Gaußsche Funktion – Wikipedia

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In der Mathematik a Gaußsche Funktion, oft einfach als bezeichnet Gaußschist eine Funktion der Form

f(x)=ein⋅exp⁡(– –(x– –b)22c2){ displaystyle f (x) = a cdot exp { left (- { frac {(xb) ^ {2}} {2c ^ {2}}} right)}}

für beliebige reelle Konstanten ein, b und nicht Null c. Es ist nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauss benannt. Der Graph eines Gaußschen ist eine charakteristische symmetrische “Glockenkurven” -Form. Der Parameter ein ist die Höhe des Kurvenpeaks, b ist die Position der Mitte des Peaks und c (Die Standardabweichung, manchmal auch als Gaußsche RMS-Breite bezeichnet) steuert die Breite der “Glocke”.

Gaußsche Funktionen werden häufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem erwarteten Wert darzustellen μ = b und Varianz σ2 = c2. In diesem Fall hat der Gaußsche die Form:

G(x)=1σ2πexp⁡(– –12(x– –μ)2σ2).{ displaystyle g (x) = { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}} exp { left (- { frac {1} {2}} { frac {( x- mu) ^ {2}} { sigma ^ {2}}} right)}.}

[1]

Gaußsche Funktionen werden häufig in Statistiken verwendet, um die Normalverteilungen zu beschreiben, in der Signalverarbeitung, um Gaußsche Filter zu definieren, in der Bildverarbeitung, in der zweidimensionale Gaußsche für Gaußsche Unschärfen verwendet werden, und in der Mathematik, um Wärmegleichungen und Diffusionsgleichungen zu lösen und die Weierstraße zu definieren verwandeln.

Eigenschaften[edit]

Gaußsche Funktionen entstehen durch Zusammensetzen der Exponentialfunktion mit einer konkaven quadratischen Funktion:

f(x)=exp⁡(αx2+βx+γ){ displaystyle f (x) = exp { left ( alpha x ^ {2} + beta x + gamma right)}}

wo:

α=– –0,5/.c2{ displaystyle alpha = -0,5 / c ^ {2}}

β=b/.c2{ displaystyle beta = b / c ^ {2}}

γ=0,5(Log⁡(ein)– –b2)/.c2{ displaystyle gamma = 0,5 ( log (a) -b ^ {2}) / c ^ {2}}

Die Gaußschen Funktionen sind somit jene Funktionen, deren Logarithmus eine konkave quadratische Funktion ist.

Der Parameter c bezieht sich auf die volle Breite bei halbem Maximum (FWHM) des Peaks gemäß

F.W.H.M.=22ln⁡2 c≈2,35482c.{ displaystyle mathrm {FWHM} = 2 { sqrt {2 ln 2}} c ca. 2.35482c.}

Die Funktion kann dann in Form der FWHM ausgedrückt werden, dargestellt durch w::

f(x)=eine– –4(ln⁡2)(x– –b)2/.w2{ displaystyle f (x) = ae ^ {- 4 ( ln 2) (xb) ^ {2} / w ^ {2}}}

Alternativ der Parameter c kann interpretiert werden, indem gesagt wird, dass die beiden Wendepunkte der Funktion bei auftreten x = b – – c und x = b + c.

Das volle Breite am Zehntel des Maximums (FWTM) für einen Gaußschen könnte von Interesse sein und ist

F.W.T.M.=22ln⁡10 c≈4.29193c.{ displaystyle mathrm {FWTM} = 2 { sqrt {2 ln 10}} c ca. 4.29193c.}

Gaußsche Funktionen sind analytisch und ihre Grenze als x → ∞ ist 0 (für den obigen Fall von b = 0).

Gaußsche Funktionen gehören zu den Funktionen, die elementar sind, denen jedoch elementare Antiderivative fehlen. Das Integral der Gaußschen Funktion ist die Fehlerfunktion. Trotzdem können ihre unpassenden Integrale über die gesamte reale Linie unter Verwendung des Gaußschen Integrals genau ausgewertet werden

∫– –∞∞e– –x2dx=π{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}}

und man erhält

∫– –∞∞eine– –(x– –b)2/.(2c2)dx=einc⋅2π.{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} / (2c ^ {2})} , dx = ac cdot { sqrt {2 pi }}.}

Dieses Integral ist genau dann 1

ein=1c2π{ displaystyle a = { tfrac {1} {c { sqrt {2 pi}}}}

(die Normalisierungskonstante), und in diesem Fall ist der Gaußsche Wert die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem erwarteten Wert μ = b und Varianz σ2 = c2::

G(x)=1σ2πexp(– –(x– –μ)22σ2).{ displaystyle g (x) = { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}} exp left ({ frac {- (x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right).}

Diese Gaußschen sind in der beigefügten Abbildung dargestellt.

