Geometrisches Mittel – Wikipedia
Die n-te Wurzel des Produkts aus n Zahlen
In der Mathematik ist die geometrisches Mittel ist ein Mittelwert oder Durchschnitt, der die zentrale Tendenz oder den typischen Wert einer Menge von Zahlen unter Verwendung des Produkts ihrer Werte angibt (im Gegensatz zum arithmetischen Mittelwert, der ihre Summe verwendet). Das geometrische Mittel ist definiert als nth Wurzel des Produkts von n Zahlen, dh für eine Reihe von Zahlen x1, x2, …, xnist das geometrische Mittel definiert als
- ((∏ich=1nxich)1n=x1x2⋯xnn{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt[{n}]{x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}}}}
![{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt[{n}]{x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026cae6801f672b9858d55935ec7397183dc3a36)
Zum Beispiel ist das geometrische Mittel zweier Zahlen, beispielsweise 2 und 8, nur die Quadratwurzel ihres Produkts, d. H.
2⋅8=4{ displaystyle { sqrt {2 cdot 8}} = 4}. Als weiteres Beispiel ist das geometrische Mittel der drei Zahlen 4, 1 und 1/32 die Kubikwurzel ihres Produkts (1/8), dh 1/2, dh
4⋅1⋅1/.323=1/.2{ displaystyle { sqrt[{3}]{4 cdot 1 cdot 1/32}} = 1/2}
. Das geometrische Mittel gilt nur für positive Zahlen.[3]
![{ displaystyle { sqrt[{3}]{4 cdot 1 cdot 1/32}} = 1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd83c4a9ce55b2c53c47b9b32e0e99cf2b92bd8)
Das geometrische Mittel wird häufig für eine Reihe von Zahlen verwendet, deren Werte miteinander multipliziert werden sollen oder exponentieller Natur sind, z. B. eine Reihe von Wachstumszahlen: Werte der menschlichen Bevölkerung oder Zinssätze einer Finanzinvestition im Zeitverlauf.
Das geometrische Mittel kann als Geometrie verstanden werden. Das geometrische Mittel zweier Zahlen,
und
b{ displaystyle b}
ist die Länge einer Seite eines Quadrats, deren Fläche gleich der Fläche eines Rechtecks mit Längenseiten ist
ein{ displaystyle a}
und
b{ displaystyle b}. Ebenso ist das geometrische Mittel von drei Zahlen,
ein{ displaystyle a},
b{ displaystyle b}, und
c{ displaystyle c}ist die Länge einer Kante eines Würfels, dessen Volumen dem eines Quaders mit Seiten entspricht, deren Länge den drei angegebenen Zahlen entspricht.
Das geometrische Mittel ist zusammen mit dem arithmetischen Mittel und dem harmonischen Mittel eines der drei klassischen pythagoreischen Mittel. Für alle positiven Datensätze, die mindestens ein Paar ungleicher Werte enthalten, ist das harmonische Mittel immer das kleinste der drei Mittel, während das arithmetische Mittel immer das größte der drei ist und das geometrische Mittel immer dazwischen liegt (siehe Ungleichheit der Arithmetik) und geometrische Mittel.)
Berechnung[edit]
Das geometrische Mittel eines Datensatzes
{ein1,ein2,…,einn}}{ textstyle left {a_ {1}, a_ {2}, , ldots, , a_ {n} right }}ist gegeben durch:
- ((∏ich=1neinich)1n=ein1ein2⋯einnn.{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt[{n}]{a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n}}}.}
![{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt[{n}]{a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ce0b254fa59ff1469815211849e01afb2c2639)
Die obige Abbildung verwendet die Großbuchstaben, um eine Reihe von Multiplikationen zu zeigen. Jede Seite des Gleichheitszeichens zeigt, dass eine Reihe von Werten nacheinander multipliziert wird (die Anzahl der Werte wird durch dargestellt “n”), um ein Gesamtprodukt des Satzes zu erhalten, und dann die nDie Wurzel des Gesamtprodukts ergibt den geometrischen Mittelwert des ursprünglichen Satzes. Zum Beispiel in einem Satz von vier Zahlen
{1,2,3,4}}{ textstyle {1,2,3,4 }}, das Produkt von
1×2×3×4{ textstyle 1 times 2 times 3 times 4}
ist
24{ textstyle 24}
und das geometrische Mittel ist die vierte Wurzel von 24 oder ~ 2,213. Der Exponent
1n{ textstyle { frac {1} {n}}}
auf der linken Seite entspricht der Aufnahme nWurzel. Zum Beispiel,
2414=244{ textstyle 24 ^ { frac {1} {4}} = { sqrt[{4}]{24}}}
.
