Komplexer Logarithmus – Wikipedia

Logarithmus einer komplexen Zahl

In der komplexen Analyse a komplexer Logarithmus ist ein Analogon für komplexe Zahlen ungleich Null des Logarithmus einer positiven reellen Zahl. Der Begriff bezieht sich auf eine der folgenden:

Es ist keine kontinuierliche komplexe Logarithmusfunktion für alle definiert

C.×{ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}

. Zu den Möglichkeiten, damit umzugehen, gehören Zweige, die zugehörige Riemann-Oberfläche und partielle Inversen der komplexen Exponentialfunktion. Das Hauptwert definiert eine bestimmte komplexe Logarithmusfunktion

Log::C.×→C.{ displaystyle operatorname {Log} Doppelpunkt mathbb {C} ^ { times} to mathbb {C}}

das ist kontinuierlich, außer entlang der negativen realen Achse.

Probleme beim Invertieren der komplexen Exponentialfunktion[edit]

Damit eine Funktion eine Umkehrung hat, muss sie unterschiedliche Werte unterschiedlichen Werten zuordnen. das heißt, es muss injektiv sein. Aber die komplexe Exponentialfunktion ist nicht injektiv, weil e^w+2πi = e^w für jeden w, seit dem Hinzufügen iθ zu w hat die Wirkung, sich zu drehen e^w gegen den Uhrzeigersinn θ Bogenmaß. Also die Punkte

…,w– –4πich,w– –2πich,w,w+2πich,w+4πich,…,{ displaystyle ldots, ; w-4 pi i, ; w-2 pi i, ; w, ; w + 2 pi i, ; w + 4 pi i, ; ldots ,}

entlang einer vertikalen Linie gleich beabstandet, werden alle durch die Exponentialfunktion auf dieselbe Zahl abgebildet. Dies bedeutet, dass die Exponentialfunktion keine Umkehrfunktion im Standardsinn hat.^[2][3] Für dieses Problem gibt es zwei Lösungen.

Eine besteht darin, die Domäne der Exponentialfunktion auf eine Region zu beschränken, die enthält keine zwei Zahlen, die sich durch ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi unterscheiden: Dies führt natürlich zur Definition von Zweigen von Log zDies sind bestimmte Funktionen, die einen Logarithmus jeder Zahl in ihren Domänen herausgreifen. Dies ist analog zur Definition von arcsin x auf [−1, 1] als Umkehrung der Einschränkung von Sünde θ auf das Intervall [−π/2, π/2]: Es gibt unendlich viele reelle Zahlen θ mit Sünde θ = x, aber man wählt willkürlich den in [−π/2, π/2].

Eine andere Möglichkeit, die Unbestimmtheit aufzulösen, besteht darin, den Logarithmus als eine Funktion zu betrachten, deren Domäne nicht eine Region in der komplexen Ebene ist, sondern eine Riemann-Oberfläche, die Abdeckungen die punktierte komplexe Ebene auf unendliche Weise.

Zweige haben den Vorteil, dass sie bei komplexen Zahlen ausgewertet werden können. Andererseits ist die Funktion auf der Riemann-Oberfläche insofern elegant, als sie zusammen verpackt alle Zweige des Logarithmus und erfordert keine willkürliche Wahl als Teil seiner Definition.

Hauptwert[edit]

Definition[edit]

Für jede komplexe Zahl ungleich Null z, das Hauptwert Log z ist der Logarithmus, dessen Imaginärteil im Intervall liegt (-π, π].^[1] Der Ausdruck Log 0 bleibt undefiniert, da keine komplexe Zahl vorhanden ist w befriedigend e^w = 0.

Wenn das Notationsprotokoll z erscheint, ohne dass ein bestimmter Logarithmus angegeben wurde, ist es im Allgemeinen am besten anzunehmen, dass der Hauptwert beabsichtigt ist. Dies ergibt insbesondere einen Wert, der mit dem realen Wert von ln übereinstimmt z wann z ist eine positive reelle Zahl. Die Großschreibung im Notationsprotokoll wird von einigen Autoren verwendet^[1] den Hauptwert von anderen Logarithmen von zu unterscheiden z.