Normalisierte Gaußsche Kurven mit erwartetem Wert μ und Varianz σ2. Die entsprechenden Parameter sind ein=1σ2π{ displaystyle a = { tfrac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}}

, b = μ und c = σ.

Bei Null zentrierte Gaußsche Funktionen minimieren das Fourier-Unsicherheitsprinzip.

Das Produkt zweier Gaußscher Funktionen ist ein Gaußscher, und die Faltung zweier Gaußscher Funktionen ist ebenfalls ein Gaußscher, wobei die Varianz die Summe der ursprünglichen Varianzen ist:

c2=c12+c22{ displaystyle c ^ {2} = c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2}}

. Das Produkt zweier Gaußscher Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (PDFs) ist jedoch im Allgemeinen kein Gaußsches PDF.

Nehmen der Fourier-Transformation (einheitliche Winkelfrequenzkonvention) einer Gaußschen Funktion mit Parametern ein = 1, b = 0 und c ergibt eine weitere Gaußsche Funktion mit Parametern

c{ displaystyle c}

, b = 0 und

1c{ displaystyle { frac {1} {c}}}

.[2] So funktioniert insbesondere der Gaußsche mit b = 0 und

c=1{ displaystyle c = 1}

werden durch die Fourier-Transformation festgehalten (sie sind Eigenfunktionen der Fourier-Transformation mit Eigenwert 1). Eine physikalische Realisierung ist die des Beugungsmusters: Beispielsweise ist ein fotografischer Objektträger, dessen Durchlässigkeit eine Gaußsche Variation aufweist, auch eine Gaußsche Funktion.

Die Tatsache, dass die Gaußsche Funktion eine Eigenfunktion der kontinuierlichen Fourier-Transformation ist, ermöglicht es uns, das Folgende Interessante abzuleiten[clarification needed] Identität aus der Poisson-Summationsformel:

∑k∈Z.exp⁡(– –π⋅(kc)2)=c⋅∑k∈Z.exp⁡(– –π⋅(kc)2).{ displaystyle sum _ {k in mathbb {Z}} exp left (- pi cdot left ({ frac {k} {c}} right) ^ {2} right) = c cdot sum _ {k in mathbb {Z}} exp (- pi cdot (kc) ^ {2}).}

Integral einer Gaußschen Funktion[edit]

Das Integral einer beliebigen Gaußschen Funktion ist

∫– –∞∞eine– –(x– –b)2/.2c2dx=2ein|c|π{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} a , e ^ {- left (xb right) ^ {2} / 2c ^ {2}} , dx = { sqrt {2 }} a , left vert c right vert , { sqrt { pi}}}

Eine alternative Form ist

∫– –∞∞ke– –fx2+Gx+hdx=∫– –∞∞ke– –f(x– –G/.(2f))2+G2/.(4f)+hdx=kπfexp⁡(G24f+h){ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} k , e ^ {- fx ^ {2} + gx + h} , dx = int _ {- infty} ^ { infty} k , e ^ {- f left (xg / (2f) right) ^ {2} + g ^ {2} / (4f) + h} , dx = k , { sqrt { frac { pi} {f}}} , exp left ({ frac {g ^ {2}} {4f}} + h right)}

wo f muss streng positiv sein, damit das Integral konvergiert.

Beziehung zum Standard-Gaußschen Integral[edit]

Das Integral

∫– –∞∞eine– –(x– –b)2/.2c2dx{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} / 2c ^ {2}} , dx}

Für einige reelle Konstanten können a, b, c> 0 berechnet werden, indem sie in die Form eines Gaußschen Integrals gebracht werden. Erstens die Konstante ein kann einfach aus dem Integral herausgerechnet werden. Als nächstes wird die Integrationsvariable von geändert x zu y = x – – b.

ein∫– –∞∞e– –y2/.2c2dy{ displaystyle a int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- y ^ {2} / 2c ^ {2}} , dy}

und dann zu

z=y/.2c2{ displaystyle z = y / { sqrt {2c ^ {2}}}}

ein2c2∫– –∞∞e– –z2dz{ displaystyle a { sqrt {2c ^ {2}}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- z ^ {2}} , dz}

Dann unter Verwendung der Gaußschen Integralidentität

∫– –∞∞e– –z2dz=π{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- z ^ {2}} , dz = { sqrt { pi}}}

wir haben

∫– –∞∞eine– –(x– –b)2/.2c2dx=ein2πc2{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} / 2c ^ {2}} , dx = a { sqrt {2 pi c ^ {2 }}}}

Zweidimensionale Gaußsche Funktion[edit]

3D-Darstellung einer Gaußschen Funktion mit einer zweidimensionalen Domäne.