![{ textstyle 24 ^ { frac {1} {4}} = { sqrt[{4}]{24}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf902fd3a756ded31adb6422871b0f871873ab3)
Das geometrische Mittel eines Datensatzes ist kleiner als das arithmetische Mittel des Datensatzes, es sei denn, alle Mitglieder des Datensatzes sind gleich. In diesem Fall sind das geometrische und das arithmetische Mittel gleich. Dies ermöglicht die Definition des arithmetisch-geometrischen Mittels, eines Schnittpunkts der beiden, der immer dazwischen liegt.
Das geometrische Mittel ist auch das arithmetisch-harmonisches Mittel in dem Sinne, dass wenn zwei Sequenzen (
einn{ textstyle a_ {n}}) und (
hn{ textstyle h_ {n}}
) sind festgelegt:
- einn+1=einn+hn2,ein0=x{ displaystyle a_ {n + 1} = { frac {a_ {n} + h_ {n}} {2}}, quad a_ {0} = x}
und
- hn+1=21einn+1hn,h0=y{ displaystyle h_ {n + 1} = { frac {2} {{ frac {1} {a_ {n}}} + { frac {1} {h_ {n}}}}, quad h_ {0} = y}
wo
hn+1{ textstyle h_ {n + 1}}ist also das harmonische Mittel der vorherigen Werte der beiden Sequenzen
einn{ textstyle a_ {n}}
und
hn{ textstyle h_ {n}}konvergiert gegen das geometrische Mittel von
x{ textstyle x}und
y{ textstyle y}
.
Dies lässt sich leicht daran erkennen, dass die Sequenzen gegen eine gemeinsame Grenze konvergieren (was durch den Satz von Bozen-Weierstrass gezeigt werden kann) und dass das geometrische Mittel erhalten bleibt:
- einichhich=einich+hicheinich+hichhicheinich=einich+hich1einich+1hich=einich+1hich+1{ displaystyle { sqrt {a_ {i} h_ {i}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} { frac {a_ {i} + h_ {i}} { h_ {i} a_ {i}}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} {{ frac {1} {a_ {i}}} + { frac {1 } {h_ {i}}}}} = { sqrt {a_ {i + 1} h_ {i + 1}}}
Das Ersetzen des arithmetischen und harmonischen Mittels durch ein Paar verallgemeinerter Mittelwerte entgegengesetzter, endlicher Exponenten ergibt das gleiche Ergebnis.
Beziehung zu Logarithmen[edit]
Das geometrische Mittel kann auch als Exponential des arithmetischen Mittels der Logarithmen ausgedrückt werden.[4] Durch Verwendung logarithmischer Identitäten zur Transformation der Formel können die Multiplikationen als Summe und die Potenz als Multiplikation ausgedrückt werden:
Wann
ein1,ein2,…,einn>0{ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}> 0}((∏ich=1neinich)1n=exp[1n∑i=1nlnai];;{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = exp left[{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln a_{i}right];}
![{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = exp left[{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln a_{i}right];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebc299146b954703f19c2b6d77dec555813fac7)
zusätzlich, wenn negative Werte der
einich{ displaystyle a_ {i}}sind erlaubt,
- ((∏ich=1neinich)1n=((((– –1)m)1nexp[1n∑i=1nln|ai|],{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = left ( left (-1 right) ^ { m} right) ^ { frac {1} {n}} exp left[{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln left|a_{i}right|right],}
![{ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = left ( left (-1 right) ^ { m} right) ^ { frac {1} {n}} exp left[{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln left|a_{i}right|right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598e2e9ba9f34556b6e603997e98453114daa329)
wo m ist die Anzahl der negativen Zahlen.