Berechnung des Kapitalwerts[edit]

Gegeben z = x + yiWählen Sie einen polaren Ausdruck z = Re^iθ, wo r ist eine positive reelle Zahl und θ ist real wie folgt:

• Lassen
  r=|z|=x2+y2{ displaystyle r = | z | = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}
  .
• Lassen θ ein Winkel im Bogenmaß sein, so dass die positive reale Achse gegen den Uhrzeigersinn um gedreht wird θ ergibt den Strahl in Richtung z. Diese θ ist nicht ganz eindeutig, da ein ganzzahliges Vielfaches von 2 hinzugefügt werden kannπ zu θ, aber es kann sein gemacht einzigartig durch erfordern θ in der Pause liegen (-π, π]; diese θ wird als Hauptwert des Arguments bezeichnet und manchmal als Arg geschrieben z oder (insbesondere in Computersprachen) atan2 (y,x), was mit arctan übereinstimmt (y/.x) wann x > 0, gibt aber einen korrekten Wert für any (x, y) ≠ (0, 0).

Dann

Log⁡z=ln⁡r+ichθ=ln⁡|z|+ichArg⁡z=ln⁡x2+y2+ichatan2⁡((y,x).{ displaystyle operatorname {Log} z = ln r + i theta = ln | z | + i operatorname {Arg} z = ln { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} } + i operatorname {atan2} (y, x).}

Beispiel: Protokoll (-3ich) = ln 3 – πi/ 2, während Log (-3) = ln 3 +πi.

Der Hauptwert als Umkehrfunktion[edit]

Eine andere Art, Log zu beschreiben z ist das Gegenteil einer Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion, wie im vorherigen Abschnitt. Der horizontale Streifen S. bestehend aus komplexen Zahlen w = x+yi so dass –π < y ≤ π ist ein Beispiel für eine Region, die keine zwei Zahlen enthält, die sich durch ein ganzzahliges Vielfaches von 2 unterscheidenπi, also die Einschränkung der Exponentialfunktion auf S. hat eine Umkehrung. Tatsächlich wird die Exponentialfunktion abgebildet S. bijektiv zur punktierten komplexen Ebene

C.×=C.∖{0}}{ displaystyle mathbb {C} ^ { times} = mathbb {C} setminus {0 }}

und die Umkehrung dieser Einschränkung ist

Log::C.×→S.{ displaystyle operatorname {Log} Doppelpunkt mathbb {C} ^ { times} to S}

. Im folgenden Abschnitt zur konformen Zuordnung werden die geometrischen Eigenschaften dieser Zuordnung ausführlicher erläutert.

Eigenschaften[edit]

Nicht alle von ln erfüllten Identitäten erstrecken sich auf komplexe Zahlen. Es stimmt, dass e^{Log z} = z für alle z ≠ 0 (das bedeutet es für Log z ein Logarithmus von sein z), aber das Identitätsprotokoll e^z = z schlägt fehl für z außerhalb des Streifens S.. Aus diesem Grund kann Log nicht immer auf beide Seiten einer Identität angewendet werden e^z = e^w folgern z = w. Auch das Identitätsprotokoll (z₁z₂) = Log z₁ + Log z₂ kann fehlschlagen: Die beiden Seiten können sich durch ein ganzzahliges Vielfaches von 2 unterscheidenπi;; zum Beispiel,

Log⁡((((– –1)ich)=Log⁡((– –ich)=ln⁡((1)– –πich2=– –πich2,{ displaystyle operatorname {Log} ((-1) i) = operatorname {Log} (-i) = ln (1) – { frac { pi i} {2}} = – { frac { pi i} {2}},}

aber

Log⁡((– –1)+Log⁡((ich)=((ln⁡((1)+πich)+((ln⁡((1)+πich2)=3πich2≠– –πich2.{ displaystyle operatorname {Log} (-1) + operatorname {Log} (i) = left ( ln (1) + pi i right) + left ( ln (1) + { frac { pi i} {2}} right) = { frac {3 pi i} {2}} neq – { frac { pi i} {2}}.}

Die Funktion Log z ist bei jeder negativen reellen Zahl diskontinuierlich, aber überall sonst kontinuierlich

C.×{ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}

. Um die Diskontinuität zu erklären, überlegen Sie, was mit Arg passiert z wie z nähert sich einer negativen reellen Zahl ein. Wenn z nähert sich ein von oben, dann Arg z nähert sich π, was auch der Wert von Arg ist ein selbst. Doch wenn z nähert sich ein von unten, dann Arg z Ansätze –π. Also Arg z “springt” um 2π wie z kreuzt die negative reelle Achse und in ähnlicher Weise Log z springt um 2πi.