In zwei Dimensionen die Kraft, zu der e wird in der Gaußschen Funktion jede negativ-definierte quadratische Form angehoben. Folglich sind die Pegelsätze des Gaußschen immer Ellipsen.

Ein besonderes Beispiel für eine zweidimensionale Gaußsche Funktion ist

f(x,y)=EINexp⁡(– –((x– –xÖ)22σX.2+(y– –yÖ)22σY.2)).{ displaystyle f (x, y) = A exp left (- left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2 sigma _ {X} ^ {2}} } + { frac {(y-y_ {o}) ^ {2}} {2 sigma _ {Y} ^ {2}}} right) right).}

Hier der Koeffizient EIN ist die Amplitude, xÖyÖ ist das Zentrum und σx, σy sind die x und y Spreads des Blobs. Die Abbildung rechts wurde mit erstellt EIN = 1, xÖ = 0, yÖ = 0, σx = σy = 1.

Das Volumen unter der Gaußschen Funktion ist gegeben durch

V.=∫– –∞∞∫– –∞∞f(x,y)dxdy=2πEINσX.σY..{ displaystyle V = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} f (x, y) , dx , dy = 2 pi A sigma _ {X} sigma _ {Y}.}

Im Allgemeinen wird eine zweidimensionale elliptische Gaußsche Funktion ausgedrückt als

f(x,y)=EINexp⁡(– –(ein(x– –xÖ)2+2b(x– –xÖ)(y– –yÖ)+c(y– –yÖ)2)){ displaystyle f (x, y) = A exp left (- left (a (x-x_ {o}) ^ {2} + 2b (x-x_ {o}) (y-y_ {o} ) + c (y-y_ {o}) ^ {2} right) right)}

wo die Matrix

[abbc]{ displaystyle left[{begin{matrix}a&b\b&cend{matrix}}right]}}

ist positiv-definitiv.

Mit dieser Formulierung kann die Abbildung rechts mit erstellt werden EIN = 1, (xÖ, yÖ) = (0, 0), ein = c = 1/2, b = 0.

Bedeutung der Parameter für die allgemeine Gleichung[edit]

Für die allgemeine Form der Gleichung der Koeffizient EIN ist die Höhe des Gipfels und (xÖ, yÖ) ist die Mitte des Blobs.

Wenn wir setzen

ein=cos2⁡θ2σX.2+Sünde2⁡θ2σY.2b=– –Sünde⁡2θ4σX.2+Sünde⁡2θ4σY.2c=Sünde2⁡θ2σX.2+cos2⁡θ2σY.2{ displaystyle { begin {align} a & = { frac { cos ^ {2} theta} {2 sigma _ {X} ^ {2}}} + { frac { sin ^ {2} Theta} {2 sigma _ {Y} ^ {2}}} \[4pt]b & = – { frac { sin 2 theta} {4 sigma _ {X} ^ {2}}} + { frac { sin 2 theta} {4 sigma _ {Y} ^ {2} }} \[4pt]c & = { frac { sin ^ {2} theta} {2 sigma _ {X} ^ {2}}} + { frac { cos ^ {2} theta} {2 sigma _ {Y. } ^ {2}}} end {align}}}

dann drehen wir den Blob im Uhrzeigersinn

θ{ displaystyle theta}

(Umdrehen gegen den Uhrzeigersinn invertieren Sie die Zeichen in der b Koeffizient).[3] Dies ist in den folgenden Beispielen zu sehen:

Mit dem folgenden Oktavcode kann man leicht sehen, wie sich das Ändern der Parameter auswirkt 

A = 1;
x0 = 0; y0 = 0;

sigma_X = 1;
sigma_Y = 2;

[X, Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5);

for theta = 0:pi/100:pi
    a = cos(theta)^2/(2*sigma_X^2) + sin(theta)^2/(2*sigma_Y^2);
    b = -sin(2*theta)/(4*sigma_X^2) + sin(2*theta)/(4*sigma_Y^2);
    c = sin(theta)^2/(2*sigma_X^2) + cos(theta)^2/(2*sigma_Y^2);

    Z = A*exp( - (a*(X-x0).^2 + 2*b*(X-x0).*(Y-y0) + c*(Y-y0).^2));

surf(X,Y,Z);shading interp;view(-36,36)
waitforbuttonpress
end

Solche Funktionen werden häufig in der Bildverarbeitung und in Rechenmodellen der visuellen Systemfunktion verwendet – siehe Artikel über Skalenraum und affine shn.

