Teilchen in einem eindimensionalen Gitter

Modell in der Quantenphysik

In der Quantenmechanik ist die Teilchen in einem eindimensionalen Gitter ist ein Problem, das im Modell eines periodischen Kristallgitters auftritt. Das Potential wird durch Ionen in der periodischen Struktur des Kristalls verursacht, die ein elektromagnetisches Feld erzeugen, so dass Elektronen innerhalb des Gitters einem regelmäßigen Potential ausgesetzt sind. Es ist eine Verallgemeinerung des freien Elektronenmodells, das innerhalb des Gitters ein Potential von Null annimmt.

Problem Definition[edit]

Wenn es um feste Materialien geht, geht es hauptsächlich um Kristalle – periodische Gitter. Hier werden wir ein 1D-Gitter positiver Ionen diskutieren. Angenommen, der Abstand zwischen zwei Ionen ist einDas Potenzial im Gitter sieht ungefähr so ​​aus:

Die mathematische Darstellung des Potentials ist eine periodische Funktion mit einer Periode ein. Nach dem Satz von Bloch^[1] Die Wellenfunktionslösung der Schrödinger-Gleichung bei periodischem Potential kann wie folgt geschrieben werden:

${ displaystyle psi (x) = e ^ {ikx} u (x),}$

wo u((x) ist eine periodische Funktion, die erfüllt u((x + ein) = u((x). Dies ist der Bloch-Faktor mit dem Floquet-Exponenten

Daraus ergibt sich die Bandstruktur des Energiespektrums der Schrödinger-Gleichung mit einem periodischen Potential wie dem Kronig-Penney-Potential oder einer Kosinusfunktion wie in der Mathieu-Gleichung.

Bei Annäherung an die Ränder des Gitters treten Probleme mit der Randbedingung auf. Daher können wir das Ionengitter als Ring darstellen, der den Born-von-Karman-Randbedingungen folgt. Wenn L. ist die Länge des Gitters so, dass L. ≫ einDann ist die Anzahl der Ionen im Gitter so groß, dass bei Betrachtung eines Ions seine Umgebung nahezu linear ist und die Wellenfunktion des Elektrons unverändert bleibt. Anstelle von zwei Randbedingungen erhalten wir nun eine kreisförmige Randbedingung:

${ displaystyle psi (0) = psi (L).}$

Wenn N. ist die Anzahl der Ionen im Gitter, dann haben wir die Beziehung: ein = L.. Das Ersetzen der Randbedingung und das Anwenden des Blochschen Theorems führt zu einer Quantisierung für k::

${ displaystyle psi (0) = e ^ {ik cdot 0} u (0) = e ^ {ikL} u (L) = psi (L)}$

${ displaystyle u (0) = e ^ {ikL} u (L) = e ^ {ikL} u (Na) bis e ^ {ikL} = 1}$

${ displaystyle Rightarrow kL = 2 pi n bis k = {2 pi über L} n qquad left (n = 0, pm 1, cdots, pm {N over 2} right ).}$

Kronig-Penney-Modell[edit]

Das Kronig-Penney-Modell (benannt nach Ralph Kronig und William Penney^[2]) ist ein einfaches, idealisiertes quantenmechanisches System, das aus einer unendlichen periodischen Anordnung rechteckiger Potentialbarrieren besteht.

Die Potentialfunktion wird durch ein rechteckiges Potential angenähert:

Mit dem Satz von Bloch müssen wir nur für eine einzelne Periode eine Lösung finden, sicherstellen, dass sie kontinuierlich und glatt ist, und die Funktion sicherstellen u((x) ist auch kontinuierlich und glatt.

