幾何学的継続 – ウィキペディア、無料​​百科事典

日陰の正方形の側面は、1/2の商の幾何学的な糸と、これらの正方形の表面の面積 – 1/4の商の幾何学的なストリングを形成します。

幾何学 、 幾何学的進行 – 数値文字列 – 終了するかどうか – 最初の単語を除く各単語は、以前の永続的な単語と呼ばれる特定の永続的な単語の積です シーケンス商 ^[初め] 。この数値はゼロとは異なると想定されることがあります ^[初め] 。

正式に：させてください

数値シーケンス

幾何学と呼ばれます ^[2] ：

${displayStyleはq forall nin isetminus {1}：a_ {n} = qcdot a_ {n-1}。}}$

幾何学的な文字列は、算術シーケンスの等価物を掛け（増殖させる）ものとして扱うことができます。

• ストリップ（1、3、9、27、81、…）は、3に等しい商があります。
• 弦
  ${displaystyle（-4,2、-1、{tfrac {1} {2}}、 – {tfrac {1} {4}}、dots）}$

  平等な商があります

  ${displaystyle -{tfrac {1} {2}}。}$

  

• ストリップ（5、0、0、0、0、…）は0の商があります。
• ストリップ（0、0、0、0、0、… …）明確な商はありません。商が非ゼロであるという仮定は、この例を除外しません。それにもかかわらず、ゼロシーケンスは、さらに狭い定義を介して幾何学グループから除外されることがあります。

• 式の最初の再帰定義は次のようになります。
  ${displaystyle a_ {n} = q^{n-1} a_ {1}。}$

  これは、正当な商では、幾何学的継続が解釈関数の例であることを意味します。

• 幾何学的な文字列は、数字の名前を説明する単語の一定の比率によって区別されます
  ${displaystyle q {：}}$

  もしも

  ${displaystyle a_ {n} neq 0、}$

  に

  ${displaystyle {frac {a_ {n+1}} {a_ {n}}} = q。}$

  この定義には含まれます

  ${displaystyle qneq 0、}$

  ゼロの商はメーターのゼロを意味するからです。

• もしも
  ${displaystyle a_ {i-1}、a_ {i}、a_ {i+1}}$

  それらは、幾何学的な文字列の3つの連続した単語です

  ${displaystyle（a_ {n}）、}$

  これは本当のパターンです ^[2] ：

  ${displaystyle a_ {i}^{2} = a_ {i-1} a_ {i+1}。}$

  したがって、すべての単語が非陰性である場合、幾何学的シーケンスのすべての非クリミナル式は、隣接する単語の幾何平均です。

幾何学的な文字列は次のとおりです。

非陰性商（ Q ⩾0）は単調です。最初の単語が非陰性であり、商は次の場合です。

• 0に等しく、この文字列は最終的に一定で、2番目の単語から最も遠いです。
• 0を超えていますが、1より小さく、単語は指数の減少します – 文字列はゼロに一致します。
• 1に等しく、この文字列は永続的です。
• 1を超えると、最初は文字列が一定ですが、ポジティブな始まりでは言葉が説明されています – 文字列は無限に異なります。

しかし、始まりが正であり、商が次の場合：

• 0より小さく、-1より大きい場合、単語は（モジュールの場合）指数関数的に減少します – 文字列はゼロに一致します。
• 等しい-1、この文字列はしっかりしているため、発散します（上下の境界線は最初の2つの単語です）。
• -1よりも小さい、幾何学的単語モジュールは指数関数的に成長しています – 文字列は発散しています（境界はありません）。

上記のケースのリストは、テーブルによって要約されています。文字列の収束は、緑の背景でマークされています。

幾何学的継続の場合

商があります

これが彼の合計です

最初の言葉 ^[2] ：

${displaystyle s_ {n}：= sum _ {k = 1}^{n} a_ {k} = sum _ {k = 1}^{n} q^{k-1} a_ {1} = {frac {a_ {1}（1-q^{n-{n}）} {1-q}$

場合

永続的な文字列の合計、つまり

文字列の場合

無限です、これは文字列の要素である単語に関するシリーズの合計と見なすことができます

– 見る幾何学的シリーズ。