Dies wird manchmal als bezeichnet logarithmischer Durchschnitt (Nicht zu verwechseln mit dem logarithmischen Durchschnitt). Es wird einfach das arithmetische Mittel der logarithmisch transformierten Werte von berechnet
einich{ displaystyle a_ {i}}(dh das arithmetische Mittel auf der logarithmischen Skala) und dann unter Verwendung der Exponentiation, um die Berechnung auf die ursprüngliche Skala zurückzusetzen, dh es ist das verallgemeinerte f-Mittel mit
f((x)=Logx{ displaystyle f (x) = log x}. Zum Beispiel kann das geometrische Mittel von 2 und 8 wie folgt berechnet werden, wobei
b{ displaystyle b}
ist eine beliebige Basis eines Logarithmus (üblicherweise 2,
e{ displaystyle e}oder 10):
- b12[logb(2)+logb(8)]=4{ displaystyle b ^ {{ frac {1} {2}} left[log _{b}(2)+log _{b}(8)right]} = 4}
![{ displaystyle b ^ {{ frac {1} {2}} left[log _{b}(2)+log _{b}(8)right]} = 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464b46540b9c48ef7d26669a6b08b330425a017f)
In Bezug auf das Obige ist ersichtlich, dass für eine gegebene Stichprobe von Punkten
ein1,…,einn{ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}ist das geometrische Mittel der Minimierer von
f((ein)=∑ich=1n((Log((einich)– –Log((ein))2{ displaystyle f (a) = sum _ {i = 1} ^ {n} ( log (a_ {i}) – log (a)) ^ {2}}
, während das arithmetische Mittel der Minimierer von ist
f((ein)=∑ich=1n((einich– –ein)2{ displaystyle f (a) = sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -a) ^ {2}}
. Somit liefert das geometrische Mittel eine Zusammenfassung der Abtastwerte, deren Exponent am besten mit den Exponenten der Abtastwerte übereinstimmt (im Sinne der kleinsten Quadrate).
Die Protokollform des geometrischen Mittels ist im Allgemeinen die bevorzugte Alternative für die Implementierung in Computersprachen, da die Berechnung des Produkts vieler Zahlen zu einem arithmetischen Überlauf oder einem arithmetischen Unterlauf führen kann. Es ist weniger wahrscheinlich, dass dies bei der Summe der Logarithmen für jede Zahl auftritt.
Vergleich zum arithmetischen Mittel[edit]
Das geometrische Mittel eines nicht leeren Datensatzes von (positiven) Zahlen ist immer höchstens ihr arithmetisches Mittel. Gleichheit wird nur erreicht, wenn alle Zahlen im Datensatz gleich sind; Andernfalls ist das geometrische Mittel kleiner. Zum Beispiel ist das geometrische Mittel von 242 und 288 gleich 264, während ihr arithmetisches Mittel 265 ist. Dies bedeutet insbesondere, dass, wenn eine Menge nicht identischer Zahlen einer mittleren bewahrenden Streuung unterzogen wird – das heißt, die Elemente von gesetzt sind “auseinander” mehr voneinander entfernt, während das arithmetische Mittel unverändert bleibt – ihr geometrisches Mittel nimmt ab.[6]
Durchschnittliche Wachstumsrate[edit]
In vielen Fällen ist das geometrische Mittel das beste Maß, um die durchschnittliche Wachstumsrate einer bestimmten Menge zu bestimmen. (Wenn beispielsweise der Umsatz in einem Jahr um 80% und im nächsten Jahr um 25% steigt, entspricht das Endergebnis dem einer konstanten Wachstumsrate von 50%, da das geometrische Mittel von 1,80 und 1,25 1,50 beträgt.) Um die durchschnittliche Wachstumsrate zu bestimmen, ist es nicht erforderlich, bei jedem Schritt das Produkt der gemessenen Wachstumsraten zu nehmen. Die Menge sei als Reihenfolge angegeben
ein0,ein1,...,einn{ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, …, a_ {n}}, wo
n{ displaystyle n}
ist die Anzahl der Schritte vom Anfangs- bis zum Endzustand. Die Wachstumsrate zwischen aufeinanderfolgenden Messungen