Betrachtet man eine einzelne Periode des Potenzials:
Wir haben hier zwei Regionen. Wir werden für jeden unabhängig lösen: Lassen Sie E. sei ein Energiewert über dem Brunnen (E> 0)

${ displaystyle mathrm {For} quad 0$

::

${ displaystyle {- hbar ^ {2} over 2m} psi _ {xx} = E psi}$

${ displaystyle Rightarrow psi = Ae ^ {i alpha x} + A’e ^ {- i alpha x} quad left ( alpha ^ {2} = {2mE over hbar ^ {2} }Recht)}$

${ displaystyle mathrm {For} quad -b$

::

${ displaystyle {- hbar ^ {2} over 2m} psi _ {xx} = (E + V_ {0}) psi}$

${ displaystyle Rightarrow psi = Be ^ {i beta x} + B’e ^ {- i beta x} quad left ( beta ^ {2} = {2m (E + V_ {0}) over hbar ^ {2}} right).}$

Finden u((x) In jeder Region müssen wir die Wellenfunktion des Elektrons manipulieren:

${ displaystyle psi (0$

${ displaystyle Rightarrow u (0$

Und auf die gleiche Weise:

${ displaystyle u (-b$

Um die Lösung zu vervollständigen, müssen wir sicherstellen, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion kontinuierlich und glatt ist, dh:

${ displaystyle psi (0 ^ {-}) = psi (0 ^ {+}) qquad psi ‘(0 ^ {-}) = psi’ (0 ^ {+}).}$

Und das u((x) und u ‘((x) sind periodisch:

${ displaystyle u (-b) = u (ab) qquad u ‘(- b) = u’ (ab).}$

Diese Bedingungen ergeben die folgende Matrix:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \ alpha & – alpha & – beta & beta \ e ^ {i ( alpha -k) (ab)} & e ^ {- i ( alpha + k) (ab)} & – e ^ {- i ( beta-k) b} & – e ^ {i ( beta + k) b} \ ( alpha-k) e ^ { i ( alpha-k) (ab)} & – ( alpha + k) e ^ {- i ( alpha + k) (ab)} & – ( beta-k) e ^ {- i ( beta -k) b} & ( beta + k) e ^ {i ( beta + k) b} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A \ A ‘\ B \ B’ end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 end {pmatrix}}.}$

Damit wir eine nicht triviale Lösung haben, muss die Determinante der Matrix 0 sein. Dies führt uns zu folgendem Ausdruck:

${ displaystyle cos (ka) = cos ( beta b) cos[alpha (a-b)]- { alpha ^ {2} + beta ^ {2} über 2 alpha beta} sin ( beta b) sin[alpha (a-b)].}$

Um den Ausdruck weiter zu vereinfachen, führen wir die folgenden Näherungen durch:

${ displaystyle b bis 0; quad V_ {0} bis infty; quad V_ {0} b = mathrm {Konstante}}$

${ displaystyle Rightarrow beta ^ {2} b = mathrm {Konstante}; quad alpha ^ {2} b bis 0}$

${ displaystyle Rightarrow beta b bis 0; quad sin ( beta b) bis beta b; quad cos ( beta b) bis 1.}$

Der Ausdruck wird nun sein:

${ displaystyle cos (ka) = cos ( alpha a) + P { frac { sin ( alpha a)} { alpha a}}, qquad P = { frac {mV_ {0} ba } { hbar ^ {2}}}.}$

Für Energiewerte im Brunnen (E. <0) erhalten wir:

${ displaystyle cos (ka) = cos ( beta b) cosh[alpha (a-b)]- { beta ^ {2} – alpha ^ {2} over 2 alpha beta} sin ( beta b) sinh[alpha (a-b)],}$

mit

und

.

Folgen Sie den gleichen Annäherungen wie oben (

) kommen wir an

${ displaystyle cos (ka) = cosh ( alpha a) + P { frac { sinh ( alpha a)} { alpha a}}}$

mit der gleichen Formel für P. wie im vorherigen Fall

.

Bandlücken im Kronig-Penney-Modell[edit]

Der Wert des Ausdrucks, dem cos (ka) in der Dispersionsrelation gleichgesetzt wird, mit P = 1,5. Die schwarzen Balken kennzeichnen Regionen von

${ displaystyle alpha a}$

für die k berechnet werden kann.

