Elliptische rationale Funktionen – Wikipedia

Posted on January 1, 2021 by lordneo

Darstellung der elliptischen rationalen Funktionen für x zwischen -1 und 1 für die Ordnungen 1,2,3 und 4 mit dem Unterscheidungsfaktor ξ = 1,1. Alle sind zwischen -1 und 1 begrenzt und haben den Wert 1 bei x = 1.

In der Mathematik ist die elliptische rationale Funktionen sind eine Folge von rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten. Elliptische rationale Funktionen werden häufig beim Entwurf von elliptischen elektronischen Filtern verwendet. (Diese Funktionen werden manchmal aufgerufen Chebyshev rationale Funktionennicht zu verwechseln mit bestimmten anderen gleichnamigen Funktionen).

Rationale elliptische Funktionen werden durch eine positive ganzzahlige Reihenfolge identifiziert n und füge einen Parameter ξ ≥ 1 hinzu, der als Selektivitätsfaktor. Eine rationale elliptische Gradfunktion n im x mit Selektivitätsfaktor ξ ist allgemein definiert als:

R.n((ξ,x)≡cd((nK.((1/.L.n((ξ))K.((1/.ξ)cd– –1((x,1/.ξ),1/.L.n((ξ)){ displaystyle R_ {n} ( xi, x) equiv mathrm {cd} left (n { frac {K (1 / L_ {n} ( xi))} {K (1 / xi) }} , mathrm {cd} ^ {- 1} (x, 1 / xi), 1 / L_ {n} ( xi) right)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd15092da8efbe0181f350ccd820895d5cfd7e9b" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle R_ {n} ( xi, x) equiv mathrm {cd} left (n { frac {K (1 / L_ {n} ( xi))} {K (1 / xi) }} , mathrm {cd} ^ {- 1} (x, 1 / xi), 1 / L_ {n} ( xi) right)}" width="22845.6" height="2802.6">

cd () ist die elliptische Jacobi-Kosinusfunktion.
K () ist ein vollständiges elliptisches Integral der ersten Art.
$L.n((ξ)=R.n((ξ,ξ){ displaystyle L_ {n} ( xi) = R_ {n} ( xi, xi)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016077c4560d63a0ea560f8ea9107e60a7041f48" aria-hidden="true" alt="L_ {n} ( xi) = R_ {n} ( xi, xi)" width="7158" height="1223.9">$ ist der Diskriminierungsfaktorgleich dem Minimalwert der Größe von $R.n((ξ,x){ displaystyle R_ {n} ( xi, x)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd7453e8e2bc80f5ff998ad4b28ba482e9c104b" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, x)" width="3524.3" height="1223.9">$ zum $|x|≥ξ{ displaystyle | x | geq xi} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2e008403fadfbbf217748132be5a54fea5a3a" aria-hidden="true" alt="| x | geq xi " width="2907.1" height="1223.9">$ .

In vielen Fällen, insbesondere bei Bestellungen des Formulars n = 2^ein3^b wo ein und b Sind ganze Zahlen, können die elliptischen rationalen Funktionen nur mit algebraischen Funktionen ausgedrückt werden. Elliptische rationale Funktionen sind eng mit den Chebyshev-Polynomen verwandt: So wie die kreisförmigen trigonometrischen Funktionen Sonderfälle der Jacobi-Ellipsenfunktionen sind, so sind die Chebyshev-Polynome Sonderfälle der elliptischen rationalen Funktionen.

Table of Contents

Expression als Verhältnis von Polynomen[edit]

Für gerade Ordnungen können die elliptischen rationalen Funktionen als Verhältnis von zwei Polynomen beider Ordnungen ausgedrückt werden n.

R.n((ξ,x)=r0∏ich=1n((x– –xich)∏ich=1n((x– –xpich){ displaystyle R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , { frac { prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i})} { prod _ { i = 1} ^ {n} (x-x_ {pi})}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd36ecbf7480e22403cbfe63289d9139801241ef" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , { frac { prod _ {{i = 1}} ^ {n} (x-x_ {i})} { prod _ {{ i = 1}} ^ {n} (x-x _ {{pi}})}}" width="12330.9" height="2946.1">

(für n gerade)

xich{ displaystyle x_ {i}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158" aria-hidden="true" alt="x_ {i}" width="916.8" height="865.1">$ sind die Nullen und

xpich{ displaystyle x_ {pi}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222ff966efb83c4e7b6b1e9bdc9b9e54bf3faa03" aria-hidden="true" alt="x _ {{pi}}" width="1272.8" height="1008.6">$ sind die Pole und

r0{ displaystyle r_ {0}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb12fcfddb65e3d1e6a044215f6e833f0cd4337b" aria-hidden="true" alt="r_ {0}" width="905.4" height="865.1">$ ist eine Normalisierungskonstante, die so gewählt ist, dass