eink{ displaystyle a_ {k}}
und
eink+1{ displaystyle a_ {k + 1}}
ist
eink+1/.eink{ displaystyle a_ {k + 1} / a_ {k}}
. Das geometrische Mittel dieser Wachstumsraten ist dann nur:
- ((ein1ein0ein2ein1⋯einneinn– –1)1n=((einnein0)1n.{ displaystyle left ({ frac {a_ {1}} {a_ {0}}} { frac {a_ {2}} {a_ {1}}} cdots { frac {a_ {n}} { a_ {n-1}}} rechts) ^ { frac {1} {n}} = links ({ frac {a_ {n}} {a_ {0}}} rechts) ^ { frac { 1} {n}}.}
Anwendung auf normalisierte Werte[edit]
Die grundlegende Eigenschaft des geometrischen Mittelwerts, die für keinen anderen Mittelwert gilt, ist die für zwei Sequenzen
X.{ displaystyle X}und
Y.{ displaystyle Y}
gleicher Länge,
- GM((X.ichY.ich)=GM((X.ich)GM((Y.ich){ displaystyle operatorname {GM} left ({ frac {X_ {i}} {Y_ {i}}} right) = { frac { operatorname {GM} (X_ {i})} { operatorname {GM} (Y_ {i})}}}
Dies macht den geometrischen Mittelwert zum einzig richtigen Mittelwert bei der Mittelwertbildung normalisiert Ergebnisse; das heißt, Ergebnisse, die als Verhältnisse zu Referenzwerten dargestellt werden.[7] Dies ist der Fall, wenn die Computerleistung in Bezug auf einen Referenzcomputer dargestellt wird oder wenn ein einzelner Durchschnittsindex aus mehreren heterogenen Quellen berechnet wird (z. B. Lebenserwartung, Bildungsjahre und Kindersterblichkeit). In diesem Szenario würde die Verwendung des arithmetischen oder harmonischen Mittels die Rangfolge der Ergebnisse abhängig davon ändern, was als Referenz verwendet wird. Nehmen Sie zum Beispiel den folgenden Vergleich der Ausführungszeit von Computerprogrammen:
| Computer A. | Computer B. | Computer C. | |
|---|---|---|---|
| Programm 1 | 1 | 10 | 20 |
| Programm 2 | 1000 | 100 | 20 |
| Arithmetisches Mittel | 500,5 | 55 | 20 |
| Geometrisches Mittel | 31.622. . . | 31.622. . . | 20 |
| Harmonische Mittel | 1,998. . . | 18.182. . . | 20 |
Die arithmetischen und geometrischen Mittel “zustimmen” dieser Computer C ist der schnellste. Durch Darstellung entsprechend normalisierter Werte und Mit dem arithmetischen Mittel können wir zeigen, dass jeder der beiden anderen Computer der schnellste ist. Die Normalisierung durch das Ergebnis von A ergibt A als den schnellsten Computer gemäß dem arithmetischen Mittel:
| Computer A. | Computer B. | Computer C. | |
|---|---|---|---|
| Programm 1 | 1 | 10 | 20 |
| Programm 2 | 1 | 0,1 | 0,02 |
| Arithmetisches Mittel | 1 | 5.05 | 10.01 |
| Geometrisches Mittel | 1 | 1 | 0,632. . . |
| Harmonische Mittel | 1 | 0,198. . . | 0,039. . . |
Während die Normalisierung durch das Ergebnis von B ergibt, dass B der schnellste Computer nach dem arithmetischen Mittel ist, A jedoch der schnellste nach dem harmonischen Mittelwert:
| Computer A. | Computer B. | Computer C. | |
|---|---|---|---|
| Programm 1 | 0,1 | 1 | 2 |
| Programm 2 | 10 | 1 | 0,2 |
| Arithmetisches Mittel | 5.05 | 1 | 1.1 |
| Geometrisches Mittel | 1 | 1 | 0,632 |
| Harmonische Mittel | 0,198. . . | 1 | 0,363. . . |
und die Normalisierung durch das Ergebnis von C ergibt C als den schnellsten Computer gemäß dem arithmetischen Mittel, aber A als den schnellsten gemäß dem harmonischen Mittelwert:
| Computer A. | Computer B. | Computer C. | |
|---|---|---|---|
| Programm 1 | 0,05 | 0,5 | 1 |
| Programm 2 | 50 | 5 | 1 |
| Arithmetisches Mittel | 25.025 | 2,75 | 1 |
| Geometrisches Mittel | 1,581. . . | 1,581. . . | 1 |
| Harmonische Mittel | 0,099. . . | 0,909. . . | 1 |
In allen Fällen bleibt die durch das geometrische Mittel gegebene Rangfolge dieselbe wie die mit nicht normalisierten Werten erhaltene.