Siehe auch multivariate Normalverteilung.

Gaußsche oder Super-Gaußsche Funktion höherer Ordnung[edit]

Eine allgemeinere Formulierung einer Gaußschen Funktion mit einem Flat-Top- und einem Gaußschen Abfall kann durch Erhöhen des Inhalts des Exponenten auf eine Potenz erfolgen.

P.{ displaystyle P}

::

f(x)=EINexp⁡(– –((x– –xÖ)22σX.2)P.).{ displaystyle f (x) = A exp left (- left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2 sigma _ {X} ^ {2}}} rechts) ^ {P} rechts).}

Diese Funktion ist als Super-Gauß-Funktion bekannt und wird häufig für die Gauß-Strahlformulierung verwendet.[4] In einer zweidimensionalen Formulierung folgt eine Gaußsche Funktion

x{ displaystyle x}

und

y{ displaystyle y}

kann mit potenziell unterschiedlichen kombiniert werden

P.X.{ displaystyle P_ {X}}

und

P.Y.{ displaystyle P_ {Y}}

um eine elliptische Gaußsche Verteilung zu bilden,

f(x,y)=EINexp⁡(– –((x– –xÖ)22σX.2+(y– –yÖ)22σY.2)P.){ displaystyle f (x, y) = A exp left (- left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2 sigma _ {X} ^ {2}} } + { frac {(y-y_ {o}) ^ {2}} {2 sigma _ {Y} ^ {2}}} right) ^ {P} right)}

oder eine rechteckige Gaußsche Verteilung,

f(x,y)=EINexp⁡(– –((x– –xÖ)22σX.2)P.X.– –((y– –yÖ)22σY.2)P.Y.){ displaystyle f (x, y) = A exp left (- left ({ frac {(x-x_ {o}) ^ {2}} {2 sigma _ {X} ^ {2}} } right) ^ {P_ {X}} – left ({ frac {(y-y_ {o}) ^ {2}} {2 sigma _ {Y} ^ {2}}} right) ^ {P_ {Y}} right)}

.[5]

Mehrdimensionale Gaußsche Funktion[edit]

In einem (n

n{ displaystyle n}

-dimensionaler Raum, als den eine Gaußsche Funktion definiert werden kann

f(x)=exp⁡(– –xT.C.x),{ displaystyle f (x) = exp (-x ^ {T} Cx) ;,}

wo

x={x1,…,xn}}{ displaystyle x = {x_ {1}, dots, x_ {n} }}

ist eine Spalte von

n{ displaystyle n}

Koordinaten,

C.{ displaystyle C}

ist eine positiv-definitive

n×n{ displaystyle n times n}

Matrix und

T.{ displaystyle {} ^ {T}}

bezeichnet die Matrixtransposition.

Das Integral dieser Gaußschen Funktion über das Ganze

n{ displaystyle n}

-dimensionaler Raum ist gegeben als

∫R.nexp⁡(– –xT.C.x)dx=πndetC..{ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} exp (-x ^ {T} Cx) , dx = { sqrt { frac { pi ^ {n}} { det C. }}} ;.}

Sie kann leicht durch Diagonalisierung der Matrix berechnet werden

C.{ displaystyle C}

und Ändern der Integrationsvariablen in die Eigenvektoren von

C.{ displaystyle C}

.

Allgemeiner wird eine verschobene Gaußsche Funktion definiert als

f(x)=exp⁡(– –xT.C.x+sT.x),{ displaystyle f (x) = exp (-x ^ {T} Cx + s ^ {T} x) ;,}

wo

s={s1,…,sn}}{ displaystyle s = {s_ {1}, dots, s_ {n} }}

ist der Verschiebungsvektor und die Matrix

C.{ displaystyle C}

kann als symmetrisch angenommen werden,

C.T.=C.{ displaystyle C ^ {T} = C}

und positiv-definitiv. Die folgenden Integrale mit dieser Funktion können mit derselben Technik berechnet werden:

