Demihypercube – Wikipedia

Polytop aus Wechsel eines Hyperwürfels

Wechsel der n-würfel ergibt eins von zwei n-demicubes, wie in dieser 3-dimensionalen Darstellung der beiden Tetraeder, die als 3-demicubes des 3-Würfels entstehen.

In der Geometrie Demihyperwürfel (auch genannt n-Demicubes, n-Hemicubes, und Polytope zur Hälfte messen) sind eine Klasse von n-Polytopen, die aus dem Wechsel eines n-Hyperwürfels aufgebaut sind und als bezeichnet sind n für das Sein halb der Hypercube-Familie, γn. Die Hälfte der Eckpunkte wird gelöscht und neue Facetten gebildet. Das 2n Facetten werden 2n (n-1) -Demicubes, und 2n(n-1) -Simplex Anstelle der gelöschten Eckpunkte werden Facetten gebildet.[1]

Sie wurden mit einem benannt demi- Präfix für jeden Hypercube-Namen: Demicube, Demitesseract usw. Der Demicube ist identisch mit dem regulären Tetraeder, und der Demitesseract ist identisch mit dem regulären 16-Zellen-Namen. Der Demipenterakt wird berücksichtigt halbregelmäßig für nur regelmäßige Facetten. Höhere Formen haben nicht alle regulären Facetten, sondern sind alle einheitliche Polytope.

Die Eckpunkte und Kanten eines Demihyperwürfels bilden zwei Kopien des halbierten Würfelgraphen.

Ein n-Demicube hat Inversionssymmetrie, wenn n gerade ist.

Entdeckung[edit]

Thorold Gosset beschrieb den Demipenterakt in seiner Veröffentlichung von 1900, in der alle regulären und semiregulären Figuren in n-Dimensionen über 3 aufgelistet waren. Er nannte ihn a 5-ic halb regelmäßig. Es existiert auch innerhalb des semiregularen k21 Polytop-Familie.

Die Demihyperwürfel können durch erweiterte Schläfli-Symbole der Form h {4,3, …, 3} als die Hälfte der Eckpunkte von {4,3, …, 3} dargestellt werden. Die Scheitelpunktfiguren von Demihyperwürfeln sind gleichgerichtete n-Simplexe.

Konstruktionen[edit]

Sie werden durch Coxeter-Dynkin-Diagramme von drei konstruktiven Formen dargestellt:

  1. (Als alternatives Orthotop) s {21,1 …, 1}}
  2. (Als alternierender Hyperwürfel) h {4,3n-1}}
  3. . (Als Demihyperwürfel) {31, n-3,1}}

HSM Coxeter bezeichnete auch die dritten Bifurkationsdiagramme als 1k1 Darstellen der Länge der 3 Zweige und geführt von dem ringförmigen Zweig.

Ein n-Demicube, n größer als 2, hat n * (n-1) / 2 Kanten treffen sich an jedem Scheitelpunkt. Die folgenden Grafiken zeigen weniger Kanten an jedem Scheitelpunkt aufgrund überlappender Kanten in der Symmetrieprojektion.

n 1k1 Petrie
Polygon
Schläfli-Symbol Coxeter-Diagramme
EIN1n
B.n
D.n
Elemente Facetten:
Demihypercubes &
Simplexe
Scheitelpunktfigur
Eckpunkte Kanten Gesichter Zellen 4 Gesichter 5 Gesichter 6 Gesichter 7 Gesichter 8 Gesichter 9 Gesichter
2 1−1,1 demisquare
(Digon)
s {2}
h {4}
{31, -1,1,1}}


2 2 2 Kanten – –
3 101 Demicube
(Tetraeder)
s {21,1}}
h {4,3}
{31,0,1}}


4 6 4 (6 Digons)
4 Dreiecke
Dreieck
(Gleichgerichtetes Dreieck)
4 111 Demitesseract
(16 Zellen)
s {21,1,1}}
h {4,3,3}
{31,1,1}}


8 24 32 16 8 Demicubes
(Tetraeder)
8 Tetraeder
Oktaeder
(Gleichgerichtetes Tetraeder)
5 121 demipenteract
s {21,1,1,1}}
h {4,33}{31,2,1}}


16 80 160 120 26 10 16-Zellen
16 5-Zellen
Rektifizierte 5-Zellen
6 131 Demihexeract
s {21,1,1,1,1}}
h {4,34}{31,3,1}}