Zweige des komplexen Logarithmus[edit]

Gibt es eine andere Möglichkeit, einen Logarithmus für jede komplexe Zahl ungleich Null zu wählen, um eine Funktion zu erstellen? L.((z) das ist kontinuierlich auf alle von

C.×{ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}

? Die Antwort ist nein. Um zu sehen, warum, stellen Sie sich vor, Sie verfolgen eine solche Logarithmusfunktion entlang des Einheitskreises, indem Sie sie auswerten L.((e^iθ) wie θ erhöht sich von 0 auf 2π. Wenn L.((z) ist stetig, dann ist es so L.((e^iθ) – iθ, aber letzteres ist ein Unterschied von zwei Logarithmen von e^iθnimmt also Werte in der diskreten Menge an

2πichZ.{ displaystyle 2 pi i mathbb {Z}}

, also ist es konstant. Speziell, L.((e^2πi) – 2πi = L.((e⁰) – 0, was widerspricht L.((e^2πi) = L.(1) = L.((e⁰).

Um einen kontinuierlichen Logarithmus zu erhalten, der für komplexe Zahlen definiert ist, ist es daher erforderlich, die Domäne auf eine kleinere Teilmenge zu beschränken U. der komplexen Ebene. Da eines der Ziele darin besteht, die Funktion unterscheiden zu können, ist anzunehmen, dass die Funktion in einer Nachbarschaft jedes Punkts ihrer Domäne definiert ist. mit anderen Worten, U. sollte ein offener Satz sein. Es ist auch vernünftig anzunehmen, dass U. angeschlossen ist, da sonst die Funktionswerte an verschiedenen Komponenten von U. könnte nicht miteinander verwandt sein. All dies motiviert die folgende Definition:

EIN Ast von log z ist eine stetige Funktion L.((z) definiert auf einer verbundenen offenen Teilmenge U. der komplexen Ebene so, dass L.((z) ist ein Logarithmus von z für jeden z im U..^[1]

Beispielsweise definiert der Hauptwert einen Zweig in der offenen Menge, in dem er kontinuierlich ist. Dies ist die Menge

C.– –R.≤0{ displaystyle mathbb {C} – mathbb {R} _ { leq 0}}

erhalten durch Entfernen von 0 und allen negativen reellen Zahlen aus der komplexen Ebene.

Ein weiteres Beispiel: Die Mercator-Serie

ln⁡((1+u)=∑n=1∞((– –1)n+1nun=u– –u22+u33– –⋯{ displaystyle ln (1 + u) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} u ^ {n} = u – { frac {u ^ {2}} {2}} + { frac {u ^ {3}} {3}} – cdots}

konvergiert lokal gleichmäßig für |u| <1, also Einstellung z = 1+u definiert einen Protokollzweig z auf der offenen Scheibe mit Radius 1, zentriert auf 1. (Tatsächlich ist dies nur eine Einschränkung von Log z, wie durch Differenzieren der Differenz und Vergleichen der Werte bei 1 gezeigt werden kann.)

Sobald ein Zweig fixiert ist, kann er bezeichnet werden “Log z” wenn keine Verwirrung entstehen kann. Unterschiedliche Verzweigungen können jedoch unterschiedliche Werte für den Logarithmus einer bestimmten komplexen Zahl ergeben, sodass eine Verzweigung festgelegt werden muss im Voraus (oder der Hauptzweig muss verstanden werden), um “Log z” eine genaue eindeutige Bedeutung haben.

Astschnitte[edit]

Das obige Argument, das den Einheitskreis betrifft, verallgemeinert, um zu zeigen, dass kein Zweig des Protokolls vorhanden ist z existiert auf einem offenen Satz U. mit einer geschlossenen Kurve, die sich um 0 windet. Um dieses Argument zu vereiteln, U. wird typischerweise als Komplement eines Strahls oder einer Kurve in der komplexen Ebene gewählt, die von 0 (einschließlich) bis unendlich in eine Richtung geht. In diesem Fall wird die Kurve als Astschnitt bezeichnet. Zum Beispiel hat der Hauptzweig einen Zweig, der entlang der negativen realen Achse geschnitten ist.

