Hardy-Littlewood-Maximalfunktion – Wikipedia

Maximale Ungleichheit zwischen Hardy und Littlewood[edit]

Dieser Satz von GH Hardy und JE Littlewood besagt dies M. ist als sublinearer Operator von der begrenzt L.^p(R.^d) zu sich selbst für p > 1. Das heißt, wenn f ∈ L.^p(R.^d) dann die maximale Funktion Mf ist schwach L.¹-gebunden und Mf ∈ L.^p(R.^d). Bevor wir den Satz genauer formulieren, sei der Einfachheit halber {f > t} bezeichnen die Menge {x | f(x)> t}. Jetzt haben wir:

Satz (Schwache Typschätzung). Zum d ≥ 1 und f ∈ L.¹(R.^d) gibt es eine Konstante C._d > 0, so dass für alle λ> 0 gilt:

|{M.f>λ}}|<C.dλ‖f‖L.1(R.d).{ displaystyle left | {Mf> lambda } right |

Mit der maximalen Hardy-Littlewood-Ungleichung in der Hand, die folgenden starker Typ Die Schätzung ist eine unmittelbare Folge des Marcinkiewicz-Interpolationssatzes:

Satz (Starke Typschätzung). Zum d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ und f ∈ L.^p(R.^d),

es gibt eine Konstante C._{p, d} > 0 so dass

‖M.f‖L.p(R.d)≤C.p,d‖f‖L.p(R.d).{ displaystyle Vert Mf Vert _ {L ^ {p} ( mathbf {R} ^ {d})} leq C_ {p, d} Vert f Vert _ {L ^ {p} ( mathbf {R} ^ {d})}.}

In der starken Typschätzung die besten Grenzen für C._{p, d} sind unbekannt.^[1] In der Folge verwendete Elias M. Stein jedoch die Calderón-Zygmund-Rotationsmethode, um Folgendes zu beweisen:

Satz (Dimensionsunabhängigkeit). Für 1 < p ≤ ∞ kann man wählen C._{p, d} = C._p unabhängig von d.^[1][2]

Während es mehrere Beweise für diesen Satz gibt, wird im Folgenden ein gemeinsamer gegeben: Für p = ∞ ist die Ungleichung trivial (da der Durchschnitt einer Funktion nicht größer ist als ihr wesentliches Supremum). Für 1 < p

Lemma. Lassen X. ein trennbarer metrischer Raum sein und

F.{ displaystyle { mathcal {F}}}

eine Familie offener Kugeln mit begrenztem Durchmesser. Dann

F.{ displaystyle { mathcal {F}}}

hat eine zählbare Unterfamilie

F.‘{ displaystyle { mathcal {F}} ‘}

bestehend aus disjunkten Bällen, so dass

⋃B.∈F.B.⊂⋃B.∈F.‘5B.{ displaystyle bigcup _ {B in { mathcal {F}}} B subset bigcup _ {B in { mathcal {F ‘}}} 5B}

wo 5B. ist B. mit 5 mal Radius.

Wenn Mf(x)> tDann können wir per Definition einen Ball finden B._x zentriert bei x so dass

∫B.x|f|dy>t|B.x|.{ displaystyle int _ {B_ {x}} | f | dy> t | B_ {x} |.}

|{M.f>t}}|≤5d∑j|B.j|≤5dt∫|f|dy.{ displaystyle | {Mf> t } | leq 5 ^ {d} sum _ {j} | B_ {j} | leq {5 ^ {d} über t} int | f | dy. }}

|{M.f>t}}|≤2C.t∫|f|>t2|f|dx,{ displaystyle | {Mf> t } | leq {2C over t} int _ {| f |> { frac {t} {2}}} | f | dx,}

‖M.f‖pp=∫∫0M.f(x)ptp– –1dtdx=p∫0∞tp– –1|{M.f>t}}|dt{ displaystyle | Mf | _ {p} ^ {p} = int int _ {0} ^ {Mf (x)} pt ^ {p-1} dtdx = p int _ {0} ^ { infty} t ^ {p-1} | {Mf> t } | dt}

‖M.f‖pp≤p∫0∞tp– –1(2C.t∫|f|>t2|f|dx)dt=2C.p∫0∞∫|f|>t2tp– –2|f|dxdt=C.p‖f‖pp{ displaystyle | Mf | _ {p} ^ {p} leq p int _ {0} ^ { infty} t ^ {p-1} left ({2C over t} int _ { | f |> { frac {t} {2}}} | f | dx right) dt = 2Cp int _ {0} ^ { infty} int _ {| f |> { frac {t} {2}}} t ^ {p-2} | f | dxdt = C_ {p} | f | _ {p} ^ {p}}

C.=5d{ displaystyle C = 5 ^ {d}}

im Beweis kann auf verbessert werden 3d{ displaystyle 3 ^ {d}}

unter Verwendung der inneren Regelmäßigkeit des Lebesgue-Maßes und der endlichen Version des Vitali-Deckungs-Lemmas. Weitere Informationen zur Optimierung der Konstante finden Sie im Abschnitt Diskussion unten.