R.n((ξ,1)=1{ displaystyle R_ {n} ( xi, 1) = 1}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4511d08d7893637e9b19dd01de38585ba162f390" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, 1) = 1" width="5286.8" height="1223.9">$ . Die obige Form würde auch für gerade Ordnungen gelten, außer dass es für ungerade Ordnungen einen Pol bei x = ∞ und eine Null bei x = 0 gibt, so dass die obige Form geändert werden muss, um zu lesen:

R.n((ξ,x)=r0x∏ich=1n– –1((x– –xich)∏ich=1n– –1((x– –xpich){ displaystyle R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , x , { frac { prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {i})} { prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {pi})}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7281dcf1aa326fa483b63c1b14887aa99d43f8f2" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , x , { frac { prod _ {{i = 1}} ^ {{n-1}} (x-x_ {i}) } { prod _ {{i = 1}} ^ {{n-1}} (x-x _ {{pi}})}}" width="13250.4" height="3233.2">

(für n ungerade)

Eigenschaften[edit]

Auftragung des Absolutwertes der elliptischen rationalen Funktion dritter Ordnung mit ξ = 1,4. Es gibt eine Null bei x = 0 und der Pol im Unendlichen. Da die Funktion antisymmetrisch ist, gibt es drei Nullen und drei Pole. Zwischen den Nullen steigt die Funktion auf einen Wert von 1 und zwischen den Polen fällt die Funktion auf den Wert des Unterscheidungsfaktors ab L._n

Auftragung des Absolutwertes der elliptischen rationalen Funktion vierter Ordnung mit ξ = 1,4. Da die Funktion symmetrisch ist, gibt es vier Nullen und vier Pole. Zwischen den Nullen steigt die Funktion auf einen Wert von 1 und zwischen den Polen fällt die Funktion auf den Wert des Unterscheidungsfaktors ab L._n

Auftragung der Wirkung des Selektivitätsfaktors ξ. Die elliptische rationale Funktion vierter Ordnung wird mit Werten von ξ gezeigt, die von nahezu eins bis unendlich variieren. Die schwarze Kurve, die ξ = ∞ entspricht, ist das Chebyshev-Polynom der Ordnung 4. Je näher der Selektivitätsfaktor an der Einheit liegt, desto steiler ist die Steigung im Übergangsbereich zwischen x = 1 und x = ξ.

Die kanonischen Eigenschaften[edit]

$R.n2((ξ,x)≤1{ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x) leq 1} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e2cca2f4155367df85913a32b931a5142ad4f4" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ^ {2} ( xi, x) leq 1" width="5358.8" height="1295.7">$ zum $|x|≤1{ displaystyle | x | leq 1 ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1183010a46203e9fa0d97195cd59c42c89e32ecf" aria-hidden="true" alt="| x | leq 1 ," width="3130.7" height="1223.9">$
$R.n2((ξ,x)=1{ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x) = 1} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6853b8b8044a1bfa37e1d39aeb5257153db5307" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ^ {2} ( xi, x) = 1" width="5358.8" height="1295.7">$ beim $|x|=1{ displaystyle | x | = 1 ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46146061695a79bd0ef10421064ed6d322d16b99" aria-hidden="true" alt="| x | = 1 ," width="3130.7" height="1223.9">$
$R.n2((ξ,– –x)=R.n2((ξ,x){ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, -x) = R_ {n} ^ {2} ( xi, x)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a071b2a83ac4d649e1a94d16d8d273535307506e" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ^ {2} ( xi, -x) = R_ {n} ^ {2} ( xi, x)" width="9161.1" height="1295.7">$
R.n2((ξ,x)>1{ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x)> 1}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f143e7d4b227e03eaa389ef0c0aa41c9bef60a04" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ^ {2} ( xi, x)></img> 1″/> zum $ x>1{ displaystyle x> 1 ,}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b826c9c61590d1d7a73607b7e142c21891709372" aria-hidden="true" alt="x></img> 1 ,”/></li> <li>Die Steigung bei x = 1 ist so groß wie möglich</li> <li>Die Steigung bei x = 1 ist größer als die entsprechende Steigung des Chebyshev-Polynoms derselben Ordnung.</li> </ul> Die einzige rationale Funktion, die die obigen Eigenschaften erfüllt, ist die elliptische rationale Funktion (Lutovac 2001, § 13.2).$ Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe). Folgende Eigenschaften werden abgeleitet:
Normalisierung[edit]

Die elliptische rationale Funktion wird bei x = 1 auf Eins normiert:

$R.n((ξ,1)=1{ displaystyle R_ {n} ( xi, 1) = 1 ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555275040e7b8188defbe0fc4d87ddb2c6542dc5" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, 1) = 1 ," width="5453.5" height="1223.9">$