∫R.ne– –xT.C.x+vT.xdx=πndetC.exp⁡(14vT.C.– –1v)≡M..∫R.ne– –xT.C.x+vT.x(einT.x)dx=(einT.u)⋅M., wo u=12C.– –1v.∫R.ne– –xT.C.x+vT.x(xT.D.x)dx=(uT.D.u+12tr⁡(D.C.– –1))⋅M..∫R.ne– –xT.C.‘x+s‘T.x(– –∂∂xΛ∂∂x)e– –xT.C.x+sT.xdx=(2tr⁡(C.‘ΛC.B.– –1)+4uT.C.‘ΛC.u– –2uT.(C.‘Λs+C.Λs‘)+s‘T.Λs)⋅M.,wo u=12B.– –1v,v=s+s‘,B.=C.+C.‘.{ displaystyle { begin {align} & int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} , dx = { sqrt { frac { pi ^ {n}} { det {C}}} exp left ({ frac {1} {4}} v ^ {T} C ^ {- 1} v right) äquiv. { mathcal {M}} ;. \[6pt]& int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} left (a ^ {T} x right) , dx = ( a ^ {T} u) cdot { mathcal {M}} ;, { text {where}} u = { frac {1} {2}} C ^ {- 1} v ;. \[6pt]& int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} (x ^ {T} Dx) , dx = left (u ^ {T} Du + { frac {1} {2}} operatorname {tr} (DC ^ {- 1}) right) cdot { mathcal {M}} ;. \[6pt]& int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} C’x + s ‘^ {T} x} left (- { frac { partiell} { partiell x}} Lambda { frac { partiell} { partiell x}} rechts) e ^ {- x ^ {T} Cx + s ^ {T} x} , dx \[6pt]= {} & left (2 operatorname {tr} (C ‘ Lambda CB ^ {- 1}) + 4u ^ {T} C’ Lambda Cu-2u ^ {T} (C ‘ Lambda s + C. Lambda s ‘) + s’ ^ {T} Lambda s rechts) cdot { mathcal {M}} ;, \[6pt]& { text {where}} u = { frac {1} {2}} B ^ {- 1} v, v = s + s ‘, B = C + C’ ;. end {align}} }}

Schätzung von Parametern[edit]

Eine Reihe von Feldern wie Sternphotometrie, Gaußsche Strahlcharakterisierung und Emissions- / Absorptionslinienspektroskopie arbeiten mit abgetasteten Gaußschen Funktionen und müssen die Höhen-, Positions- und Breitenparameter der Funktion genau abschätzen. Es gibt drei unbekannte Parameter für eine 1D-Gauß-Funktion (ein, b, c) und fünf für eine 2D-Gauß-Funktion

(EIN;;x0,y0;;σX.,σY.){ displaystyle (A; x_ {0}, y_ {0}; sigma _ {X}, sigma _ {Y})}

.

Die gebräuchlichste Methode zur Schätzung der Gaußschen Parameter besteht darin, den Logarithmus der Daten zu nehmen und eine Parabel an den resultierenden Datensatz anzupassen.[6][7] Während dies ein einfaches Kurvenanpassungsverfahren bereitstellt, kann der resultierende Algorithmus durch übermäßige Gewichtung kleiner Datenwerte verzerrt werden, was zu großen Fehlern bei der Profilschätzung führen kann. Man kann dieses Problem teilweise durch eine Schätzung der gewichteten kleinsten Quadrate kompensieren und das Gewicht kleiner Datenwerte reduzieren, aber auch dies kann verzerrt werden, indem man zulässt, dass der Schwanz des Gaußschen die Anpassung dominiert. Um die Verzerrung zu beseitigen, kann stattdessen ein iterativ neu gewichtetes Verfahren der kleinsten Quadrate verwendet werden, bei dem die Gewichte bei jeder Iteration aktualisiert werden.[7]

Es ist auch möglich, eine nichtlineare Regression direkt an den Daten durchzuführen, ohne die logarithmische Datentransformation einzubeziehen. Weitere Optionen finden Sie unter Anpassen der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Parametergenauigkeit[edit]

Sobald man einen Algorithmus zum Schätzen der Gaußschen Funktionsparameter hat, ist es auch wichtig zu wissen, wie genau diese Schätzungen sind. Jeder Schätzalgorithmus für kleinste Quadrate kann numerische Schätzungen für die Varianz jedes Parameters liefern (dh die Varianz der geschätzten Höhe, Position und Breite der Funktion). Man kann auch die Cramér-Rao-gebundene Theorie verwenden, um einen analytischen Ausdruck für die Untergrenze der Parametervarianzen zu erhalten, wenn bestimmte Annahmen über die Daten gegeben sind.[8][9]

