セール双対性 – Wikipedia

代数幾何学という数学の分野において，セール双対性（セールそうついせい、Serre duality）は， n 次元の非特異射影代数多様体 V（あるいはより一般的にベクトル束やさらに連接層）に関する双対性である．それはコホモロジー群 Hⁱ が別のもの Hⁿ⁻ⁱ の双対空間である述べている．

滑らかなコンパクト複素多様体 V 上の正則ベクトル束 E に対する場合は，主張は

Hq(V,E)≅Hn−q(V,K⊗E∗)∗{displaystyle H^{q}(V,E)cong H^{n-q}(V,Kotimes E^{ast })^{ast }}

であり，V は射影的である必要はない．

代数曲線[編集]

代数曲線の場合は既にリーマン・ロッホの定理に含まれている．曲線 C に対して coherent 群 Hⁱ は i > 1 に対して消える；しかし H¹ は一般には非自明である．実際，定理の基本関係式は l(D) と l(K − D) に関わり，ここで D は因子であり K は標準類の因子である．セール以降我々は l(K − D) を H¹(D) の次元と認識している，ただし今 D は因子 D によって決定される直線束を意味する．つまり，この場合のセール双対性は群 H¹(D) と H⁰(KD^*) を関係づけ，次元の関係が分かる（表記：K は標準直線束，D* は双対直線束，並置は直線束のテンソル積）．

この定式化において，リーマン・ロッホの定理は層のオイラー標数（英語版）

h⁰(D) − h¹(D),

を曲線の種数

h¹(C,O_C),

と D の次数のことばで計算したものと見ることができる．高次元に一般化できるのはこの形である．

したがって曲線のセール双対性は非常に古典的なものではあるが，興味深い観点を持っている．例えば，リーマン面の理論において，複素構造の変形理論（英語版）は古典的に quadratic differential（英語版）（すなわち L(K²) の切断）を用いて研究される．小平邦彦と D. C. Spencer（英語版） の変形理論は H¹(T) を通した変形を同一視する，ここで T は接束層 K* である．双対性はなぜこれらのアプローチが一致するかを示す．

起源と一般化[編集]

理論の起源は多変数複素関数論に関するセールの先の研究にある．アレクサンドル・グロタンディークの一般化において，セール双対性ははるかに広い設定における coherent 双対性（英語版）の一部となる．V が多様体のとき上の K の役割は一般のセール双対性では余接束の行列式束によってなされ，完全に一般には K は V の非特異性のなんらかの仮定なしではただ1つの層ではありえない．完全に一般的な定式化は導来圏と Ext 関手を使うことで，K が層の鎖複体，すなわち dualizing complex（英語版） によって表されることが可能となる．それにもかかわらず，定理の主張は recognisably セールのものである．

参考文献[編集]

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2017年8月）

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157, OCLC 13348052 , see Ch. III.7
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Duality”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Huybrechts, Daniel (2005), Complex geometry, Berlin: Springer-Verlag , see p. 171.
• Tate, John (1968), “Residues of differentials on curves”, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Quatrième Série 1: 149–159, ISSN 0012-9593, http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1968_4_1_1/ASENS_1968_4_1_1_149_0/ASENS_1968_4_1_1_149_0.pdf  contains a proof for Serre duality for curves
• Serre duality at the weblog Rigorous trivialities
• A link between Poincaré and Serre dualities via Hodge theory on Stack exchange