Die Dispersionsrelation für das Kronig-Penney-Modell mit P = 1,5.

Im vorherigen Absatz sind die einzigen Variablen, die nicht durch die Parameter des physikalischen Systems bestimmt werden, die Energie E. und der Kristallimpuls k. Durch Auswahl eines Wertes für E.kann man die rechte Seite berechnen und dann berechnen k durch die Einnahme der

von beiden Seiten. Somit führt der Ausdruck zu der Dispersionsbeziehung.

Die rechte Seite des letzten Ausdrucks oben kann manchmal größer als 1 oder kleiner als –1 sein. In diesem Fall gibt es keinen Wert von k das kann die Gleichung wahr machen. Schon seit

Das heißt, es gibt bestimmte Werte von E. für die es keine Eigenfunktionen der Schrödinger-Gleichung gibt. Diese Werte bilden die Bandlücke.

Somit ist das Kronig-Penney-Modell eines der einfachsten periodischen Potentiale, um eine Bandlücke aufzuweisen.

Kronig-Penney-Modell: alternative Lösung[edit]

Eine alternative Behandlung zu einem ähnlichen Problem wird gegeben. Hier haben wir eine Delta periodisches Potenzial:

${ displaystyle V (x) = A cdot sum _ {n = – infty} ^ { infty} delta (xn cdot a).}$

EIN ist eine Konstante, und ein ist die Gitterkonstante (der Abstand zwischen jeder Stelle). Da dieses Potenzial periodisch ist, könnten wir es als Fourier-Reihe erweitern:

${ displaystyle V (x) = sum _ {K} { tilde {V}} (K) cdot e ^ {i cdot K cdot x},}$

wo

${ displaystyle { tilde {V}} (K) = { frac {1} {a}} int _ {- a / 2} ^ {a / 2} dx , V (x) , e ^ {-i cdot K cdot x} = { frac {1} {a}} int _ {- a / 2} ^ {a / 2} dx sum _ {n = – infty} ^ { infty} A cdot delta (x-na) , e ^ {- i , K , x} = { frac {A} {a}}}$

.

Die Wellenfunktion ist nach dem Satz von Bloch gleich

wo

ist eine Funktion, die im Gitter periodisch ist, was bedeutet, dass wir sie auch als Fourier-Reihe erweitern können:

${ displaystyle u_ {k} (x) = sum _ {K} { tilde {u}} _ {k} (K) e ^ {iKx}.}$

Somit ist die Wellenfunktion:

${ displaystyle psi _ {k} (x) = sum _ {K} { tilde {u}} _ {k} (K) , e ^ {i (k + K) x}.}$

Wenn wir dies in die Schrödinger-Gleichung einfügen, erhalten wir:

${ displaystyle left[{frac {hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}right] cdot { tilde {u}} _ {k} (K) + sum _ {K ‘} { tilde {V}} (K-K’) , { tilde {u}} _ {k} (K ‘) = 0}$

oder eher:

${ displaystyle left[{frac {hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}right] cdot { tilde {u}} _ {k} (K) + { frac {A} {a}} sum _ {K ‘} { tilde {u}} _ {k} (K’) = 0}$

Jetzt erkennen wir das:

${ displaystyle u_ {k} (0) = sum _ {K ‘} { tilde {u}} _ {k} (K’)}$

Stecken Sie dies in die Schrödinger-Gleichung:

${ displaystyle left[{frac {hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}right] cdot { tilde {u}} _ {k} (K) + { frac {A} {a}} u_ {k} (0) = 0}$

Lösung für

wir bekommen:

${ displaystyle { tilde {u}} _ {k} (K) = { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} { frac {A} {a}} f (k )} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} = { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2 }}} { frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} , u_ {k } (0)}$

Wir summieren diese letzte Gleichung über alle Werte von K. Ankommen in:

${ displaystyle sum _ {K} { tilde {u}} _ {k} (K) = sum _ {K} { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} { frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} , u_ {k} (0) }}$

Oder:

