算術級数定理 – Wikipedia

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算術級数定理（さんじゅつきゅうすうていり、theorem on arithmetic progressions）は、初項と公差が互いに素である算術級数(等差数列)には無限に素数が存在する、という定理である。ペーター・グスタフ・ディリクレが1837年にディリクレのL関数を用いて初めて証明した。そのため、定理はしばしばディリクレの算術級数定理と呼ばれる。

定理の言い換えとして、

gcd(a,b)=1{displaystyle gcd(a,b)=1}

である自然数 a, b に対し、

an+b{displaystyle an+b}

(n は自然数)と書ける素数が無限に存在する、としてもよい。さらに、そのような素数の逆数和は発散し、 x以下の該当する素数の逆数の和は

∼(log⁡log⁡x)/φ(a){displaystyle sim (log log x)/varphi (a)}

を満たす。

この定理はガウスが予想したとされるが、証明は1837年にディリクレがL関数を導入して行った。
ユークリッドによる素数が無限に存在するという定理を越えて、近代の数学が大きく進歩したことを示した。

算術級数の素数定理[編集]

公差が a である等差数列は初項を 1 から

a−1{displaystyle a-1}

の間に取るときその初項が a と互いに素であるものが

φ(a){displaystyle varphi (a)}

通りある。ここで

φ(a){displaystyle varphi (a)}

はオイラーのφ関数である。これら

φ(a){displaystyle varphi (a)}

個の等差数列に素数はそれぞれほぼ均等に分布している。素数定理の拡張として、次のように書ける。

初項 b と公差 a が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を πa,b(x){displaystyle pi _{a,b}(x)}

で表すとき、
πa,b(x)∼1φ(a)Li(x){displaystyle pi _{a,b}(x)sim {frac {1}{varphi (a)}}mathrm {Li} (x)}

ディリクレが算術級数定理を証明した当時、素数定理もまだ証明されていなかったためこの形は予想に過ぎなかったが、後に素数定理と同様にシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン（フランス語版）によって証明された。この定理を算術級数の素数定理と呼ぶ。

素数が無数に存在するということは古代から知られてきた事実であるが、ゼータ関数のオイラー乗積表示にも端的に顕われている。

ζ(s)=∑n=1∞1ns=∏p11−p−s{displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}=prod _{p}{frac {1}{1-p^{-s}}}}

この左辺のゼータ関数は

s=1{displaystyle s=1}

に極を持つから、右辺も発散しなければならず、そのためには無限個の素数が存在しなければならない。これに倣い、任意の算術級数に含まれる素数で構成された総和が発散することをもってディリクレの算術級数定理が証明される。

記号[編集]

以下の記号を用いる。

ディリクレ指標[編集]

整数から複素数への写像

χ:Z↦C{displaystyle chi :mathbb {Z} mapsto mathbb {C} }

で下記の性質を満たすものを法

d{displaystyle d}

のディリクレ指標という。

(d,n)=1⇔χ(n)≠0{displaystyle (d,n)=1Leftrightarrow chi (n)neq 0}

χ(n1)χ(n2)=χ(n1n2){displaystyle chi (n_{1})chi (n_{2})=chi (n_{1}n_{2})}

χ(n+d)=χ(n){displaystyle chi (n+d)=chi (n)}

特に、

χ0(n)≠0{displaystyle chi _{0}(n)neq 0}

ならば

χ0(n)=1{displaystyle chi _{0}(n)=1}

となる

χ0(n){displaystyle chi _{0}(n)}

を自明な指標と呼ぶ。
正の整数

d{displaystyle d}

につき

φ(d){displaystyle varphi (d)}

個のディリクレ指標があり、それらは群を成す。ディリクレ指標には直交性がある。