ヤコビの虚数変換式 – Wikipedia

ヤコビの虚数変換式(Jacobi’s imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である^[1]。

${displaystyle vartheta _{3}left({frac {v}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)=e^{-pi i/4}tau ^{1/2}e^{{pi }iv^{2}/tau }vartheta _{3}left(v,tau right)}$

after-content-x4

${displaystyle vartheta _{1}left({frac {v}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)=-ie^{-pi i/4}tau ^{1/2}e^{{pi }iv^{2}/tau }vartheta _{1}left(v,tau right)}$

${displaystyle vartheta _{2}left({frac {v}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)=e^{-pi i/4}tau ^{1/2}e^{{pi }iv^{2}/tau }vartheta _{4}left(v,tau right)}$

${displaystyle vartheta _{4}left({frac {v}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)=e^{-pi i/4}tau ^{1/2}e^{{pi }iv^{2}/tau }vartheta _{2}left(v,tau right)}$

この恒等式の日本語の呼称は定まっておらず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。

公式に関する注意点[編集]

• 
  ${displaystyle theta _{i}(z,tau )}$

  の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である^[2](主として、

  ${displaystyle theta _{ij}(z,tau )}$

  の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った^[3]次のようなものである^[2][4]。

${displaystyle {begin{aligned}theta _{0}(z,tau )&:=theta _{01}(z,tau )\&:=sum _{n=-infty }^{infty }e^{pi itau n^{2}+2pi inleft(z+{frac {1}{2}}right)}\&=1+2sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}e^{pi itau n^{2}}cos 2npi z,\theta _{1}(z,tau )&:=-theta _{11}(z,tau )\&:=-sum _{n=-infty }^{infty }{e^{pi itau left(n+{frac {1}{2}}right)^{2}+2pi ileft(n+{frac {1}{2}}right)left(z+{frac {1}{2}}right)}}\&=2sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}e^{pi itau left(n+{frac {1}{2}}right)^{2}}sin(2n+1)pi z,\theta _{2}(z,tau )&:=theta _{10}(z,tau )\&:=sum _{n=-infty }^{infty }e^{pi itau left(n+{frac {1}{2}}right)^{2}+2pi ileft(n+{frac {1}{2}}right)z}\&=2sum _{n=0}^{infty }e^{pi itau left(n+{frac {1}{2}}right)^{2}}cos(2n+1)pi z,\theta _{3}(z,tau )&:=theta _{00}(z,tau )\&:=sum _{n=-infty }^{infty }e^{pi itau n^{2}+2pi inz}\&=1+2sum _{n=1}^{infty }e^{{pi }i{tau }n^{2}}cos 2npi z.end{aligned}}}$

• 「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。

楕円関数の虚数変換[編集]

ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期を

${displaystyle K,iK’}$

とすると

${displaystyle tau ={frac {iK’}{K}}}$

${displaystyle k=left({frac {vartheta _{2}(0,tau )}{vartheta _{3}(0,tau )}}right)^{2}}$

${displaystyle operatorname {sn} (u,k)={frac {vartheta _{3}(0,tau )vartheta _{1}(u/2K,tau )}{vartheta _{2}(0,tau )vartheta _{4}(u/2K,tau )}}}$

${displaystyle operatorname {cn} (u,k)={frac {vartheta _{4}(0,tau )vartheta _{2}(u/2K,tau )}{vartheta _{2}(0,tau )vartheta _{4}(u/2K,tau )}}}$

テータ関数の虚数変換式により

${displaystyle tau ‘=-{frac {1}{tau }}={frac {iK}{K’}}}$

${displaystyle k’=left({frac {vartheta _{2}(0,tau ‘)}{vartheta _{3}(0,tau ‘)}}right)^{2}}$

${displaystyle operatorname {sn} (iu,k)={frac {vartheta _{3}(0,tau )vartheta _{1}(iu/2K,tau )}{vartheta _{2}(0,tau )vartheta _{4}(iu/2K,tau )}}={frac {ivartheta _{3}(0,tau ‘)vartheta _{1}(u/2K’,tau ‘)}{vartheta _{4}(0,tau ‘)vartheta _{2}(u/2K’,tau ‘)}}=i{frac {operatorname {sn} (u,k’)}{operatorname {cn} (u,k’)}}}$

${displaystyle operatorname {cn} (iu,k)={frac {vartheta _{4}(0,tau )vartheta _{2}(iu/2K,tau )}{vartheta _{2}(0,tau )vartheta _{4}(iu/2K,tau )}}={frac {vartheta _{2}(0,tau ‘)vartheta _{4}(u/2K’,tau ‘)}{vartheta _{4}(0,tau ‘)vartheta _{2}(u/2K’,tau ‘)}}={frac {1}{operatorname {cn} (u,k’)}}}$

となり、楕円関数の虚数変数を得る。

${displaystyle vartheta _{3}(v,tau )}$

の虚数変換式の両辺の比を

${displaystyle f(v,tau )}$

して恒等的に

${displaystyle f(v,tau )=1}$

であることを証明する。テータ関数の二重周期性により

${displaystyle f(v,tau )={frac {{sqrt {-itau }}e^{{pi }iv^{2}/tau }vartheta _{3}left(v,tau right)}{vartheta _{3}left({frac {v}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)}}}$

