=q(q+1)(q+2)cdots {big [}q+(i-1){big ]},quad i=1,2,dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e629915a3bad8bc6f8cecb54ea05880fb48d7331)
ニュートン式へのメモ [ 編集 | コードを編集します ]
ニュートンの最初と2番目のフォーミュラは、範囲内の補間だけではありません
しかし、このコンパートメントの外での外挿。したがって、最初の式は、ポイントからの補間と外挿に使用されます
そして、最初にポイントからの補間と外挿のための2番目の式
同時に、外挿は補間よりも正確ではありません。
両方のフォーミュラを使用すると、SO -Calledをインターポーラすることが可能です 中心的な違い 。最初の式を使用する場合、パターンを使用する場合、TMで使用する必要があります
-
-
等
それは与えられます
同様に遠い補間ノード
-
どこ：
-
補間関数の値もデータです
-
多項式を構築する必要があります
そのような
-
このリクエストはそれを示しています
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 ために
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（a）
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私たちは形の多項式を探しています
-
![{displaystyle {begin{aligned}P_{2n+1}(x)=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})\&+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})\&+a_{3}(x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})\&+a_{4}(x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\&+a_{5}(x-x_{-2})(x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\&cdots \&+a_{2n-1}(x-x_{-(n-1)})cdots (x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})cdots (x-x_{n-1})\&+a_{2n}(x-x_{-(n-1)})cdots (x-x_{-1})(x-x_{0})(x-x_{1})cdots (x-x_{n-1})(x-x_{n})\=a_{0}&+a_{1}(x-x_{0})^{[1]}\&+a_{2}(x-x_{0})^{[2]}\&+a_{3}(x-x_{-1})^{[3]}\&+a_{4}(x-x_{-1})^{[4]}\&cdots \&+a_{2n-1}(x-x_{-(n-1)})^{[2n-1]}\&+a_{2n}(x-x_{-(n-1)})^{[2n]}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be47b923889e0e46992789311d15ba6147756323)
多項式係数
パターン（a）を使用して、ニュートンの式と同じ方法で計算されます。このようにパターンを取得します
-
新しい変数の導入
-
受け取ります ガウスの最初の式 として
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![{displaystyle {begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+qDelta y_{0}\[1ex]&+{frac {q(q-1)}{2!}}Delta ^{2}y_{-1}\&+{frac {(q+1)q(q-1)}{3!}}Delta ^{3}y_{-1}\&+{frac {(q+1)q(q-1)(q-2)}{4!}}Delta ^{4}y_{-2}\&+{frac {(q+2)(q+1)q(q-1)(q-2)}{5!}}Delta ^{5}y_{-2}\[1ex]&cdots \[1ex]&+{frac {(q+n-1)dots ,(q-n+1)}{(2n-1)!}}Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}\&+{frac {(q+n-1)dots ,(q-n)}{(2n)!}}Delta ^{2n}y_{-n}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d487567de8ab85409f64b806c0b684810a71a218) |
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（b）
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または短い
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![{displaystyle {begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+qDelta y_{0}\[1ex]&+{frac {q^{[2]}}{2!}}Delta ^{2}y_{-1}\[1ex]&+{frac {(q+1)^{[3]}}{3!}}Delta ^{3}y_{-1}\[1ex]&+{frac {(q+1)^{[4]}}{4!}}Delta ^{4}y_{-2}\[1ex]&cdots \[1ex]&+{frac {(q+n-1)^{[2n-1]}}{(2n-1)!}}Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}\[1ex]&+{frac {(q+n-1)^{[2n]}}{(2n)!}}Delta ^{2n}y_{-n},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf4997c9a17f7d71287f8478503abf30cb9234f) |
|
（c）
|
どこ：
-
![{displaystyle q={frac {x-x_{0}}{h}},quad q^{[m]}=q(q-1)dots ,{big [}q-(m-1){big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d307085d36dcbe4c6957270016263688e2f8940)
この式には違いが含まれています
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ガウスの2番目の式 フォームがあります