Nistplatz[edit]

Die Verschachtelungseigenschaft wird geschrieben:

$R.m((R.n((ξ,ξ),R.n((ξ,x))=R.m⋅n((ξ,x){ displaystyle R_ {m} (R_ {n} ( xi, xi), R_ {n} ( xi, x)) = R_ {m cdot n} ( xi, x) ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f2f8d1d72b248c1a6044b2ffd07c90992e255e" aria-hidden="true" alt="R_ {m} (R_ {n} ( xi, xi), R_ {n} ( xi, x)) = R _ {{m cdot n}} ( xi, x) ," width="15467.6" height="1223.9">$

Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft:

$L.m⋅n((ξ)=L.m((L.n((ξ)){ displaystyle L_ {m cdot n} ( xi) = L_ {m} (L_ {n} ( xi))} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97750b7beb80c9703526b10848df691198f27446" aria-hidden="true" alt="L _ {{m cdot n}} ( xi) = L_ {m} (L_ {n} ( xi))" width="9191.1" height="1223.9">$

Grenzwerte[edit]

Die elliptischen rationalen Funktionen beziehen sich auf die Chebyshev-Polynome der ersten Art
T.n((x){ displaystyle T_ {n} (x)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189f6ee3c1d17d5b774aa7d9555947d017c8f43d" aria-hidden="true" alt="T_n (x)" width="2460.6" height="1223.9">$ durch:

$limξ= →∞R.n((ξ,x)=T.n((x){ displaystyle lim _ { xi = rightarrow , infty} R_ {n} ( xi, x) = T_ {n} (x) ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e1f11a22d3185add5dd0447de306b01d6373ba" aria-hidden="true" alt=" lim _ {{ xi = rightarrow , infty}} R_ {n} ( xi, x) = T_ {n} (x) ," width="10098" height="1869.7">$

Symmetrie[edit]

$R.n((ξ,– –x)=R.n((ξ,x){ displaystyle R_ {n} ( xi, -x) = R_ {n} ( xi, x) ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fa71d4779479ec981b2e16e56960e158d5a171" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, -x) = R_ {n} ( xi, x) ," width="9327.8" height="1223.9">$ für n gerade

$R.n((ξ,– –x)=– –R.n((ξ,x){ displaystyle R_ {n} ( xi, -x) = – R_ {n} ( xi, x) ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76344c523c26348da5ac0e1fb88df05fedbca792" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, -x) = - R_ {n} ( xi, x) ," width="10106.3" height="1223.9">$ für n ungerade

Equiripple[edit]

R.n((ξ,x){ displaystyle R_ {n} ( xi, x)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd7453e8e2bc80f5ff998ad4b28ba482e9c104b" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, x)" width="3524.3" height="1223.9">$ hat die gleiche Welligkeit von
±1{ displaystyle pm 1}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0" aria-hidden="true" alt=" pm 1" width="1279" height="936.9">$ in der Pause
– –1≤x≤1{ displaystyle -1 leq x leq 1}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07d30937eb8028698054698012f2d76caad7fe4" aria-hidden="true" alt="-1 leq x leq 1" width="5020.1" height="1008.6">$ . Aus der Inversionsbeziehung (siehe unten) folgt daraus
1/.R.n((ξ,x){ displaystyle 1 / R_ {n} ( xi, x)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45abc1b09f4e9044c47569a6b7988d0c9cae4b97" aria-hidden="true" alt="1 / R_ {n} ( xi, x)" width="4525.3" height="1223.9">$ hat Equiripple in
– –1/.ξ≤x≤1/.ξ{ displaystyle -1 / xi leq x leq 1 / xi}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3db4d3ee237e2abc4fe2b601ada422db45dc21" aria-hidden="true" alt="-1 / xi leq x leq 1 / xi " width="6908.1" height="1223.9">$ von
±1/.L.n((ξ){ displaystyle pm 1 / L_ {n} ( xi)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3ee888374be3476568661bc7285834fdf16b9b" aria-hidden="true" alt=" pm 1 / L_ {n} ( xi)" width="4208.1" height="1223.9">$ .

Inversionsbeziehung[edit]

Die folgende Inversionsbeziehung gilt:

$R.n((ξ,ξ/.x)=R.n((ξ,ξ)R.n((ξ,x){ displaystyle R_ {n} ( xi, xi / x) = { frac {R_ {n} ( xi, xi)} {R_ {n} ( xi, x)}} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f733279c0ec42e740e0dbdfda5214ee1b2825ac" aria-hidden="true" alt="R_ {n} ( xi, xi / x) = { frac {R_ {n} ( xi, xi)} {R_ {n} ( xi, x)}} ," width="9853.3" height="2802.6">$

Dies impliziert, dass Pole und Nullen paarweise so kommen, dass

$xpichxzich=ξ{ displaystyle x_ {pi} x_ {zi} = xi ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d37ced694bc702c068542561fa2ccbfe92004dd" aria-hidden="true" alt="x _ {{pi}} x _ {{zi}} = xi ," width="4465.1" height="1223.9">$

Funktionen ungerader Ordnung haben eine Null bei x = 0 und ein entsprechender Pol im Unendlichen.