Anwendungen[edit]

Einige Anwendungen der Hardy-Littlewood-Maximalungleichung umfassen den Nachweis der folgenden Ergebnisse:

Hier verwenden wir einen Standardtrick mit der Maximalfunktion, um einen schnellen Beweis für den Lebesgue-Differenzierungssatz zu liefern. (Aber denken Sie daran, dass wir im Beweis des Maximalsatzes das Vitali-Deckungs-Lemma verwendet haben.) Lassen Sie f ∈ L.¹(R.ⁿ) und

Ωf(x)=lim supr→0fr(x)– –lim infr→0fr(x){ displaystyle Omega f (x) = limsup _ {r bis 0} f_ {r} (x) – liminf _ {r bis 0} f_ {r} (x)}

wo

fr(x)=1|B.(x,r)|∫B.(x,r)f(y)dy.{ displaystyle f_ {r} (x) = { frac {1} {| B (x, r) |}} int _ {B (x, r)} f (y) dy.}

Wir schreiben f = h + G wo h ist durchgehend und hat kompakte Unterstützung und G ∈ L.¹(R.ⁿ) mit einer Norm, die beliebig klein gemacht werden kann. Dann

Ωf≤ΩG+Ωh=ΩG{ displaystyle Omega f leq Omega g + Omega h = Omega g}

durch Kontinuität. Nun ΩG ≤ 2Mg und so haben wir nach dem Theorem:

|{ΩG>ε}}|≤2EINε‖G‖1{ displaystyle left | { Omega g> varepsilon } right | leq { frac {2A} { varepsilon}} | g | _ {1}}

‖G‖1→0{ displaystyle | g | _ {1} to 0}

und schließe Ωf = 0 fast überall; das ist, limr→0fr(x){ displaystyle lim _ {r bis 0} f_ {r} (x)}

existiert für fast alle x. Es bleibt zu zeigen, dass die Grenze tatsächlich gleich ist f(x). Aber das ist einfach: Es ist bekannt, dass ‖fr– –f‖1→0{ displaystyle | f_ {r} -f | _ {1} bis 0}

(Annäherung der Identität) und somit gibt es eine Teilfolge frk→f{ displaystyle f_ {r_ {k}} to f}

fast überall. Durch die Einzigartigkeit der Grenze, f_r → f fast überall dann.

Diskussion[edit]

Es ist noch unbekannt, welche kleinsten Konstanten C._{p, d} und C._d sind in den oben genannten Ungleichungen. Ein Ergebnis von Elias Stein über sphärische Maximalfunktionen kann jedoch verwendet werden, um zu zeigen, dass für 1 < p C._{p, d} auf die Dimension, das heißt, C._{p, d} = C._p für eine Konstante C._p > 0 nur abhängig von p. Es ist nicht bekannt, ob es eine schwache Grenze gibt, die unabhängig von der Dimension ist.

Es gibt mehrere gängige Varianten des Hardy-Littlewood-Maximaloperators, die die Mittelwerte über zentrierten Bällen durch Mittelwerte über verschiedene Gruppen von Sätzen ersetzen. Zum Beispiel kann man das definieren nicht zentriert HL maximaler Operator (unter Verwendung der Notation von Stein-Shakarchi)

f∗(x)=supx∈B.x1|B.x|∫B.x|f(y)|dy{ displaystyle f ^ {*} (x) = sup _ {x in B_ {x}} { frac {1} {| B_ {x} |}} int _ {B_ {x}} | f (y) | dy}

wo die Bälle B._x müssen lediglich x enthalten, anstatt auf x zentriert zu sein. Es gibt auch die dyadisch HL maximaler Operator

M.Δf(x)=supx∈Q.x1|Q.x|∫Q.x|f(y)|dy{ displaystyle M _ { Delta} f (x) = sup _ {x in Q_ {x}} { frac {1} {| Q_ {x} |}} int _ {Q_ {x}} | f (y) | dy}

wo Q._x erstreckt sich über alle dyadischen Würfel, die den Punkt enthalten x. Beide Operatoren erfüllen die maximale HL-Ungleichung.

Verweise[edit]

• John B. Garnett, Begrenzte analytische Funktionen. Springer-Verlag, 2006
• Antonios D. Melas, Die beste Konstante für die zentrierte maximale Hardy-Littlewood-Ungleichung, Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Reale Analyse. Princeton University Press, 2005
• Elias M. Stein, Maximale Funktionen: sphärische MittelProc. Natl. Acad. Sci. Vereinigte Staaten von Amerika 73 (1976), 2174–2175
• Elias M. Stein, Singuläre Integrale und Differenzierbarkeitseigenschaften von Funktionen. Princeton University Press, 1971
• Gerald Teschl, Themen in der Real- und Funktionsanalyse (Vorlesungsnotizen)