Wenn die Funktion L.((z) erweitert wird, um an einem Punkt des Astschnitts definiert zu werden, wird es dort notwendigerweise diskontinuierlich sein; bestenfalls wird es kontinuierlich sein “Auf der einen Seite”, wie Log z bei einer negativen reellen Zahl.

Die Ableitung des komplexen Logarithmus[edit]

Jeder Zweig L.((z) von log z auf einem offenen Set U. ist eine Umkehrung einer Einschränkung der Exponentialfunktion, nämlich der Einschränkung des Bildes von U. unter L.. Da die Exponentialfunktion holomorph (dh komplex differenzierbar) mit nicht verschwindender Ableitung ist, gilt das komplexe Analogon des Satzes der inversen Funktion. Es zeigt, dass L.((z) ist jeweils holomorph z im U., und L.‘(z) = 1 /z.^[1] Eine andere Möglichkeit, dies zu beweisen, besteht darin, die Cauchy-Riemann-Gleichungen in Polarkoordinaten zu überprüfen.^[1]

Aufbau von Filialen durch Integration[edit]

Die Funktion

ln⁡((x){ displaystyle ln (x)}

zum

x>0{ displaystyle x> 0}

ln⁡((x)=∫1xduu.{ displaystyle ln (x) = int _ {1} ^ {x} { frac {du} {u}}.}

Wenn der Integrationsbereich bei einer positiven Zahl begonnen hat ein anders als 1 müsste die Formel sein

ln⁡((x)=ln⁡((ein)+∫einxduu{ displaystyle ln (x) = ln (a) + int _ {a} ^ {x} { frac {du} {u}}}

stattdessen.

Bei der Entwicklung des Analogons für die Komplex Logarithmus gibt es eine zusätzliche Komplikation: Die Definition des komplexen Integrals erfordert eine Wahl des Pfades. Wenn der Integrand holomorph ist, bleibt der Wert des Integrals glücklicherweise unverändert, indem der Pfad verformt wird (während die Endpunkte festgehalten werden) und in einem einfach verbundenen Bereich U. (eine Region mit “keine Löcher”) irgendein Weg von ein zu z Innerhalb U. kann im Inneren kontinuierlich verformt werden U. in jede andere. All dies führt zu Folgendem:

Wenn U. ist eine einfach verbundene offene Teilmenge von C.{ displaystyle mathbb {C}}

keine 0 enthalten, dann ein Zweig des Protokolls z definiert am U. kann durch Auswahl eines Startpunktes konstruiert werden ein im U., einen Logarithmus wählen b von einund definieren

L.((z)=b+∫einzdww{ displaystyle L (z) = b + int _ {a} ^ {z} { frac {dw} {w}}}

für jeden z im U..^[4]

Der komplexe Logarithmus als konforme Karte[edit]

Jede holomorphe Karte

f::U.→C.{ displaystyle f Doppelpunkt U bis mathbb {C}}

befriedigend

f‘((z)≠0{ displaystyle f ‘(z) neq 0}

für alle

z∈U.{ displaystyle z in U}

ist eine konforme Karte, was bedeutet, dass zwei Kurven durch einen Punkt verlaufen ein von U. einen Winkel bilden α (in dem Sinne, dass die Tangenten an die Kurven bei ein einen Winkel bilden α), dann bilden die Bilder der beiden Kurven die gleich Winkel α beim f((ein). Da ein Zweig des Protokolls z ist holomorph und seit seiner Ableitung 1 /z ist nie 0, es definiert eine konforme Karte.

Zum Beispiel der Hauptzweig w = Log z, als Mapping von angesehen

C.– –R.≤0{ displaystyle mathbb {C} – mathbb {R} _ { leq 0}}

zu dem durch | Im z| < πhat die folgenden Eigenschaften, die direkte Konsequenzen der Formel in Bezug auf die polare Form sind:

• Kreise^[5] in dem z-Ebene, die bei 0 zentriert ist, wird vertikalen Segmenten in der Ebene zugeordnet w-Ebene verbinden ein – – πi zu ein + πi, wo ein ist das reale Protokoll des Radius des Kreises.
• Strahlen von 0 in der z-Ebene werden horizontalen Linien in der zugeordnet w-Flugzeug.