  1. Das Rauschen im gemessenen Profil ist entweder iid Gaußsch oder das Rauschen ist Poisson-verteilt.
  2. Der Abstand zwischen jeder Abtastung (dh der Abstand zwischen Pixeln, die die Daten messen) ist gleichmäßig.
  3. Der Peak ist “gut abgetastet”, so dass weniger als 10% der Fläche oder des Volumens unter dem Peak (Fläche bei einem 1D-Gaußschen, Volumen bei einem 2D-Gaußschen) außerhalb des Messbereichs liegen.
  4. Die Breite des Peaks ist viel größer als der Abstand zwischen den Probenorten (dh die Detektorpixel müssen mindestens fünfmal kleiner sein als das Gaußsche FWHM).

Wenn diese Annahmen erfüllt sind, wird die folgende Kovarianzmatrix K. gilt für die 1D-Profilparameter

ein{ displaystyle a}

,

b{ displaystyle b}

, und

c{ displaystyle c}

unter iid Gaußschem Rauschen und unter Poisson-Rauschen:[8]

K.Gauß=σ2πδX.Q.2(32c0– –1ein02cein20– –1ein02cein2) ,K.Poiss=12π(3ein2c0– –120cein0– –120c2ein) ,{ displaystyle mathbf {K} _ { text {Gauss}} = { frac { sigma ^ {2}} {{ sqrt { pi}} delta _ {X} Q ^ {2}}} { begin {pmatrix} { frac {3} {2c}} & 0 & { frac {-1} {a}} \ 0 & { frac {2c} {a ^ {2}}} & 0 \ { frac {-1} {a}} & 0 & { frac {2c} {a ^ {2}}} end {pmatrix}} , qquad mathbf {K} _ { text {Poiss}} = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} { begin {pmatrix} { frac {3a} {2c}} & 0 & – { frac {1} {2}} \ 0 & { frac {c } {a}} & 0 \ – { frac {1} {2}} & 0 & { frac {c} {2a}} end {pmatrix}} ,}

wo

δX.{ displaystyle delta _ {X}}

ist die Breite der Pixel, die zum Abtasten der Funktion verwendet werden.

Q.{ displaystyle Q}

ist die Quanteneffizienz des Detektors und

σ{ displaystyle sigma}

gibt die Standardabweichung des Messrauschens an. Somit sind die einzelnen Varianzen für die Parameter im Fall des Gaußschen Rauschens

var⁡(ein)=3σ22πδX.Q.2cvar⁡(b)=2σ2cδX.πQ.2ein2var⁡(c)=2σ2cδX.πQ.2ein2{ displaystyle { begin {align} operatorname {var} (a) & = { frac {3 sigma ^ {2}} {2 { sqrt { pi}} , delta _ {X} Q. ^ {2} c}} \ operatorname {var} (b) & = { frac {2 sigma ^ {2} c} { delta _ {X} { sqrt { pi}} , Q. ^ {2} a ^ {2}}} \ operatorname {var} (c) & = { frac {2 sigma ^ {2} c} { delta _ {X} { sqrt { pi} } , Q ^ {2} a ^ {2}}} end {align}}}

und im Poisson-Rauschfall

var⁡(ein)=3ein22πcvar⁡(b)=c2πeinvar⁡(c)=c22πein.{ displaystyle { begin {align} operatorname {var} (a) & = { frac {3a} {2 { sqrt {2 pi}} , c}} \ operatorname {var} (b ) & = { frac {c} {{ sqrt {2 pi}} , a}} \ operatorname {var} (c) & = { frac {c} {2 { sqrt {2 pi}} , a}}. end {align}}}

Für die 2D-Profilparameter unter Angabe der Amplitude

EIN{ displaystyle A}

Position

(x0,y0){ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}

und Breite

(σX.,σY.){ displaystyle ( sigma _ {X}, sigma _ {Y})}

Für das Profil gelten die folgenden Kovarianzmatrizen:[9]