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![{displaystyle {begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+qDelta y_{-1}\[2px]&+{frac {(q+1)^{[2]}}{2!}}Delta ^{2}y_{-1}\[2px]&+{frac {(q+1)^{[3]}}{3!}}Delta ^{3}y_{-2}\[2px]&+{frac {(q+2)^{[4]}}{4!}}Delta ^{4}y_{-2}\[2px]&cdots \[2px]&+{frac {(q+n-1)^{[2n-1]}}{(2n-1)!}}Delta ^{2n-1}y_{-n}\[2px]&+{frac {(q+n)^{[2n]}}{(2n)!}}Delta ^{2n}y_{-n},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5995071f602507336ebb2a54598f1934bf65262) |
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（c）
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どこ：
-
この式には違いが含まれています
-
この式は、両方のガウス式の算術平均として取得されます
-
![{displaystyle {begin{aligned}P_{2n+1}(x)=y_{0}&+qcdot {frac {Delta y_{-1}+Delta y_{0}}{2}}\[1ex]&+{frac {q^{2}}{2}}cdot Delta ^{2}y_{-1}\[2px]&+{frac {q(q^{2}-1^{2})}{3!}}cdot {frac {Delta ^{3}y_{-2}+Delta ^{3}y_{-1}}{2}}\[1ex]&+{frac {q^{2}(q^{2}-1^{2})}{4!}}cdot Delta ^{4}y_{-2}\[1ex]&+{frac {q(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})}{5!}}cdot {frac {Delta ^{5}y_{-3}+Delta ^{5}y_{-2}}{2}}\[1ex]&+{frac {q^{2}(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})}{6!}}cdot Delta ^{6}y_{-3}\[1ex]&cdots \[1ex]&+{frac {q(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})(q^{2}-3^{2})cdots {big [}q^{2}-(n-1)^{2}{big ]}}{(2n-1)!}}\[1ex]&qquad cdot {frac {Delta ^{2n-1}y_{-n}+Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}}{2}}\[1ex]&+{frac {q^{2}(q^{2}-1^{2})(q^{2}-2^{2})cdots {big [}q^{2}-(n-1)^{2}{big ]}}{(2n)!}}Delta ^{2n}y_{-n},end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286aab536e357ddb6e5d9beef04dd6c35589eebf)
どこ：
-
ベッセル式は、開始点のために保存された2番目のガウス式に基づいて導出できます
この目的のために、式（c）は次のようにする必要があります：1）有限差で1つのインデックス値を増やし、2）1変数値を減らします
これがあなたが得る方法です
|
|
![{displaystyle {begin{aligned}P_{2n+1}&=y_{1}+(q-1)Delta y_{0}\&+{frac {q(q-1)}{2!}}Delta ^{2}y_{0}\&+{frac {q(q-1)(q-2)}{3!}}Delta ^{3}y_{-1}\&+{frac {(q+1)q(q-1)(q-2)}{4!}}Delta ^{4}y_{-1}\&+{frac {(q+1)q(q-1)(q-2)(q-3)}{5!}}Delta ^{5}y_{-2}\[1ex]&cdots \[1ex]&+{frac {(q+n-2)cdots (q-n)}{(2n-1)!}}Delta ^{2n-1}y_{-(n-1)}\&+{frac {(q+n-1)cdots (q-n)}{(2n)!}}Delta ^{2n}y_{-(n-1)}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf4d6d756e084cc8095878e2a132af68c5ac4db) |
|
（d）
|
いくつかの変換後のデザインの算術平均（c）および（d） [初め] 、結果として与えます ベッセル式
-
![{displaystyle {begin{aligned}P_{2n+1}(x)&={frac {y_{0}+y_{1}}{2}}\&+(q-{tfrac {1}{2}})cdot Delta y_{0}\&+{frac {q(q-1)}{2!}}cdot {frac {Delta ^{2}y_{-1}+Delta ^{2}y_{0}}{2}}\&+{frac {(q-{tfrac {1}{2}})q(q-1)}{3!}}cdot Delta ^{3}y_{-1}\&+{frac {q(q-1)(q+1)(q-2)}{4!}}cdot {frac {Delta ^{4}y_{-2}+Delta ^{4}y_{-1}}{2}}\&+{frac {(q-{tfrac {1}{2}})q(q-1)(q+1)(q-2)}{5!}}cdot Delta ^{5}y_{-2}\&+{frac {q(q-1)(q+1)(q-2)(q+2)(q-3)}{6!}}cdot {frac {Delta ^{6}y_{-3}+Delta ^{6}y_{-2}}{2}}\[1ex]&cdots \[1ex]&+{frac {q(q-1)(q+1)(q-2)(q+2)cdots (q-n)(q+n-1)}{2n!}}cdot {frac {Delta ^{2n}y_{-n}+Delta ^{2n}y_{-n+1}}{2}}\&+{frac {(q-{tfrac {1}{2}})q(q-1)(q+1)(q-2)(q+2)cdots (q-n)(q+n-1)}{(2n+1)!}}cdot Delta ^{2n+1}y_{-n}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb599dd50545a5fef39aaaa4b20bf73936ebde50)
すべての微分方法の一般的な特徴は、
-
Lagrangeの式では、この仮定は満たされていないため、微分式には含まれていません。
エピソードで
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
補間ノードはデータです
と値
解釈機能
多項式が必要です
程度
条件を満たすもの
-
多項式を構築します
-
そのような
したがって、
-
![{displaystyle {begin{aligned}&varphi _{i}(x_{i})=a_{i}(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})ldots (x_{i}-x_{n})=1,\[1em]&a_{i}={frac {1}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})ldots (x_{i}-x_{n})}},\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41998d0f8aeef92396272437bf0cece6007d945)