32 240 640 640 252 44 12 Demipenterakte
32 5-simplices
Korrigiertes Hexateron
7 141 Demihepterakt
s {21,1,1,1,1,1}}
h {4,35}{31,4,1}}


64 672 2240 2800 1624 532 78 14 Demihexerakte
64 6-Simplices
Korrigierter 6-Simplex
8 151 Demiocteract
s {21,1,1,1,1,1,1}}
h {4,36}{31,5,1}}


128 1792 7168 10752 8288 4032 1136 144 16 Demihepterakte
128 7-Simplices
Korrigierter 7-Simplex
9 161 demienneract
s {21,1,1,1,1,1,1,1}}
h {4,37}{31,6,1}}


256 4608 21504 37632 36288 23520 9888 2448 274 18 Demiocteracts
256 8-Simplices
Korrigierter 8-Simplex
10 171 Demidekeract
s {21,1,1,1,1,1,1,1,1}}
h {4,38}{31,7,1}}


512 11520 61440 122880 142464 115584 64800 24000 5300 532 20 Demiennerakte
512 9-Simplices
Korrigierter 9-Simplex
n 1n-3,1 n-Demicube s {21,1, …, 1}}
h {4,3n-2}{31, n-3,1}}


2n-1 2n (n-1) -Demicubes
2n-1 (n-1) -Einfache
Gleichgerichteter (n-1) -Simplex

Im Allgemeinen können die Elemente eines Demicubes aus dem ursprünglichen n-Cube bestimmt werden: (Mit C.n, m = mth-face count in n-cube = 2nm* n! / (m! * (nm)!))

  • Eckpunkte: D.n, 0 = 1/2 * C.n, 0 = 2n-1 (Die Hälfte der n-Würfel-Eckpunkte bleibt erhalten)
  • Kanten: D.n, 1 = C.n, 2 = 1/2 n (n-1) 2n-2 (Alle ursprünglichen Kanten gehen verloren, jede quadratische Fläche erzeugt eine neue Kante.)
  • Gesichter: D.n, 2 = 4 * C.n, 3 = 2/3 n (n-1) (n-2) 2n-3 (Alle ursprünglichen Flächen verloren, jeder Würfel erstellt 4 neue dreieckige Flächen)
  • Zellen: D.n, 3 = C.n, 3 + 23C.n, 4 (Tetraeder aus ursprünglichen Zellen plus neue)
  • Hyperzellen: D.n, 4 = C.n, 4 + 24C.n, 5 (16 Zellen bzw. 5 Zellen)
  • [For m=3…n-1]: D.n, m = C.n, m + 2mC.n, m + 1 (m-Demicubes bzw. m-Simplexe)
  • Facetten: D.n, n-1 = 2n + 2n-1 ((n-1) -Demicubes bzw. (n-1) -Einfache)

Symmetriegruppe[edit]

Der Stabilisator des Demihyperwürfels in der hyperoktaedrischen Gruppe (der Coxeter-Gruppe)

B.C.n{ displaystyle BC_ {n}}

[4,3n-1]) hat Index 2. Es ist die Coxeter-Gruppe

D.n,{ displaystyle D_ {n},}

[3n-3,1,1] der Ordnung

2n– –1n!{ displaystyle 2 ^ {n-1} n!}

und wird durch Permutationen der Koordinatenachsen und Reflexionen entlang erzeugt Paare von Koordinatenachsen.[2]

Orthotope Konstruktionen[edit]

Das rhombische Disphenoid innerhalb eines Quaders

Konstruktionen als alternierende Orthotope haben die gleiche Topologie, können jedoch mit unterschiedlichen Längen in gedehnt werden nSymmetrieachsen.

Das rhombische Disphenoid ist das dreidimensionale Beispiel als alternierter Quader. Es hat drei Sätze von Kantenlängen und Skalenendreieckflächen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope III, p. 315-316
  2. ^ “Woche187”. math.ucr.edu. Abgerufen 20. April 2018.
  • T. Gosset: Auf den regulären und semi-regulären Figuren im Raum von n Dimensionen, Bote der Mathematik, Macmillan, 1900
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Die Symmetrien der Dinge 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 26. S. 409: Hemicubes: 1n1)
  • Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Papier 24) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Externe Links[edit]