Pole und Nullen[edit]

Die Nullen der elliptischen rationalen Ordnungsfunktion n wird geschrieben werden
xnich((ξ){ displaystyle x_ {ni} ( xi)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be8a2fa88434d0e1a16b704430717b698cf97b3" aria-hidden="true" alt="x _ {{ni}} ( xi)" width="2563.9" height="1223.9">$ oder
xnich{ displaystyle x_ {ni}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3780d899d060ee844da9a976d6b0399b3fa9d642" aria-hidden="true" alt="x _ {{ni}}" width="1341.4" height="865.1">$ wann
ξ{ displaystyle xi}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db" aria-hidden="true" alt=" xi " width="443.5" height="1080.4">$ ist implizit bekannt. Die Nullen der elliptischen rationalen Funktion sind die Nullen des Polynoms im Zähler der Funktion.

Die folgende Ableitung der Nullen der elliptischen rationalen Funktion ist analog zu der Bestimmung der Nullen der Chebyshev-Polynome (Lutovac 2001, § 12.6). Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe). Mit der Tatsache, dass für jeden z

$cd((((2m– –1)K.((1/.z),1z)=0{ displaystyle mathrm {cd} left ((2m-1) K left (1 / z right), { frac {1} {z}} right) = 0 ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33dfaf5eca5dd29ee76430a71b30f3f6af230d4" aria-hidden="true" alt="{ mathrm {cd}} left ((2m-1) K left (1 / z right), { frac {1} {z}} right) = 0 ," width="13300.3" height="2659.1">$

Die definierende Gleichung für die elliptischen rationalen Funktionen impliziert dies

$nK.((1/.L.n)K.((1/.ξ)cd– –1((xm,1/.ξ)=((2m– –1)K.((1/.L.n){ displaystyle n { frac {K (1 / L_ {n})} {K (1 / xi)}} mathrm {cd} ^ {- 1} (x_ {m}, 1 / xi) = (2m-1) K (1 / L_ {n})} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6fc14847b0379ab170d1b56d7597956ee820982" aria-hidden="true" alt="n { frac {K (1 / L_ {n})} {K (1 / xi)}} { mathrm {cd}} ^ {{- 1}} (x_ {m}, 1 / xi) = (2m-1) K (1 / L_ {n})" width="19895" height="2802.6">$

so dass die Nullen gegeben sind durch

$xm=cd((K.((1/.ξ)2m– –1n,1ξ).{ displaystyle x_ {m} = mathrm {cd} left (K (1 / xi) , { frac {2m-1} {n}}, { frac {1} { xi}} Recht).} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1f31d0ee945c08ef239fc5de40412f0f20f004" aria-hidden="true" alt="x_ {m} = { mathrm {cd}} left (K (1 / xi) , { frac {2m-1} {n}}, { frac {1} { xi}} right )." width="13761.4" height="2659.1">$

Unter Verwendung der Inversionsbeziehung können dann die Pole berechnet werden.

Aus der Verschachtelungseigenschaft, wenn die Nullen von
R.m{ displaystyle R_ {m}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a544208f90624bd5716c0fe4f511545cefff01" aria-hidden="true" alt="R_m" width="1480.7" height="1080.4">$ und
R.n{ displaystyle R_ {n}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a51eb87e8de827a6df940f756f9ab254cb336b" aria-hidden="true" alt="R_ {n}" width="1284.1" height="1080.4">$ kann algebraisch ausgedrückt werden (dh ohne dass die Jacobi-Ellipsenfunktionen berechnet werden müssen), dann die Nullen von
R.m⋅n{ displaystyle R_ {m cdot n}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecba48bfbbb0c79b1d0e8444dfaa49f3766ff68" aria-hidden="true" alt="R _ {{m cdot n}}" width="2102.2" height="1080.4">$ kann algebraisch ausgedrückt werden. Insbesondere die Nullen der elliptischen rationalen Ordnungsfunktionen
2ich3j{ displaystyle 2 ^ {i} 3 ^ {j}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f4f16513454e80cf1f92f279d81914a8ee1e45" aria-hidden="true" alt="2 ^ {i} 3 ^ {j}" width="1737" height="1152.1">$ kann algebraisch ausgedrückt werden (Lutovac 2001, § 12.9, 13.9) Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe). Zum Beispiel können wir die Nullen von finden
R.8((ξ,x){ displaystyle R_ {8} ( xi, x)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1786fb9e28cdfaabe22121cc84206cde23078bba" aria-hidden="true" alt="R_ {8} ( xi, x)" width="3453.6" height="1223.9">$ wie folgt: Definieren