Diese Argumentation wurde jedoch in Frage gestellt.[8]
Konsistente Ergebnisse zu erzielen ist nicht immer gleichbedeutend mit korrekten Ergebnissen. Im Allgemeinen ist es strenger, jedem Programm Gewichte zuzuweisen, die durchschnittliche gewichtete Ausführungszeit (unter Verwendung des arithmetischen Mittels) zu berechnen und dieses Ergebnis dann auf einen der Computer zu normalisieren. Die drei obigen Tabellen geben jedem Programm nur ein unterschiedliches Gewicht, was die inkonsistenten Ergebnisse der arithmetischen und harmonischen Mittel erklärt (die erste Tabelle gibt beiden Programmen das gleiche Gewicht, die zweite dem zweiten Programm ein Gewicht von 1/1000). und das dritte gibt dem zweiten Programm ein Gewicht von 1/100 und dem ersten 1/10). Die Verwendung des geometrischen Mittelwerts zum Aggregieren von Leistungszahlen sollte nach Möglichkeit vermieden werden, da das Multiplizieren von Ausführungszeiten im Gegensatz zum Addieren von Zeiten wie im arithmetischen Mittel keine physikalische Bedeutung hat. Metriken, die umgekehrt proportional zur Zeit sind (Beschleunigung, IPC), sollten unter Verwendung des harmonischen Mittelwerts gemittelt werden.
Das geometrische Mittel kann aus dem verallgemeinerten Mittelwert als seine Grenze als abgeleitet werden
p{ displaystyle p}geht auf Null. Ebenso ist dies für das gewichtete geometrische Mittel möglich.
Geometrisches Mittel einer stetigen Funktion[edit]
Wenn f: [a,b] → (0, ∞) ist eine stetige reelle Funktion, die im geschlossenen Intervall definiert ist [a,b] und wenn nur positive Werte genommen werden, kann sein geometrisches Mittel über dieses Intervall als die Zahl exp (1 / (ba)) berechnet werden, die über das Intervall auf die Potenz angehoben wird, die dem Integral der Funktion ln (f (x)) entspricht [a,b]. Dies zeigt zum Beispiel, dass das geometrische Mittel der positiven Zahlen zwischen 0 und 1 gleich 1 / e ist.
Anwendungen[edit]
Proportionales Wachstum[edit]
Das geometrische Mittel ist geeigneter als das arithmetische Mittel zur Beschreibung des proportionalen Wachstums, sowohl des exponentiellen Wachstums (konstantes proportionales Wachstum) als auch des variierenden Wachstums; In der Wirtschaft wird das geometrische Mittel der Wachstumsraten als Compound Annual Growth Rate (CAGR) bezeichnet. Das geometrische Mittel des Wachstums über Perioden ergibt die äquivalente konstante Wachstumsrate, die die gleiche Endmenge ergeben würde.
Angenommen, ein Orangenbaum bringt 100 Orangen pro Jahr und dann 180, 210 und 300 in den folgenden Jahren hervor, sodass das Wachstum für jedes Jahr 80%, 16,6666% bzw. 42,8571% beträgt. Unter Verwendung des arithmetischen Mittels wird ein (lineares) durchschnittliches Wachstum von 46,5079% berechnet (80% + 16,66666% + 42,8571%, diese Summe wird dann durch 3 geteilt). Wenn wir jedoch mit 100 Orangen beginnen und sie jedes Jahr um 46,5079% wachsen lassen, ergibt sich ein Ergebnis von 314 Orangen, nicht von 300, also der lineare Durchschnitt Über– gibt das Wachstum gegenüber dem Vorjahr an.