|
|
 |
|
（そうです）
|
私 ラグランジュフォーミュラ フォームがあります
-
機能
多項式を使用して、よりコンパクトな方法で保存できます
-
そしてその派生物
-
-
したがって、式（e）に基づいて
|
|
 |
|
（f）
|
どこ：
-
![{displaystyle {begin{aligned}D_{i}(x)&=(x-x_{i})w^{'}(x_{i})\[1ex]&=(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{2})\[1ex]&qquad cdots (x_{i}-x_{i-1})(x-x_{i})(x_{i}-x_{i+1})\[1ex]&qquad cdots (x_{i}-x_{n}).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524c8c35cb235f7417c6932ad92d41522f4bfc29)
多項式
詩を形成する要素の産物として計算できます
マトリックス
-
- 例
- 1）線形補間：
-
![{displaystyle {begin{aligned}w(x)&=(x-x_{0})(x-x_{1}),\[1ex]w^{'}(x)&=(x-x_{1})+(x-x_{0}),\[1ex]w^{'}(x_{0})&=x_{0}-x_{1},\[1ex]w^{'}(x_{1})&=x_{1}-x_{0},\[2ex]varphi _{0}(x)&={frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}},\[1ex]varphi _{1}(x)&={frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},\[2ex]P_{n}(x)&=varphi _{0}(x)y_{0}+varphi _{1}(x)y_{1}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a9d356bf8c70b1d1cbb64302628e7c78c6bb1)
- 2）正方形の補間：
-
![{displaystyle {begin{aligned}w(x)&=(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}),\[1ex]w^{'}(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})+(x-x_{0})(x-x_{2})+(x-x_{0})(x-x_{1}),\[1ex]w^{'}(x_{0})&=(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2}),\[1ex]w^{'}(x_{1})&=(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2}),\[1ex]w^{'}(x_{2})&=(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1}),\[2ex]varphi _{0}(x)&={frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}},\[1ex]varphi _{1}(x)&={frac {(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}},\[1ex]varphi _{2}(x)&={frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}},\[2ex]P_{n}(x)&=varphi _{0}(x)y_{0}+varphi _{1}(x)y_{1}+varphi _{2}(x)y_{2}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e3613a6a490afc89e56441dc6851cabe16a9fe)
特別な場合、ノードが等しい場合：
-
新しい変数を入力できます
その後
-
-
-
多項式
詩の要素の産物として作成できます
マトリックス
-
関数の補間への微分アプローチ
等しいノードのセットでのデータ値について
-
等しくないノードの場合に一般化できます。
この目的のために、コンセプトが紹介されます 一般化された違い （一次）as
-
![{displaystyle [x_{i},,x_{i+1}]={frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}},quad i=0,1,dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68ff271850a40df9e3e90c2759d552cf40dd2d)
そこに
-
例えば
-
![{displaystyle [x_{0},,x_{1}]={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},quad [x_{1},,x_{2}]={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}},quad ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a9af309b3b4dc0a6ceaef33f5ee70a5c7702ef)
同様に決定されました 2番目の注文一般化された違い
-
![{displaystyle [x_{i},,x_{i+1},,x_{i+2}]={frac {[x_{i+1},,x_{i+2}]-[x_{i},,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_{i}}},quad ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f935fa6252b02e97bc63771b9f841fe3f5df93f)
例えば
-
![{displaystyle [x_{0},,x_{1},,x_{2}]={frac {[x_{1},,x_{2}]-[x_{0},,x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365c42751635219bf30e7d32d33e6eeb5a02d73d)
一般的
-
![{displaystyle [x_{i},,x_{i+1},dots ,,x_{i+n}]={frac {[x_{i+1},dots ,,x_{i+n}]-[x_{i},dots ,,x_{i+n-1}]}{x_{i+n}-x_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc462e0603719259a34b505780ea696f5f72f729)
-
一般化された違いの重要な特性は、彼らの議論に対する対称性です。例えば
-
![{displaystyle [x_{0},,x_{1}]={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}=[x_{1},,x_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b8cf5ce57e1c6fcea74b62cd09a7a97af5958a)
-