Jeder Kreis und Strahl in der z-Ebene wie oben treffen sich im rechten Winkel. Ihre Bilder unter Log sind ein vertikales Segment bzw. eine horizontale Linie in der w-Ebene, und auch diese treffen sich im rechten Winkel. Dies ist eine Illustration der konformen Eigenschaft von Log.

Die zugehörige Riemannsche Oberfläche[edit]

Konstruktion[edit]

Die verschiedenen Zweige des Protokolls z kann nicht geklebt werden, um eine einzige kontinuierliche Funktion zu ergeben

Log::C.×→C.{ displaystyle log Doppelpunkt mathbb {C} ^ { times} to mathbb {C}}

weil zwei Zweige an einem Punkt, an dem beide definiert sind, unterschiedliche Werte ergeben können. Vergleichen Sie beispielsweise das Hauptzweigprotokoll (z) auf

C.– –R.≤0{ displaystyle mathbb {C} – mathbb {R} _ { leq 0}}

mit Imaginärteil θ in (-π,π) und der Zweig L.((z) auf

C.– –R.≥0{ displaystyle mathbb {C} – mathbb {R} _ { geq 0}}

dessen Imaginärteil θ liegt in (0,2π). Diese stimmen in der oberen Halbebene überein, nicht jedoch in der unteren Halbebene. Es ist also sinnvoll, die Domänen dieser Zweige zu verkleben nur entlang der Kopien der oberen Halbebene. Die resultierende geklebte Domäne ist verbunden, hat jedoch zwei Kopien der unteren Halbebene. Diese beiden Kopien können als zwei Ebenen eines Parkhauses dargestellt werden, und eine kann von der Log-Ebene der unteren Halbebene bis zur L. Ebene der unteren Halbebene, indem Sie um 0 ° gegen den Uhrzeigersinn um 0 gehen, indem Sie zuerst die positive reelle Achse (der Log-Ebene) in die gemeinsame Kopie der oberen Halbebene kreuzen und dann die negative reale Achse (der L. Ebene) in die L. Ebene der unteren Halbebene.

Man kann fortfahren, indem man Zweige mit Imaginärteil klebt θ im (π,3π), in 2π, 4π) und so weiter und in die andere Richtung verzweigt sich mit Imaginärteil θ in (−2π, 0), in (-3π, –π), und so weiter. Das Endergebnis ist eine verbundene Oberfläche, die als spiralförmiges Parkhaus mit unendlich vielen Ebenen betrachtet werden kann, die sich sowohl nach oben als auch nach unten erstrecken. Dies ist die Riemann-Oberfläche R. dem Protokoll zugeordnet z.

Ein Punkt auf R. kann als Paar betrachtet werden (z,θ) wo θ ist ein möglicher Wert des Arguments von z. Auf diese Weise, R. kann eingebettet werden in

C.×R.≈R.3{ displaystyle mathbb {C} times mathbb {R} approx mathbb {R} ^ {3}}

.

Die Logarithmusfunktion auf der Riemannschen Oberfläche[edit]

Da die Domänen der Zweige nur entlang offener Sätze geklebt wurden, wo ihre Werte übereinstimmten, kleben die Zweige, um eine einzige genau definierte Funktion zu ergeben

LogR.::R.→C.{ displaystyle log _ {R} Doppelpunkt R to mathbb {C}}

.^[6] Es bildet jeden Punkt ab (z,θ) auf R. zu ln |z| + iθ. Dieser Prozess der Erweiterung des ursprünglichen Zweigprotokolls durch Verkleben kompatibler holomorpher Funktionen wird als analytische Fortsetzung bezeichnet.

Da ist ein “Projektionskarte” von R. bis zu

C.×{ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}

Das “flacht ab” die Spirale, sendend (z,θ) bis z. Für jeden

z∈C.×{ displaystyle z in mathbb {C} ^ { times}}

, wenn man alle Punkte nimmt (z,θ) von R. Lügen “direkt darüber” z und wertet das Protokoll aus_R. an all diesen Punkten erhält man alle Logarithmen von z.