Stattdessen können wir das geometrische Mittel verwenden. Das Wachstum mit 80% entspricht der Multiplikation mit 1,80, daher nehmen wir das geometrische Mittel von 1,80, 1,166666 und 1,428571, d. H.
1,80×1,166666×1,4285713≈1,442249{ displaystyle { sqrt[{3}]{1,80 mal 1,166666 mal 1,428571}} ca. 1,442249};; Und so kam es dass der “durchschnittlich” Das Wachstum pro Jahr beträgt 44,2249%. Wenn wir mit 100 Orangen beginnen und die Zahl jedes Jahr um 44,2249% wachsen lassen, ergibt sich ein Ergebnis von 300 Orangen.
![{ displaystyle { sqrt[{3}]{1,80 mal 1,166666 mal 1,428571}} ca. 1,442249}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da9a200d95bde041252664366636b41eb7fb036)
Finanziell[edit]
Das geometrische Mittel wurde von Zeit zu Zeit zur Berechnung von Finanzindizes verwendet (die Mittelung erfolgt über die Komponenten des Index). In der Vergangenheit verwendete der FT 30-Index beispielsweise ein geometrisches Mittel.[9] Es wird auch in der kürzlich eingeführten verwendet “RPIJ” Inflationsmaß im Vereinigten Königreich und in der Europäischen Union.
Dies hat zur Folge, dass Bewegungen im Index im Vergleich zur Verwendung des arithmetischen Mittels unterschätzt werden.[9]
Anwendungen in den Sozialwissenschaften[edit]
Obwohl das geometrische Mittel bei der Berechnung von Sozialstatistiken relativ selten war, wechselte der Human Development Index der Vereinten Nationen ab 2010 zu dieser Berechnungsmethode, da es den nicht ersetzbaren Charakter der Statistiken, die erstellt und verglichen werden, besser widerspiegelte:
- Das geometrische Mittel verringert den Grad der Substituierbarkeit zwischen den Dimensionen [being compared] und stellt gleichzeitig sicher, dass ein Rückgang der Lebenserwartung bei der Geburt um 1 Prozent die gleichen Auswirkungen auf den HDI hat wie ein Rückgang der Bildung oder des Einkommens um 1 Prozent. Als Grundlage für Leistungsvergleiche berücksichtigt diese Methode daher auch die intrinsischen Unterschiede zwischen den Dimensionen stärker als ein einfacher Durchschnitt.[10]
Nicht alle zur Berechnung des HDI (Human Development Index) verwendeten Werte sind normalisiert. Einige von ihnen haben stattdessen die Form
((X.– –X.Mindest)/.((X.Norm– –X.Mindest){ displaystyle left (X-X _ { text {min}} right) / left (X _ { text {norm}} – X _ { text {min}} right)}. Dies macht die Wahl des geometrischen Mittels weniger offensichtlich, als man es von der erwarten würde “Eigenschaften” Abschnitt oben.
Das gleichmäßig verteilte Wohlfahrtsäquivalenteinkommen, das mit einem Atkinson-Index mit einem Ungleichheitsaversionsparameter von 1,0 verbunden ist, ist einfach das geometrische Mittel der Einkommen. Für andere Werte als eins ist der äquivalente Wert eine Lp-Norm geteilt durch die Anzahl der Elemente, wobei p gleich eins minus dem Ungleichheitsaversionsparameter ist.
Geometrie[edit]
((p+q)2=r2+s2p2+2pq+q2=p2+h2⏞+h2+q2⏞2pq=2h2∴h=pq{ displaystyle { begin {align} (p + q) ^ {2} ; ; & = quad r ^ {2} ; ; , + quad s ^ {2} \ p ^ { 2} ! ! + ! 2pq ! + ! Q ^ {2} & = overbrace {p ^ {2} ! ! + ! H ^ {2}} + overbrace {h ^ { 2} ! ! + ! Q ^ {2}} \ 2pq quad ; ; ; & = 2h ^ {2} ; also h ! = ! { Sqrt {pq}} \ end {align}}}
Im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks ist seine Höhe die Länge einer Linie, die sich senkrecht von der Hypotenuse zu ihrem 90 ° -Scheitelpunkt erstreckt. Wenn man sich vorstellt, dass diese Linie die Hypotenuse in zwei Segmente aufteilt, ist das geometrische Mittel dieser Segmentlängen die Länge der Höhe. Diese Eigenschaft ist als geometrischer Mittelwertsatz bekannt.