${displaystyle f(v+1,tau )={frac {{sqrt {-itau }}e^{{pi }iv^{2}/tau +2{pi }iv/tau +{pi }i/tau }vartheta _{3}left(v+1,tau right)}{vartheta _{3}left({frac {v}{tau }}+{frac {1}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)}}={frac {{sqrt {-itau }}e^{{pi }iv^{2}/tau +2{pi }iv/tau +{pi }i/tau }vartheta _{3}left(v,tau right)}{e^{{pi }i/tau +2{pi }iv/tau }vartheta _{3}left({frac {v}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)}}=f(v,tau )}$

${displaystyle f(v+tau ,tau )={frac {{sqrt {-itau }}e^{{pi }i(v+tau )^{2}/tau }vartheta _{3}left(v+tau ,tau right)}{vartheta _{3}left({frac {v}{tau }}+1,-{frac {1}{tau }}right)}}={frac {{sqrt {-itau }}e^{{pi }iv^{2}/tau +2{pi }iv+{pi }itau }e^{-{pi }itau -2{pi }iv}vartheta _{3}left(v,tau right)}{vartheta _{3}left({frac {v}{tau }},-{frac {1}{tau }}right)}}=f(v,tau )}$

であるから、

${displaystyle f(v,tau )}$

は

${displaystyle v}$

の関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は

${displaystyle vartheta _{3}left({frac {1pm {2m}}{2}}+{frac {(1pm {2n})tau }{2}},tau right)=0}$

${displaystyle vartheta _{3}left({frac {1pm {2m}}{2}}-{frac {1pm {2n}}{2tau }},-{frac {1}{tau }}right)=0}$

であるから、

${displaystyle f(v,tau )}$

は

${displaystyle v}$

の関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理により

${displaystyle v}$

には依存しない。

${displaystyle {begin{aligned}fleft({frac {1}{2}},tau right)&={frac {{sqrt {-itau }}e^{{pi }i/4tau }vartheta _{3}left({frac {1}{2}},tau right)}{vartheta _{3}left({frac {1}{2tau }},-{frac {1}{tau }}right)}}={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{e^{n^{2}{pi }itau +n{pi }i}}}{sum _{n=-infty }^{infty }{e^{n^{2}{-pi }i/tau +n{pi }i/tau }e^{-{pi }i/4tau }}}}\&={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{pi }i{tau }}}}{sum _{n=-infty }^{infty }{e^{-(2n-1)^{2}{pi }i/4tau }}}}\&={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{pi }i{tau }}}}{2sum _{n=1}^{infty }{e^{-(2n-1)^{2}{pi }i/4tau }}}}\end{aligned}}}$

${displaystyle {begin{aligned}fleft({frac {1}{4}},{frac {tau }{4}}right)&={frac {{sqrt {-i(tau /4)}}e^{{pi }i/4tau }vartheta _{3}left({frac {1}{4}},{frac {tau }{4}}right)}{vartheta _{3}left({frac {1}{tau }},-{frac {4}{tau }}right)}}={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{e^{n^{2}{pi }itau /4+n{pi }i/2}}}{2sum _{n=-infty }^{infty }{e^{{-4n^{2}pi }i/tau +2n{pi }i/tau }e^{-{pi }i/4tau }}}}\&={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{i^{n}e^{n^{2}{pi }i{tau }/4}}}{2sum _{n=-infty }^{infty }{e^{-(2n-1/2)^{2}{pi }i/tau }}}}={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{i^{n}e^{n^{2}{pi }i{tau }/4}}}{2left(sum _{n=1}^{infty }{e^{-(2n-1/2)^{2}{pi }i/tau }}+sum _{n=1}^{infty }{e^{-(-2n+1-1/2)^{2}{pi }i/tau }}right)}}\&={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{i^{n}e^{n^{2}{pi }i{tau }/4}}}{2sum _{n=1}^{infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{pi }i/tau }}}}\end{aligned}}}$

分子の

${displaystyle n}$

が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数の

${displaystyle n}$

を

${displaystyle 2n}$

に改める。

${displaystyle {begin{aligned}fleft({frac {1}{4}},{frac {tau }{4}}right)&={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{i^{2n}e^{(2n)^{2}{pi }i{tau }/4}}}{2sum _{n=1}^{infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{pi }i/tau }}}}={frac {{sqrt {-itau }}sum _{n=-infty }^{infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{pi }i{tau }}}}{2sum _{n=1}^{infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{pi }i/tau }}}}=fleft({frac {1}{2}},tau right)\end{aligned}}}$

先に示したように

${displaystyle f(v,tau )}$

は

${displaystyle v}$

に依存しないので

${displaystyle fleft(v,tau right)=fleft(v,{frac {tau }{4}}right)=lim _{nto infty }fleft(v,{frac {tau }{4^{n}}}right)=lim _{tau ‘to 0}fleft(v,tau ‘right)=f(v,0)}$

であり、

${displaystyle f(v,tau )}$

は

${displaystyle tau }$

にも依存しない定数である。その値は

${displaystyle f(v,tau )=f(0,i)={frac {vartheta _{3}left(0,iright)}{vartheta _{3}left(0,iright)}}=1}$

である。