凸共役性 – Wikipedia

数学において凸共役（とつきょうやく、英: convex conjugation）とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル＝フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる（アドリアン＝マリ・ルジャンドルとウェルナー・フェンシェル（英語版）の名にちなむ）。

X{displaystyle X}

を実ノルム線型空間とし、

X∗{displaystyle X^{*}}

を

X{displaystyle X}

の双対空間とする。双対組を次で表す。

⟨⋅,⋅⟩:X∗×X→R.{displaystyle langle cdot ,cdot rangle :X^{*}times Xto mathbb {R} .}

拡大実数に値を取る函数

f:X→R∪{+∞}{displaystyle f:Xto mathbb {R} cup {+infty }}

に対する凸共役

f⋆:X∗→R∪{+∞}{displaystyle f^{star }:X^{*}to mathbb {R} cup {+infty }}

は、上限を用いて次のように定義される。

f⋆(x∗):=sup{⟨x∗,x⟩−f(x)∣x∈X}.{displaystyle f^{star }left(x^{*}right):=sup left{langle x^{*},xrangle -f(x)mid xin Xright}.}

あるいは、同値であるが、下限を用いて次のように定義される。

f⋆(x∗):=−inf{f(x)−⟨x∗,x⟩∣x∈X}.{displaystyle f^{star }left(x^{*}right):=-inf left{f(x)-langle x^{*},xrangle mid xin Xright}.}

この定義は、函数のエピグラフの凸包の、支持超平面（英語版）に関する符合化と解釈することが出来る^[1][2]。

アフィン函数

f(x)=⟨a,x⟩−b,a∈Rn,b∈R{displaystyle f(x)=leftlangle a,xrightrangle -b,,ain mathbb {R} ^{n},bin mathbb {R} }

の凸共役は

f⋆(x∗)={b,x∗=a+∞,x∗≠a.{displaystyle f^{star }left(x^{*}right)={begin{cases}b,&x^{*}=a+infty ,&x^{*}neq a.end{cases}}}

である。冪函数

f(x)=1p|x|p,1<p<∞{displaystyle f(x)={frac {1}{p}}|x|^{p},,1

の凸共役は

f⋆(x∗)=1q|x∗|q,1<q<∞{displaystyle f^{star }left(x^{*}right)={frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},,1

である。ここで

1p+1q=1{displaystyle {tfrac {1}{p}}+{tfrac {1}{q}}=1}

である。

絶対値函数

f(x)=|x|{displaystyle f(x)=left|xright|}

の凸共役は

f⋆(x∗)={0,|x∗|≤1∞,|x∗|>1{displaystyle f^{star }left(x^{*}right)={begin{cases}0,&left|x^{*}right|leq 1infty ,&left|x^{*}right|>1end{cases}}}

f(x)=ex{displaystyle f(x)=,!e^{x}}

の凸共役は