$X.n≡R.n((ξ,x)L.n≡R.n((ξ,ξ)tn≡1– –1/.L.n2.{ displaystyle X_ {n} äquiv R_ {n} ( xi, x) qquad L_ {n} äquiv R_ {n} ( xi, xi) qquad t_ {n} äquiv { sqrt { 1-1 / L_ {n} ^ {2}}}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36aca0ded506628ecdda2f8918d0e5a682b1d8f" aria-hidden="true" alt="X_ {n} äquiv R_ {n} ( xi, x) qquad L_ {n} äquiv R_ {n} ( xi, xi) qquad t_ {n} äquiv { sqrt {1-1 / L_ {n} ^ {2}}}." width="23576.7" height="2085">$

Dann von der Verschachtelungseigenschaft und das wissen

$R.2((ξ,x)=((t+1)x2– –1((t– –1)x2+1{ displaystyle R_ {2} ( xi, x) = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ad7519f81c4139cd6ad47b956fd2e6092f17f9" aria-hidden="true" alt="R_ {2} ( xi, x) = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}" width="10761.4" height="2874.4">$

wo
t≡1– –1/.ξ2{ displaystyle t equiv { sqrt {1-1 / xi ^ {2}}}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10edf87895d2815e78bad38cac37b27da6b854e6" aria-hidden="true" alt="t equiv { sqrt {1-1 / xi ^ {2}}}" width="6319.5" height="2085">$ wir haben:

$L.2=1+t1– –t,L.4=1+t21– –t2,L.8=1+t41– –t4{ displaystyle L_ {2} = { frac {1 + t} {1-t}}, qquad L_ {4} = { frac {1 + t_ {2}} {1-t_ {2}}} , qquad L_ {8} = { frac {1 + t_ {4}} {1-t_ {4}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bca751e6c3fc535a3e31f206be297dc96c6c586" aria-hidden="true" alt="L_ {2} = { frac {1 + t} {1-t}}, qquad L_ {4} = { frac {1 + t_ {2}} {1-t_ {2}}}, qquad L_ {8} = { frac {1 + t_ {4}} {1-t_ {4}}}" width="20541.4" height="2372">$

$X.2=((t+1)x2– –1((t– –1)x2+1,X.4=((t2+1)X.22– –1((t2– –1)X.22+1,X.8=((t4+1)X.42– –1((t4– –1)X.42+1.{ displaystyle X_ {2} = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}, qquad X_ {4} = { frac {(t_ {2} +1) X_ {2} ^ {2} -1} {(t_ {2} -1) X_ {2} ^ {2} +1}}, qquad X_ {8} = { frac {(t_ {4} +1) X_ {4} ^ {2} -1} {(t_ {4} -1) X_ {4} ^ {2} +1}}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799b83d435639aae76741e106cdeb6c3ac1babf9" aria-hidden="true" alt="X_ {2} = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}, qquad X_ {4} = { frac {( t_ {2} +1) X_ {2} ^ {2} -1} {(t_ {2} -1) X_ {2} ^ {2} +1}}, qquad X_ {8} = { frac {(t_ {4} +1) X_ {4} ^ {2} -1} {(t_ {4} -1) X_ {4} ^ {2} +1}}." width="32421.9" height="3089.6">$

Diese letzten drei Gleichungen können invertiert werden:

$x=1±1+t((1– –X.21+X.2),X.2=1±1+t2((1– –X.41+X.4),X.4=1±1+t4((1– –X.81+X.8).{ displaystyle x = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t , left ({ frac {1-X_ {2}} {1 + X_ {2}}} right)} }}}, qquad X_ {2} = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t_ {2} , left ({ frac {1-X_ {4}} {1 + X_ {4}}} right)}}}, qquad X_ {4} = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t_ {4} , left ({ frac {1- X_ {8}} {1 + X_ {8}}} right)}}}. Qquad} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3d2d7ade872021615fd53d0929f60ab6ba910c" aria-hidden="true" alt="x = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t , left ({ frac {1-X_ {2}} {1 + X_ {2}}} right)}}} , qquad X_ {2} = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t_ {2} , left ({ frac {1-X_ {4}} {1 + X_ {4} }} right)}}}, qquad X_ {4} = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t_ {4} , left ({ frac {1-X_ {8 }} {1 + X_ {8}}} right)}}}. Qquad " width="39097.7" height="4022.5">$