K.Gauß=σ2πδX.δY.Q.2(2σX.σY.00– –1EINσY.– –1EINσX.02σX.EIN2σY.000002σY.EIN2σX.00– –1EINσy002σX.EIN2σy0– –1EINσX.0002σY.EIN2σX.)K.Poisson=12π(3EINσX.σY.00– –1σY.– –1σX.0σX.EINσY.00000σY.EINσX.00– –1σY.002σX.3EINσY.13EIN– –1σX.0013EIN2σY.3EINσX.).{ displaystyle { begin {align} mathbf {K} _ { text {Gauss}} = { frac { sigma ^ {2}} { pi delta _ {X} delta _ {Y} Q. ^ {2}}} & { begin {pmatrix} { frac {2} { sigma _ {X} sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & { frac {-1} {A sigma _ {Y} }} & { frac {-1} {A sigma _ {X}}} \ 0 & { frac {2 sigma _ {X}} {A ^ {2} sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & { frac {2 sigma _ {Y}} {A ^ {2} sigma _ {X}}} & 0 & 0 \ { frac {-1} {A sigma _ {y}}} & 0 & 0 & { frac {2 sigma _ {X}} {A ^ {2} sigma _ {y}}} & 0 \ { frac {-1} {A sigma _ {X}}} & 0 & 0 & 0 & { frac {2 sigma _ {Y}} {A ^ {2} sigma _ {X}}} end {pmatrix}} \[6pt] mathbf {K} _ { operatorname {Poisson}} = { frac {1} {2 pi}} & { begin {pmatrix} { frac {3A} { sigma _ {X} sigma _ { Y}}} & 0 & 0 & { frac {-1} { sigma _ {Y}}} & { frac {-1} { sigma _ {X}}} \ 0 & { frac { sigma _ {X. }} {A sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & { frac { sigma _ {Y}} {A sigma _ {X}}} & 0 & 0 \ { frac {-1} { sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & { frac {2 sigma _ {X}} {3A sigma _ {Y}}} & { frac {1} {3A}} \ { frac {-1} { sigma _ {X}}} & 0 & 0 & { frac {1} {3A}} & { frac {2 sigma _ {Y}} {3A sigma _ {X}}} end {pmatrix}}. Ende {ausgerichtet}}}

wobei die einzelnen Parametervarianzen durch die diagonalen Elemente der Kovarianzmatrix gegeben sind.

Diskreter Gaußscher[edit]

Man kann nach einem diskreten Analogon zum Gaußschen fragen; Dies ist bei diskreten Anwendungen erforderlich, insbesondere bei der digitalen Signalverarbeitung. Eine einfache Antwort besteht darin, den kontinuierlichen Gaußschen Kern abzutasten und den abgetasteten Gaußschen Kern zu erhalten. Diese diskrete Funktion weist jedoch nicht die diskreten Analoga der Eigenschaften der kontinuierlichen Funktion auf und kann zu unerwünschten Effekten führen, wie in der Raumimplementierung im Artikelmaßstab beschrieben.

Ein alternativer Ansatz ist die Verwendung des diskreten Gaußschen Kernels:[10]

[11]

Anwendungen[edit]

Gaußsche Funktionen treten in vielen Kontexten in den Natur-, Sozial-, Mathematik- und Ingenieurwissenschaften auf. Einige Beispiele sind:

  • In der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie erscheinen Gaußsche Funktionen als Dichtefunktion der Normalverteilung, die nach dem zentralen Grenzwertsatz eine begrenzende Wahrscheinlichkeitsverteilung komplizierter Summen darstellt.
  • Gaußsche Funktionen sind die Greensche Funktion für die (homogene und isotrope) Diffusionsgleichung (und für die Wärmegleichung, die dasselbe ist), eine partielle Differentialgleichung, die die zeitliche Entwicklung einer Massendichte unter Diffusion beschreibt. Insbesondere wenn die Massendichte zum Zeitpunkt t= 0 ist durch ein Dirac-Delta gegeben, was im Wesentlichen bedeutet, dass die Masse zunächst in einem einzigen Punkt konzentriert ist, dann die Massenverteilung zum Zeitpunkt t wird durch eine Gaußsche Funktion mit dem Parameter gegeben ein linear mit 1 / verwandt sein√t und c linear verwandt sein mit √t;; Dieser zeitvariable Gaußsche wird vom Wärmekern beschrieben. Allgemeiner, wenn die anfängliche Massendichte φ ist (x), dann wird die Massendichte zu späteren Zeitpunkten erhalten, indem die Faltung von φ mit einer Gaußschen Funktion genommen wird. Die Faltung einer Funktion mit einem Gaußschen wird auch als Weierstrass-Transformation bezeichnet.
  • Eine Gaußsche Funktion ist die Wellenfunktion des Grundzustands des Quantenharmonischen Oszillators.
  • Die in der Computerchemie verwendeten Molekülorbitale können lineare Kombinationen von Gaußschen Funktionen sein, die als Gaußsche Orbitale bezeichnet werden (siehe auch Basissatz (Chemie)).
  • Mathematisch können die Ableitungen der Gaußschen Funktion mit Hermite-Funktionen dargestellt werden. Das n-th Ableitung des Gaußschen ist die Gaußsche Funktion selbst multipliziert mit dem n-th Hermite Polynom, maßstabsgetreu.
  • Folglich sind Gaußsche Funktionen auch mit dem Vakuumzustand in der Quantenfeldtheorie verbunden.
  • Gaußsche Strahlen werden in optischen Systemen, Mikrowellensystemen und Lasern verwendet.
  • In der Skalenraumdarstellung werden Gaußsche Funktionen als Glättungskerne zum Erzeugen von Mehrskalendarstellungen in der Bildverarbeitung und Bildverarbeitung verwendet. Insbesondere werden Ableitungen von Gaußschen (Hermite-Funktionen) als Grundlage für die Definition einer großen Anzahl von Arten visueller Operationen verwendet.
  • Gaußsche Funktionen werden verwendet, um einige Arten künstlicher neuronaler Netze zu definieren.
  • In der Fluoreszenzmikroskopie wird eine 2D-Gauß-Funktion verwendet, um die Airy-Scheibe zu approximieren und die Intensitätsverteilung zu beschreiben, die von einer Punktquelle erzeugt wird.
  • Bei der Signalverarbeitung dienen sie zur Definition von Gauß-Filtern, beispielsweise bei der Bildverarbeitung, bei der 2D-Gauß-Filter für Gauß-Unschärfen verwendet werden. Bei der digitalen Signalverarbeitung wird ein diskreter Gaußscher Kern verwendet, der durch Abtasten eines Gaußschen oder auf andere Weise definiert werden kann.
  • In der Geostatistik wurden sie verwendet, um die Variabilität zwischen den Mustern eines komplexen Trainingsbildes zu verstehen. Sie werden mit Kernel-Methoden verwendet, um die Muster im Feature-Space zu gruppieren.[12]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Squires, GL (30.08.2001). Praktische Physik (4 ed.). Cambridge University Press. doi:10.1017 / cbo9781139164498. ISBN 978-0-521-77940-1.
  2. ^ Weisstein, Eric W. “Fourier-Transformation – Gauß”. MathWorld. Abgerufen 19. Dezember 2013.
  3. ^ Nawri, Nikolai. “Rechnung von Kovarianzellipsen” (PDF). Abgerufen 14. August 2019.
  4. ^ Eltern, A., M. Morin und P. Lavigne. “Ausbreitung von Super-Gaußschen Feldverteilungen.” Optische und Quantenelektronik 24,9 (1992): S1071-S1079.
  5. ^ “GLAD Optical Software Befehlshandbuch, Eintrag auf GAUSSIAN Befehl” (PDF). Angewandte Optikforschung. 2016-12-15.
  6. ^ Caruana, Richard A.; Searle, Roger B.; Heller, Thomas.; Shupack, Saul I. (1986). “Schneller Algorithmus zur Auflösung von Spektren”. Analytische Chemie. Amerikanische Chemische Gesellschaft (ACS). 58 (6): 1162–1167. doi:10.1021 / ac00297a041. ISSN 0003-2700.
  7. ^ ein b Hongwei Guo, “Ein einfacher Algorithmus zum Anpassen einer Gaußschen Funktion”, IEEE Sign. Proc. Mag. 28 (9): 134 & ndash; 137 (2011).
  8. ^ ein b N. Hagen, M. Kupinski und EL Dereniak, “Gaußsche Profilschätzung in einer Dimension”, Appl. Opt. 46: 5374–5383 (2007)
  9. ^ ein b N. Hagen und EL Dereniak, “Gaußsche Profilschätzung in zwei Dimensionen”, Appl. Opt. 47: 6842–6851 (2008)
  10. ^ Lindeberg, T., “Scale-Space for Discrete Signals”, PAMI (12), Nr. 3, März 1990, S. 234–254.
  11. ^ Campbell, J, 2007, Das SMM-Modell als Randwertproblem unter Verwendung der diskreten DiffusionsgleichungTheor Popul Biol. 2007 Dec; 72 (4): 539–46.
  12. ^ Honarkhah, M und Caers, J, 2010, Stochastische Simulation von Mustern mit entfernungsbasierter Mustermodellierung, Mathematical Geosciences, 42: 487–517

Externe Links[edit]