In einer Ellipse ist die semi-minor-Achse das geometrische Mittel der maximalen und minimalen Abstände der Ellipse von einem Fokus; es ist auch das geometrische Mittel der Semi-Major-Achse und des Semi-Latus-Rektums. Die Semi-Major-Achse einer Ellipse ist das geometrische Mittel der Entfernung vom Zentrum zu einem der beiden Fokusse und der Entfernung vom Zentrum zu einer der beiden Geraden.
Die Entfernung zum Horizont einer Kugel entspricht ungefähr dem geometrischen Mittel der Entfernung zum nächstgelegenen Punkt der Kugel und der Entfernung zum entferntesten Punkt der Kugel, wenn die Entfernung zum nächstgelegenen Punkt der Kugel gering ist.
Sowohl in der Näherung der Quadratur des Kreises nach SA Ramanujan (1914) als auch beim Bau des Heptadecagon nach “gesendet von TP Stowell, gutgeschrieben an Leybourns Math. Aufbewahrungsort, 1818”wird das geometrische Mittel verwendet.
Seitenverhältnisse[edit]
Das geometrische Mittel wurde bei der Auswahl eines Kompromiss-Seitenverhältnisses in Film und Video verwendet: Bei zwei Seitenverhältnissen bietet das geometrische Mittel einen Kompromiss zwischen ihnen, wobei beide in gewissem Sinne gleichermaßen verzerrt oder beschnitten werden. Konkret schneiden sich zwei flächengleiche Rechtecke (mit derselben Mitte und parallelen Seiten) mit unterschiedlichen Seitenverhältnissen in einem Rechteck, dessen Seitenverhältnis das geometrische Mittel ist, und ihr Rumpf (kleinstes Rechteck, das beide enthält) hat ebenfalls das Seitenverhältnis von ihnen geometrisches Mittel.
Bei der Wahl des Seitenverhältnisses 16: 9 durch das SMPTE, das 2,35 und 4: 3 ausgleicht, ist das geometrische Mittel
2.35×43≈1,7701{ textstyle { sqrt {2.35 times { frac {4} {3}}} ca. 1.7701}, und somit
16::9=1,777¯{ textstyle 16: 9 = 1.77 { overline {7}}}
… wurde gewählt. Dies wurde empirisch von Kerns Powers entdeckt, der Rechtecke mit gleichen Flächen ausschnitt und sie so formte, dass sie zu jedem der gängigen Seitenverhältnisse passten. Bei Überlappung mit ausgerichteten Mittelpunkten stellte er fest, dass alle diese Rechtecke mit Seitenverhältnis in ein äußeres Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 1,77: 1 passen und alle auch ein kleineres gemeinsames inneres Rechteck mit demselben Seitenverhältnis von 1,77: 1 bedeckten.[11] Der von Powers gefundene Wert ist genau das geometrische Mittel der extremen Seitenverhältnisse, 4: 3 (1,33: 1) und CinemaScope (2.35: 1), was zufällig nahe ist
16::9{ textstyle 16: 9}
((
1,777¯::1{ textstyle 1.77 { overline {7}}: 1}
). Die Zwischenverhältnisse haben keinen Einfluss auf das Ergebnis, nur die beiden Extremverhältnisse.