Berechnung der Nullen von
R.8((ξ,x){ displaystyle R_ {8} ( xi, x)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1786fb9e28cdfaabe22121cc84206cde23078bba" aria-hidden="true" alt="R_ {8} ( xi, x)" width="3453.6" height="1223.9">$ legen wir fest
X.8=0{ displaystyle X_ {8} = 0}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9343b3800af846765f7968be8965f706cd105274" aria-hidden="true" alt="X_ {8} = 0" width="3117" height="1080.4">$ Berechnen Sie in der dritten Gleichung die beiden Werte von
X.4{ displaystyle X_ {4}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae165d68e73491207cb065c2b9e7b90f78cf2e7" aria-hidden="true" alt="X_4" width="1282.4" height="1080.4">$ Verwenden Sie dann diese Werte von
X.4{ displaystyle X_ {4}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae165d68e73491207cb065c2b9e7b90f78cf2e7" aria-hidden="true" alt="X_4" width="1282.4" height="1080.4">$ in der zweiten Gleichung vier Werte von zu berechnen
X.2{ displaystyle X_ {2}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad47c14b8a092f182512e76c96638aea6e3bea1" aria-hidden="true" alt="X_ {2}" width="1282.4" height="1080.4">$ und schließlich verwenden Sie diese Werte in der ersten Gleichung, um die acht Nullen von zu berechnen
R.8((ξ,x){ displaystyle R_ {8} ( xi, x)}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1786fb9e28cdfaabe22121cc84206cde23078bba" aria-hidden="true" alt="R_ {8} ( xi, x)" width="3453.6" height="1223.9">$ . (Das
tn{ displaystyle t_ {n}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271566db7e8ca8616a4dc3efb6c5982a2d987ee3" aria-hidden="true" alt="t_ {n}" width="886.1" height="1008.6">$ werden durch eine ähnliche Rekursion berechnet.) Wiederum können diese Nullen unter Verwendung der Inversionsbeziehung verwendet werden, um die Pole zu berechnen.

Besondere Werte[edit]

Wir können die ersten elliptischen rationalen Funktionen wie folgt schreiben:

$R.1((ξ,x)=x{ displaystyle R_ {1} ( xi, x) = x ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1069459837dc4a4ad452c6c0004b211a8807e64a" aria-hidden="true" alt="R_ {1} ( xi, x) = x ," width="5526.8" height="1223.9">$

$R.2((ξ,x)=((t+1)x2– –1((t– –1)x2+1{ displaystyle R_ {2} ( xi, x) = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ad7519f81c4139cd6ad47b956fd2e6092f17f9" aria-hidden="true" alt="R_ {2} ( xi, x) = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}" width="10761.4" height="2874.4">$

wo

$t≡1– –1ξ2{ displaystyle t equiv { sqrt {1 – { frac {1} { xi ^ {2}}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50acc271f0bb975d9296c9467a1a878dedffa97" aria-hidden="true" alt="t equiv { sqrt {1 - { frac {1} { xi ^ {2}}}}" width="5678.5" height="3233.2">$

$R.3((ξ,x)=x((1– –xp2)((x2– –xz2)((1– –xz2)((x2– –xp2){ displaystyle R_ {3} ( xi, x) = x , { frac {(1-x_ {p} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {z} ^ {2})} {(1-x_ {z} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {p} ^ {2})}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52c5e4a304ecb1b2af068c298a467f83d3b3724" aria-hidden="true" alt="R_ {3} ( xi, x) = x , { frac {(1-x_ {p} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {z} ^ {2})} {(1 -x_ {z} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {p} ^ {2})}}" width="13472.5" height="2946.1">$

wo

$G≡4ξ2+((4ξ2((ξ2– –1))2/.3{ displaystyle G equiv { sqrt {4 xi ^ {2} + (4 xi ^ {2} ( xi ^ {2} ! – ! 1)) ^ {2/3}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8985ec2465a4662deb74cda9bc8de0c891bb025b" aria-hidden="true" alt="G equiv { sqrt {4 xi ^ {2} + (4 xi ^ {2} ( xi ^ {2} ! - ! 1)) ^ {{2/3}}}}" width="12151.7" height="2085">$

$xp2≡2ξ2G8ξ2((ξ2+1)+12Gξ2– –G3– –G3{ displaystyle x_ {p} ^ {2} equiv { frac {2 xi ^ {2} { sqrt {G}}} {{ sqrt {8 xi ^ {2} ( xi ^ {2 } ! + ! 1) + 12G xi ^ {2} -G ^ {3}}} – { sqrt {G ^ {3}}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc7172c1141865a41fc6ae8d07ab503d3232331" aria-hidden="true" alt="x_ {p} ^ {2} equiv { frac {2 xi ^ {2} { sqrt {G}}} {{ sqrt {8 xi ^ {2} ( xi ^ {2} ! + ! 1) + 12G xi ^ {2} -G ^ {3}}} - { sqrt {G ^ {3}}}}" width="17860.2" height="3161.4">$