![{displaystyle [x_{0},,x_{1},dots ,,x_{k},,x_{k+1},dots ,,x_{m}]=[x_{0},,x_{1},dots ,,x_{k+1},,x_{k},dots ,,x_{m}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5424ba95f1602b02b7f2814cc4e93e41085bf52)
-
次の一般化された違いは、配列スキームに従って計算するのに最も便利です
| バツ |
と |
政府1 |
政府2 |
政府3 |
政府4 |
 |
 |
|
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|
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![{displaystyle [x_{0},,x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85be8c96d4bdba1e7d7087b932a2cef518928bc) |
|
|
|
 |
 |
|
![{displaystyle [x_{0},,x_{1},,x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6506c1d840766e1a269557a2a969d786a3f79b7) |
|
|
|
|
![{displaystyle [x_{1},,x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72e67b48d5ce77379812255d299102bfedaac3e) |
|
![{displaystyle [x_{0},,x_{1},,x_{2},,x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1c831ffd94122122f52eeb8c1d2c4b152b9561) |
|
 |
 |
|
![{displaystyle [x_{1},,x_{2},,x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d40fb30b3993b426097c7746b666d5fe021408a) |
|
![{displaystyle [x_{0},,x_{1},,x_{2},,x_{3},,x_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a2c54b24a675168cb0fce05f288d0980b25cc5) |
|
|
![{displaystyle [x_{2},,x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405c49873d0ff0bd67e1af0a6e1e0ae274ff7f9d) |
|
![{displaystyle [x_{1},,x_{2},,x_{3},,x_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1372f3221528dda744fbfff777d1839de0b64c2b) |
|
 |
 |
|
![{displaystyle [x_{2},,x_{3},,x_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81dd6033984321e3e49295cb21b5b99d8893e7e) |
|
|
|
|
![{displaystyle [x_{3},,x_{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd43f83250021df9212b7ba6bdf96565fc9eed3) |
|
|
|
 |
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|
ニュートンの一般化されたフォーミュラ [ 編集 | コードを編集します ]
lemat [初め] ： 関数の場合
彼は多項式です
– この程度は、順序の一般化された違いです
ゼロ、つまりゼロと同じです。
-
![{displaystyle [x,,x_{0},,x_{1},dots ,,x_{n}]equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df888fb20f2a5a611f7b2f16724a1966c90a564)
ために どれでも 数字のセット
互いに異なっています。
多項式
彼はポイントでズームしている多項式です
この点は多項式の要素だからです
したがって、Bezoutの主張によれば、この多項式は完全に2で分割されます
だから私たちは書くことができます
-
![{displaystyle [x,,x_{0}]={frac {P_{n}(x)-P_{n}(x_{0})}{x-x_{0}}}=P_{n-1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364b2e11d2c01a3540f5d6313f6cb328f90bec7d)
そこに
程度多項式です
そして次に
-
![{displaystyle [x,,x_{0},,x_{1}]={frac {[x,,x_{0}]-[x_{1},,x_{0}]}{x-x_{1}}}={frac {P_{n-1}(x)-P_{n-1}(x_{1})}{x-x_{1}}}=P_{n-2}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1f7e19232a201d25239da7e47860c4f7f8e0ab)
-
![{displaystyle [x,,x_{0},,x_{1},,x_{2}]={frac {[x,,x_{0},,x_{1}]-[x_{2},,x_{0},,x_{1}]}{x-x_{2}}}={frac {P_{n-2}(x)-P_{n-2}(x_{2})}{x-x_{2}}}=P_{n-3}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4875f93f506922854fa2202100e086ca2e7babd)
-
-
![{displaystyle {begin{aligned}{}[x,,x_{0},,x_{1},dots ,,x_{m}]&={frac {[x,,x_{0},,x_{1},dots ,,x_{m-1}]-[x_{m},,x_{0},,x_{1},dots ,,x_{m-1}]}{x-x_{m}}}\&={frac {P_{n-m}(x)-P_{n-m}(x_{m})}{x-x_{m}}}=P_{n-(m+1)}(x),end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47fbbc7e918ebeb8e857bbc2a6b05847e097fd9)
-
-
![{displaystyle [x,,x_{0},,x_{1},dots ,,x_{n}]={frac {P_{0}(x)-P_{0}(x_{n})}{x-x_{n}}}={frac {C-C}{x-x_{n}}}equiv 0.qquad {}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8c2ae87fce56227b53b315b128ae5ccf823c56)
C.N.D.