Die Anwendung der gleichen geometrischen Mittelwerttechnik auf 16: 9 und 4: 3 ergibt ungefähr 14: 9 (
1,555¯{ textstyle 1.55 { overline {5}}}…) Seitenverhältnis, das ebenfalls als Kompromiss zwischen diesen Verhältnissen verwendet wird.[12] In diesem Fall ist 14: 9 genau das arithmetisches Mittel von
16::9{ textstyle 16: 9}
und
4::3=12::9{ textstyle 4: 3 = 12: 9}, da 14 der Durchschnitt von 16 und 12 ist, während die genaue geometrisches Mittelist
169×43≈1,5396≈13.8::9,{ textstyle { sqrt {{ frac {16} {9}} times { frac {4} {3}}} ca. 1,5396 ca. 13,8: 9,}
aber die beiden verschieden meint arithmetisch und geometrisch sind ungefähr gleich, da beide Zahlen ausreichend nahe beieinander liegen (eine Differenz von weniger als 2%).
Spektrale Ebenheit[edit]
Bei der Signalverarbeitung wird die spektrale Ebenheit, ein Maß dafür, wie flach oder stachelig ein Spektrum ist, als das Verhältnis des geometrischen Mittels des Leistungsspektrums zu seinem arithmetischen Mittel definiert.
Antireflexbeschichtungen[edit]
In optischen Beschichtungen, bei denen die Reflexion zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes minimiert werden muss n0 und n2, der optimale Brechungsindex n1 der Antireflexbeschichtung ergibt sich aus dem geometrischen Mittel:
n1=n0n2{ displaystyle n_ {1} = { sqrt {n_ {0} n_ {2}}}.
Subtraktive Farbmischung[edit]
Die spektrale Reflexionskurve für Farbmischungen (gleiche Farbstärke, Opazität und Verdünnung) ist ungefähr das geometrische Mittel der einzelnen Reflexionskurven der Farben, die bei jeder Wellenlänge ihrer Spektren berechnet wurden.[13]
Bildverarbeitung[edit]
Der geometrische Mittelwertfilter wird als Rauschfilter bei der Bildverarbeitung verwendet.
Siehe auch[edit]
Notizen und Referenzen[edit]
- ^ Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu und Stacey Luong “Über Kompass- und Linealkonstruktionen: Mittel” (PDF). UNIVERSITÄT WASHINGTON, ABTEILUNG FÜR MATHEMATIK. 2013. Abgerufen 14. Juni 2018.
- ^ “Euklid, Buch VI, Satz 13”. David E. Joyce, Clark Universität. 2013. Abgerufen 19. Juli 2019.
- ^ Das geometrische Mittel gilt nur für Zahlen mit demselben Vorzeichen, um zu vermeiden, dass die Wurzel eines negativen Produkts gezogen wird, was zu imaginären Zahlen führen würde, und um bestimmte Eigenschaften der Mittelwerte zu erfüllen, die später in diesem Artikel erläutert werden. Die Definition ist eindeutig, wenn man 0 zulässt (was ein geometrisches Mittel von 0 ergibt), kann aber ausgeschlossen werden, da man häufig den Logarithmus von geometrischen Mitteln nehmen möchte (um zwischen Multiplikation und Addition umzurechnen) und man den Logarithmus von nicht nehmen kann 0.
- ^ Crawley, Michael J. (2005). Statistik: Eine Einführung mit R.. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.
- ^ Wenn AC = ein und BC = b. OC = AM von einund bund Radius r= QO = OG.
Unter Verwendung des Satzes von Pythagoras ist QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Nach dem Satz von Pythagoras ist OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² – OG² = GM.
Mit ähnlichen Dreiecken HC/.GC = GC/.OK ∴ HC = GC²/.OK = HM. - ^ Mitchell, Douglas W. (2004). “Mehr zu Spreads und nicht arithmetischen Mitteln”. Das mathematische Blatt. 88: 142–144. doi:10.1017 / S0025557200174534.
- ^ Fleming, Philip J.; Wallace, John J. (1986). “Wie man nicht mit Statistiken lügt: Die richtige Art, Benchmark-Ergebnisse zusammenzufassen”. Mitteilungen der ACM. 29 (3): 218–221. doi:10.1145 / 5666.5673. S2CID 1047380.
- ^ Smith, James E. (1988). “Charakterisierung der Computerleistung mit einer einzigen Nummer”. Mitteilungen der ACM. 31 (10): 1202–1206. doi:10.1145 / 63039.63043. S2CID 10805363.
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