$xz2=ξ2/.xp2{ displaystyle x_ {z} ^ {2} = xi ^ {2} / x_ {p} ^ {2}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06dbf42a668938f48a23b8447a68c17608b5f72b" aria-hidden="true" alt="x_ {z} ^ {2} = xi ^ {2} / x_ {p} ^ {2}" width="4788.4" height="1439.2">$

$R.4((ξ,x)=R.2((R.2((ξ,ξ),R.2((ξ,x))=((1+t)((1+t)2x4– –2((1+t)((1+t)x2+1((1+t)((1– –t)2x4– –2((1+t)((1– –t)x2+1{ displaystyle R_ {4} ( xi, x) = R_ {2} (R_ {2} ( xi, xi), R_ {2} ( xi, x)) = { frac {(1+ t) (1 + { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1 + { sqrt {t}}) x ^ {2} +1} {( 1 + t) (1 – { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1 – { sqrt {t}}) x ^ {2} +1} }} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4663e1f7d5d0188140efc4a4efb8d6f0ce7a3062" aria-hidden="true" alt="R_ {4} ( xi, x) = R_ {2} (R_ {2} ( xi, xi), R_ {2} ( xi, x)) = { frac {(1 + t) ( 1 + { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1 + { sqrt {t}}) x ^ {2} +1} {(1 + t ) (1 - { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1 - { sqrt {t}}) x ^ {2} +1}}" width="34773.8" height="2946.1">$

$R.6((ξ,x)=R.3((R.2((ξ,ξ),R.2((ξ,x)){ displaystyle R_ {6} ( xi, x) = R_ {3} (R_ {2} ( xi, xi), R_ {2} ( xi, x)) ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9390b6548d6d1802b09fa8388564af85d668a963" aria-hidden="true" alt="R_ {6} ( xi, x) = R_ {3} (R_ {2} ( xi, xi), R_ {2} ( xi, x)) ," width="14170" height="1223.9">$ usw.

Siehe Lutovac (2001, § 13) Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe) für weitere explizite Ordnungsäußerungen n = 5 und
n=2ich3j{ displaystyle n = 2 ^ {i} , 3 ^ {j}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084cf189d0b6e45f30591b4d0145c81225e89464" aria-hidden="true" alt="n = 2 ^ {i} , 3 ^ {j}" width="3838.2" height="1152.1">$ .

Die entsprechenden Diskriminierungsfaktoren sind:

$L.1((ξ)=ξ{ displaystyle L_ {1} ( xi) = xi ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0355e26fda5c6dc39c01a80202f8e33ff1f8b0" aria-hidden="true" alt="L_ {1} ( xi) = xi ," width="4302.1" height="1223.9">$

$L.2((ξ)=1+t1– –t=((ξ+ξ2– –1)2{ displaystyle L_ {2} ( xi) = { frac {1 + t} {1-t}} = left ( xi + { sqrt { xi ^ {2} -1}} right) ^ {2}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e9c62e73ac25646d94c01ad69cbb48c5a4c230" aria-hidden="true" alt="L_ {2} ( xi) = { frac {1 + t} {1-t}} = left ( xi + { sqrt { xi ^ {2} -1}} right) ^ {2 }}" width="14687.2" height="2802.6">$

$L.3((ξ)=ξ3((1– –xp2ξ2– –xp2)2{ displaystyle L_ {3} ( xi) = xi ^ {3} left ({ frac {1-x_ {p} ^ {2}} { xi ^ {2} -x_ {p} ^ { 2}}} right) ^ {2}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f431e404d5fb5055cefe7cabbd51b5e48c1cad22" aria-hidden="true" alt="L_ {3} ( xi) = xi ^ {3} left ({ frac {1-x_ {p} ^ {2}} { xi ^ {2} -x_ {p} ^ {2}} } right) ^ {2}" width="10140.3" height="3448.4">$

$L.4((ξ)=((ξ+((ξ2– –1)1/.4)4((ξ+ξ2– –1)2{ displaystyle L_ {4} ( xi) = left ({ sqrt { xi}} + ( xi ^ {2} -1) ^ {1/4} right) ^ {4} left ( xi + { sqrt { xi ^ {2} -1}} right) ^ {2}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4aa9fa36d24b7c192f819f8aa082204f8d6183" aria-hidden="true" alt="L_ {4} ( xi) = left ({ sqrt { xi}} + ( xi ^ {2} -1) ^ {{1/4}} right) ^ {4} left ( xi + { sqrt { xi ^ {2} -1}} right) ^ {2}" width="19787.2" height="2802.6">$

$L.6((ξ)=L.3((L.2((ξ)){ displaystyle L_ {6} ( xi) = L_ {3} (L_ {2} ( xi)) ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8557179d338924824c26b5b5ff03d69669781416" aria-hidden="true" alt="L_ {6} ( xi) = L_ {3} (L_ {2} ( xi)) ," width="8130.9" height="1223.9">$ usw.

