ゲルマン行列 – Wikipedia

ゲルマン行列（ゲルマンぎょうれつ, 英: Gell-Mann matrices）とは、3次特殊ユニタリ群SU(3) の無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組^[1][2]。SU(3) に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、SU(3)対称性に基づく八道説（英語版）を提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入された^[3]。

定義と基本的な性質[編集]

次式で定義される8個の3×3複素行列の組をゲルマン行列という。

λ1=[010100000]λ2=[0−i0i00000]{displaystyle lambda _{1}={begin{bmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&0\end{bmatrix}}quad lambda _{2}={begin{bmatrix}0&-i&0\i&0&0\0&0&0\end{bmatrix}}}

λ3=[1000−10000]λ4=[001000100]{displaystyle lambda _{3}={begin{bmatrix}1&0&0\0&-1&0\0&0&0\end{bmatrix}}quad lambda _{4}={begin{bmatrix}0&0&1\0&0&0\1&0&0\end{bmatrix}}}

λ5=[00−i000i00]λ6=[000001010]{displaystyle lambda _{5}={begin{bmatrix}0&0&-i\0&0&0\i&0&0\end{bmatrix}}quad lambda _{6}={begin{bmatrix}0&0&0\0&0&1\0&1&0\end{bmatrix}}}

λ7=[00000−i0i0]λ8=13[10001000−2]{displaystyle lambda _{7}={begin{bmatrix}0&0&0\0&0&-i\0&i&0\end{bmatrix}}quad lambda _{8}={frac {1}{sqrt {3}}}{begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-2\end{bmatrix}}}

ここで、λ₁, λ₂, λ₃ は部分空間に作用するパウリ行列 σ₁, σ₂, σ₃ を

λa=[σa000](a=1,2,3){displaystyle lambda _{a}={begin{bmatrix}sigma _{a}&0\0&0end{bmatrix}}quad (a=1,2,3)}

の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている^[4]。

ゲルマン行列 λ_a (a=1,…,8) はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。

λa†=λa{displaystyle lambda _{a}^{,dagger }=lambda _{a}}

Tr⁡(λa)=0{displaystyle operatorname {Tr} (lambda _{a})=0}

また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす^[5]。

Tr⁡(λaλb)=2δab{displaystyle operatorname {Tr} (lambda _{a}lambda _{b})=2delta _{ab}}

但し、δ_abはクロネッカーのデルタである。

交換関係・反交換関係[編集]

ゲルマン行列の交換関係 [λ_a, λ_b]=λ_a λ_b–λ_b λ_a は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。

[λa,λb]=2i∑c=18fabcλc{displaystyle [lambda _{a},lambda _{b}]=2isum _{c=1}^{8}f_{abc}lambda _{c}}

ここで、f_abc は添え字 a, b, c について、完全反対称な実係数である。f_abc のうち、ゼロでないものは、a < b < c を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。

f123=1{displaystyle f_{123}=1}

f147=f246=f257=f345=12{displaystyle f_{147}=f_{246}=f_{257}=f_{345}={frac {1}{2}}}

f156=f367=−12{displaystyle f_{156}=f_{367}=-{frac {1}{2}}}

f458=f678=32{displaystyle f_{458}=f_{678}={frac {sqrt {3}}{2}}}

一方、反交換関係 {λ_a, λ_b}=λ_a λ_b+λ_b λ_a は次の形をとる。

{λa,λb}=43δab+2∑i=18dabcλc{displaystyle {lambda _{a},lambda _{b}}={frac {4}{3}}delta _{ab}+2sum _{i=1}^{8}d_{abc}lambda _{c}}

ここで、d_abc は添え字a, b, c について、完全対称な実係数である。d_abc のうち、ゼロでないものをa < b < c を満たすもので代表させて表すと、

d118=d228=d338=13{displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}={frac {1}{sqrt {3}}}}

d888=−13{displaystyle d_{888}=-{frac {1}{sqrt {3}}}}

d146=d157=d256=d344=d355=12{displaystyle d_{146}=d_{157}=d_{256}=d_{344}=d_{355}={frac {1}{2}}}

d247=d366=d377=−12{displaystyle d_{247}=d_{366}=d_{377}=-{frac {1}{2}}}

d448=d558=d668=d778=−123{displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{frac {1}{2{sqrt {3}}}}}

SU(3)の生成子[編集]

3次特殊ユニタリ群SU(3) は行列式が１となる3×3ユニタリ行列から構成される。SU(3) は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 𝔰𝔲(3) の元ではなく、ゲルマン行列に i=√-1 を乗じたものが 𝔰𝔲(3) の元となる。通常、SU(3)の生成子としては、λ_a の代わりに1/2 を乗じた T_a が用いられる。

Ta=λa2{displaystyle T_{a}={frac {lambda _{a}}{2}}}

コンパクトで連結なリー群SU(3)の任意の元はリー環の指数写像によって

ei∑a=18θaTa(θa∈R,a=1,⋯,8){displaystyle e^{isum _{a=1}^{8}theta _{a}T_{a}}quad (theta _{a}in mathbb {R} ,,a=1,cdots ,8)}

の形で与えられる。

ゲルマン行列 λ_a、 または T_a の線形結合で張られる線形空間は交換子積

[Ta,Tb]=TaTb−TbTa{displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}}

により、リー代数となり、その構造は

[Ta,Tb]=i∑i=18fabcTc{displaystyle [T_{a},T_{b}]=isum _{i=1}^{8}f_{abc}T_{c}}

で定まる構造定数 f_abc で規定される^[6]。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、f_abc は添え字a, b, c について、完全反対称である。

{T₁,T₂,T₃}の組は、

[T1,T2]=iT3,[T2,T3]=iT1,[T3,T1]=iT2{displaystyle [T_{1},T_{2}]=iT_{3},quad [T_{2},T_{3}]=iT_{1},quad [T_{3},T_{1}]=iT_{2}}

と交換子積について閉じており、SU(2)に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はSU(2)に対応する部分リー代数をなす。

このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は

C1=∑aTa2{displaystyle C_{1}=sum _{a}T_{a}^{,2}}

C2=∑adabcTaTbTc{displaystyle C_{2}=sum _{a}d_{abc}T_{a}T_{b}T_{c}}

で与えられる。

参考文献[編集]

• George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris, Mathematical Methods for Physicists (7th ed.) : Academic Press (2012). ISBN 978-0123846549
• H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (2nd ed.), Westview Press (1999). ISBN 978-0738202334.

関連項目[編集]