セール双対性 – Wikipedia
代数幾何学という数学の分野において,セール双対性(セールそうついせい、Serre duality)は, n 次元の非特異射影代数多様体 V(あるいはより一般的にベクトル束やさらに連接層)に関する双対性である.それはコホモロジー群 Hi が別のもの Hn−i の双対空間である述べている.
滑らかなコンパクト複素多様体 V 上の正則ベクトル束 E に対する場合は,主張は
- Hq(V,E)≅Hn−q(V,K⊗E∗)∗{displaystyle H^{q}(V,E)cong H^{n-q}(V,Kotimes E^{ast })^{ast }}
であり,V は射影的である必要はない.
代数曲線[編集]
代数曲線の場合は既にリーマン・ロッホの定理に含まれている.曲線 C に対して coherent 群 Hi は i > 1 に対して消える;しかし H1 は一般には非自明である.実際,定理の基本関係式は l(D) と l(K − D) に関わり,ここで D は因子であり K は標準類の因子である.セール以降我々は l(K − D) を H1(D) の次元と認識している,ただし今 D は因子 D によって決定される直線束を意味する.つまり,この場合のセール双対性は群 H1(D) と H0(KD*) を関係づけ,次元の関係が分かる(表記:K は標準直線束,D* は双対直線束,並置は直線束のテンソル積).
この定式化において,リーマン・ロッホの定理は層のオイラー標数
- h0(D) − h1(D),
を曲線の種数
- h1(C,OC),
と D の次数のことばで計算したものと見ることができる.高次元に一般化できるのはこの形である.
したがって曲線のセール双対性は非常に古典的なものではあるが,興味深い観点を持っている.例えば,リーマン面の理論において,複素構造の変形理論は古典的に quadratic differential(すなわち L(K2) の切断)を用いて研究される.小平邦彦と D. C. Spencer の変形理論は H1(T) を通した変形を同一視する,ここで T は接束層 K* である.双対性はなぜこれらのアプローチが一致するかを示す.
起源と一般化[編集]
理論の起源は多変数複素関数論に関するセールの先の研究にある.アレクサンドル・グロタンディークの一般化において,セール双対性ははるかに広い設定における coherent 双対性の一部となる.V が多様体のとき上の K の役割は一般のセール双対性では余接束の行列式束によってなされ,完全に一般には K は V の非特異性のなんらかの仮定なしではただ1つの層ではありえない.完全に一般的な定式化は導来圏と Ext 関手を使うことで,K が層の鎖複体,すなわち dualizing complex によって表されることが可能となる.それにもかかわらず,定理の主張は recognisably セールのものである.
参考文献[編集]
出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。
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- Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157, OCLC 13348052 , see Ch. III.7
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Duality”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
- Huybrechts, Daniel (2005), Complex geometry, Berlin: Springer-Verlag , see p. 171.
- Tate, John (1968), “Residues of differentials on curves”, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Quatrième Série 1: 149–159, ISSN 0012-9593, http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1968_4_1_1/ASENS_1968_4_1_1_149_0/ASENS_1968_4_1_1_149_0.pdf contains a proof for Serre duality for curves
- Serre duality at the weblog Rigorous trivialities
- A link between Poincaré and Serre dualities via Hodge theory on Stack exchange
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