Die entsprechenden Nullen sind
xnj{ displaystyle x_ {nj}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddacc4074e7fc61e8eefd5d10eec23a1529b839" aria-hidden="true" alt="x _ {{nj}}" width="1388.8" height="1008.6">$ wo n ist die Reihenfolge und j ist die Zahl der Null. Es wird insgesamt geben n Nullen für jede Bestellung.

$x11=0{ displaystyle x_ {11} = 0 ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc79b1ef53452fcec04ed7d0dc41792f62ca6eb" aria-hidden="true" alt="x _ {{11}} = 0 ," width="3381.5" height="1080.4">$

$x21=ξ1– –t{ displaystyle x_ {21} = xi { sqrt {1-t}} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a53ab5b73ffb1a890bbae208c21f93816224e12" aria-hidden="true" alt="x _ {{21}} = xi { sqrt {1-t}} ," width="6243" height="1295.7">$

$x22=– –x21{ displaystyle x_ {22} = – x_ {21} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246c4829e1f6c4f742a195d3d156a0eb25d29308" aria-hidden="true" alt="x _ {{22}} = - x _ {{21}} ," width="5039.8" height="1008.6">$

$x31=xz{ displaystyle x_ {31} = x_ {z} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ed7990d90c7ba2f4d47e423ac447b48843de26" aria-hidden="true" alt="x _ {{31}} = x_ {z} ," width="3884.8" height="865.1">$

$x32=0{ displaystyle x_ {32} = 0 ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b29238f782f5a2ec34fe3a4f3f56fa33af2c7c" aria-hidden="true" alt="x _ {{32}} = 0 ," width="3381.5" height="1080.4">$

$x33=– –x31{ displaystyle x_ {33} = – x_ {31} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4277eede5b4cd348abcb4329d4cc991e2c24fd78" aria-hidden="true" alt="x _ {{33}} = - x _ {{31}} ," width="5039.8" height="1008.6">$

$x41=ξ((1– –t)((1+t– –t((t+1)){ displaystyle x_ {41} = xi { sqrt { left (1 – { sqrt {t}} right) left (1 + t – { sqrt {t (t + 1)}} right )}} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfe5c4515de78cdfe0679745e0001fefdf3db41" aria-hidden="true" alt="x _ {{41}} = xi { sqrt { left (1 - { sqrt {t}} right) left (1 + t - { sqrt {t (t + 1)}} right) }} ," width="17056" height="2659.1">$

$x42=ξ((1– –t)((1+t+t((t+1)){ displaystyle x_ {42} = xi { sqrt { left (1 – { sqrt {t}} right) left (1 + t + { sqrt {t (t + 1)}} right) }} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a2e141675e49a5bf6f66d0e1e98d16a6b751d3" aria-hidden="true" alt="x _ {{42}} = xi { sqrt { left (1 - { sqrt {t}} right) left (1 + t + { sqrt {t (t + 1)}} right)} } ," width="17056" height="2659.1">$

$x43=– –x42{ displaystyle x_ {43} = – x_ {42} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9159b3bd34d7f850f2acbc6c3b58cea9de77fbf2" aria-hidden="true" alt="x _ {{43}} = - x _ {{42}} ," width="5039.8" height="1008.6">$

$x44=– –x41{ displaystyle x_ {44} = – x_ {41} ,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026823a79cedbd80762a405ab96b0e79c0999c0b" aria-hidden="true" alt="x _ {{44}} = - x _ {{41}} ," width="5039.8" height="1008.6">$

Aus der Inversionsbeziehung ergeben sich die entsprechenden Pole
xp,nich{ displaystyle x_ {p, ni}}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db6467a4b17ad4e13c03ed5f703e365b4ccea52" aria-hidden="true" alt="x _ {{p, ni}}" width="1894.4" height="1008.6">$ kann gefunden werden durch
xp,nich=ξ/.((xnich){ displaystyle x_ {p, ni} = xi / (x_ {ni})}
$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4feef0f8059b55d71129c05ec847c39c8336cb59" aria-hidden="true" alt="x _ {{p, ni}} = xi / (x _ {{ni}})" width="6292.9" height="1295.7">$

Verweise[edit]
- MathWorld
- Daniels, Richard W. (1974). Approximationsmethoden für das elektronische Filterdesign. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.CS1-Wartung: ref = harv (Link)
- Lutovac, Miroslav D.; Tošić, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Filterdesign für die Signalverarbeitung mit MATLAB © und Mathematica ©. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.CS1-Wartung: ref = harv (Link)