次の再帰式は、上記の関係から生じます
-
そのおかげで、私たちは一般化されます 不均等に遠いノードのニュートンの式 [初め]
-
![{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x)=P_{n}(x_{0})&+P_{n-1}(x)(x-x_{0})\[1ex]=P_{n}(x_{0})&+P_{n-1}(x_{1})(x-x_{0})\[1ex]&+P_{n-2}(x_{2})(x-x_{0})(x-x_{1})\[1ex]&cdots \[1ex]&+P_{n-m}(x_{m})(x-x_{0})(x-x_{1})dots ,(x-x_{m-1})\[1ex]&cdots \[1ex]&+P_{0}(x_{n})(x-x_{0})(x-x_{1})dots ,(x-x_{n-1})\[1ex]&+0cdot (x-x_{0})(x-x_{1})dots ,(x-x_{n}),end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10d202c14f0ef047942b4c3f90aeecba117f46e)
どこ：
-
![{displaystyle P_{n-m}(x)=[x,,x_{0},,x_{1},dots ,,x_{m-1}],quad m=1,2,dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1052b9c2214285daed8bdc98c71817e6343fbb)
通常の値のセットが与えられます
単調関数
ジャンクションコレクションで指定されています
逆補間 それについてです [初め] 引数のこの値を計算します
![{displaystyle xin [x_{0},,x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b274cbbce5388a8a8aa64f4f6362525c36621c4a)
関数
これはその価値に対応します
![{displaystyle yin [y_{0},,y_{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c272a3335ba323792128b4f24b6a89ff5264cf)
このような補間は、関数の値が最もよく使用されます
データは、その条例を含む取締役会によるものです
等しいノードの場合
キャラクターについてニュートンの多項式をinterpolaすることができます
-
どこ：
-
逆補間タスクは、式とともに後続の近似の反復方法によって解決されます。
-
そこに
-
![{displaystyle {begin{aligned}varphi (q)&={frac {y-y_{0}}{Delta y_{0}}}\[1ex]&-{frac {Delta ^{2}y_{0}}{2!Delta y_{0}}}q(q-1)\&cdots \&-{frac {Delta ^{n}y_{0}}{n!Delta y_{0}}}q(q-1)dots ,(q-n+1).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd886fd5dd4fa89c41199e5a4df7aaa357083a1)
最初の近似は値です
-
次の近似は、式に従って繰り返し取得されます
-
必要な精度が達成されるまで。求められる価値
式に従って計算されます
-
ノードが値に等しくない場合
キャラクターに関するニュートン式を使用して計算できます [初め]
-
\[1ex]&+[y_{0},,y_{1},,y_{2}](y-y_{0})(y-y_{1})\[1ex]&dots \[1ex]&+[y_{0},,y_{1},dots y_{n}](y-y_{0})(y-y_{1})dots ,(y-y_{n-1}).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaef0c7bac5138c9e42205e80993679cb4228a11)
決定要因値：
[
「>編集 |
「>コードを編集します ]
特性（年齢）決定要因
マトリックス
パラメーターの関数です
等しいノードのセットで解釈できます
キャラクターに関するニュートンの式を使用します
-
どこ：
-
完成した違いです 私 – この機能の順序
アイデンティティを考慮に入れた後 [2]
-
ブランドパターンを取得します [初め]
-
もしも
このパターンは形を取ります
-
2つの変数の関数の場合
その価値の表によって決定されます
定義できます 二重の違い 最初の行
-
そしてより高い行
-
![{displaystyle {begin{aligned}&Delta ^{m+n}z_{ij}\[2px]={}&Delta _{x^{m}y^{n}}^{m+n}z_{ij}\[2px]={}&Delta _{x^{m}}^{m}left(Delta _{y^{n}}^{n}z_{ij}right)\[2px]={}&Delta _{x^{n}}^{n}left(Delta _{y^{m}}^{m}z_{ij}right),end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b13324c12aa6c9e74a515bd7bb4955338c83fd3)
そこに
例えば
-