Alle Zweige des Holzes kleben z[edit]

Anstatt nur die oben ausgewählten Zweige zu kleben, kann man damit beginnen alle Zweige des Protokolls zund gleichzeitig kleben jeder Paar Zweige

L.1::U.1→C.{ displaystyle L_ {1} Doppelpunkt U_ {1} to mathbb {C}}

und

L.2::U.2→C.{ displaystyle L_ {2} Doppelpunkt U_ {2} to mathbb {C}}

entlang der größten offenen Teilmenge von

U.1∩U.2{ displaystyle U_ {1} cap U_ {2}}

auf welche L.₁ und L.₂ zustimmen. Dies ergibt die gleiche Riemann-Oberfläche R. und Funktionsprotokoll_R. wie vorher. Dieser Ansatz ist zwar etwas schwieriger zu visualisieren, aber natürlicher, da keine bestimmten Zweige ausgewählt werden müssen.

Wenn U.‘Ist eine offene Teilmenge von R. bijektiv auf sein Bild projizieren U. im

C.×{ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}

, dann die Einschränkung des Protokolls_R. zu U.‘Entspricht einem logarithmischen Zweig z definiert am U.. Jeder Zweig des Protokolls z entsteht auf diese Weise.

Die Riemann-Oberfläche als Universalabdeckung[edit]

Die Projektionskarte

R.→C.×{ displaystyle R to mathbb {C} ^ { times}}

erkennt R. als Deckfläche von

C.×{ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}

. Tatsächlich handelt es sich um eine Galois-Abdeckung mit einer isomorphen Decktransformationsgruppe

Z.{ displaystyle mathbb {Z}}

, erzeugt durch das Senden des Homöomorphismus (z,θ) bis (z,θ+2π).

Als komplexe Mannigfaltigkeit R. ist biholomorph mit

C.{ displaystyle mathbb {C}}

via log_R.. (Die inverse Karte sendet z zu (e^z,Ich bin z).) Dies zeigt, dass R. ist einfach verbunden, also R. ist die universelle Abdeckung von

C.×{ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}

.

Anwendungen[edit]

• Der komplexe Logarithmus wird benötigt, um die Exponentiation zu definieren, bei der die Basis eine komplexe Zahl ist. Nämlich wenn ein und b sind komplexe Zahlen mit ein ≠ 0 kann man den Hauptwert zum Definieren verwenden ein^b = e^{b Log ein}. Man kann auch Log ersetzen ein durch andere Logarithmen von ein um andere Werte von zu erhalten ein^b.^[7]
• Seit dem Mapping w = Log z transformiert bei 0 zentrierte Kreise in vertikale gerade Liniensegmente. Dies ist nützlich bei technischen Anwendungen mit einem Ring.^{[citation needed]}

Verallgemeinerungen[edit]

Logarithmen zu anderen Basen[edit]

Genau wie für reelle Zahlen kann man für komplexe Zahlen definieren b und x

Logb⁡x=Log⁡xLog⁡b,{ displaystyle log _ {b} x = { frac { log x} { log b}},}

Die einzige Einschränkung besteht darin, dass der Wert von der Auswahl eines unter definierten Protokollzweigs abhängt b und x (mit Protokoll b ≠ 0). Zum Beispiel ergibt die Verwendung des Hauptwerts

Logich⁡e=Log⁡eLog⁡ich=1πich/.2=– –2ichπ.{ displaystyle log _ {i} e = { frac { operatorname {Log} e} { operatorname {Log} i}} = { frac {1} { pi i / 2}} = – { frac {2i} { pi}}.}

Logarithmen holomorpher Funktionen[edit]

Wenn f ist eine holomorphe Funktion in einer verbundenen offenen Teilmenge U. von

C.{ displaystyle mathbb {C}}

, dann ein Zweig des Protokolls f auf U. ist eine stetige Funktion G auf U. so dass e^G((z) = f((z) für alle z im U.. Eine solche Funktion G ist notwendigerweise holomorph mit G’((z) = f ‘((z) /f((z) für alle z im U..

Wenn U. ist eine einfach verbundene offene Teilmenge von

C.{ displaystyle mathbb {C}}

, und f ist eine nirgends verschwindende holomorphe Funktion auf U., dann ein Zweig des Protokolls f definiert am U. kann durch Auswahl eines Startpunktes konstruiert werden ein im U., einen Logarithmus wählen b von f((ein) und definieren

G((z)=b+∫einzf‘((w)f((w)dw{ displaystyle g (z) = b + int _ {a} ^ {z} { frac {f ‘(w)} {f (w)}} , dw}

für jeden z im U..^[1]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]