${ displaystyle u_ {k} (0) = sum _ {K} { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} { frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} , u_ {k} (0)}$

Praktischerweise

stornieren und wir bekommen:

${ displaystyle 1 = sum _ {K} { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} { frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k} } { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}}}$

Oder:

${ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} = sum _ {K} { frac {1} {{ frac {2mE_ {k} } { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}}}$

Um uns unnötigen Schreibaufwand zu ersparen, definieren wir eine neue Variable:

${ displaystyle alpha ^ {2}: = { frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}}}$

und schließlich ist unser Ausdruck:

${ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} = sum _ {K} { frac {1} { alpha ^ {2} – ( k + K) ^ {2}}}}$

Jetzt, K. ist ein reziproker Gittervektor, was bedeutet, dass eine Summe über K. ist eigentlich eine Summe über ganzzahlige Vielfache von

::

${ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} = sum _ {n = – infty} ^ { infty} { frac {1} { alpha ^ {2} – (k + { frac {2 pi n} {a}}) ^ {2}}}}$

Wir können diesen Ausdruck ein wenig jonglieren, um ihn suggestiver zu machen (verwenden Sie die partielle Bruchzerlegung):

${ displaystyle { begin {align} { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} & = sum _ {n = – infty} ^ { infty } { frac {1} { alpha ^ {2} – (k + { frac {2 pi n} {a}}) ^ {2}}} \ & = – { frac {1} {2 alpha}} sum _ {n = – infty} ^ { infty} left[{frac {1}{(k+{frac {2pi n}{a}})-alpha }}-{frac {1}{(k+{frac {2pi n}{a}})+alpha }}right]\ & = – { frac {a} {4 alpha}} sum _ {n = – infty} ^ { infty} left[{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}-{frac {alpha a}{2}}}}-{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}+{frac {alpha a}{2}}}}right]\ & = – { frac {a} {4 alpha}} left[sum _{n=-infty }^{infty }{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}-{frac {alpha a}{2}}}}-sum _{n=-infty }^{infty }{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}+{frac {alpha a}{2}}}}right] end {align}}}$

Wenn wir eine schöne Identität einer Summe der Kotangensfunktion verwenden (Gleichung 18) was sagt:

${ displaystyle cot (x) = sum _ {n = – infty} ^ { infty} { frac {1} {2 pi n + 2x}} – { frac {1} {2 pi n-2x}}}$

und stecken Sie es in unseren Ausdruck, den wir bekommen zu:

${ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} = – { frac {a} {4 alpha}} left[cot left({tfrac {ka}{2}}-{tfrac {alpha a}{2}}right)-cot left({tfrac {ka}{2}}+{tfrac {alpha a}{2}}right)right]}}$

Wir verwenden die Summe von Kinderbett und dann das Produkt von Sünde (welches Teil der Formel für die Summe von ist Kinderbett) Ankommen in:

${ displaystyle cos (ka) = cos ( alpha a) + { frac {mA} { hbar ^ {2} alpha}} sin ( alpha a)}$

Diese Gleichung zeigt die Beziehung zwischen der Energie (durch α) und der Wellenvektor, kund wie Sie sehen können, kann die linke Seite der Gleichung nur von reichen −1 zu 1 dann gibt es einige Grenzen für die Werte, die α (und damit die Energie) kann nehmen, dh in einigen Wertebereichen der Energie gibt es keine Lösung gemäß dieser Gleichung, und daher wird das System diese Energien nicht haben: Energielücken. Dies sind die sogenannten Bandlücken, in denen gezeigt werden kann, dass sie existieren irgendein Form des periodischen Potentials (nicht nur Delta oder quadratische Barrieren).

Für eine andere und detaillierte Berechnung der Lückenformel (dh der Lücke zwischen Bändern) und der Pegelaufteilung von Eigenwerten der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung siehe Müller-Kirsten.^[3] Entsprechende Ergebnisse für das Kosinuspotential (Mathieu-Gleichung) sind in dieser Referenz ebenfalls ausführlich angegeben.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]