![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{1+2}z_{ij}&=Delta _{x}(Delta _{yy}^{2}z_{ij})\[1ex]&=Delta _{x}(z_{i,j+2}-2z_{i,j+1}+z_{ij})\[1ex]&=(z_{i+1,j+2}-2z_{i+1,j+1}+z_{i+1,j})-(z_{i,j+2}-2z_{i,j+1}+z_{ij}).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28447b8160263f05ca248034df377cccb539908d)
2つの変数の場合
ニュートン補間多項式を構築できます
そのような
-
この多項式には次の形式があります
-
![{displaystyle {begin{aligned}P(x,y)=c_{00}&+c_{10}(x-x_{0})\[1ex]&+c_{01}(y-y_{0})\[1ex]&+c_{20}(x-x_{0})(x-x_{1})\[1ex]&+c_{11}(x-x_{0})(y-y_{0})\[1ex]&+c_{02}(y-y_{0})(y-y_{1})\[1ex]&dots end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03041801830cf7c78b798b837c8b3baabf7afef2)
代替
受け取ります
-
最初の行の違いに基づいています
-
-
代替後
-
-
したがって、私たちは得ます
-
デザインから2番目の秩序差まで
-
-
-
その結果、代替品になります
それか
-
-
-
そしてここから
-
最終的に、補間多項式が形をとっています
-
![{displaystyle {begin{aligned}P(x,y)=z_{00}&+left[{frac {Delta ^{1+0}z_{00}}{h}}(x-x_{0})+{frac {Delta ^{0+1}z_{00}}{k}}(y-y_{0})right]\&+{frac {1}{2!}}left[{frac {Delta ^{2+0}z_{00}}{h^{2}}}(x-x_{0})^{2}+2{frac {Delta ^{1+1}z_{00}}{hk}}(x-x_{0})(y-y_{0})+{frac {Delta ^{0+2}z_{00}}{k^{2}}}(y-y_{0})^{2}right]\[1ex]&dots end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24643108227b270e763abde29d1a5958a3f9c7f3)
計算の便利さのために、新しい変数が導入されます
-
その後
-
![{displaystyle {begin{aligned}P(p,q)=z_{00}&+(pDelta ^{1+0}z_{00}+qDelta ^{0+1}z_{00})\[1ex]&+{frac {1}{2!}}left[p(p-1)Delta ^{2+0}z_{00}+2pqDelta ^{1+1}z_{00}+q(q-1)Delta ^{0+2}z_{00}right]\[1ex]&dots end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b1bd3744866dc3985a5ca63431d708c40cca60)
- ↑ a b c d そうです f g B.P. Demidowicz、I.A。マロン、 数値的方法 、PWN、ワルシャワ1965。
- ↑ a b W.N. faddiejew、 線形代数の数値方法 、PWN、ワルシャワ1955。
![{displaystyle {begin{aligned}Delta ^{2}y&=Delta (Delta y)\[1ex]&=Delta {big [}f(x+Delta x)-f(x){big ]}\[1ex]&={big [}f(x+2Delta x)-f(x+Delta x){big ]}-{big [}f(x+Delta x)-f(x){big ]}\[1ex]&=f(x+2Delta x)-2f(x+Delta x)+f(x).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d2f25d50b3b326a7c31d544a90063c441fcf01)
ために ![{displaystyle {begin{aligned}Delta P(x)&=(x+1)^{3}-x^{3}=3x^{2}+3x+1,\[1ex]Delta ^{2}P(x)&={big [}3(x+1)^{2}+3(x+1)+1{big ]}-(3x^{2}+3x+1)=6x+6,\[1ex]Delta ^{3}P(x)&={big [}6(x+1)+6{big ]}-(6x+6)=6,\[1ex]Delta ^{n}P(x)&=0quad mathrm {dla} ;n>3.end{aligned}}}”></span></dd>
</dl>
<p>ご覧のとおり、3列目の違い、3度の多項式には固定値があります。その場合に実証できます </p>
<dl>
<dd><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4467c6bbf9949749e85090116ce020d75717fcc0)
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