4元運動量 – Wikipedia

4元運動量（よんげんうんどうりょう、英: four‐momentum）は特殊相対性理論において、古典的な3次元運動量の4次元時空での一般化である。

運動量は3次元でのベクトルであるが、4次元時空の4次元でもベクトルとして表せることは同じである。粒子の4元運動量の共変成分は粒子の運動量 p→ = (p_x, p_y, p_z) とエネルギー E を用いて次のようになる。

${displaystyle {begin{pmatrix}p_{0}\p_{1}\p_{2}\p_{3}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-{frac {E}{c}}\p_{x}\p_{y}\p_{z}end{pmatrix}}}$

.

4元運動量は相対論の計算では便利である。それはローレンツベクトルであり、つまりローレンツ変換によりどのように変形を受けるのか追っていくことが簡単であるためである。

ミンコフスキーノルム: p²[編集]

4元運動量のミンコフスキーノルムは計算するとローレンツ不変量である。c を光速、m を粒子の固有質量または静止質量とすると次のようになる:

${displaystyle -|p|^{2}=-eta ^{mu nu }p_{mu }p_{nu }={E^{2} over c^{2}}-|{vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}}$

.

ここでミンコフスキー計量 η の反変成分を

${displaystyle eta ^{alpha beta }={begin{pmatrix}-1/c^{2}&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}}$

とした。この |p|² はローレンツ不変量であり、ローレンツ変換によりその量は変化をしない。

4元速度との関係[編集]

質量のある粒子に対して、4元運動量 p_μ は、不変質量 m と4元速度 U_μ の積で与えられる。

${displaystyle p_{mu }=mU_{mu }}$

.

よって4元速度は

${displaystyle U_{mu }={begin{pmatrix}U_{0}\U_{1}\U_{2}\U_{3}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-gamma c\gamma v_{x}\gamma v_{y}\gamma v_{z}end{pmatrix}}}$

,

ここで

${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-({frac {v}{c}})^{2}}}}}$

はローレンツ因子、c は光速である。

4元運動量の保存[編集]

4元運動量が保存することは古典的な場合についての2つの量が保存することと対応している。

1. 合計のエネルギー E = −p₀ が保存する。
2. 古典的三次元運動量 p→ が保存する。

補足として、系の反変質量の和は静止質量よりも大きい。それは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが反変質量に寄与するためである。具体例として、次のような (−5 GeV, 4 GeV/c, 0, 0) と (−5 GeV, −4 GeV/c, 0, 0) の4元運動量をもつ二つの粒子について、それぞれの静止質量は3 GeV/c²である。しかし、二つの合計の質量は10 GeV/c²である。もし、二つの粒子が衝突をしたりまたはくっつき複合物が出来たときには、その系の合計は10 GeV/c²である。

反変質量の保存の素粒子物理学での応用例としては、二つの粒子の4元運動量 p^A と p^B からなる崩壊したときの孫粒子での振舞いから、元となる粒子を発見するために使うことが出来る。
4元運動量の保存は q_μ = p^A_μ + p^B_μ を与える。ここで、元となる重い粒子の質量 M は −|q|² = M²c² と与えられる。

孫粒子のエネルギーと三次元運動量を測定することによって、崩壊する前の粒子についての質量の情報を組み立てることが出来る。このような技術は具体例として、Zボソンが電子と陽電子、ミューオンと反ミューオンの反変質量のスペクトルのどこにあらわれるかに使われた。

物質の質量が変わらないときは、4元運動量のミンコフスキー時空の内積は4元加速度 A^μ が 0 であることに一致する。加速度は運動量を質量でわったものの時間微分に比例する。
そのことから次のようになる。

${displaystyle p_{mu }A^{mu }=p_{mu }{frac {d}{dt}}{frac {eta ^{mu nu }p_{nu }}{m}}={frac {1}{2m}}{frac {d}{dt}}|p|^{2}={frac {1}{2m}}{frac {d}{dt}}(-m^{2}c^{2})=0.}$

関連項目[編集]